04_Polinomios_3B

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Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez 
Revisor: Javier Rodrigo 
Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF 
y commons.wikimedia 
 
 
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas
3º B de ESO 
Capítulo 4: 
Expresiones algebraicas. 
Polinomios 
 
Mat. orientadas a las enseñanzas académicas 3º B ESO. Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios  Revisor: Javier Rodrigo  
Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez 
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93  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
Índice 
1. INTRODUCCIÓN. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
1.1. INTRODUCCIÓN 
1.2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
2. POLINOMIOS. SUMA Y PRODUCTO  
2.1. MONOMIOS. POLINOMIOS 
2.2. SUMA DE POLINOMIOS 
2.3. PRODUCTO DE POLINOMIOS 
3. DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
3.1. INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIONES POLINÓMICAS 
3.2. DIVISIÓN DE POLINOMIOS  
3.3. IGUALDADES NOTABLES 
3.4. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS  
 
 
Resumen 
Según avanzamos en nuestros estudios se van ampliando nuestros conocimientos, en particular los de 
Matemáticas. Esto no se debe a ningún tipo de capricho, todo lo contrario: a lo largo de la historia las 
Matemáticas  se  desarrollan  empujadas  por  las  necesidades  de  las  personas.  Es  indudable  la 
conveniencia de que una persona tenga soltura con los números y sus operaciones básicas: suma, resta, 
multiplicación  y  división.  Por  soltura  no  debe  entenderse 
que se sepa de memoria “todas”  las  tablas de multiplicar, 
sino  que  sea  consciente  de  lo  que  significa  realizar  una 
operación  concreta,  que  sea  capaz  de  dar  respuesta  a 
preguntas  cotidianas  que  se  solventan  operando 
adecuadamente  los  datos  disponibles.  Para  ese  propósito 
es útil fomentar nuestra capacidad de abstracción; ella nos 
permite  reconocer  como  equivalentes  situaciones  en 
apariencia  muy  alejadas.  En  este  capítulo  se  va  a  dar  un 
paso  en  ese  sentido  al  manipular,  manejar,  datos 
numéricos  no  concretados,  no  conocidos,  a  través  de  indeterminadas  o  variables.  De  esa  manera 
aparecerán las expresiones algebraicas y, dentro de ellas, unas expresiones particulares de abundante 
uso y simplicidad de exposición, los polinomios. 
   
 
Mat. orientadas a las enseñanzas académicas 3º B ESO. Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios  Revisor: Javier Rodrigo  
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94  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
1. INTRODUCCIÓN. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
1.1. Introducción 
No hace  falta  imaginar  situaciones  rebuscadas  para  que,  a  la  hora  de  realizar  un  razonamiento,  nos 
topemos  con  alguna  de  las  cuatro  operaciones  matemáticas  básicas:  suma,  resta,  multiplicación  o 
división.  
Ejemplos: 
 El padre, la madre y el hijo han ido al cine y las entradas han costado 27 
euros. Para calcular el precio de cada entrada se divide entre 3, 27/ 3 = 9 
euros.  
 Si vamos a comprar pasta de té y el precio de un kilogramo es de 18.3 euros, resulta habitual 
que,  según  va  la  dependienta  introduciendo  pastas  en  una  bandeja,  vayamos 
viendo  el  importe  final.  Para  ello  si  la  bandeja  está  sobre  una  balanza, 
ejecutamos la operación 18.3∙x donde x es la cantidad de kilogramos que nos ha 
indicado la balanza. Después de cada pesada, el resultado de esa multiplicación 
refleja el importe de las pastas que, en ese momento, contiene la bandeja.  
 Supongamos  que  tenemos  un  contrato  con  una  compañía  de  telefonía 
móvil  por  el  que  pagamos  5  céntimos  de  euro  por  minuto,  así  como  12  céntimos  por 
establecimiento de llamada. Con esa tarifa, una llamada de 3 minutos 
nos costará: 
0.05 ⋅ 3 0.12 0.15 0.12 0.27  euros 
Pero  ¿cuál  es  el  precio  de  una  llamada  cualquiera?  Como 
desconocemos  su  duración,  nos  encontramos  con  una  cantidad  no 
determinada, o indeterminada, por lo que en cualquier respuesta que 
demos a la pregunta anterior se apreciará la ausencia de ese dato concreto. Podemos decir que 
el coste de una llamada cualquiera es 
0.05 ⋅ 𝑥 0.12 0.05 ⋅ 𝑥 0.12  euros 
donde  x  señala su duración, en minutos.   
Actividades propuestas 
1. A finales de cada mes la empresa de telefonía móvil nos proporciona la 
factura mensual.  En ella  aparece mucha  información, en particular,  el 
número total de  llamadas realizadas  (N) así como  la cantidad total de 
minutos  de  conversación  (M).  Con  los  datos  del  anterior  ejemplo, 
justifica que el importe de las llamadas efectuadas durante ese mes es: 
0.05 ⋅ 𝑀 0.12 ⋅ 𝑁 0.05 ⋅ 𝑀 0.12 ⋅ 𝑁  euros 
Ejemplo: 
 Es bien conocida la fórmula del área de un rectángulo de base b y altura asociada h: 
A = b ∙ h 
En todos estos ejemplos han surgido expresiones algebraicas.   
 
b
h
 
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1.2. Expresiones algebraicas 
Llamaremos expresión algebraica a cualquier expresión matemática que se construya con números y 
las  operaciones  matemáticas  básicas:  suma,  resta,  multiplicación  y/o  división.  En  una  expresión 
algebraica  puede  haber  datos  no  concretados;  según  el  contexto,  recibirán  el  nombre  de  variable, 
indeterminada, parámetro, entre otros.  
Si en una expresión algebraica no hay variables, dicha expresión no es más que un número: 
 
Ejemplo: 
2
313
2
2
2
315
1
2
315
1
2
1521
1
15
2
21
1
15
10
15
12
21
1
53
52
35
34
21
1
3
2
5
4
)7(3 





















 
 
Al fijar un valor concreto para cada indeterminada de una expresión algebraica aparece un número, el 
valor numérico de esa expresión algebraica para tales valores de las indeterminadas. 
 
 Ejemplo: 
 El volumen de un cono viene dado por la expresión algebraica: 
hrV  2
3
1  
en la que r es el radio del círculo base y h es su altura. De este modo, el 
volumen de un cono cuya base tiene un radio de 10 cm y de altura 15 cm es igual a:  
 
322 5001510
3
1
3
1
cmhrV   . 
 El  área  lateral  del  cono  viene  dada  por  AL =  π  ∙  r  ∙  g,  donde  r  es  el  radio  de  la  base  y  g  la 
generatriz. La superficie total es AT = π ∙ r ∙ g + π ∙ r2. 
 La  expresión  algebraica  que  representa  el  producto  de  los  cuadrados  de  dos  números 
cualesquiera  x  e 𝑦 se simboliza por 𝑥 ⋅ 𝑦 . Si en ella fijamos  2x  e 
5
3
y  resulta 
25
36
25
9
4
5
3
)2(
2
2 




 . 
 Si en la expresión  
z
yx
x 6
2
7 3   
particularizamos las tres variables con los valores  
4x ,  1y , 
2
1
z  
 surge el número   
 
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712427
2/1
6
)1(4
2
4
7 3   
 
En  una  expresión  algebraica  puede  no  tener  sentido  otorgar  algún  valor  a  cierta  indeterminada.  En 
efecto, en el último ejemplo no es posible hacer  0z . 
 
Actividades propuestas 
2. Escribe las expresiones algebraicas que nos proporcionan la longitud de una 
circunferencia y el área de un trapecio. 
3. Reescribe, en lenguaje algebraico, los siguientes enunciados, referidos a dos números cualesquiera 
x  e 𝑦: 
a) El triple de su diferencia   b) La suma de sus cuadrados   c) El cuadrado de su suma 
d) El inverso de su producto  e) La suma de sus opuestos     f) El producto de sus cuadrados 
4. Una tienda de ropa anuncia en sus escaparates que está de rebajas y que todos sus artículos estánrebajados  un  30 %  sobre  el  precio  impreso  en  cada  etiqueta.  Escribe  lo  que 
pagaremos por una prenda en función de lo que aparece en su etiqueta.  
 
5. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para 
el valor o valores que se indican: 
a)   5
4
3 2 
x
x  para  2x . 
b)   1
2
3 2
3



 ba
b
ba
b  para 
3
1
a  y 
2
1
b . 
6. Indica, en cada caso, el valor numérico de la expresión  zyx 32  :   
a)   1,2,1  zyx  
b)   1,0,2  zyx   
c)   0,1,0  zyx      
7. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para el valor o los valores que se 
indican: 
a) x2 + 2x  7 para x = 2   b) (a + b)2  (a2 + b2) para a = 3 y b = 2    c) c2 + 3c + 7 para c = 1.
 
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2. POLINOMIOS. SUMA Y PRODUCTO 
2.1. Monomios. Polinomios 
Unas expresiones algebraicas de gran utilidad son los polinomios, cuya versión más simple y, a la vez, 
generadora de ellos son los monomios.  
Un monomio viene dado por el producto de números e indeterminadas. Llamaremos coeficiente de un 
monomio  al  número  que  multiplica  a  la  indeterminada,  o  indeterminadas;  la  indeterminada,  o 
indeterminadas, conforman la parte literal del monomio.  
Ejemplos: 
 La expresión que nos proporciona el  triple de una  cantidad,  3  ∙ x,  es  un 
monomio con una única variable, x, y coeficiente 3. 
 El  volumen  de  un  cono,  hr  2
3
1 ,  es  un  monomio  con  dos 
indeterminadas,  r  y h , y coeficiente  
3
1
. Su parte literal es  hr 2 .  
 Otros monomios: 5a2b3, √2 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧   
 La expresión  xxyxy
7
3
35 2   está formada por tres términos, tres monomios. Cada uno tiene 
un coeficiente y una parte literal: 
En el primero,  25xy , el coeficiente es 5 y la parte literal  2xy   
El segundo,  xy3 , tiene por coeficiente  3  y parte literal  xy   
Y en el tercero,  x
7
3
 , el coeficiente es 
7
3
  y la parte literal  x  
Atendiendo  al  exponente  de  la  variable,  o  variables,  adjudicaremos  un  grado  a  cada  monomio  con 
arreglo al siguiente criterio: 
 Cuando  haya  una  única  indeterminada,  el  grado  del  monomio  será  el  exponente  de  su 
indeterminada. 
 Si  aparecen  varias  indeterminadas,  el  grado del monomio  será  la  suma de  los  exponentes  de 
esas indeterminadas. 
Ejemplos: 
 3x es un monomio de grado 1 en la variable x. 
 hr  2
3
1  es un monomio de grado 3 en las indeterminadas  r  y h . 
 5a2b3 es un monomio de grado 5 en a y b. 
 √2 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧  es un monomio de grado 7 en 𝑥, 𝑦 y 𝑧.   
Un número puede ser considerado como un monomio de grado 0.   
 
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Actividades propuestas 
8. En cada uno de los siguientes monomios señala su coeficiente, su parte literal y su grado: 
a) 312x  
b) cba 34  
c) 24xy  
  
Un polinomio es una expresión construida a partir de la suma de monomios. El grado de un polinomio 
vendrá dado por el mayor grado de sus monomios.  
 
Ejemplos: 
 27
5
1 32  xx  es un polinomio de grado 3 en la variable  x . 
 xxy  283 24  es un polinomio de grado 4 en las indeterminadas  x  e 𝑦. 
 232 374 yyx   es un polinomio de grado 5 en  x  e 𝑦. 
 zyx  62  es un polinomio de grado 1 en  x ,  y  y  z . 
 
Tanto en esta sección como en la siguiente nos limitaremos, básicamente, a considerar polinomios con 
una  única  variable.  Es  habitual  escribir  los  diferentes monomios  de  un  polinomio  de  forma  que  sus 
grados vayan en descenso para, con este criterio, apreciar en su primer monomio cuál es el grado del 
polinomio.  
 
El aspecto genérico de un polinomio en la variable  x  es 
01
2
2
1
1 ...... axaxaxaxa
n
n
n
n 

  
donde  los coeficientes  ka  son números. El monomio de grado cero,  0a ,  recibe el nombre de término 
independiente. Diremos que un polinomio es mónico  cuando el  coeficiente de  su  término de mayor 
grado es igual a 1. 
 
Ejemplos: 
 2
5
1
3 24  xx  es un polinomio de grado 4 en la variable  x , cuyo término independiente es  2 . 
 734 3  yy  es un polinomio de grado 3 en la indeterminada  y  con término independiente  7 . 
 1232  zz  es un polinomio de grado 2 en  z . Además, es un polinomio mónico. 
 93 x   es un polinomio de grado 1 en  x . 
 
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99  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
Actividades propuestas 
9. Para cada uno de los siguientes polinomios destaca su grado y los monomios que lo constituyen: 
a) xxx  24 75  
b) 32 2106 xx   
c) 2253 72 yxxxy   
  
Como  ocurre  con  cualquier  expresión  algebraica,  si  fijamos,  o  escogemos,  un  valor  concreto  para  la 
variable  de  un  polinomio  aparece  un  número:  el  valor  numérico  del  polinomio  para  ese  valor 
determinado de la variable. Si hemos llamado 𝑝 a un polinomio, a la evaluación de  p en, por ejemplo, 
el número  3 la denotaremos por  )3(p , y leeremos: “p de menos tres” o ”p en menos tres”. Con este 
criterio,  si 𝑝 es  un  polinomio  cuya  indeterminada  es  la  variable 𝑥,  podemos  referirnos  a  él  como 𝑝 o 
)(xp  indistintamente.  
 
De  esta  forma  apreciamos  que  un  polinomio  puede  ser  entendido  como  una  manera  concreta  de 
asignar a cada número otro número.  
 
Ejemplos: 
 Si evaluamos el polinomio  2
5
1
3 24  xxp  en  5x  nos encontramos con el número  
𝑝 5 3 ⋅ 5
1
5
⋅ 5 2 3 ⋅ 625 5 2 1 875 7 1 868 
 
 El valor del polinomio  734 3  yyyq  para  1y  es 
141047314713141 3 q  
 
 Al particularizar el polinomio  1232  zzr  en  0z  resulta el número  12)0( r . 
 
Actividades propuestas 
10. Consideremos el polinomio 𝑝 𝑥 𝑥 3𝑥 2. Halla los siguientes valores numéricos de 𝑝:  )0(p , 
)1(p ,  )1(p ,  )2(p  y  )2/1(p .    
   
 
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100  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
2.2. Suma de polinomios 
Como un polinomio es una suma de monomios, la suma de dos polinomios es otro polinomio. A la hora 
de sumar dos polinomios procederemos a sumar los monomios de igual parte literal. 
Ejemplos: 
 La suma de los polinomios  2
5
1
3 24  xx  y  654 24  xxx  es el polinomio 
45
5
21
4)62(54
5
1
)13(
)62(54
5
1
)3()654(2
5
1
3
2424
22442424
)(
)()(


xxxxxx
xxxxxxxxxx
 
 66)71()43()5()74()135( 22222  xxxxxxxxxx  
 142)4()12( 3443  xxxxxx  
 11)2()9( 33  xx  
 3xy + 5xy + 2x = 8xy	+	2x 
 
En el siguiente ejemplo sumaremos dos polinomios disponiéndolos, adecuadamente, uno sobre otro. 
 
Ejemplo: 
22523
63547
4524
345
235
2345



xxxx
xxxx
xxxxx
 
 
Propiedades de la suma de polinomios  
Propiedad conmutativa. Si p y q son dos polinomios, no importa el orden en el que los coloquemos a la 
hora de sumarlos: 
pqqp 
 
Ejemplo: 
855)17()32()4()13()724( 23223232  xxxxxxxxxxxxx  
855)71()23()4()724()13( 23223223  xxxxxxxxxxxxx  
 
Propiedad  asociativa.  Nos  señala  cómo  se  pueden  sumartres  o  más  polinomios.  Basta  hacerlo 
agrupándolos de dos en dos: 
)()( rqprqp   
 
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101  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
Ejemplo: 
245)6()855(
)6()13724()6()13()724(
2323
232232


xxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
 
También: 
245)52()724(
)613()724()6()13()724(
23232
232232


xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
 
Actividades propuestas 
11. Realiza las siguientes sumas de polinomios: 
a) )324()452()5( 2323 xxxxxxx   
b) 2232 )136()42()4( xxxxxx   
Elemento  neutro.  Hay  un  polinomio  con  una  propiedad  particular:  el  resultado  de  sumarlo  con 
cualquier otro siempre es este último. Se trata del polinomio dado por el número 0, el polinomio cero. 
Ejemplo: 
7370)737()737(0 333  xxxxxx  
Elemento opuesto. Cada polinomio  tiene asociado otro, al que  llamaremos su polinomio opuesto,  tal 
que  la  suma  de  ambos  es  igual  al  polinomio  cero.  Alcanzamos  el  polinomio  opuesto  de  uno  dado, 
simplemente, cambiando el signo de cada monomio. 
Ejemplo: 
 El polinomio opuesto de  722 34  xxxp  es  722 34  xxx , al que denotaremos como 
"" p . Ratifiquemos que su suma es el polinomio cero: 
0)77()22()()22()722()722( 33443434  xxxxxxxxxxxx  
Actividades propuestas 
12. Escribe el polinomio opuesto de cada uno de los siguientes polinomios:  
a) 9322 23  xxx  
b) x5  
c) xx 73    
13. Considera  los  polinomios  12  xxp ,  323  xxq ,  así  como  el  polinomio  suma  qps  . 
Halla los valores que adopta cada uno de ellos para  2x , es decir, calcula  )2(p ,  )2(q  y  )2(s . 
Estudia si existe alguna relación entre esos tres valores.    
14. Obtén el valor del polinomio  14 23  xxp  en  2x . ¿Qué valor toma el polinomio opuesto de  p  
en  2x ?  
   
 
Mat. orientadas a las enseñanzas académicas 3º B ESO. Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios  Revisor: Javier Rodrigo  
Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez 
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102  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
2.3. Producto de polinomios
 
Otra operación que podemos realizar con polinomios es la multiplicación.  
El  resultado  del  producto  de  polinomios  siempre  será  otro  polinomio.  Aunque  en  un  polinomio 
tenemos una  indeterminada, o variable, como ella adopta valores numéricos, a  la hora de multiplicar 
polinomios  utilizaremos  las  propiedades  de  la  suma  y  el  producto  entre  números,  en  particular  la 
propiedad distributiva del producto respecto de  la suma; así,  todo queda en función del producto de 
monomios, cuestión que resolvemos con facilidad: 
𝑎𝑥 ⋅ 𝑏𝑥 𝑎𝑏𝑥  
Ejemplos: 
 64242 102)5(2)5( xxxx    
 333 20)4(5)4(5 xxx   
 234222222 18126)63()43()23()642(3 xxxxxxxxxxx   
 xxxxxxxxxxx 262)2()1()2()3()2()()2()13( 2433   
  )1082()15123()54()2()54()3()54()23( 223222 xxxxxxxxxxxxx
  10714310)815()212(3 23223  xxxxxxxx  
 xxxxxxxxxxxxxxx 1226)122()6()2()6()6()2()6( 23423433   
También podemos materializar el producto de polinomios tal y como multiplicamos números enteros: 
 
Ejemplo: 
41162
42
1236
42
13
42
2345
235
24
3
2
3






xxxxx
xxx
xxx
xx
xx
xx
 
 
Recordemos  que  el  polinomio opuesto  de  otro  se  obtiene  simplemente  cambiando  el  signo  de  cada 
monomio. Esta acción se corresponde con multiplicar por el número “ 1 ” el polinomio original. De esta 
forma el polinomio opuesto de  p  es 
pp  )1(  
En  este  momento  aparece  de  manera  natural  la  operación  diferencia,  o  resta,  de  polinomios.  La 
definimos con la ayuda del polinomio opuesto de uno dado: 
qpqpqp  )1()(  
 
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103  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
 
Ejemplo: 
4382)62(3)35(2
)632()235()632()235(
2342234
23422342


xxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
 
 
Actividades propuestas 
15. Efectúa los siguientes productos de polinomios:  
a) )43()2( 2  xx  
b) )54()12( 3  xx  
c) )62()14( 23  xxx   
d) )978()1( 2  xx  
16. Realiza las siguientes diferencias de polinomios:  
a) )2()25( 2 xx   
b) )12()42( 3  xxx  
c) )143()27( 232  xxxxx   
 
17. Multiplica cada uno de los siguientes polinomios por un número de tal forma que surjan polinomios 
mónicos:  
a) 23 2  xx  
b) 326 3  xx  
c) 292  xx   
18. Calcula y simplifica los siguientes productos:  
a)   )42(  xx         b)   )23()32(  xx   
       c)   )34()2( aa                 d)   )2()3( 22 abba    
 
   
 
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104  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
Propiedades del producto de polinomios  
Propiedad conmutativa. Si p y q son dos polinomios, no importa el orden en el que los coloquemos a la 
hora de multiplicarlos: 
𝑝 ⋅ 𝑞 ≡ 𝑞 ⋅ 𝑝
 
Ejemplo: 
2342334232323 7927722)(7)(2)()72( xxxxxxxxxxxxxxx   
23423342323 7927272)72()72()72()( xxxxxxxxxxxxxx   
 
Propiedad  asociativa.  Nos  señala  cómo  se  pueden multiplicar  tres  o más  polinomios.  Basta  hacerlo 
agrupándolos de dos en dos: 
𝑝 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑟 ≡ 𝑝 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑟  
Ejemplo: 
 
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
266184122266441212
)()26412()()13()24(
234563243546
32332


 
También: 
 
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
266184122266441212
)33()24()()13()24(
234563243546
324232


 
Actividades propuestas 
19. Realiza los siguientes productos de polinomios: 
a) 22 )243( xxxx   
b) )()35()12( 2 xxxx   
c) )45()2()13( aaa   
  
Elemento neutro. Hay un polinomio con una propiedad particular: al multiplicarlo por cualquier otro 
siempre nos da este último. Se trata del polinomio dado por el número 1, el polinomio unidad. 
Ejemplo: 
3251)325()325(1 333  xxxxxx  
  
Propiedad  distributiva  de  la  multiplicación  respecto  de  la  suma.  Cuando  en  una  multiplicación  de 
polinomios uno de los factores viene dado como la suma de dos polinomios como, por ejemplo, 
 )4()72()3( 32 xxxxx   
tenemos dos opciones para conocer el resultado: 
 
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105  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
a) realizar la suma y, después, multiplicar 
   
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
7271837621183
76)3()4()72()3(
234524235
3232


 
b) distribuir, aplicar, la multiplicación a cada uno de los sumandos y, después, sumar: 
 
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
727183)4123()72216(
)4()3()72()3()4()72()3(
23452435223
32232


 
Comprobamos que obtenemos el mismo resultado. 
 
En general, la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma nos dice que 
     rpqprqp 
 
 
Conviene  comentar  que  la  anterior  propiedad  distributiva  leída  en  sentido  contrario,  de  derecha  a 
izquierda, es lo que comúnmente se denomina sacar factorcomún. 
 
Ejemplo: 
2232345 2)1923(21846 xxxxxxxx   
Actividades propuestas 
20. De cada uno de los siguientes polinomios extrae algún factor que sea común a sus monomios: 
a) xxx 201510 23   
b) 24 2430 xx   
   
 
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106  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
3. DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
 
3.1. Introducción a las fracciones polinómicas
 
Hasta este momento hemos estudiado varias operaciones con polinomios: suma, resta y producto. En 
cualquiera  de  los  casos  el  resultado  siempre  es  otro  polinomio.  Cuando  establecemos  una  fracción 
polinómica como, por ejemplo, 
32
3
2
3


xx
xx
 
lo  que  tenemos  es  una  expresión  algebraica,  una  fracción  algebraica,  la  cual,  en  general,  no  es  un 
polinomio. Sí aparece un polinomio en el muy particular caso en el que el denominador es un número 
diferente de cero, esto es, un polinomio de grado 0.  
Es  sencillo  constatar  que  la  expresión  anterior  no  es  un  polinomio:  cualquier  polinomio  puede  ser 
evaluado en cualquier número. Sin embargo, esa expresión no puede ser evaluada para  1x , ya que 
nos quedaría el número 0 en el denominador. 
Podríamos creer que la siguiente fracción polinómica sí es un polinomio: 
352
352352 2
2323






xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
 
La expresión de la derecha sí es un polinomio, pues se trata de una suma de monomios, pero la de la 
izquierda no  lo es  ya que no puede  ser evaluada en  0x . No obstante, esa  fracción algebraica  y el 
polinomio, cuando son evaluados en cualquier número diferente de cero, ofrecen el mismo valor. Son 
expresiones equivalentes allí donde ambas tienen sentido, esto es, para aquellos números en los que el 
denominador no se hace cero. 
 
3.2. División de polinomios
 
Aunque,  como  hemos  visto  en  el  apartado  anterior,  una  fracción  polinómica,  en  general,  no  es  un 
polinomio, vamos a adentrarnos en la división de polinomios pues es una cuestión importante y útil.  
Analicemos  con  detenimiento  la  división  de  dos  números  enteros  positivos.  Cuando  dividimos  dos 
números, D  (dividendo) entre d  (divisor, distinto de 0), surgen otros dos, el cociente (c) y el  resto (r). 
Ellos se encuentran ligados por la llamada prueba de la división: 
rcdD   
Alternativamente: 
d
r
c
d
D
  
Además, decimos que la división es exacta cuando  0r . 
   
 
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107  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
El conocido algoritmo de la división persigue encontrar un número entero, el cociente c, tal que el resto 
r sea un número menor que el divisor d, y mayor o igual que cero. Fijémonos en que, sin esta exigencia 
para el resto r, podemos escoger arbitrariamente un valor para el cociente c el cual nos suministra su 
valor asociado como resto r. En efecto, si tenemos como dividendo D = 673 y como divisor d = 12, “si 
queremos” que el cociente sea c = 48 su resto asociado es 
975766734812673  cdDr  
y la conexión entre estos cuatro números es 
974812673   
Esta  última  “lectura”  de  la  división  de  números  enteros  va  a  guiarnos  a  la  hora  de  dividir  dos 
polinomios.  
Dados  dos  polinomios  )(xp  y  )(xq ,  la  división  de  )(xp ,  polinomio  dividendo,  entre  )(xq ,  polinomio 
divisor, nos proporcionará otros dos polinomios, el polinomio cociente  )(xc  y el polinomio resto  )(xr . 
También aquí pesará una exigencia sobre el polinomio resto: su grado deberá ser menor que el grado 
del polinomio divisor. La relación entre los cuatro será, naturalmente, 
)()()()( xrxcxqxp   
También escribiremos 
)(
)(
)(
)(
)(
xq
xr
xc
xq
xp
  
aunque, en tal caso, seremos conscientes de las cautelas señaladas en el apartado anterior en cuanto a 
las equivalencias entre polinomios y otras expresiones algebraicas.  
Al  igual  que  ocurre  con  el  algoritmo  de  la  división  entera,  el  algoritmo  de  la  división  de  polinomios 
consta de  varias  etapas,  de  carácter  repetitivo,  en  cada una de  las  cuales  aparecen unos polinomios 
cociente y resto “provisionales” de forma que el grado de esos polinomios resto va descendiendo hasta 
que nos topamos con uno cuyo grado es inferior al grado del polinomio divisor, lo que indica que hemos 
concluido. Veamos este procedimiento con un ejemplo concreto. 
 
Ejemplo: 
 Vamos a dividir el polinomio  2356)( 234  xxxxxp  entre el polinomio  32)( 2  xxxq . 
Como  el  polinomio  divisor,  )(xq ,  es  de  grado  2,  debemos  encontrar  dos  polinomios,  un 
polinomio cociente  )(xc , y un polinomio resto  )(xr  de grado 1 o 0, tales que  
)()()()( xrxcxqxp   
o, como igualdad entre expresiones algebraicas,  
)(
)(
)(
)(
)(
xq
xr
xc
xq
xp
  
A la vista de los polinomios  )(xp  y  )(xq , y de lo dicho sobre  )(xr , es evidente que el grado del 
polinomio cociente,  )(xc , ha de ser igual a 2. Vamos a obtenerlo monomio a monomio.  
   
 
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108  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
 Primera aproximación a los polinomios cociente y resto: 
Para poder lograr la igualdad  rcqp  , como el grado de  )(xr será 1 o 0, el término de mayor grado 
de  )(xp ,  46x ,  surgirá  del  producto  )()( xcxq  .  Así  obtenemos  la  primera  aproximación  de  )(xc ,  su 
monomio de mayor grado: 
2
1 3)( xxc   
y, de manera automática, también un primer resto  )(1 xr : 
2388)936()2356(
3)32()2356()()()()(
23234234
22234
11


xxxxxxxxxx
xxxxxxxxcxqxpxr
 
Como  este  polinomio  )(1 xr  es  de  grado  3,  mayor  que  2,  el  grado  del  polinomio  divisor  )(xq ,  ese 
polinomio resto no es el definitivo; debemos continuar. 
 
 Segunda aproximación a los polinomios cociente y resto: 
Si  particularizamos  la  igualdad  entre  expresiones  algebraicas 
)(
)(
)(
)(
)(
xq
xr
xc
xq
xp
  a  lo  que  tenemos 
hasta ahora resulta  
32
2388
3
32
2356
2
23
2
2
234





xx
xxx
x
xx
xxxx
 
Esta segunda etapa consiste en dividir el polinomio  2388)( 231  xxxxr , surgido como resto de la 
etapa  anterior,  entre  el  polinomio  32)( 2  xxxq ,  el  divisor  inicial.  Es  decir,  repetimos  lo  hecho 
antes pero considerando un nuevo polinomio dividendo: el polinomio resto del paso anterior.  
El nuevo objetivo es alcanzar la igualdad  rcqr  21 . Al igual que antes, el grado de  )(xr debería ser 1 
o 0. Como el término de mayor grado de  )(1 xr , 
38x , sale del producto  )()( 2 xcxq  , es necesario que el 
polinomio cociente contenga el monomio 
xxc 4)(2   
Ello nos lleva a un segundo resto  )(2 xr : 
294)1248()2388(
4)32()2388()()()()(
22323
223
212


xxxxxxxx
xxxxxxxcxqxrxr
 
Como este polinomio  )(2 xr  es de grado 2, igual que el grado del polinomio divisor  )(xq , ese polinomio 
resto no es el definitivo; debemos continuar. 
   
 
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109  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
 Tercera aproximación a los polinomios cociente y resto: 
Lo realizado en la etapa segunda nos permite avanzar en la adecuada descomposición de la expresiónalgebraica que nos ocupa:  
32
294
43
32
2388
3
32
2356
2
2
2
2
23
2
2
234








xx
xx
xx
xx
xxx
x
xx
xxxx
 
Esta  tercera etapa consiste en dividir el polinomio  294)( 22  xxxr , el  resto de  la etapa anterior, 
entre el polinomio  32)( 2  xxxq , el divisor inicial. De nuevo repetimos el algoritmo pero con otro 
polinomio dividendo: el polinomio resto del paso anterior.  
Perseguimos que  rcqr  32 . Como en cada paso, el grado de  )(xr debería  ser 1 o 0. El  término de 
mayor grado de  )(2 xr , 
24x , surge del producto  )()( 3 xcxq  , por lo que  
2)(3 xc  
y el tercer resto  )(3 xr  es 
411)624()294(
)2()32()294()()()()(
22
22
323


xxxxx
xxxxxcxqxrxr
 
Como  este  polinomio  )(3 xr  es  de  grado  1,  menor  que  2,  grado  del  polinomio  divisor  )(xq ,  ese 
polinomio resto sí es el definitivo. Hemos concluido: 
32
411
243
32
294
43
32
2388
3
32
2356
2
2
2
2
2
2
23
2
2
234











xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
x
xx
xxxx
 
Si lo expresamos mediante polinomios: 
)411()243()32(2356 22234  xxxxxxxxx  
Conclusión:  al  dividir  el  polinomio  2356)( 234  xxxxxp  entre  el  polinomio  32)( 2  xxxq  
obtenemos como polinomio cociente  243)( 2  xxxc  y como polinomio resto  411)(  xxr . 
 
Seguidamente vamos a agilizar la división de polinomios:  
 
   
 
Mat. orientadas a las enseñanzas académicas 3º B ESO. Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios  Revisor: Javier Rodrigo  
Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez 
www.apuntesmareaverde.org.es    Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF 
110  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
Actividades propuestas 
21. Comprueba que los cálculos que tienes a continuación reflejan lo que se hizo en el ejemplo anterior 
para dividir el polinomio  2356)( 234  xxxxxp  entre el polinomio  32)(
2  xxxq .  
 Primera etapa:  
2388
3936
32|2356
23
2234
2234



xxx
xxxx
xxxxxx
 
 
 Primera y segunda etapas:  
294
1248
2388
43936
32|2356
2
23
23
2234
2234





xx
xxx
xxx
xxxxx
xxxxxx
 
 
 Las tres etapas:  
411
624
294
1248
2388
243936
32|2356
2
2
23
23
2234
2234







x
xx
xx
xxx
xxx
xxxxx
xxxxxx
 
 Divide los siguientes polinomios:    
a) 7943 23  xxx  entre  12
2  xx  
b) 4326 23  xxx  entre  123
23  xxx  
c) 7134136 234  xxxx  entre  123
2  xx   
d) 14144793 2345  xxxxx  entre  32
23  xxx   
e) 645  xx  entre  3
2 x   
22. Encuentra  dos  polinomios  tales  que  al  dividirlos  aparezca  12)( 2  xxxq  como  polinomio 
cociente y  32)( 2  xxr  como resto.  
   
 
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111  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
3.3. Igualdades notables
 
En  este  apartado  vamos  a  destacar  una  serie  de  productos  concretos  de  polinomios  que  surgen 
frecuentemente. Podemos exponerlos de muy diversas formas. Tal y como lo haremos, aparecerá más 
de  una  indeterminada;  hemos  de  ser  capaces  de  apreciar  que  si,  en  algún  caso  particular,  alguna 
indeterminada pasa a ser un número concreto esto no hará nada más que particularizar una situación 
más general. 
Potencias  de  un  binomio.  Las  siguientes  igualdades  se  obtienen,  simplemente,  tras  efectuar  los 
oportunos cálculos: 
222 2)( bababa   
El  cuadrado de una  suma es  igual al  cuadrado del primero, más el 
doble  producto  del  primero  por  el  segundo,  más  el  cuadrado  del 
segundo. 
Comprueba la igualdad a partir de los cuadrados y rectángulos de la 
ilustración.  
222 2)( bababa   
El  cuadrado  de  una  diferencia  es  igual  al  cuadrado  del  primero, 
menos  el  doble  producto  del  primero  por  el  segundo,  más  el 
cuadrado del segundo. 
 
Observa la figura y conéctala con la igualdad. 
 
 32233 33)( babbaaba   
 
 
Ratifica la igualdad con los cubos y prismas de la figura.   
 
 32233 33)( babbaaba   
 
Podemos observar que, en cada uno de los desarrollos, el exponente del binomio coincide con el grado 
de cada uno de los monomios.  
 
Ejemplos:   
 96332)3( 2222  aaaaa     
 168442)4( 2222  xxxxx  
 25309)5(532)3()53( 2222  xxxxx  
 22222 3612)6(62)6( yxyxyyxxyx   
 12515030855)2(35)2(3)2()52( 2332233  xxxxxxx  
 
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112  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
Actividades propuestas 
23.  Realiza los cálculos: 
a) 2)1( x    
b) 2)2( x    
c) 2)2( x  
d) 2)32( a    
e) 32 )1( x    
f) 3)42( b  
24.  Obtén las fórmulas de los cuadrados de los siguientes trinomios: 
  2)( cba         2)( cba    
25.  Desarrolla las siguientes potencias: 
a) (3x  y)2     b) (2a + x/2)2       c) (4y  2/y)2 
d) (5a + a2)2     e) ( a2 + 2b2)2     f) ((2/3)y  1/y)2  
26.  Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia las siguientes expresiones algebraicas: 
a) a2   6a + 9             b) 4x2 + 4x + 1      c) b2  10b + 25 
d) 4y2  12y + 9         e) a4 + 2a2 +1        f) y4 + 6xy2 + 9x2 
 
Suma por diferencia. De nuevo la siguiente igualdad se 
obtiene tras efectuar el producto señalado:  
22)()( bababa   
Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. 
Observa las figuras y conéctalas con la igualdad. 
 
Ejemplos:  
 497)7()7( 222  aaaa     
 11)1()1( 222  xxxx  
 943)2()32()32( 222  xxxx  
  )35()35()1()53()53()1()53()53( xxxxxx  
o 
222 925))3(5()1( xx   
   
 
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113  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
 
Actividades propuestas 
27.  Efectúa estos productos: 
a. )23()23(  xx   
b. )42()42( yxyx   
c. )34()34( 22  xx  
d. )53()53( baba   
e. )5()5( 22 xxxx    
28.  Expresa como suma por diferencia las siguientes expresiones 
a) 9x2  25   b) 4a4  81b2     c) 49  25 x2     d) 100 a2  64 
 
De  vuelta  a  los  polinomios  de  una  variable,  podemos  decir  que  en  este  apartado  hemos  expandido 
potencias de un polinomio, o productos de un polinomio por sí mismo, así como productos de la forma 
suma  por  diferencia.  Conviene  darse  cuenta  de  que  sus  fórmulas,  leídas  al  revés,  nos  informan  del 
resultado  de  ciertas  divisiones  de  polinomios.  En  efecto,  al  igual  que  cuando  leemos  1871117   
deducimos  que  11
17
187
  y,  también,  17
11
187
 ,  a  partir  del  desarrollo  de  un  binomio  como,  por 
ejemplo,  2342222 4129)23()23()23( xxxxxxxxx  , podemos obtener que 
xx
xx
xxx
23
23
4129 2
2
234



 
Lo  mismo  ocurre  con  el  producto  de  polinomios  de  la  forma  suma  por  diferencia.  Puesto  que,  por 
ejemplo,  254)52()52( 633  xxx , deducimos que  52
52
254 3
3
6



x
x
x
, y también  52
52
254 3
3
6



x
x
x
. 
Actividades propuestas 
29.  Realiza las siguientes divisiones de polinomios a partir de la conversión del dividendo en la potencia 
de un binomio o en un producto de la forma suma por diferencia: 
a) 36122  xx  entre  6x    
b) 24 164 xx   entre  xx 42 2    
c) 16249 2  xx  entre  43 x   
d) 52 x  entre  5x    
   
 
Mat. orientadas a las enseñanzas académicas 3ºB ESO. Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios  Revisor: Javier Rodrigo  
Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez 
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114  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
3.4. Operaciones con fracciones algebraicas
 
Puesto que tanto los polinomios como las fracciones algebraicas obtenidas a partir de dos polinomios 
son,  en  potencia,  números,  operaremos  con  tales  expresiones  siguiendo  las  propiedades  de  los 
números. 
 Suma o resta. Para sumar o restar dos fracciones polinómicas deberemos conseguir que tengan 
igual denominador. Una manera segura de lograrlo, aunque puede no ser la más adecuada, es 
ésta: 
21
1221
12
12
21
21
2
2
1
1
qq
qpqp
qq
qp
qq
qp
q
p
q
p








  
 Producto. Basta multiplicar los numeradores y denominadores entre sí: 
21
21
2
2
1
1
qq
pp
q
p
q
p


  
 División. Sigue la conocida regla de la división de fracciones numéricas: 
21
21
2
2
1
1
pq
qp
q
p
q
p


  
Ejemplos:  
 
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x























2
2
2
22
2
2
2
2
1431
31
1
13
1
11
1
131
 
 
21
33
21
7744
21
7744
12
77
21
44
12
17
21
22
2
7
1
2
222
2


























xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
 
 
15
131
1
13
5
1
22 







xx
xx
x
x
x
x
 
 :
xxx
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x













22
2
3
1231
3
23
13
23
 
En ocasiones puede  ser útil  apreciar que una  fracción polinómica puede  ser  reescrita  como  la  suma, 
diferencia,  producto  o  cociente  de  otras  dos  fracciones  polinómicas.  En  particular,  ello  puede  ser 
aprovechado para simplificar una expresión polinómica: 
Ejemplos: 
 
2
1
2)34(
)34(
2)34(2
)34(
68
34 2 xx
x
xx
x
xx
x
xx









 
 
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx

















3
3
)1(
)3(
)3(
)3(
)3(
)3(
)3(
)3()3(
)3(
9
96 2
2
2
 
 
Mat. orientadas a las enseñanzas académicas 3º B ESO. Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios  Revisor: Javier Rodrigo  
Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez 
www.apuntesmareaverde.org.es    Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF 
115  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
Actividades propuestas 
30. Efectúa los siguientes cálculos:  
a) 
1
2
2
1


 xx
     b) 
xx
x 5
1
2
2



 
c) 
1
3
3
1 2




x
x
x
x
     d) 
3
:
2
2 

x
x
x
x
 
31. Realiza las siguientes operaciones alterando, en cada apartado, solo uno de los denominadores, y su 
respectivo numerador:  
a) 
23
2 1312
x
x
x
xx 


 
b) 
2
3
2
12
2 



x
x
xx
x
 
32. Calcula los siguientes cocientes:   
a) (2x3  8x2 + 6x) : 2x 
b) (5a3 + 60a2 20) : 5 
c) (16x3 + 40x2) : 8x2 
       d) (6x2y3  4xy2) : xy2 
33. Comprueba las siguientes identidades simplificando la expresión del lado izquierdo de cada igualdad:  
a) ba
ba
ba 5
3
28
3
2
6
  
b) yx
xy
xyyx
2
1
2
4
28 2
23


 
c) 
4
2
82
24 22





x
xx
x
xx
 
d) 
ab
abab
baab
abbaba
4
223
82
446 2
22
3222





 
34. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 
a) 
189
63
2
2


x
xx
     b) 
23
23
53
7
aa
aa


     c) 
xy
xyyx
2
7 222 
     d)
abba
abba


3
22
 
35. En  cada  una  de  las  siguientes  fracciones  algebraicas  escribe,  cuando  sea  posible,  el  polinomio 
numerador, o denominador,  en  forma de potencia de un binomio o de  suma por diferencia para, 
posteriormente, poder simplificar cada expresión:  
a) 
63
42


x
x
     b)
16
32162
2
2


x
xx
     c) 
94
46
2 

a
a
 
   
 
Mat. orientadas a las enseñanzas académicas 3º B ESO. Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios  Revisor: Javier Rodrigo  
Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez 
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116  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
CURIOSIDADES. REVISTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
GEOMETRÍA 
Tal y como podrás comprobar durante este curso y  los siguientes, gracias a 
los  polinomios  será  posible  y  sencillo  describir  numerosos  objetos 
geométricos como rectas, circunferencias, elipses, parábolas, planos, esferas, 
cilindros, conos, etc. 
 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
y = ax2 + bx + c 
x2 + y2 + z2 = r2 
 
 
 
 
 
x2 + y2 = r2 
Para ver geométricamente el cuadrado de un trinomio:  
http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/172241_am:1.swf 
Para ver geométricamente suma por diferencia:  
http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/172242_am:1.swf 
Para ver geométricamente el cuadrado de una diferencia:  
http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/172456_am:1.swf 
OTRAS CIENCIAS 
Hemos visto en este capítulo que las fórmulas que nos proporcio‐
nan el área o el volumen de diferentes  figuras vienen dadas por 
polinomios.  Éstos  también  aparecen  en  numerosos  principios  o 
leyes de la Física y de la Química como, por ejemplo, en diferen‐
tes Leyes de Conservación, la Ley General de los Gases, etc.  
Asimismo,  son  de  frecuente  uso  a  la  hora  de  obtener  distintos 
índices  o  indicadores  propios de  la Economía  como, por ejem‐
plo, el IPC (índice de precios al consumo), el euríbor, etc. 
 
Mat. orientadas a las enseñanzas académicas 3º B ESO. Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios  Revisor: Javier Rodrigo  
Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez 
www.apuntesmareaverde.org.es    Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF 
117  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
RESUMEN 
Noción  Descripción  Ejemplos 
Expresión 
algebraica 
Se  construye  con  números  y  las  operaciones 
matemáticas básicas de suma, resta, multiplicación y/o 
división 
zyx
yx
x


 2
32
3
 
Variable, 
indeterminada 
Lo no concretado en una expresión algebraica  Las variables, o indeterminadas, 
del ejemplo anterior son x, y, z 
Valor numérico 
de una expresión 
algebraica 
Al  fijar  un  valor  concreto  para  cada  indeterminada,  o 
variable,  de  una  expresión  algebraica  se  obtiene  un 
número, el valor numérico de esa expresión algebraica 
para tales valores de las indeterminadas. 
Si, hacemos x = 3, y = 2, z = 1/2 
obtenemos 
2
3
2
1
)2(3
)2(32
33 2
3




 
Monomio  Expresión  dada  por  el  producto  de  números  e 
indeterminadas. 
235 zyx  ,  27 x  
Coeficiente de un 
monomio 
El  número  que  multiplica  a  la  indeterminada,  o 
indeterminadas, del monomio 
Los  coeficientes  de  los 
anteriores  monomios  son, 
respectivamente, 5 y 7 
Parte literal de un 
monomio 
La  indeterminada, o producto de  indeterminadas, que 
multiplica al coeficiente del monomio 
La parte literal de  235 zyx   
es  23 zyx    
Grado de un 
monomio 
Cuando hay una única  indeterminada es el exponente 
de  dicha  indeterminada.  Si  aparecen  varias,  el  grado 
del monomio  será  la  suma de  los exponentes de esas 
indeterminadas. 
Los  grados  de  los  monomios 
precedentes  son  6  y  2, 
respectivamente. 
Polinomio  Expresión construida a partir de la suma de monomios. 684 23  xxx  
Grado de un 
polinomio 
El mayor grado de sus monomios  El  anterior  polinomio  es  de 
grado 3 
Suma, resta y 
producto de 
polinomios 
El resultado siempre es otro polinomio 
623
5
1
2,3
23
2
2
2




xxxqp
xxqp
xxqp
xqxp
 
División de dos 
polinomios 
Se  obtienen  otros  dos  polinomios,  los  polinomios 
cociente  (c(x))  y  resto  (r(x)),  ligados  a  los  polinomios 
iniciales: los polinomios dividendo (p(x)) y divisor (q(x)) 
)()()()( xrxcxqxp   
   
 
Mat. orientadas a lasenseñanzas académicas 3º B ESO. Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios  Revisor: Javier Rodrigo  
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118  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
 
1. Una  empresa mayorista  de  viajes  está  confeccionando  una  oferta  para  distribuirla  en  diferentes 
agencias de viaje. Se trata de un viaje en avión, de  ida y vuelta, a Palma de Mallorca cuyo precio 
dependerá del número final de viajeros. Los datos concretos son:  
a) Si  no  hay más  de  100  personas  interesadas,  el  vuelo  costará 
150 euros por persona. 
b) Si hay más de 100 personas interesadas, por cada viajero que 
pase del centenar el precio del viaje se reducirá en 1 euro. No 
obstante, el precio del vuelo en ningún caso será inferior a 90 
euros. 
Estudia y determina el precio final del vuelo, por persona, en función del número total de viajeros. 
Asimismo, expresa la cantidad que ingresará la empresa según el número de viajeros.  
 
2. En este ejercicio se va a presentar un truco mediante el cual vamos a adivinar el número que resulta 
tras manipular  repetidamente un número desconocido. Convierte en una expresión algebraica  las 
sucesivas alteraciones del número desconocido y justifica lo que ocurre.   
i. Dile a un compañero que escriba en un papel un número par y que no lo muestre    
ii. Que lo multiplique por 5  
iii. Que al resultado anterior le sume 5  
iv. Que multiplique por 2 lo obtenido  
v. Que al resultado anterior le sume 10 
vi. Que multiplique por 5 lo obtenido 
vii. Que divida entre 100 la última cantidad   
viii. Que al resultado precedente le reste la mitad del número que escribió 
ix. Independientemente del número desconocido original ¿qué número ha surgido?  
 
3. Los  responsables  de  una  empresa,  en  previsión  de  unos  futuros  altibajos  en  las  ventas  de  los 
productos que fabrican, piensan proponer a sus trabajadores a finales del año 2014 lo siguiente:  
a) La disminución de  los  sueldos, para el próximo año 2015, en 
un 10 %.  
b) Para 2016 ofrecen aumentar un 10 % los salarios de 2015. 
c) En  general,  sugieren  que  el  sueldo  disminuya  un  10 %  cada 
año impar y que aumente un 10 % cada año par.  
Si  finalmente  se  aplica  lo  expuesto,  estudia  si  los  trabajadores 
recuperarán en el año 2016 el salario que tenían en 2014. Analiza qué 
ocurre con los sueldos tras el paso de muchos años. 
 
 
 
 
Mat. orientadas a las enseñanzas académicas 3º B ESO. Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios  Revisor: Javier Rodrigo  
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119  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
4. Los responsables de la anterior empresa, después de recibir el informe de una consultora, alteran su 
intención inicial y van a proponer a sus trabajadores, a finales del año 2014, lo siguiente:  
a) Un aumento de los sueldos, para el próximo año 2015, de un 10%.  
b) Para 2016, una reducción del 10 % sobre los salarios de 2015. 
c) En general, sugieren que el sueldo aumente un 10 % cada año impar y 
que disminuya un 10 % cada año par.  
Si  se aplica  lo expuesto, analiza si el  salario de  los  trabajadores del año 2016 
coincidirá  con  el  que  tenían  en  2014.  Estudia  cómo  evolucionan  los  sueldos 
tras el paso de muchos años. 
 
5. Observa si hay números en los que las siguientes expresiones no pueden ser evaluadas: 
a) 
1
3


x
x
 
b) 
)72()5(
12


xx
x
 
c) 
122  xx
x
 
d) 
22 3
2
yx
yx


 
 
6. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones en los números que se indican: 
a) 
1
3


x
x
 en  1x  
b) 
122  xx
x
 para  2x  
c) 
22 3
2
yx
yx


 en  3x  e  1y  
d) 
abcca
ba
3
42
2
2


 para  1a ,  0b  e  2c  
e) 
)72()5(
12


xx
x
 en 
2
1
x  
 
7. Una persona tiene ahorrados 3 000 euros y decide depositarlos en un 
producto  bancario  con  un  tipo  de  interés  anual  del  2.5 %.  Si  decide 
recuperar sus ahorros al cabo de dos años, ¿cuál será la cantidad total 
de la que dispondrá? 
 
8. Construye un polinomio de grado 2,  )(xp , tal que  6)2( p . 
 
 
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120  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
9. Considera  los  polinomios  142)( 23  xxxxp ,  523)( 234  xxxxxq  y  23)( 2  xxxr  
. Haz las siguientes operaciones:   
a) rqp   
b) qp   
c) rp   
d) qrp   
 
10. Calcula los productos: 
a)  




 




 
352
3 byyax
    
b)  0.1𝑥 0.2𝑦 0.3𝑧 ⋅ 0.3𝑥 0.2𝑦 0.1𝑧     
c)       axyyx  1  
11. Efectúa las divisiones de polinomios:  
a) 7122 23  xxx  entre  3x  
b) 821784 234  xxxx  entre  132 2  xx  
c) 146923 235  xxxx  entre  323  xx  
12. Calcula los cocientes: 
a)  )(:)4( 23 xx      b)     22433 3:4 yzxzyx      c)     yxyyxx 2:44 2224   
13. Realiza las operaciones entre fracciones algebraicas:   
a) 
x
x
x
x 121
2



 
b) 
1
532



xx
x
 
c) 
x
x
xx
x 


 2
3
1
2
 
d) 
x
x
xx
x 


 2
3
1
2
 
e) 
x
x
xx
x 

 2
:
3
1
2
 
14. Encuentra un polinomio  )(xp  tal que al dividir  )(xp  entre  32)( 23  xxxxq  se obtenga como 
polinomio resto  13)( 2  xxr .   
15. Calcula las potencias: 
a)  2)2( zyx       b)  3)3( yx      c) 
2
3






b
a       d)  232 )2( zx   
   
 
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121  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
16. Analiza  si  los  siguientes  polinomios  han  surgido  del  desarrollo  de  potencias  de  binomios,  o 
trinomios, o de un producto suma por diferencia. En caso afirmativo expresa su procedencia.    
a) 962  xx  
b) 168 24  xx  
c) 22 312 yxyx   
d) 122 234  yyyy  
e) 122 234  xxxx  
f) 252 x  
g) 52 x  
h) 15 2 x  
i) 22 8yx   
j) 14 x  
k) 22 yx   
l) 222 2 zyx   
 
17. Analiza  si  el  numerador  y el denominador de  las  siguientes expresiones algebraicas proceden del 
desarrollo de un binomio, o de un producto suma por diferencia, y simplifícalas: 
a) 
1
12
2
2


x
xx
     b)  22
4224 2
yx
yyxx


     c) 
14
3


y
yxxy
 
 
18. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible: 
a) 
)3(2
1
)3(
3
xxx 


     b) 
1
1
53
2
5
3
4
34




x
x
x
x
xx      c) 
ba
yx
ba
yx
33
542





 
 
19. Simplifica todo lo posible: 
a)  




 




 
x
x
x
y
yx
1
: 2
2
4    b) 
ab
ab
ab
abaabb




:
33 3223
  c) 
baba
ba
ba
ba











 4
:  
 
20. Simplifica todo lo posible: 
a) 
yxa
yxa
xya
xya








11
11
:
11
11
   b)  




 




 
3232
321
:
321
1
xxxxxx
    c) 
yx
yx
yx
yx
21
31
23
12





 
   
 
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122  Expresiones algebraicas. Polinomios. 3ºB ESO
AUTOEVALUACIÓN 
 
1. Señala los coeficientes que aparecen en las siguientes expresiones algebraicas:   
a)  253 yx     b)  73 34  xxx     c)  9
3
6
24
8 2
2



a
xa
y
x
  
2. Destaca las variables, o indeterminadas, de las precedentes expresiones algebraicas.  
3. Del polinomio  985 24  xxx  indica su grado y los monomios que lo integran.  
4.La expresión 
x
x
24
7


 no tiene sentido para  
a)  7x    b)  2x    c)  7x  y  2x   d)  0x 
5. Cualquier polinomio: 
a) puede ser evaluado en cualquier número.   
b) no puede ser evaluado en el número cero.   
c) no puede ser evaluado en ciertos números concretos. 
6. El valor numérico de la expresión 
z
xz
y
x 3
6
24
7 2
2



 en  1,2,1  zyx  es:   
a)  11    b) 7      c) 1   d)  5  
7. Completa adecuadamente las siguientes frases: 
a) La suma de dos polinomios de grado dos suele ser otro polinomio de grado ……….   
b) La suma de tres polinomios de grado dos suele ser otro polinomio de grado ……….   
c) El producto de dos polinomios de grado dos es siempre otro polinomio de grado ……….  
d) La diferencia de dos polinomios de grado dos suele ser otro polinomio de grado ………. 
8. Finaliza adecuadamente las siguientes frases: 
a) La suma de dos polinomios de grado dos es siempre otro polinomio de grado ……….   
b) La suma de tres polinomios de grado dos es siempre otro polinomio de grado ……….   
c) La diferencia de dos polinomios de grado dos es siempre otro polinomio de grado ………. 
9. Al  dividir  el  polinomio 𝑝 𝑥 2𝑥 𝑥 4  entre 𝑞 𝑥 𝑥 2𝑥 2  el  polinomio  resto 
resultante:  
a) debe ser de grado 2. 
b) puede ser de grado 2. 
c) debe ser de grado 1.  
d) ninguna de las opciones precedentes.   
10. Para que una fracción polinómica 
)(
)(
xq
xp
 sea equivalente a un polinomio: 
a) los polinomios  )(xp  y  )(xq  deben ser del mismo grado. 
b) no importan los grados de  )(xp  y  )(xq . 
c) el  grado  del  polinomio  numerador,  )(xp ,  debe  ser  superior  o  igual  al  grado  del  polinomio 
denominador,  )(xq . 
d) el  grado  del  polinomio  numerador,  )(xp ,  debe  ser  inferior  al  grado  del  polinomio  denominador, 
)(xq .