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MODULO 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAL 
 
 
 
 
 
 
 
CAMILO ZÍÑIGA 
 
 
 
 
 
 
 
A mi padre, JUAN ARTURO ZÚÑIGA R., quien fue el primero en enseñarme el hermoso mundo 
de la matemáticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis empresas. 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA � UNAD � 
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
Bogotá D. C., 2008 
 
 
 
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 - 2 - 
COMITÉ DIRECTIVO 
 
 
Jaime Alberto Leal Afanador 
Rector 
 
 
Gloria Herrera 
Vicerrectora Académica 
 
 
Roberto Salazar Ramos 
Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas 
 
 
Maribel Córdoba Guerrero 
Secretaria General 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 
CURSO ÁLGEBRA LINEAL 
PRIMERA EDICIÓN 
 
© Copyright 
Universidad Nacional Abierta y a Distancia 
 
 
ISBN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2008 
Bogotá, Colombia 
 
 
 
 
 - 3 - 
 
 
 
 - 4 - 
AL ESTUDIANTE 
 
 
 
El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos 
teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para 
contextualizarlos en su campo de formación disciplinar. 
 
El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un 
significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en 
diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo 
del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las 
más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes 
significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en 
tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el 
análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc. 
 
El curso académico se estructura básicamente en dos unidades didácticas. La primera 
contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones 
Lineales, Rectas, Planos e Introducción a los Espacios Vectoriales. 
 
A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación 
cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la 
articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los 
diferentes campos de formación disciplinar. 
 
 
Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de 
los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de 
aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su 
desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información 
en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de 
acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información 
disponible en la plataforma virtual de la universidad. 
 
La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se 
tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu 
investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones 
documentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales son 
obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material 
impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc. 
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TABLA DE CONTENIDO 
 
UNIDAD I 
 
1. VECTORES EN 2R ��������������������������.9 
1.1 NOCION DE 
DISTANCIA����������������������������.11 
1.2 SEGMENTOS DIRIGIDOS���������������������14 
1.3 DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR�������������.20 
1.4 ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES�����������..23 
1.4.1 Multiplicación de un vector por un escalar��������.23 
1.4.2 Suma de Vectores���������������������35 
1.4.3 Diferencia de vectores������������������..39 
1.4.4 Producto escalar����������������������43 
1.5 PROYECCIONES�������������������������..52 
2. VECTORES EN 3R �������������������������..58 
2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS�����������������62 
2.2 VECTORES BASE�������������������������..66 
2.3 PRODUCTO VECTORIAL���������������������..72 
PROBLEMAS�������������������������������. 77 
AUTOEVALUACION���������������������������.. 79 
3. MATRICES�����������������������������..81 
3.1 OPERACIONES CON MATRICES������������������83 
3.1.1 Suma de matrices��������������������84 
3.1.2 Multiplicación por escalar����������������87 
3.1.3 Multiplicación de matrices���������������..88 
3.2 OPERACIONES SOBRE MATRICES����������������...92 
3.2.1 Forma escalonada y forma escalonada reducida��95 
3.2.2 Inversa de una matriz���������������..99 
3.2.3 Matrices Elementales����������������105 
3.2.4 La Factorización LU����������������..119 
4. DETERMINANTES�������������������������131 
4.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES�������138 
4.2 INVERSAS�����������������������������.140 
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ�.�������147 
PROBLEMAS��������������������������������155 
AUTOEVALUACION����������������������������.159 
 
 
UNIDAD II 
 
 
5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES���������������163 
5.1 PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES 
ELIMINACION GAUSSIANA���..�����������������186 
5.2 SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES 
METODO DE GAUSS � JORDAN������������������.189 
 - 6 - 
5.3 TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES 
REGLA DE CRAMER������������������������..195 
5.4 CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES 
EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU���������������.198 
5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES 
EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA����������������..203 
 SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS��.�������������.206 
6. RECTAS EN 3R ���������������������..�����208 
7. PLANOS���������������������..��������220 
8. ESPACIOS VECTORIALES������������..��������..228 
PROBLEMAS���������������������������������..235 
AUTOEVALUACION��������������������������.����239 
 
 
 
 
 
 
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UNIDAD 1 
 
 
VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES
 - 8 - 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO GENERAL 
 
 
Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los 
fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores, 
matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y 
situaciones particulares en diferentes campos del saber. 
 
 
 
 
 
OBJETIVOS ESPECIFICOS 
 
 Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el 
entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo 
pertinente de las operaciones con los mismos. 
 
 Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a 
espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas 
especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas 
operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas 
como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver 
a futuro sistemas lineales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 - 10 - 
 
 
 
1.1 NOCION DE DISTANCIA 
 
Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre 
ellos. 
Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que 
nos establece que: 
 
 
 - 11 - 
 
100
100
86
2
222



a
a
a
 
 
 
Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir, 
10a unidades. 
 
 
 
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 - 14 - 
 
 
 - 15 - 
 
 
 
 
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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL 
Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición. 
Pag. 251 
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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL 
Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición. 
Pag. 263 
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










100
011
001
1E , por lo tanto 











100
011
001
1
1E 

















100
0
6
1
0
001
2E , por lo tanto 











100
060
001
1
2E 









 

100
010
021
3E , por lo tanto 











100
010
021
1
3E 












160
010
001
4E , por lo tanto 












160
010
001
1
4E 

















3
1
00
010
001
5E , por lo tanto 












300
010
001
1
5E 

















100
010
3
5
01
6E , por lo tanto 















 

100
010
3
5
01
1
6E 

















100
6
1
10
001
7E , por lo tanto 


















100
6
1
10
001
1
7E 
Ahora realicemos el siguiente producto 
1
7
1
6
1
2
1
1

 EEEE  
 
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























































300
010
001
160
010
001
100
010
021
100
060
001
100
011
001
 

































 
100
6
1
10
001
100
010
3
5
01
 
Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos: 

































 













































100
6
1
10
001
100
010
3
5
01
300
010
001
160
010
001
100
010
021
100
061
001
 
Seguimos 

































 


































100
6
1
10
001
100
010
3
5
01
300
010
001
160
010
001
100
041
021
 
Seguimos 

































 























100
6
1
10
001
100
010
3
5
01
300
010
001
160
041
021
 
Seguimos 

































 












100
6
1
10
001
100
010
3
5
01
360
041
021
 
 - 110 - 
 
Seguimos 




































100
6
1
10
001
360
3
5
41
3
5
21
 
Finalmente 












260
141
221
 
 
En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su 
inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las 
inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales. 
 
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 - 153 - 
 - 154 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 2 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y 
ESPACIOS VECTORIALES 
 
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OBJETIVO GENERAL 
 
 
Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de 
los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del 
complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes 
bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del 
conocimiento. 
 
 
 
 
 
OBJETIVOS ESPECIFICOS 
 
 
 
 Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el 
entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio. 
Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son 
obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan. 
 
 Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de 
ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia 
en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad 
los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en 
el caso en que sea posible) 
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5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES 
 
EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA 
 
El objetivo es resolver un sistema de la forma bAX  (con A de nn ), donde A es 
invertible. 
Partiendo del sistema bAX  , podemos multiplicar a izquierda por 1A (Que existe, 
dado que A es invertible), con lo que nos queda: 
bAAXA
11 
Agrupando obtenemos 
  bAXAA 11   Simplificando 
  bAXI 1 Finalmente 
bAX
1
 
La ultima afirmación, nos indica que se A es de nn e invertible, entonces la solución 
del sistema lineal bAX  , la encontramos de la forma bAX
1
 . 
 
 
Ejemplo 
 
Dado el sistema lineal 
 
17457
114
211032
321
321
321



xxx
xxx
xxx
 
Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su 
inversa y úsela para resolver el sistema. 
 
 
Solución 
 
Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su 
determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única 
solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única) 
 
Encontremos el determinante: 
 
 - 195 - 
225
457
114
1032



DetA 
Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa: 
1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán 
2. Empleando determinantes ( AdjA
A
A *
det
11


) 
Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la 
invitación a realizarlo también por el otro método. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12
1
f 
12 4 ff  
13 7 ff  
27
1
f 
21 2
3
ff  
23 2
11
ff  3225
14
f

 
 - 196 - 
 
 
Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones 
elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa 
de A. 
Es decir, 




















225
14
225
11
25
3
225
38
225
62
25
1
225
13
225
38
25
1
1
A 
 
Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación bAX
1
 . 
Donde, 
 











17
11
21
b 
 
Por tanto, 
 






























17
11
21
225
14
225
11
25
3
225
38
225
62
25
1
225
13
225
38
25
1
X 
 











2
1
2
X 
Es decir, la solución es 2;1;2 321  xxx 
31 14
13
ff  
32 7
19
ff  
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