Polinomios División, Ejercicios_0

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Kharla Mérida 
Matemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual Polinomios 
 Con este objetivo completamos las operaciones básicas que aplican a los 
polinomios. División de polinomios exige compresión y destreza en el manejo de las 
operaciones previas: suma, resta y multiplicación, de modo que pueda efectuarse los 
pasos sin dificultad alguna. Te invitamos a revisar estas operaciones y realizar la 
práctica necesaria antes de abordar este tema. Acompáñanos a conocer cómo se 
dividen polinomios. 
1 
 Lo complejo es la suma de muchos elementos sencillos. No dominar los 
elementos sencillos nos lleva irremediablemente a tener dificultades en 
lo complejo. 
5.3 División de Polinomios, Ejercicios 
Descripción 
 5 
5ta Unidad 
Polinomios 
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Matemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual Polinomios 
 División de Polinomios, Condiciones Necesarias y Operaciones, Ejercicios. 
POLINOMIOS. División de Polinomios. Condiciones Necesarias y Operación 
POLINOMIOS. División de Polinomios. Ejercicio 1 
POLINOMIOS. División de Polinomios. Ejercicio 2 
POLINOMIOS. División de Polinomios. Ejercicio 3 
POLINOMIOS. División de Polinomios. Ejercicio 4 
2 
 Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al 
encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una 
dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el 
Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones. 
Conocimientos Previos Requeridos 
Contenido 
Videos Disponibles 
 Operaciones en los Reales, Propiedades de la Potenciación, Simplificación de 
términos semejantes. 
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POLIMONIOS. División de Polinomios. Condiciones Necesarias y Operación. 
Guiones Didácticos 
 División de Polinomios. Para efectuar esta operación debe cumplirse que el grado 
del polinomio dividendo sea mayor o igual que el grado del polinomio divisor. 
 Una vez verificado esto, se puede iniciar el proceso de división. 
Grado del polinomio dividendo Grado del polinomio divisor ≥ 
    4 3 2 3 22x x 35x 47x 15 entre x 7x + x +6
 El polinomio Dividendo tiene grado 4 el polinomio Divisor tiene grado 3. 
    3 2 24 32x x 35x 47x 15 entre x 7x + x +6
 Tomamos el término de mayor exponente 
del dividendo y lo dividimos entre el término 
de exponente mayor del divisor. 
4
3
2x
x
= 2x
Ejemplo 
 Colocamos el polinomio dividendo, la galera de división y el polinomio divisor. 
Iniciemos. 
   4 3 22x x 35x 47x 15 3 2x 7x + x +6
 El cociente parcial se coloca debajo de la 
galera ocupando el primer término. 
   3 24 x 35x2 47xx 15  23 7xx + x +6
 Multiplicamos el 1er cociente parcial por el 
polinomio divisor, y el producto se coloca 
debajo del polinomio dividendo con signo 
cambiado. 
2x
 23 7xx + x +6
2x
4 3 22x 14x + 2x +12x
   4 3 22x 14x 2x 12x
   3 24 x 35x2 47xx 15 3 2x 7x + x +6
2x   
4 3 22x 14x 2x 12x
 Efectuamos una suma de polinomios entre 
el dividendo y el producto obtenido, para 
obtener el primer residuo.   
3 213x 37x 59x 15
 Tomamos el término de mayor exponente 
del residuo y lo dividimos entre el término de 
exponente mayor del divisor. 
   4 3 22x x 35x 47x 15 3 2x 7x + x +6
2x +13   
4 3 22x 14x 2x 12x
  23 37x 51 x 9x3 15
3
3x
13x
=13
 El cociente parcial se coloca debajo de la 
galera ocupando el segundo término. 
 Multiplicamos el 2do cociente parcial por 
el polinomio divisor. 
  3 2x 7x x 6
13
  3 213x 91x 13x 78
3 
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   4 3 22x x 35x 47x 15 3 2x 7x + x +6
2x +13   
4 3 22x 14x 2x 12x
  23 37x 51 x 9x3 15
 El producto se coloca debajo del primer 
residuo con signo cambiado. 
   3 213x 91x 13x 78
 Efectuamos suma de polinomios entre el 
primer residuo y el producto obtenido, para 
obtener el 2do residuo. 
 254x 46x 63
Nota: el residuo obtenido es de grado 2, menor que el grado del divisor, entonces 
aquí detenemos la división. 
Cociente: 2x + 13 
Residuo: 54x2 – 46x + 63 
Dividendo: 2x4 – x3 – 35x2 – 47x – 15 
Divisor: x3 – 7x2 + x + 6 
POLIMONIOS. División de Polinomios. Ejercicio 1 
Hallar el cociente de p entre q. 
  5 4 3 2p(b)= b 4b + 3b +6b b 3
3 2q(b)= b 3b b 2  
Grado del polinomio dividendo Grado del polinomio divisor ≥ 
 El polinomio Dividendo tiene grado 5 el polinomio Divisor tiene grado 3. 
     4 3 2 3 25b 4b + 3b +6b b 3 entre b 3b b 2
 Colocamos el polinomio dividendo, la galera de división y el polinomio divisor. 
Iniciemos. 
  4 35 2b 4b + 3b +6b b 3   23b 3b b 2
 Tomamos el término de mayor 
exponente del dividendo y lo dividimos 
entre el término de exponente mayor del 
divisor. 
 El cociente parcial se coloca debajo 
de la galera ocupando el primer término. 
  4 3 25 4b + 3b +6b bb 3   23b 3b b 2
3
5
2b
b
= b
2b
  3 2b 3b b 2
2b
 Multiplicamos el 1er cociente parcial 
por el polinomio divisor. 
 El producto se coloca debajo del 
polinomio dividendo con signo 
cambiado, y efectuamos la suma. 
  4 3 25 4b + 3b +6b bb 3   23b 3b b 2
2b
  5 4 3 2b 3b b 2b
   5 4 3 2b 3b b 2b
    4 3 2b 4b 8b b 3
4 
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5 
 El 1er residuo tiene grado 4, es mayor 
que el grado del divisor, seguimos 
dividiendo. 
  4 3 25 4b + 3b +6b bb 3   23b 3b b 2
2b b   
5 4 3 2b 3b b 2b
    24 34b 8b bb 3
 Dividimos el término de mayor 
exponente del residuo entre el término 
de exponente mayor del divisor. Y el 
cociente parcial va como 2do término 
del cociente. 
 Multiplicamos el cociente parcial 
obtenido por el polinomio divisor. 


3
4b
b
= b
  3 2b 3b b 2
b
   4 3 2b 3b b 2b
  4 3 25 4b + 3b +6b bb 3   23b 3b b 2
2b b   
5 4 3 2b 3b b 2b
    24 34b 8b bb 3
 El producto se coloca debajo del 
primer residuo con signo cambiado. 
 Efectuamos suma de polinomios entre 
el primer residuo y el producto obtenido, 
para obtener el 2do residuo.   
4 3 2b 3b b 2b
  3 2b 7b 3b 3 El 2do residuo tiene grado 3, es igual 
que el grado del divisor, seguimos 
dividiendo. 
 Dividimos el término de mayor 
exponente del residuo entre el término 
de exponente mayor del divisor. Y el 
cociente parcial va como 2do término 
del cociente. 
3
3b
b
=1
  4 3 25 4b + 3b +6b bb 3   23b 3b b 2
2b b +1   
5 4 3 2b 3b b 2b
    24 34b 8b bb 3
  4 3 2b 3b b 2b
  23 bb 7 3b 3
 Multiplicamos el cociente parcial 
obtenido por el polinomio divisor. 
  3 2b 3b b 2
1
  3 2b 3b b 2
 El producto se coloca debajo del 
primer residuo con signo cambiado. 
 Efectuamos suma de polinomios entre 
el primer residuo y el producto obtenido, 
para obtener el 2do residuo. 
 El 2do residuo tiene grado 2, es menor 
que el grado del divisor, se detiene la 
división. 
  4 3 25 4b + 3b +6b bb 3   23b 3b b 2
2b b +1   
5 4 3 2b 3b b 2b
    24 34b 8b bb 3
  4 3 2b 3b b 2b
  23 bb 7 3b 3
   3 2b 3b b 2
 210b b 1
Cociente: b2 – b + 1 
Residuo: 10b2 – b – 1 
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POLIMONIOS. División de Polinomios. Ejercicio 2 
Hallar el cociente de p entre q. 
  5 4p(x)= 2x +7x 5x 14  3 2q(x)= x 6x 5
Nota: hemos completado los términos faltantes en el polinomio dividendocon 
términos de coeficiente cero. 
6 
Grado del polinomio dividendo Grado del polinomio divisor ≥ 
 El polinomio Dividendo tiene grado 5 el polinomio Divisor tiene grado 3. 
    35 4 22x +7x 5x 14 entre x 6x 5
 Colocamos el polinomio dividendo, la galera de división y el polinomio divisor. 
Iniciemos. 
  4 3 252x +7x + 0x + 0x 5x 14  3 2x 6x 5
 Tomamos el término de mayor 
exponente del dividendo y lo dividimos 
entre el término de exponente mayor del 
divisor. 
 El cociente parcial se coloca debajo 
de la galera ocupando el primer término. 
 Multiplicamos el 1er cociente parcial 
por el polinomio divisor. 
 El producto se coloca debajo del 
polinomio dividendo con signo 
cambiado, y efectuamos la suma. 
  4 35 2+7x + 0x + 0xx 5x2 14  3 2x 6x 5


3
5
2
x
x
=
2
2x
 22x
 3 2x 6x 5
  5 4 22x 12x 10x
  4 35 2+7x + 0x + 0xx 5x2 14  3 2x 6x 5
 22x
 22x
 5 4 22x 12x 10x
   4 3 25x + 0x 10x 5x 14
 Dividimos el término de mayor 
exponente del residuo entre el término 
de exponente mayor del divisor. Y el 
cociente parcial va como 2do término 
del cociente. 
 Multiplicamos el cociente parcial 
obtenido por el polinomio divisor. 
 El producto se coloca debajo del 
primer residuo con signo cambiado. 


3
4
x
x
=
5
5x
  4 35 2+7x + 0x + 0xx 5x2 14  3 2x 6x 5
 22x 5x 5 4 22x 12x 10x
   4 3 2+ 0x 10xx 5x5 14
 3 2x 6x 5
5x
  4 35x 30x 25x
  4 35 2+7x + 0x + 0xx 5x2 14  3 2x 6x 5
 22x 5x 5 4 22x 12x 10x
   4 3 2+ 0x 10xx 5x5 14
 4 35x 30x 25x
   3 230x 10x 30x 14
 El 2do residuo tiene grado 3, es igual 
que el grado del divisor, continuamos la 
división. 
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Matemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual Polinomios 
7 
  4 35 2+7x + 0x + 0xx 5x2 14  3 2x 6x 5
  22x 5x 30 5 4 22x 12x 10x
   4 3 2+ 0x 10xx 5x5 14
 4 35x 30x 25x
   23 10x0x 30x3 14
 Dividimos el término de mayor 
exponente del residuo entre el término 
de exponente mayor del divisor. Y el 
cociente parcial va como 3er término 
del cociente. 
 Multiplicamos el cociente parcial 
obtenido por el polinomio divisor. 
 El producto se coloca debajo del 2do 
residuo con signo cambiado. 
 El 3er residuo tiene grado 2, es menor que el grado del divisor, aquí se detiene la 
división. 


3
3x
0x
=
3
30
 3 2x 6x 5
30
  3 230x 180x 150
  4 35 2+7x + 0x + 0xx 5x2 14  3 2x 6x 5
  22x 5x 30 5 4 22x 12x 10x
   4 3 2+ 0x 10xx 5x5 14
 4 35x 30x 25x
   23 10x0x 30x3 14


3
3x
0x
=
3
30
 3 230x 180x 150
  2190x 30x 164
POLIMONIOS. División de Polinomios. Ejercicio 3 
Hallar el cociente de a entre b. 
5a(x)= x 32 b(x)= x 2
Cociente: – 2x2 – 5x – 30 
Residuo: – 190x2 – 30x – 164 
Grado del polinomio dividendo Grado del polinomio divisor ≥ 
 El polinomio Dividendo tiene grado 5 el polinomio Divisor tiene grado 1. 
Nota: hemos completado los términos faltantes en el polinomio dividendo con 
términos de coeficiente cero. 
 15x 32 entre x 2
 Colocamos el polinomio dividendo, la galera de división y el polinomio divisor. 
     4 2 15 3x 0x 0x 0x 0x 32 x 2
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8 
     45 3 20x 0x 0x 0x 32 xx 2 Efectuamos: x5  x para hallar el primer 
término del cociente, x4. 
 Multiplicamos el 1er cociente parcial 
por el polinomio divisor. 
 El producto se coloca debajo del 
polinomio dividendo con signo contrario, 
y efectuamos la suma. 
 Multiplicamos el cociente parcial 
obtenido por el polinomio divisor. 
 El producto se coloca debajo del 
primer residuo con signo contrario y 
efectuamos la suma. 
 El 2do residuo tiene grado 3, es mayor que el grado del divisor, continuamos la 
división. 
4
5x
x
= x
4x
x 2
4x
5 4x 2x
     45 3 20x 0x 0x 0x 32 xx 2
4x 5 4x 2x
   4 3 22x 0x 0x 0x 32
     45 3 20x 0x 0x 0x 32 xx 2
4 3x 2x 5 4x 2x
   4 3 20x 0x2 0xx 32
3
42x
x
= 2x
x 2
32x
4 32x 4x
     45 3 20x 0x 0x 0x 32 xx 2
 5 4x 2x
   4 3 20x 0x2 0xx 32
 4 32x 4x
  3 24x 0x 0x 32
2
34x
x
= 4x
     45 3 20x 0x 0x 0x 32 xx 2
 4 3 2x 2x 4x 5 4x 2x
   4 3 20x 0x2 0xx 32
 4 32x 4x
  23 0x 04 xx 32
x 2
24x
3 24x 8x  
3 24x 8x
 28x 0x 32
 Multiplicamos el cociente parcial 
obtenido por el polinomio divisor. 
 El 3er residuo tiene grado 2, es mayor que el grado del divisor, continuamos la 
división. 
 4 3 2x 2x 4x
 El 1er residuo tiene grado 4, es mayor que el grado del divisor, continuamos la 
división. 
 Efectuamos: 2x4  x para hallar el 
segundo término del cociente, 2x3. 
 Efectuamos: 4x3  x para hallar el tercer 
término del cociente, 4x2. 
 El producto se coloca debajo del 
segundo residuo con signo contrario y 
efectuamos la suma. 
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9 
28x
x
= 8x
     45 3 20x 0x 0x 0x 32 xx 2
 4 3 2x 2x 4x 5 4x 2x
   4 3 20x 0x2 0xx 32
 4 32x 4x
  23 0x 04 xx 32
x 2
8x
28x 16x  
3 24x 8x
 2 08 xx 32
 Multiplicamos el cociente parcial 
obtenido por el polinomio divisor. 
 Efectuamos: 8x2  x para hallar el tercer 
término del cociente, 8x. 
 El producto se coloca debajo del 
segundo residuo con signo contrario y 
efectuamos la suma. 
 28x 16x
16x 32
 El 4to residuo tiene grado 1, es igual que el grado del divisor, continuamos la división. 
16x
x
=16
     45 3 20x 0x 0x 0x 32 xx 2
 4 3 2x 2x 4x 5 4x 2x
   4 3 20x 0x2 0xx 32
 4 32x 4x
  23 0x 04 xx 32
x 2
16
16x 32  
3 24x 8x
 2 08 xx 32
 Multiplicamos el cociente parcial 
obtenido por el polinomio divisor. 
 Efectuamos: 8x2  x para hallar el tercer 
término del cociente, 8x. 
 El producto se coloca debajo del 
segundo residuo con signo contrario y 
efectuamos la suma. 
 28x 16x
16x 32
 16x 32
0
POLIMONIOS. División de Polinomios. Ejercicio 4 
Hallar el cociente de p entre q. 
3
1
p(x)= x + x
2
q(x)= 2x 1
Grado del polinomio dividendo Grado del polinomio divisor ≥ 
 El polinomio Dividendo tiene grado 3 el polinomio Divisor tiene grado 1. 
 3
1
x + x entre 2x 1
2
 Colocamos el polinomio dividendo, la galera de división y el polinomio divisor. 
 3 2
1
x + 0x + 0x + x 2x 1
2
Nota: hemos completado los términos faltantes en el polinomio dividendo con 
términos de coeficiente cero. 
Cociente: x4 + 2x3 + 4x2 
Residuo: 0 
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10 
 Efectuamos: x3  2x para hallar el primer 
término del cociente, . 
 Multiplicamos el 1er cociente 
parcial por el polinomio divisor. 
 El producto se coloca debajo del 
polinomio dividendo con signo contrario, 
y efectuamos la suma. 
23x
2x
=
x
2
 El 1er residuo tiene grado 2, es mayor que el grado del divisor, continuamos la 
división. 
 23
1
+ 0x + 0x + x 2x
2
x 1
2x
22x 1
2x
2
3 2
1
x x
2
 23
1
+ 0x + 0x + x 2x
2
x 1
2x
2
 3 2
1
x x
2
2
1 1
x + x
2 2
 23
1
+ 0x + 0x + x
2
2xx 1

2x x
2 4
 3 2
1
x x
2
2
1
+
1
xx
2 2
 Efectuamos: ½x3  2x para hallar el 
primer término del cociente, . 
 Multiplicamos el 1er cociente 
parcial por el polinomio divisor. 
 El producto se coloca debajo del 
polinomio dividendo con signo contrario, 
y efectuamos la suma. 
2x 1
x
4
2
1 1
x x
2 4
2x
2
2
2
1
x
2
x
=
x
4
x
4
 23
1
+ 0x + 0x + x 2x
2
x 1

2x x
2 4 3 2
1
x x
2
2
1
+
1
xx
2 2
 2
1 1
x x
2 4

5 1
x
4 2
 El 1er residuo tiene grado 1, es mayor que el grado del divisor, continuamos la 
división. 
 23
1
+ 0x + 0x + x
2
2xx 1

2x x
2 4
 3 2
1
x x
2
2
1
+
1
xx
2 2
 2
1 1
x x
2 4

5
x
4
1
2
 Efectuamos:  2x para hallar el primer 
término del cociente, . 
5
x
4 5 x
4
2x
=
5
8
5
8
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11 
 23
1
+ 0x + 0x + x
2
2xx 1
 
2x x 5
2 4 8
 3 2
1
x x
2
2
1
+
1
xx
2 2
 2
1 1
x x
2 4

5
x
4
1
2
5
x
4
2x
=
5
8
 Multiplicamos el 1er cociente 
parcial por el polinomio divisor. 
 El producto se coloca debajo del 
polinomio dividendo con signo contrario, 
y efectuamos la suma. 
2x 1
5
8

5 5
x
4 8
 
5 5
x
4 8
1
8
 El residuo tiene grado 0, es menor que el grado del divisor, termina la división. 
Cociente: 
Residuo: 
 
2x x 5
2 4 8
1
8
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12 
A Practicar 
Dados los siguientes polinomios, hallar las divisiones indicadas 
¿Lo Hicimos Bien? 
   3p x = x 2x 5     5 4 3q x = x 2x 6x 7x + 3      5 4 3h x = x 6x 5x 4x + 9
  3r x = x 8    2t x = x x 3   3 2v x = x 2x
1. p(x)  r(x) 
2. p(x)  t(x) 
3. p(x)  v(x) 
4. q(x)  r(x) 
5. q(x)  t(x) 
6. q(x)  v(x) 
7. h(x)  r(x) 
8. h(x)  t(x) 
9. h(x)  v(x) 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
      2 2c x = x 6x + 5 ; r x = 8x 52x + 49
       3 2c x = x 5x 7x 22 ; r x = 39x 57
        2 2c x = x 8x 21 ; r x = 42x 4x 9
      2 2c x = x 2x 6 ; r x =18x 9x 45
       3 2c x = x x 4x 7 ; r x = 14x 36
      2 2c x = x 4x 2 ; r x = 4x 7x 3
    c x =1 ; r x = 2x 3
    c x = x 1 ; r x = 6x 8
     2c x =1 ; r x = 2x 2x 3
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