U6 pp 140 números racionales

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Número racional
Los números racionales son todos los números que pueden representarse como
el cociente de dos números enteros o, más exactamente, un entero y un natural
positivo;1 es decir, una fracción común con numerador y denominador 
distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo.
El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien , en negrita de
pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este
conjunto de números incluye a los números enteros ( ) y a los números
fraccionarios (que es el cociente de dos números naturales, obviando la división
por cero, actualmente sin definir), y es un subconjunto de los números reales (
).
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito,
o bien semiperiódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10
(sistema decimal); también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra
base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o
periódica (en cualquier base entera) es un número racional.
Un número real que no es racional se llama número irracional; la expresión
decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita
aperiódica.2 
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como
representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional–
son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre .
Históricamente los números fraccionarios propios antecedieron a los negativos y a los imaginarios.3 
Historia
Aritmética de los números racionales
Relaciones de equivalencia y orden
Inmersión de enteros
Equivalencia
 si y solo si 
Orden
Operaciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Inversos
Escritura decimal
Número racional en base decimal
Representación gráfica de las
fracciones cuyo divisor es 4. Estas
cuatro fracciones son números
racionales.
Índice
https://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_(divisi%C3%B3n)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteros
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Cero
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
https://es.wikipedia.org/wiki/Blackboard_bold
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteros
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_peri%C3%B3dico
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Binaria
https://es.wikipedia.org/wiki/Hexadecimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Base_(aritm%C3%A9tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_equivalente
https://es.wikipedia.org/wiki/Representante_can%C3%B3nico
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_irreducible
https://es.wikipedia.org/wiki/Clase_de_equivalencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Fracciones.gif
Número racional en otras bases
Construcción formal
Propiedades
Algebraicas
Conjuntistas
Topológicas
Número p-ádico
Véase también
Notas y referencias
Bibliografía
Enlaces externos
Los egipcios calculaban la resolución de problemas prácticos utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos;
son los primeros números racionales utilizados para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de recíproco de
un número entero.4 
Los matemáticos de la antigua Grecia consideraban que dos magnitudes eran conmensurables si era posible encontrar una tercera
tal que las dos primeras fueran múltiplos de la última, es decir, era posible encontrar una unidad común para la que las dos
magnitudes tuvieran una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta
forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables, luego números racionales.5 
Etimológicamente, el hecho de que estos números se llamen racionales corresponde a que son la razón de dos números enteros,
palabra cuya raíz proviene del latín ratio,6 7 y esta a su vez del griego λόγος (razón), que es como llamaban los matemáticos de
la antigua Grecia a estos números.8 La notación empleada para nombrar el conjunto de los números racionales proviene de la
palabra italiana quoziente, derivada del trabajo de Giuseppe Peano en 1895.9 
Véase también: Fracción § Aritmética con fracciones
Cualquier entero n se puede expresar como el número racional n/1 debido a eso se escribe frecuentemente (técnicamente, se
dice que los racionales contienen un subanillo isomorfo al anillo de los números enteros).
Cuando ambos denominadores son positivos:
Historia
Aritmética de los números racionales
Relaciones de equivalencia y orden
Inmersión de enteros
Equivalencia
 si y solo si 
Orden
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Rec%C3%ADproco
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_griega
https://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Grecia
https://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n#Aritm%C3%A9tica_con_fracciones
 si y solo si 
Si cualquiera de los denominadores es negativo, las fracciones primero deben convertirse en otras equivalentes con
denominadores positivos, siguiendo las ecuaciones:
y
A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se les llama operaciones racionales.10 
Se define la suma o adición de dos números racionales a la operación que a todo par de números racionales le hace corresponder
su suma:
para poder sumar números fraccionarios tiene que hacer los siguientes pasos
con igual denominador 1.se suman los numeradores y los denominadores se dejan
con diferente denominador 1.se saca el mínimo común múltiplo de los denominadores y luego se multiplican incluyendo el
numerador
La operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su diferencia se llama resta o diferencia y se la considera
operación inversa de la suma.10 
Operaciones
Suma
Resta
https://es.wikipedia.org/wiki/Suma
.
La multiplicación o producto de dos números racionales:
.
Se define la división o cociente de dos racionales r entre s distinto de 0, al producto . En otra notación,
.
Es una operación totalmente definida, pero se asume que es una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación
s·x=r, s≠0.
Los inversos aditivo y multiplicativo existen en los números racionales:
Véanse también: Representación decimal, Número decimal y Número decimal periódico.
Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de
9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Utilizando la representación decimal, todo número racional puede expresarse como un
número decimal finito (exacto) o periódico y viceversa. De esta manera, el valor decimal de un número racional, es simplemente
el resultado de dividir el numerador entre el denominador.
Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:
Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del
separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal». Por ejemplo:
Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:
Multiplicación
División
Inversos
Escritura decimal
Número racional en base decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_aditivo
https://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_decimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal_peri%C3%B3dico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/0,9_peri%C3%B3dico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_peri%C3%B3dico
Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:
De la misma manera se aplica la representación de un número racional en un sistema de numeración posicional en bases distintas
de diez.
En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos
distintos de aquellos que factorizan la base no tienen representación finita.
Por ejemplo, en base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y solo si el denominador de su fracción irreducible es de la
forma ( y enteros), así como en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones
cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.
Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del
conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números
enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente
identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número
racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:
Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos
fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo
número racional.
Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de
equivalencia de un par ordenado de enteros (a,b), con b≠0, con la siguiente
relación de equivalencia:
,
donde el espacio de equivalencia de clases es el espacio cociente . Las operaciones de suma y multiplicación
se definen como
Se verifica que las dos operaciones definidas son compatibles con la relación de equivalencia, indicando de manera que se
puede definir como el conjunto cociente , con la relación de equivalencia descrita antes.
Número racional en otras bases
Construcción formal
Construcción formal de los números
racionales como pares ordenados.
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_posicional
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_irreducible
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_duodecimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_integridad
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_de_cocientes
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Clase_de_equivalencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenado
https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_cociente
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_cociente
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Konstrukcja_liczb_wymiernych.svg
Téngase en cuenta que las operaciones definidas no son más que la formalización de las operaciones habituales entre fracciones:
Se denota como [(a,b)] a la clase de equivalencias que corresponde con las distintas representaciones de un mismo número
racional , con k≠0, en forma de fracción. Es decir :
Se toma como representante canónico el par (a,b) tal que mcd(a,b)= 1. Cualquier otro par se puede usar en el caso de
operaciones.10 Por ejemplo, es la clase de equivalencia del número racional .
Con las operaciones anteriores, es un cuerpo, donde la clase (0,1) desempeña el papel de cero, y la clase (1,1) de uno. El
elemento opuesto de la clase (a,b) es la clase (-a,b). Además, si a≠0, la clase (a,b) es distinta de cero, luego (a,b) es invertible
(inverso multiplicativo) y su inverso corresponde a la clase (b,a).
También se puede definir una orden total en de la siguiente manera:
ó .
El conjunto de los números racionales puede también construirse como el cuerpo de cocientes de los números enteros, esto es,
El conjunto de los números racionales equipado con las operaciones de suma y producto cumple las propiedades conmutativa,
asociativa y distributiva, es decir:
 (conmutativa)
 (asociativa)
 (distributiva).10 
Existen los elementos neutros para la suma y producto. Para la suma, el cero, denotado por 0, ya que para cualquier 
. Para el producto es el 1, que puede ser representado por , con n distinto de 0, ya que .
Posee elementos simétricos para las operaciones de suma y producto. Así, el elemento simétrico respecto de la suma para
cualquier número racional es , llamado elemento opuesto, puesto que . Lo mismo ocurre en el caso del
elemento simétrico respecto del producto, para todo número racional , distinto de 0, existe , llamado inverso
multiplicativo tal que .
Propiedades
Algebraicas
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n#Aritm%C3%A9tica_de_fracciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Representante_can%C3%B3nico
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisor
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_opuesto
https://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Orden_total
https://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativa
https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_asociativa
https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva
https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro
https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_sim%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_opuesto
https://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo
El conjunto , con las operaciones de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo, el cuerpo
de cocientes de los enteros .
Los racionales son el menor cuerpo con característica nula. Cualquier otro cuerpo de característica nula contiene una copia de .
La clausura algebraica de , es el conjunto de los números algebraicos.
Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional diferente de cero puede descomponerse en la
forma: donde son números enteros primos, (siendo algunos de ellos negativos si q no es
entero) y . Por ejemplo .
El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una
biyección entre y (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de
los números reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la
constituyen los números irracionales).
El conjunto forma un subconjunto denso de los números reales 
por construcción misma de (propiedad arquimediana): todo
número real tiene racionales arbitrariamente cerca.
Poseen una expansión finita como fracción continua regular.
Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo
parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también
forman un espacio métrico con la métrica .
Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente
compacto.
Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizable
numerable sin puntos aislados (también es totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un
espacio métrico completo.
Sea un número primo y para todo entero no nulo , sea donde es la mayor potencia de que divide a .
Si y para cada número racional , entonces la función multiplicativa define una
métrica sobre .
El espacio métrico no es completo, su completitud es el cuerpo de los números p-ádicos . El teorema de Ostrowski
asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o al valor absoluto p-ádico.11 
Clasificación de números
Complejos Reales Racionales Enteros Naturales uno: 1
Conjuntistas
Diagrama usado en la demostración
de que los racionales son
numerables (Georg Cantor).
Topológicas
Número p-ádico
Véase también
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_de_cocientes
https://es.wikipedia.org/wiki/Caracter%C3%ADstica_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_algebraicahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_algebraicos
https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_factorizaci%C3%B3n_%C3%BAnica
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_irracionales
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_denso
https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_los_n%C3%BAmeros_reales
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_finito
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continua
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_del_orden&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_topol%C3%B3gico
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_parcialmente_ordenado&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa_traza
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Localmente_compacto
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_aislado
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Totalmente_discontinuo&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico_completo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
https://es.wikipedia.org/wiki/Divisor
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_multiplicativa
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_completo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_p-%C3%A1dico
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Ostrowski
https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Uno
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Diagonal_argument.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Naturales
primos
Naturales
compuestos
Cero: 0
Enteros negativos
Fraccionarios
Exactos
Periódicos
Puros
Mixtos
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios
Cárdenas, Raggi (1990). Álgebra Superior. México, D. F.: Trillas. ISBN 968-24-3783-0. OCLC 7121505 (https://www.world
cat.org/oclc/7121505).
Z.I. Borevich, I.R. Shafarevich; C. Pisot, M. Zamansky (2001), «Rational Number» (http://www.encyclopediaofmat
h.org/index.php?title=Rational_number&oldid=14864), en Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics
(en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104
Weisstein, Eric W. «RationalNumber» (http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html). En Weisstein, Eric
W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
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1. Elena de Oteyza de Oteyza. Álgebra. Pearson
Educación, 2003.
2. T.S. Tsipkin. Manual de Matemática Editorial Mir,
Moscú
3. Herstein: Álgebra moderna
4. Eves, Howard Eves ; with cultural connections by
Jamie H. (1990). An introduction to the history of
mathematics (6th ed. edición). Philadelphia:
Saunders College Pub. ISBN 0030295580.
5. Dantzig, Tobias (1955). The Bequest of the Greeks.
London: Unwin Brothers LTD. 3982581.
6. Real Academia Española y Asociación de
Academias de la Lengua Española (2014). «Razón»
(http://dle.rae.es/Raz%C3%B3n). Diccionario de la
lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa.
ISBN 978-84-670-4189-7. Consultado el 27 de febrero
de 2016.
7. Real Academia Española y Asociación de
Academias de la Lengua Española (2014). «Ratio»
(http://dle.rae.es/Ratio). Diccionario de la lengua
española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-
670-4189-7. Consultado el 27 de febrero de 2016.
8. Jiménez, Douglas. «DIVULGACIÓN MATEMÁTICA
¿Qué era un irracional para un matemático griego
antiguo?» (http://www.emis.de/journals/BAMV/conte
n/vol13/djimenez.pdf). Consultado el 27 de febrero
de 2016.
9. «Think rationally - The Problem with Rational» (http://
math.hws.edu/mitchell/Math331S13/Rationals.pdf).
Hobart and William Smith Colleges (en inglés).
Consultado el 16 de febrero de 2016.
10. Adaptación de la monografía El concepto de número
de César Trejo. Edición de la OEA.
11. Consultar Aritmética elemental de Enzo Gentile
Notas y referencias
Bibliografía
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuesto
https://es.wikipedia.org/wiki/Cero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal_peri%C3%B3dico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/968-24-3783-0
https://es.wikipedia.org/wiki/Online_Computer_Library_Center
https://www.worldcat.org/oclc/7121505
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Rational_number&oldid=14864
https://es.wikipedia.org/wiki/Encyclopaedia_of_Mathematics
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-1556080104
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikcionario
https://es.wiktionary.org/wiki/n%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_racional&oldid=118821697
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0030295580
https://es.wikipedia.org/wiki/Real_Academia_Espa%C3%B1ola
https://es.wikipedia.org/wiki/Asociaci%C3%B3n_de_Academias_de_la_Lengua_Espa%C3%B1ola
http://dle.rae.es/Raz%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Diccionario_de_la_lengua_espa%C3%B1ola
https://es.wikipedia.org/wiki/Editorial_Espasa
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-84-670-4189-7
https://es.wikipedia.org/wiki/Real_Academia_Espa%C3%B1ola
https://es.wikipedia.org/wiki/Asociaci%C3%B3n_de_Academias_de_la_Lengua_Espa%C3%B1ola
http://dle.rae.es/Ratio
https://es.wikipedia.org/wiki/Diccionario_de_la_lengua_espa%C3%B1ola
https://es.wikipedia.org/wiki/Editorial_Espasa
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-84-670-4189-7
http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol13/djimenez.pdf
http://math.hws.edu/mitchell/Math331S13/Rationals.pdf
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