SERIES NUMÉRICAS-EJERCICIOS RESUELTOS

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Ejercicios resueltos
de series numéricas
Prof Ximo Beneyto
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 23
PROBLEMES RESOLTS
1. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",
. Se pide :
2. Hallar an y formar la serie
3. Hallar la suma de los 100.000 primeros términos de la sucesión 
4. Estudiar si la serie es CONVERGENTE y hallar su SUMA.
1.1.- ¿ an ?
Recordemos la relación entre Sn y an 
a1 = S1 = 
[ Observa que en el segundo sumatorio, sumamos desde n = 2 ]
1.2.- ¿ ?
Interpretando Sn como la suma de los n primeros términos de Y
1.3.- ¿ CONVERGENCIA ? ¿ SUMA ?
Como es CONVERGENTE y su SUMA es 4.
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 24
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
5. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",
. Se pide :
6. Hallar an y formar la serie
7. Hallar la suma de los 100.000 primeros términos de la sucesión 
8. Estudiar si la serie es CONVERGENTE y hallar su SUMA.
1.1.- ¿ an ?
Operando como en el problema anterior :
a1 = 
1.2.- ¿ ?
1.3.- ¿ CONVERGENCIA ? ¿ SUMA ?
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Y es CONVERGENTE y su SUMA es 1
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
9. Estudiar el carácter de la Serie 
 [ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
Sea
 
 Y La Serie DIVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
10. Estudiar el carácter de la Serie 
 [ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
Y La Serie CONVERGE
[ Observa : (2n +1) ! = ( 2n+1 ) A (2n) A ( 2n-1)! ]
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S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
11. Estudiar el carácter de la Serie 
 [ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
[ Si bn = 1 A 5 A 9 A ... A ( 4n - 3 ) Y bn+1 = 1 A 5 A 9 A ... A ( 4n - 3 ) ( 4n + 1 ) ¡ Ojo! ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
12. Estudiar el carácter de la Serie 
 [ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
[ Observa : 5n+1 = 5n A 5 ]
Y La Serie CONVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
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13. Estudiar según r 0 ú el carácter de la Serie 
Se trata de una Serie de términos cualesquiera, pues r 0 ú . Estudiemos su convergencia absoluta.
 [ Criterio de D' Alembert ]
Sea 
Y La Serie es ABSOLUTAMENTE CONVERGE Y Es CONVERGENTE œ r 0 ú 
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
14. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie 
 Si x 0 ú Y es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia
absoluta. Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie en valor absoluto: 
Sea 
Hagamos unas consideraciones sobre el valor de x.
i) Si 
i.1) Si x = 1 Y 
Sustituyendo en la serie original queda : . Aplicando ahora la Condición necesaria de
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Cauchy, tenemos :
 Y La Serie DIVERGE para x = 1
i.2) Si x = -1 Y 
Sustituyendo en la serie original queda : . Aplicando de nuevo la Condición
necesaria de Cauchy, tenemos :
 Y La Serie DIVERGE para x = -1
ii) Si . 
Aplicando ahora la condición necesaria de Cauchy , sustituyendo x / *x* < 1 en la Serie:
 Y La Serie DIVERGE para *x* < 1
iii) Si 
iii.1) Si x > 1 Y Y 
 La Serie CONVERGE
iii.2) Si x < -1
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
15. Estudiar según los valores de a 0 ú, a > 0 el carácter de la Serie y aplicar el
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resultado obtenido para estudiar el carácter de las series 
 Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de convergencia del
cociente ( D'Alembert)
[ Observa : ( n+1 )! = (n+1) A n! ; ( n+1)n+1 = (n+1)n A (n+1) ]
Aplicando las condiciones del criterio del cociente, tenemos :
i) si < 1 a < eY La serie CONVERGE
ii) si > 1 a > eY La serie DIVERGE
iii) si = 1 a = eY DUDA ?
Resolvamos el caso DUDA ( a = e )
Sustituyendo en la serie original, quedará : 
Comprobemos la condición de convergencia de Cauchy.
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Y DIVERGE
Resumiendo, la serie œ a > 0
 ¿ Carácter ?
Observando el estudio anterior, tomando a = 3, como 3 > e Y La Serie Diverge
 ¿ Carácter ?
Razonando como anteriormente, tomando a = 2, como 2 < e Y La Serie Converge
[ Nota : Recordemos que e . 2,71828182 ]
16. Estudiar el carácter de la Serie 
 [ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
< 
 
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Y Y La Serie DIVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
17. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie 
 Como x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia absoluta.
Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie : 
i) Si x = 0
Obtenemos la serie , que es una serie convergente, œ n 0 ù y 
CONVERGE
ii) Si x … 0
 Estudiemos la Convergencia absoluta aplicando el criterio del cociente ( D'Alembert )
œ x 0 ú
Y La serie es Absolutamente Convergente Y La serie es CONVERGENTE.
Por tanto, es CONVERGENTE œ x 0 ú 
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
18. Estudiar según los valores de a 0 ú, a > 0 el carácter de la Serie 
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 Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de convergencia del
cociente ( D'Alembert)
[ Mira aquí : ( 2n + 2 ) ! = ( 2n+2) ( 2n+1) (2n)! ; (n!)2 = (n!) A (n!) ] 
Si aplicamos la conclusión del criterio :
si < 1 Y a < 4 Y La Serie Converge
si > 1 Y a > 4 Y La Serie Diverge
si = 1 Y a = 4 Y DUDA
 Resolvamos la duda sustituyendo a = 4 en la Serie Original
Apliquemos el criterio de Raabe aprovechando el último cociente del criterio de D'Alembert
Y La serie diverge.
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Resumiendo, La Serie :
Y Converge si 0 < a < 4
Y Diverge si a $ 4[ Pregunta : ¿ De dónde hemos obtenido 4n2 + 8n + 4 ?] 
19. Estudiar el carácter de la Serie 
 Se trata de una Serie Alternada, optemos por estudiar la convergencia absoluta.
Sea pues la serie de términos positivos :
. Apliquemos el criterio de la raíz ( Cauchy ):
 Dividiendo por "n" numerador y denominador 
 Y La serie es CONVERGENTE
 es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE Y es
CONVERGENTE
[ Recordemos que toda serie absolutamente Convergente, es Convergente ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
20. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie 
 Si x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia absoluta. 
i) Si x = -1. Sustituyendo queda la Serie nula que es una Serie convergente, tal como
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hemos visto.
ii) Si x … -1
 Apliquemos el criterio del COCIENTE
Aplicando las conclusiones de convergencia del criterio tenemos :
Y Si < 1 Y * x + 1 * < 3 Y -3 < x+1 < 3 Y -4 < x < 2 Y La Serie Converge
Y Si = 1 Y * x + 1 * = 3 Y DUDA
Y Si > 1 Y La serie Diverge
Estudiemos las DUDAS.
6 Si x = -4 sustituyendo en la serie obtenemos :
 
Serie alternada que es fácil comprobar que converge ( Criterio de Leibniz, típico además !
[ Mira : (-3)n = (-1)n A 3n]
6 Si x = 2 Operando de igual forma :
 Serie de términos positivos , divergente ( Criterio de Pringsheim " = 1 )
Resumiendo, la serie 
< Es absolutamente convergente y, por tanto, CONVERGENTE si -4 # x < 2
< Es absolutamente divergente y, por tanto, DIVERGENTE si x < 4 ó x $ 2
[ No olvidemos que la divergencia absoluta estudiada por D'Alembert implica Divergencia ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
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S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
21. Estudiar el carácter de la Serie 
 Se trata de una Serie de términos positivos . Aplicando el criterio de la Raíz ( Cauchy ) :
Separando los límites :
Y La Serie CONVERGE 
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
22. Estudiar el carácter de la Serie 
 Se trata de una Serie de términos positivos . Antes de decidir qué criterio aplicar, una reflexión
interna quedaría indecisa ante la estructura de an, un poco exponencial, un poco polinómica... Sin
embargo, hay un bloque dominante y ese es y, por ese camino lo vamos a intentar por
comparación por paso al límite.
Comparemos con serie Geométrica Convergente pues 
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Sea, pues,
 
Como la serie es convergente, aplicando el criterio de comparación 
Y la Serie Converge.Bueno, ¡ Tampoco era tan complicada !
[ Todos los límites de la fracción resultante al dividir por 3n y 5n dan cero mediante la técnica de
Stolz explicada en el tema de Sucesiones ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
23. Estudiar el carácter de la Serie 
 Intentemos, en primer lugar la convergencia absoluta 
Aplicando el criterio de Pringsheim :
Sea " 0 ú / 
Y La Serie Diverge en valor absoluto
Y La serie alternada no podemos afirmar nada. Apliquemos ahora directamente el criterio de
Leibniz a la serie alternada 
i
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ii) ¿ es monótona creciente ?
Y la Serie Converge
24. Estudiar el carácter de la Serie 
Al llevar expresiones trigonométricas en su término general, cualquier criterio que apliquemos nos
va a llevar a un límite de difícil cálculo. Intentaremos el criterio de comparación pues las funciones
trigonométricas se suelen acotar con cierta facilidad.
 Utilizando el Criterio de Comparación
 [ Pues 1 + sen2 n $ 1 œ n ]
 Utilizando el Criterio de Pringsheim
" = 2 Y La serie CONVERGE Y CONVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
25. Estudiar el carácter de la Serie según valores de " 0 ú 
 Utilizando el Criterio de Pringsheim
 Y p = " - 3
Si " - 3 > 1 Y la Serie Converge Y " > 4
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Si " - 3 # 1 Y la Serie Diverge Y " # 4
Si " > 4 Y Serie Convergente
Si " # 4 Y Serie Divergente
[ Fácil y sencillo !!. Pringsheim es muy práctico en las expresiones polinómicas ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
26. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
Como se trata de una Serie Geométrica
 TERMINOS 1, 
Serie Geométrica Y Como < 1 Y < 1 Y La serie Converge
 SUMA a1 = 1 Y Y 
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
27. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
 [ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos Series ]
 CARACTER
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a) Serie Geométrica Y La serie Converge
b) Serie Geométrica Y La serie Converge
Y La serie es Convergente
 SUMA
a) 
b) 
S = Sa + Sb = Y 
[ ha sibo buena idea de separar la Serie en dos Series Geométricas ]
28. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
Preparemos un poco el término general operando sobre el [ (-1)2n = [(-1)2 ]n = 1n = 1 ]:
 se trata de una Serie de Geométrica 
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 TERMINOS 
 CARACTER Serie Geométrica Y La serie Converge
 SUMA
Y 
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
29. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
[ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos Series]
 CARACTER
a) Serie Geométrica Y La serie Converge
b) Serie Geométrica Y La serie Converge
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Y La serie es Convergente al ser Suma de Series Convergentes.
 SUMA
Sumando ambas como Series Geométricas.
a) 
b) 
S = Sa + Sb = Y 
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
30. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
 Y Se trata de una Serie Geométrica.
 TERMINOS 
Serie Geométrica Y Como < 1 Y < 1 Y La serie Converge
 SUMA a1 = Y Y 
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S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
31. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
 CARACTER [ Aplicando el criterio de Pringsheim, an es un COCIENTE DE POLINOMIOS ]
 La Serie es CONVERGENTE
 SUMA. Aplicaremos la técnica de descomposición de an, en este caso al ser un cociente de
polinomios, efectuaremos una descomposición en suma de fracciónes simple. 
Raíces del denominador : n3 + n2 - 2n = 0 Y 
Propongamos 
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Como era , el primer valor que damos a n es n = 2
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< n = 2 6 
< n = 3 6 
< n = 4 6 
< n = 5 6 
< n = 6 6 
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA < n = n-2 
 6 
< n = n-1 6 
< n = n 6 
Sumando ))))))))))))))))))))))) 
 Observamos que los términos cuyo
denominador es el mismo en los tres
sumandos, se van cancelando, ya que los
numeradores suman cero.
 [ ¡ Ojo ! Puede ser una buena idea para sumar,
cuando se descompone an en fracciones
simples ]
Tomando límites :
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[ Un poco " durillo " para ser la primera que sumamos por ésta técnica ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
32. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, obtener la suma de la Serie 
 CARACTER [ Aplicando el criterio de Pringsheim ]
 
 
¡ Bueno, sí, hemos cambiado " por p, pero no importa, enriquecemos un poco nuestra operativa !
 La Serie es CONVERGENTE
 SUMA A primera vista, la estructura de an no nos permite identificar la suma de esta serie con
ninguno de los tipos que conocemos. No obstante, por eliminación de las demás técnicas, vamos a
tratar de hacer una descomposición en factores. Para ello, vamos a trabajar un poco sobre el término
General.
Hemos llegado, pues, a una serie telescópica 
Asignando valores a n
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[ Observa que los términos con el mismo denominador se van cancelando entre sí al efectuar la
suma pues tienen signo contrario ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
33. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
 CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
 
La Serie es CONVERGENTE
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 47
 SUMA Mediante descomposición de an en suma de fracciones simples :
Raíces del denominador Y n3 + 5n2 + 6n = 0 Y 
Operando e igualando numeradores, pues el denominador es el mismo
 
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 48
< 
< 
< 
< 
< 
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
< 
< 
< 
Sumando :
 Los términos con el
mismo denominador en los
tres sumandos se van
cancelando al sumar cero
sus numeradores.[ Fíjate que hemos dejado
los valores de A, B, C en el
numerador sin operar la
fracción resultante, para
que se "vean" mejor los
términos que se cancelan
entre sí ]
Tomando límites :
 Y 
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 49
[ Supongo que te ha resultado más sencillo ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
34. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
 CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
 
La Serie es CONVERGENTE
 SUMA Por descomposición . Aplicando la Suma por descomposición de an en suma de
fracciones simples :
[ Mira esta nueva forma de hallar los coeficientes indeterminados ]
¿ Qué te ha parecido ?
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Dando valores a "n" :
 S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
35. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
 CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
 SUMA ¿ Es Hipergeométrica ?
 es Hipergeométrica 
Al ser Hipergeométrica y convergente 
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XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 51
[ Tambien podíamos haber sumado por descomposición de an en suma de fracciones simples ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
36. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
 CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
[ ¡ Vaya sorpresa ! emplear el criterior de Pringsheim en la convergencia de esta serie ]
 SUMA Preparemos an
[ Aplicando las propiedades de los logaritmos ]
Dando valores a "n"
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 52
 
 Y 
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
37. Estudiar el carácter y la suma de la Serie 
 CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
 SUMA por descomposición de an en suma de fracciones simples :
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XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 53
Sumando todo
Tomando Y Y 
Observa esta " variante " en la suma Sn para no especifficar todos los términos ]
38. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie 
 CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
 SUMA propongamos una descomposición en factores : 
Sea pues
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 54
Igualando numeradores ( pues los denominadores son iguales )
 y asignando valores a "n " 
6 si n = 1
6 si n = 2
6 si n = 3
6 si n = 4
 AAAAAAAAAAAAAAAAA
6 si n = n-2
6 si n = n-1
6 si n = n
Sumando y simplificando los elementos que son iguales pero con signo distinto
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Tomando límites :
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
39. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie 
 CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
 SUMA ¿ Es hipergeométrica ?
Al ser Hipergeométrica y Convergente 
40. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie 
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 56
 CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
 SUMA ¿ Es hipergeométrica ?
Al ser Hipergeométrica y Convergente 
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
41. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie 
 CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
 SUMA ¿ Es hipergeométrica ?
Como :
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XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 57
Al tratarse de una serie convergente su suma es :
 
Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en factores :
Igualando numeradores :
Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad :
6 Si n = -22 = 2 AY A = 1
6 Si n = -32 = -BY B = -2
6 Si n = -42 = 2 CY C = 1
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XB
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[
Naturalmente, en esta serie, la suma como Hipergeométrica resulta mucho más sencilla ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
42. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie 
6 Antes de empezar, busquemos el término general al cual obedecen en los términos de la serie. No
es difícil comprobar que:
1, 3, 5, 7, .... Y 2n - 1
3, 5, 7, 9, .... Y 2n + 1
5, 7, 9, 11,.... Y 2n + 3
 CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 59
La Serie es CONVERGENTE
 SUMA 
Ante la doble opción para obtener la Suma de la serie, optamos por .... las dos.
¿ Es hipergeométrica ?
Como :
Al tratarse de una serie convergente su suma es :
Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en factores :
Igualando numeradores :
Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad :
6 Si n = 1 = 8 AY A = 
6 Si n = - 1 = -4BY B = 
6 Si n = 1 = 8 CY C = 
Y asignando valores a "n" :
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[ por ambos caminos hemos llegado bien a la suma. Como siempre un poco mas sencillo si la Serie
es Hipergeométrica, sumándola como tal ]
43. Estudiar carácter y suma de según valores de p, y, en particular obtener el
carácter y la suma de 
 CARACTER ( Serie de términos positivos œ p 0 ù ) Aplicando el criterio de Pringsheim ]
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Aplicando sobre " el criterio de Pringsheim :
6 Si " > 1 Y p > 1 Y La Serie Converge
6 Si " # 1 Y p # 1 Y La Serie Diverge
 SUMA œ p > 1 p 0 ù 
Comprobamos si se trata de una Serie Hipergeométrica
Como
Al ser convergente su suma es :
 En particular, para observamos que se trata de la Serie anterior para p = 3
 CARACTER
Como p = 3 > 1 Y La Serie Converge
 SUMA. Tomando en la expresión de suma p = 3 Y 
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44. Estudiar carácter y suma de 
 CARACTER ( Serie de términos positivos ) Aplicando el criterio de D'Alembert]
Y La Serie Converge
 SUMA. Claremente, an tiene la forma adecuada para obtener la Suma de la Serie como 
Aritmético-Geométrica, es decir, , apliquemos pues esta técnica
Tomando límites : 
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45. Estudiar carácter y suma de 
 CARACTER ( Serie de términos positivos ) Aplicando el criterio de D'Alembert]
Y La Serie Converge
 SUMA. Sumando como Serie Aritmético-Geométrica
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 64
Tomando Límites :
[ NOTA : mediante Stolz, aplicándolo dos veces ] 
[ Observa que al ser el polinomio del numerador de 2º grado hemos aplicado la técnica de
Aritmético-Geométrica dos veces]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
46. Estudiar carácter y suma de 
 CARACTER ( Se trata de una Serie Alternada) . Ante la doble opción que tenemos para su
estudio de convergencia ( Leibniz, Convergencia Absoluta ) Elegimos la Convergencia Absoluta. ]
 
Por el Criterio del Cociente (D'Alembert)
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XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 65
 es CONVERGENTE
Así es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE
 es CONVERGENTE 
 SUMA
Sumemos por el procedimiento de la Serie Aritmético-Geométrica
Tomando Límites :
ApuntsXB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 66
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
47. Estudiar carácter y suma de 
 CARACTER (Como an > 0 œ n 0 ù Y Es una Serie de Términos positivos. Apliquemos el
criterio de D'Alembert)
Y La Serie CONVERGE
 SUMA
En principio, an no se ajusta a ninguno de los modelos de suma conocidos. Preparemos el término
general :
Apunts
XB
Continuitat
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Estudiemos cada una de las Series obtenidas por separado :
Y 31 Se trata de una Serie Geométrica, demos algunos términos :
Y 32 Se trata de una Serie Aritmético-Geométrica, Apliquemos la técnica adecuada.
[ Para no abusar de notación fraccionaria, llamaremos a = 5/2 ]
[ ¿ Bonita suma, eh ? ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
48. Estudiar carácter y suma de 
2n es PAR, œ n 0 ù Y (-1)2n = 1, œ n 0 ù Y
 
Apunts
XB
Continuitat
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 CARACTER es una Serie de términos positivos.
 Por D'Alembert :
 Y La Serie
CONVERGE
 SUMA. Serie Aritmético-Geométrica
Tomando límites : 
Apunts
XB
Continuitat
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S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
49. Estudiar carácter y suma de 
 CARACTER La Serie dada, se puede descomponer como una resta de dos series así :
Estudiemos cada una de ellas por separado :
 Serie de términos positivos. Por D'Alembert :
 Y La Serie CONVERGE
 SUMA. Apliquemos la técnica adecuada para sumar la Serie Aritmético-Geométrica
Tomando límite : 
Apunts
XB
Continuitat
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 Serie de términos positivos. Apliquemos el criterio de Pringsheim
 Y La Serie CONVERGE
Propongamos una descomposición del término general en SUMA de fracciones según las raíces del
denominador 
Asignando valores a "n" ( Inteligentemente seleccionados )
6 Si n = -21 = AY A = 1 
6 Si n = -31 = -BY B = -1
Apunts
XB
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Refundiendo los resultados :
 CARACTER es CONVERGENTE
 SUMA 
NOTA : La serie también es Hipergeométrica pues 
Y al ser CONVERGENTE su suma es