1_Pendulo_Simple_Gravedad

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Práctica 3
Péndulo simple y medida de la
aceleración de la gravedad
3.1 Objetivo
En esta experiencia se mide la aceleración de la gravedad utilizando únicamente un péndulo y
un cronómetro.
3.2 Material
El dispositivo experimental consiste en una masa m (pesa) suspendida de un hilo fino de acero
de masa despreciable frente a m. La longitud efectiva del hilo puede medise sobre una escala
graduada y se puede variar cambiando la posición de un pasador que impide su movimiento.
Los tiempos de oscilación se tomarán con un cronómetro.
3.3 Fundamento
El péndulo simple o matemático es un dispositivo ideal que consta de una masa puntual m
suspendida de un punto fijo mediante un hilo de longitud l inextensible y sin peso.
En su posición de equilibrio el hilo está vertical. Si se desplaza de esta posición un ángulo
inicial Φ0 y se suelta, podemos descomponer las fuerzas que actúan sobre la masa (su peso y la
tensión del hilo) en sus componentes radial y tangencial en función del ángulo Φ con la vertical.
En la dirección tangencial, que es en la que está permitido el movimiento, la única componente
que existe se debe al peso y vale mg sin Φ. La ecuación es
mg sin Φ = −ml
d2Φ
dt2
. (3.1)
Esta es una ecuación diferencial no lineal, cuya solución exacta es un desarrollo en serie de
infinitos términos. Sin embargo, si la oscilación Φ es pequeña, puede hacerse la aproximación
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Práctica 3. Péndulo simple y medida de la aceleración de la gravedad 27
sin Φ ≈ Φ que conduce a la ecuación lineal:
mgΦ = −ml
d2Φ
dt2
. (3.2)
Una solución de esta ecuación es Φ = Φ0 sin(ωt + ϕ) con ω =
√
g/l. Para comprobarlo, basta
con sustituirla en (3.2). Esta solución representa un movimiento armónico simple de periodo
T =
2π
ω
= 2π
√
l
g
. (3.3)
Si no se hace la aproximación de oscilaciones pequeñas, la solución es también un movimiento
armónico, de periodo aproximado por la siguiente expresión:
T = 2π
√
l
g
[
1 +
(
1
2
)2
sin2
Φ0
2
+
(
1 · 3
2 · 4
)2
sin4
Φ0
2
+ ...
]
, (3.4)
que coincide (3.3) en el ĺımite Φ0 → 0.
3.4 Realización
3.4.1 Dependencia del periodo con la amplitud
Se trata de medir los periodos del péndulo para diversas amplitudes y una longitud fija y
representar en una gráfica la relación entre ambos. Para ello:
1. Tomar una longitud fija del hilo, por ejemplo l = 50 cm.
2. Desviar el péndulo 5◦ de la vertical y dejarlo oscilar libremente. Cuando lo haya hecho
varias veces, poner en marcha el cronómetro para medir el tiempo t transcurrido en
n = 10 oscilaciones1. Proceder del mismo modo tomando amplitudes de 10◦, 15◦, 20◦,
25◦ y 30◦. Anotar las medidas, amplitudes y periodos (T = t/n) en una tabla, con
su correspondiente error. Nótese que el error en la medida del periodo es inversamente
proporcional al número de oscilaciones que tienen lugar durante el tiempo de medición,
lo que justifica tomar un n relativamente grande.
3.4.2 Determinación del valor de g
Lo más inmediato seŕıa aplicar la fórmula (3.3) del periodo del péndulo en función de su lon-
gitud l para hallar g = 4π2l/T 2. Sin embargo, aunque el periodo puede medirse con bastante
precisión, su longitud (distancia desde el punto de suspensión al centro de masas de la pesa)
no está bien determinada.
1Recuerda realizar esta medición tres veces y considerar los criterios de dispersión usuales.
28 Prácticas de F́ısica General
Por el contrario, los incrementos en la longitud del péndulo se miden con un error tan
pequeño como la sensibilidad de la escala graduada de la que se dispone, ya que en esta medida
no influye la posición del centro de masas de la pesa. Sea l = r + r0, donde r0 es una longitud
cualquiera. Entonces,
T 2 = 4π2
r + r0
g
=
4π2
g
r +
4π2r0
g
. (3.5)
Si asignamos T 2 al eje de ordenadas y r al de abscisas, la relación anterior representa una recta
de pendiente a ≡ 4π2/g, y por tanto
g =
4π2
a
. (3.6)
Como la constante π se puede expresar con tanta precisión como se requiera, el error relativo
de g es el mismo de la pendiente a,
∆g
g
=
∆a
a
. (3.7)
1. Medir los periodos correspondientes a varias longitudes, operando siempre con una am-
plitud de 10◦. Tabular los resultados con sus errores correspondientes.
3.4.3 Medición de la longitud del Péndulo de Foucault
Vamos a emplear el valor obtenido para la aceleración de la gravedad en el apartado anterior
para, haciendo uso de la ecuación (3.3), estimar la longitud del mismo.
1. Medir el periodo de oscilación del péndulo situado en el exterior del laboratorio, procedi-
endo del mismo modo que en los apartados anteriores (10 oscilaciones, 3 repeticiones).
3.5 Ejercicios
3.5.1 Dependencia del periodo con la amplitud
1. Dibuja en una gráfica el periodo frente a la amplitud. Discutir a partir de la gráfica si
existe dependencia entre estas magnitudes
3.5.2 Determinación del valor de g
1. ¿Es adecuada la aproximación que conduce a la ecuación (3.2) del guion de prácticas?
Justificar por qué.
2. Construir una tabla con los valores medidos, errores y unidades de T 2 (periodo al
cuadrado) y r (longitudes del péndulo).
3. Representar en una gráfica T 2 (en ordenadas) frente a r (en abcisas). Representar el error
de cada medida y la recta de ajuste del ejercicio siguiente.
Práctica 3. Péndulo simple y medida de la aceleración de la gravedad 29
4. Realizar un ajuste de las medidas por el método de mı́nimos cuadrados.
5. Demostrar, partiendo de la ecuación (3.6), y haciendo uso del cálculo de errores para
magnitudes derivadas, que el error de g viene dado por ∆g = ∆a · g/a.
6. Calcular el valor de la aceleración de la gravedad g y su error a partir del valor de la pen-
diente de la recta de ajuste. Expresar el valor de g con su correspondiente error y sus
unidades: g = (valor) ± (error) (unidades).
3.5.3 Medición de la longitud del Péndulo de Foucault
1. Con el valor calculado para g en el segundo apartado, y el periodo T medido en el tercero,
estimar la longitud del péndulo de Foucault.
2. Obtener, asimismo, el error de dicha longitud y presentar el resultado de forma adecuada
l = (valor) ± (error) (unidades).
3. Discutir los resultados y comentar si los valores obtenidos te parecen adecuados.