Complemento-Clase-6

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Complemento Clase 5 - Derivadas Parte B 
 
Derivada de Función Compuesta 
 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) 
𝑦′ = (𝑠𝑒𝑛(𝑥2))
′
= cos(𝑥2) . (𝑥2)′ = cos(𝑥2) . 2𝑥 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑦 = √15𝑥2 + 1 
𝑦′ = (√15𝑥2 + 1)
′
=
1
2√15𝑥2 + 1
∙ (15𝑥2 + 1)′ =
1
2√15𝑥2 + 1
∙ (15.2𝑥 + 0) = 
=
15. 𝑥
√15𝑥2 + 1
 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑦 = 𝑙𝑛𝟐 (
1
1 + 𝑥
) = [𝑙𝑛 (
1
1 + 𝑥
)]
2
 
𝑢 = 𝑙𝑛 (
1
1 + 𝑥
) 
(
1
1 + 𝑥
)
′
=
(1)′. (1 + 𝑥) − (1). (1 + 𝑥)′
(1 + 𝑥)2
=
0. (1 + 𝑥) − (1). (0 + 1)
(1 + 𝑥)2
=
−1
(1 + 𝑥)2
 
 
𝑦′ = [𝑙𝑛2 (
1
1 + 𝑥
)]
′
= 2. 𝑙𝑛 (
1
1 + 𝑥
) .
1
1
1 + 𝑥
∙
−1
(1 + 𝑥)2
= 2. 𝑙𝑛 (
1
1 + 𝑥
) . (𝑥 + 1) ∙
−1
(1 + 𝑥)2
= 
 
= 2. 𝑙𝑛 (
1
1 + 𝑥
) ∙
−1
(1 + 𝑥)1
=
−2
𝑥 + 1
∙ 𝑙𝑛 (
1
1 + 𝑥
) 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑦 = √ln(𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 1)) 
𝑦′ = (√ln(𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 1)))
′
=
1
2√ln(𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 1))
∙
1
𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 1)
∙ cos(3𝑥 + 1) ∙ (3 + 0) = 
=
3 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(3𝑥 + 1)
2√ln(𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 1))
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (√𝑥3) 
𝑓′(𝑥) =
1
√𝑥3
∙
1
2√𝑥3
∙ 3𝑥2 =
3𝑥2
2. (√𝑥3)
2 =
3𝑥2
2. 𝑥3
=
3
2𝑥
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑥) 
𝑓´(𝑥) = cos(cos 𝑥) . (−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = − cos(cos 𝑥) . 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛5(7𝑥)) = 𝑙𝑛[(sen(7𝑥))5] 
𝑓′(𝑥) =
1
(sen(7𝑥))5
∙ 5(𝑠𝑒𝑛(7𝑥))
4
∙ cos(7𝑥) . 7 = 
𝑓′(𝑥) =
1
(sen(7𝑥))5
∙ 5. (𝑠𝑒𝑛(7𝑥))
4
∙ cos(7𝑥) . 7 =
35. cos(7𝑥)
𝑠𝑒𝑛(7𝑥)
= 35. 𝑐𝑜𝑡𝑔(7𝑥) 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠4(𝑥3 + 1) ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝑥7) 
 
Lo primero es la derivada del producto 
(𝒖. 𝒗)′ = 𝒖′. 𝒗 + 𝒖. 𝒗′ 
 
𝑓′(𝑥) = [𝒄𝒐𝒔𝟒(𝒙𝟑 + 𝟏)]′ ⋅ [𝑠𝑖𝑛(𝑥7)] + [𝑐𝑜𝑠4(𝑥3 + 1)] . [𝒔𝒊𝒏(𝒙𝟕)]′ = 
Si les resulta más cómo, las derivadas de 𝑢 y 𝑣 se puede hacer aparte 
y después se “pegan” en el ejercicio: 
𝑢′ = [𝒄𝒐𝒔𝟒(𝒙𝟑 + 𝟏)]′ = 𝟒(𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟑 + 𝟏))𝟑. (−𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟑 + 𝟏)) . (𝟑𝒙𝟐 + 𝟎) 
𝒗′ = [𝒔𝒊𝒏(𝒙𝟕)]′ = 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟕) . 𝟕𝒙𝟔 
 
= [−𝟏𝟐𝒙𝟐(𝒄𝒐𝒔(𝒙𝟑 + 𝟏))𝟑. 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟑 + 𝟏)] ⋅ [𝑠𝑖𝑛(𝑥7)] + [𝑐𝑜𝑠4(𝑥3 + 1)]. [𝟕𝒙𝟔. 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟕)] = 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠5(𝑠𝑒𝑛3(7𝑥9)) 
 
𝑓′(𝑥) = 5 𝑐𝑜𝑠4(𝑠𝑖𝑛3(7𝑥9)) . (−𝑠𝑒𝑛(𝑠𝑖𝑛3(7𝑥9))). 3[𝑠𝑒𝑛(7𝑥9)]2. cos(7𝑥9) . 7.9𝑥8 = 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑦 =
𝑢
𝑣
 
1°) Aplicamos logaritmos miembro a miembro: 
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛 (
𝑢
𝑣
) 
2°) Aplicamos propiedad de los logaritmos: 
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛(𝑢) − ln(𝑣) 
3°) Derivamos miembro a miembro: 
[𝑙𝑛(𝑦)]′ = [𝑙𝑛(𝑢) − ln(𝑣)]′ 
1
𝑦
∙ 𝑦′ = [𝑙𝑛(𝑢)]′ − [ln(𝑣)]′ 
1
𝑦
∙ 𝑦′ =
1
𝑢
. 𝑢′ −
1
𝑣
. 𝑣′ 
𝑦′
𝑦
=
𝑢′
𝑢
−
𝑣′
𝑣
 
𝑦′
𝑦
=
𝑢′. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′
𝑢. 𝑣
 
 
4°) Despejamos 𝑦′ 
𝑦′ =
𝑢′. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′
𝑢. 𝑣
. 𝑦 
5°) Reemplazamos 𝑦 por lo que corresponde. Recordemos que en este ejercicio 𝑦 =
𝑢
𝑣
 
𝑦′ =
𝑢′. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′
𝒖. 𝑣
.
𝒖
𝑣
 
𝑦′ =
𝑢′. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′
𝑣
.
1
𝑣
 
𝑦′ =
𝑢′. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′
𝑣2
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Derivada de la función exponencial 
𝑦 = 𝑎𝑥 
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛(𝑎𝑥) 
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑥. 𝑙𝑛(𝑎) 
[𝑙𝑛(𝑦)]′ = [𝑥. 𝑙𝑛(𝑎)]′ 
𝑙𝑛(𝑎) ¡es una constante! 
(𝑘. 𝑥)′ = 𝑘 
1
𝑦
. 𝑦′ = 𝑙𝑛(𝑎) 
𝑦′ = 𝑙𝑛(𝑎) . 𝑦 
𝑦′ = 𝑎𝑥 . 𝑙𝑛(𝑎) 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
No confundir: 
𝑦 = 4𝑥 Función EXPONENCIAL miro la derivada de 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑦′ = 4𝑥 . 𝑙𝑛4 
 
𝑦 = 𝑥4 Función POTENCIAL miro la derivada de 𝑦 = 𝑥𝑛 𝑦′ = 4𝑥3 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Derivada de Función Implícita 
Derivar la siguiente función dada en forma implícita: 
4𝑥2 + 2. 𝑥. 𝑦 − 𝑥. 𝑦3 = 0 
(4𝑥2 + 2. 𝑥. 𝑦 − 𝑥. 𝑦3)′ = (0)′ 
(4𝑥2)′ + (2. 𝑥. 𝑦)′ − (𝑥. 𝑦3)′ = 0 
4.2𝑥 + (2𝑥. 𝑦)′ − (𝑥. 𝑦3)′ = 0 
4.2𝑥 + [(2𝑥)′. 𝑦 + 2𝑥. 𝑦′] − [(𝑥)′. 𝑦3 + 𝑥. (𝑦3)′] = 0 
(𝒖𝟑)′ = 𝟑𝒖𝟐. 𝒖′ 
(𝒚𝟑)′ = 𝟑𝒚𝟐. 𝒚′ 
4.2𝑥 + [2. 𝑦 + 2𝑥. 𝒚′] − [1. 𝑦3 + 𝑥. 3𝑦2. 𝒚′] = 0 
8𝑥 + 2𝑦 + 2𝑥. 𝒚′ − 𝑦3 − 3𝑥𝑦2. 𝒚′ = 0 
2𝑥. 𝒚′ − 3𝑥𝑦2. 𝒚′ = −8𝑥 − 2𝑦 + 𝑦3 
𝒚′. (2𝑥 − 3𝑥𝑦2) = −8𝑥 − 2𝑦 + 𝑦3 
𝒚′ =
−8𝑥 − 2𝑦 + 𝑦3
2𝑥 − 3𝑥𝑦2
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Extras 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 √
3 + √𝑥
3 − √𝑥
 
𝑓′(𝑥) =
1
√
3 + √𝑥
3 − √𝑥
⋅
1
2 ⋅ √
3 + √𝑥
3 − √𝑥
⋅
1
2√𝑥
⋅ (3 − √𝑥) − (3 + √𝑥) ⋅
−1
2√𝑥
(3 − √𝑥)
2 = 
𝑓′(𝑥) =
1
√
3 + √𝑥
3 − √𝑥
⋅
1
2 ⋅ √
3 + √𝑥
3 − √𝑥
⋅
1
2√𝑥
⋅ (3 − √𝑥) − (3 + √𝑥) ⋅
−1
2√𝑥
(3 − √𝑥)
2 = 
 
Esto se puede reducir mucho, pudiendo quedar de la siguiente manera: 
𝑓′(𝑥) =
3
2√𝑥 ⋅ (9 − 𝑥)2
 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑓(𝑥) =
𝑒4𝑥 + 𝑒−4𝑥
𝑒4𝑥 − 𝑒−4𝑥
 
Tengamos presente que 
(𝒆𝟒𝒙)′ = 𝒆𝟒𝒙. 𝟒 = 𝟒𝒆𝟒𝒙 
(𝒆−𝟒𝒙)′ = 𝒆−𝟒𝒙. (−𝟒) = −𝟒𝒆𝟒𝒙 
𝑓′(𝑥) =
(4𝑒4𝑥 − 4𝑒−4𝑥) ∙ (𝑒4𝑥 − 𝑒−4𝑥) − (𝑒4𝑥 + 𝑒−4𝑥) ∙ (4𝑒4𝑥 + 4𝑒−4𝑥)
(𝑒4𝑥 − 𝑒−4𝑥)2
= 
 
Esto se puede reducir mucho. Aplicamos la propiedad distributiva: 
=
(4𝑒8𝑥 − 4𝑒0 − 4𝑒0 + 4𝑒−8𝑥) − (4𝑒8𝑥 + 4𝑒0 + 4𝑒0 + 4𝑒−8𝑥)
(𝑒4𝑥 − 𝑒−4𝑥)2
= 
 
=
4𝑒8𝑥 − 4𝑒0 − 4𝑒0 + 4𝑒−8𝑥 − 4𝑒8𝑥 − 4𝑒0 − 4𝑒0 − 4𝑒−8𝑥
(𝑒4𝑥 − 𝑒−4𝑥)2
= 
 
=
−4𝑒0 − 4𝑒0 − 4𝑒0 − 4𝑒0
(𝑒4𝑥 − 𝑒−4𝑥)2
=
−4 − 4 − 4 − 4
(𝑒4𝑥 − 𝑒−4𝑥)2
=
−16
(𝑒4𝑥 − 𝑒−4𝑥)2
= 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) +
2𝑥
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
 
 
𝑓′(𝑥) = 3𝑒3𝑥 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑒3𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +
2𝑥 ⋅ 𝑙𝑛 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 2𝑥 ⋅ 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⋅ (− 𝑠𝑖𝑛 𝑥)
𝑐𝑜𝑠4(𝑥)
 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 √
√𝑥 − 2
√𝑥 + 2
 
𝑓′(𝑥) =
1
√√
𝑥 − 2
√𝑥 + 2
⋅
1
2 ⋅ √√
𝑥 − 2
√𝑥 + 2
⋅
1
2√𝑥
⋅ (√𝑥 + 2) − (√𝑥 − 2) ⋅
1
2√𝑥
(√𝑥 + 2)
2 
Esto se puede reducir... ¡Queda a cargo de usted! 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥. √𝑎2 − 𝑥2 + 𝑎2 ⋅ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑎
) 
¡Recordemos que 𝑎2 es una constante! 
𝑓′(𝑥) = 1 ⋅ √𝑎2 − 𝑥2 + 𝑥 ⋅
1
2√𝑎2 − 𝑥2
⋅ (−2𝑥) + 𝑎2 ⋅
1
√1 − (
𝑥
𝑎)
2
⋅
1
𝑎
 
Esto se puede reducir… ¡Queda a cargo de usted! 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Derivar la siguente función 𝑦 = 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 aplicando Derivada Logarítmica: 
𝑦 = 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥) 
 
Aplicamos la propiedad del logaritmo que dice 𝑙𝑛(𝑎𝑏) = 𝑏 ⋅ 𝑙𝑛 𝑎 
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(𝑥) 
Derivamos miembro a miembro. 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ⋅
1
𝑥Despejamos 𝑦′ 
𝑦′ = (𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(𝑥) +
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥
) ⋅ 𝑦 
Reemplazamos 𝑦 por 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 
𝑦′ = (𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(𝑥) +
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥
) ⋅ 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Derivar la siguente función 𝑦 = 𝑥𝑥 aplicando Derivada Logarítmica: 
𝑦 = 𝑥𝑥 
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥)𝑥 
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑥 ⋅ 𝑙𝑛 𝑥 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ = (𝑥 ⋅ 𝑙𝑛 𝑥)′ 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ = 1 ⋅ 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥 ⋅
1
𝑥
 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ = 𝑙𝑛 𝑥 + 1 
𝑦′ = (𝑙𝑛 𝑥 + 1) ⋅ 𝑦 
𝑦′ = (𝑙𝑛 𝑥 + 1) ⋅ 𝑥𝑥 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Derivar la siguente función 𝑦 = (𝑙𝑛 𝑥)3𝑥 aplicando Derivada Logarítmica: 
 
𝑦 = (𝑙𝑛 𝑥)3𝑥 
Aplicamos logaritmos miembro a miembro: 
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥)3𝑥 
Aplicamos la propiedad del logaritmo que dice 𝑙𝑛(𝑎𝑏) = 𝑏 ⋅ 𝑙𝑛 𝑎 
𝑙𝑛 𝑦 = 3𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥) 
Derivamos miembro a miembro: 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ = (3𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥))′ 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ = 3 ⋅ 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥) + 3𝑥 ⋅
1
𝑙𝑛 𝑥
⋅
1
𝑥
 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ = 3 ⋅ 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥) +
3
𝑙𝑛 𝑥
 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ = (3 ⋅ 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥) +
3
𝑙𝑛 𝑥
) 
𝑦′ = (3 ⋅ 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥) +
3
𝑙𝑛 𝑥
) ⋅ 𝑦 
𝑦′ = (3 ⋅ 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥) +
3
𝑙𝑛 𝑥
) ⋅ (𝑙𝑛 𝑥)3𝑥 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Derivar la siguente función 𝑦 = (√𝑥)
𝑙𝑛𝑥
 aplicando Derivada Logarítmica: 
 𝑦 = (√𝑥)
𝑙𝑛𝑥
 
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛(√𝑥)
𝑙𝑛𝑥
 
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(√𝑥) 
En el pdf allí dice 𝑥 
𝒍𝒏 𝒂 es una constante 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ = (𝑙𝑛 𝑥 ⋅ 𝑙𝑛(√𝑥))
′
 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ =
1
𝑥
⋅ 𝑙𝑛(√𝑥) + 𝑙𝑛 𝑥 ⋅
1
√𝑥
⋅
1
2√𝑥
 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ =
𝑙𝑛(√𝑥)
𝑥
+
𝑙𝑛 𝑥
2𝑥
 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ =
2 𝑙𝑛(√𝑥) + 𝑙𝑛 𝑥
2𝑥
 
𝑦′ =
2 𝑙𝑛(√𝑥) + 𝑙𝑛 𝑥
2𝑥
⋅ 𝑦 
𝑦′ =
2 𝑙𝑛(√𝑥) + 𝑙𝑛 𝑥
2𝑥
⋅ (√𝑥)
𝑙𝑛 𝑥
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Hay un pequeño error de tipeo en el pdf que Rocío Paez descubrió. ¡Muy bien Rocío! 
Así que lo que hago es reescribirlo por aquí. Está marcado con rojo aquí. 
 
(6) Derivada de la función exponencial generalizada (página 8 del pdf Clase 6) 
Siendo 𝑢 = 𝑢(𝑥). Si 𝑦 = 𝑎𝑢 , con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1 entonces 𝑦′ = 𝑎𝑢 . 𝑙𝑛 𝑎 . 𝑢′ 
 
Sea 𝑦 = 𝑎𝑢 
 
Aplicamos logaritmo miembro a miembro 
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑎𝑢) 
 
Por la propiedad del logaritmo de una potencia tenemos: 
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑢. 𝑙𝑛 𝑎 
Derivamos miembro a miembro: (𝒖. 𝒍𝒏 𝒂) se deriva como 𝒌. 𝒇(𝒙) 
1
𝑦
⋅ 𝑦′ = 𝑢′ ∙ ln 𝑎 
𝑦′ = 𝑢′ ∙ ln 𝑎 ∙ 𝑦 
Por costumbre se ordena de la siguiente manera 
𝑦′ = 𝑦 ∙ ln 𝑎 ∙ 𝑢′ 
𝑦′ = 𝑎𝑢 ∙ ln 𝑎 ∙ 𝑢′