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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA- CLASE #25
Series
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
1. Series
Definición [Serie infinita]. Si {an}∞n=1 es una sucesión y
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 ++a3
...
sn = a1 + a2 + · · ·+ an
entonces {sn}∞n=1 es una sucesión de sumas parciales llamada serie infinita y de-
notada por
∞∑
n=1
an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · ·
los números a1, a2, . . . , an, . . . son los términos de la serie infinita.
Observación 1. La n-ésima suma parcial se puede denotar como sigue
sn = a1 + a2 + · · ·+ an =
n∑
i=1
ai
Ejemplo 1. Considere la sucesión
{
1
2n−1
}
, cuyos términos son 1,
1
2
,
1
4
,
1
8
, . . . ,
1
2n−1
, . . ..
1
https://wlh.es/v2/1690384833946/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690384833946/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Apartir de esta sucesión se forma la sucesión de sumas parciales {sn}
s1 = 1
s2 = 1 +
1
2
s3 = 1 +
1
2
+
1
4
s4 = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
s5 = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
...
sn = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·+ 1
2n−1
esta sucesión de sumas parciales {sn} es la serie infinita denotada por
∞∑
n=1
1
2n−1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·+ 1
2n−1
+ · · ·
Definición [Serie convergente y serie divergente]. Dada una serie
∑∞
n=1 an =
a1 + a2 + · · ·+ an + · · · . Sea sn la n-ésima suma parcial
sn =
n∑
i=1
ai = a1 + a2 + · · ·+ an
si la sucesión {sn} es convergente y ĺım
n→∞
sn = s existe como un número real, entonces
la serie
∑∞
i=1 an se dice convergente y se escribe
a1 + a2 + · · ·+ an + . . . = s o
∞∑
i=1
an = s
El número s se llama suma de la serie.
Si la sucesión {sn} es divergente, entonces la serie es divergente.
Ejemplo 2. Determine si la serie
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
es convergente o divergente
Solución Note que
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
=
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
4
)
+ ·
2
https://wlh.es/v2/1690384833948/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
La n-ésima suma parcial es
n∑
k=1
(
1
k
− 1
k + 1
)
=
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+ ·+
(
1
n− 2
− 1
n− 1
)
+
(
1
n− 1
− 1
n
)
+
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1− 1
2
+
1
2
− 1
3
+ ·+ 1
n− 2
− 1
n− 1
+
1
n− 1
− 1
n
+
1
n
− 1
n+ 1
= 1−
�
�
�1
2
+
�
�
�1
2
−
�
�
�1
3
+ ·+
�
�
��1
n− 2
−
�
�
��1
n− 1
+
�
�
��1
n− 1
−
�
�
�1
n
+
�
�
�1
n
− 1
n+ 1
= 1− 1
n+ 1
Ası́, sn = 1−
1
n+ 1
. Además,
ĺım
n→∞
sn = ĺım
n→∞
(
1− 1
n+ 1
)
= ĺım
n→∞
1− ĺım
n→∞
1
n+ 1
= 1−
��
��
��*
0
ĺım
n→∞
1
n+ 1
= 1
Por lo tanto, la serie converge y
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1.
Ejemplo 3. Determine si la serie
∞∑
n=1
1
2n
es convergente o divergente
Solución Note que
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
=
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·+
cuyas sumas parciales son
s1 =
1
2
s2 =
1
2
+
1
4
=
3
4
s3 =
1
2
+
1
4
+
1
8
=
7
8
s4 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
=
15
16
...
s4 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ·+ 1
2n
3
https://wlh.es/v2/1690384833955/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Tenemos la sucesión{
1
2
,
3
4
,
7
8
,
15
16
, . . .
}
cuyo término n-ésimo sn es
sn =
2n − 1
2n
(1)
Como ĺım
n→∞
sn =
2n − 1
2n
= 1. Entonces la serie es convergente y
∞∑
n=1
1
2n
= 1
Ejemplo 4. Determine si la serie
∞∑
n=1
1
2n−1
es convergente o divergente
Solución Tenemos que
∞∑
n=1
1
2n−1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·+ 1
2n−1
+ · · ·
y la sucesión de sumas parciales es {sn}, donde
sn = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·+ 1
2n−1
Para determinar si la serie tiene suma, es decir, converge, debemos ver si ĺım
n→∞
sn exis-
te. Para calcular dicho lı́mite hay que encontrar una fórmula para sn, de modo que
debemos hacer uso de la siguiente identidad algebraica
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ an−3b2 + . . .+ abn−2 + bn−1)
Note que si aplicamos la identidad para a = 1 y b =
1
2
se tiene
1− 1
2n
=
(
1− 1
2
)(
1 +
1
2
+
1
22
++
1
23
+ . . .+
1
2n−2
+
1
2n−1
)
=
1
2
(
1 +
1
2
+
1
4
+ . . .+
1
2n−2
+
1
2n−1
)
Ası́, tenemos que
1− 1
2n
1
2
= 1 +
1
2
+
1
4
+ . . .+
1
2n−2
+
1
2n−1
de donde se sigue
2
(
1− 1
2n
)
= 1 +
1
2
+
1
4
+ . . .+
1
2n−2
+
1
2n−1
4
https://wlh.es/v2/1690384833962/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Por lo tanto, sn = 2
(
1− 1
2n
)
. Entonces
ĺım
n→∞
sn = ĺım
n→∞
2
(
1− 1
2n
)
= 2 ĺım
n→∞
(
1− 1
2n
)
= 2
 ĺım
n→∞
1−
�
�
�
��>
0
ĺım
n→∞
1
2n

= 2 (1− 0)
= 2
Finalmente, tenemos que la serie es convergente y además,
∞∑
n=1
1
2n−1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·+ 1
2n−1
+ · · · = 2.
Ejemplo 5. Determine si la serie
∞∑
n=1
1 es convergente o divergente
Solución ote que
∞∑
n=1
1 = 1 + 1 + 1 + ·+ 1 + · · ·
Luego,
n∑
k=1
1 = 1 + 1 + 1 + ·+ 1 = n
Como ĺım
n→∞
n → ∞, se tiene que
∞∑
n=1
1 diverge.
1.1. Algunas series importantes
1.1.1. Serie telescópica
Definición [Serie telescópica]. Una propiedad importante de las sumas finitas es
la llamada propiedad telescópica que afirma que:
n∑
k=1
(bk − bk+1) = b1 − bn+1
5
https://wlh.es/v2/1690384833972/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_c3Q9UERGJm9pZD0zMjIyNzkyNzE5JmxpZD02MzM4MDk5MjM2JmNpZD0xMzg0NDA2NTgzNTAmc2lkPTg2MjgxOTMmdWI9MiZzcG9uc29yZWQ9dW5kZWZpbmVkJnNkPWI2NDhjOGJkLThmNDEtNDUzZS05OTQxLWJmNDM4NzVmN2M3MiZ1aWQ9Mzg0MjI1NyZ1cmw9aHR0cHMlM0ElMkYlMkZhZGNsaWNrLmcuZG91YmxlY2xpY2submV0JTJGcGNzJTJGY2xpY2slMjUyNTNGeGFpJTI1MjUzREFLQU9qc3NhTVhiRlczWEdwNjBobTliZHFyZ2N0VGt6TkZ1bjFlWVY2b2xtUlBvZEwwaXhnUUxTT1VpYXUtcUcxTTBUMC1PbGVqaTQ3OTR1RWNSR1JPcVQ0SnltRW13MmF3TGp0NkJKNFRlRGUxWHFsZVg3WnhzNHFTYng1U0dhUVFwMmw2U29SYVNxcFFKbDNzdFRtUzZfdlBzQ3hhYlFxdXp2YWo1TlVYdEdCY201MUdfeWd5elo2M1k0OXN4aG5MWkFOUjNVWG1WWmhOUzdHNGxhQTRta3NrUXFHS3E5dk40dmRxcWRtdEg4U3pweUpGdXlLSFl3ZkpDQ2g5eGJRVzA0VV9UMGpqeHloNDBvcmtPejltVVNidURPdVJ4bzhCZGZJenpLaGtUcU9WRXhmYkN0a2JNUmxiQW13d0cxaGpXWXEtQ21rZk1FQVJGSTNYSTMlMjUyNTI2c2FpJTI1MjUzREFNZmwtWVNFbVZJNHg1WWQ3YjJsR3JNX1dsNkZVd3BnZHUzS0llbktoUy1nN2pOcnBqX256UmxGeGpUcTkyeEQwOGdOQUd1VEVidVVrRjAyZ3NhWTJDRSUyNTI1MjZzaWclMjUyNTNEQ2cwQXJLSlN6R29LeThzXy16enJFQUUlMjUyNTI2ZmJzX2FlaWQlMjUyNTNEJTI1MjU1Qmd3X2Zic2FlaWQlMjUyNTVEJTI1MjUyNnVybGZpeCUyNTI1M0QxJTI1MjUyNmFkdXJsJTI1MjUzRGh0dHBzJTNBJTJGJTJGeW91dHUuYmUlMkZJbWc5R1VkUEtIOCUyNTNGdXRtX3NvdXJjZSUyNTNEd3VvbGFoJTI2dCUzRDgzNzE4MmI0LWM5NDQtNGE2Yi1hZjEwLTIwODFmODExZmUyYg
https://wlh.es/v2/1690384833972/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Las series
∞∑
n=1
an tales que cada término se pueda expresar como una diferencia de
forma:
an = bn − bn+1
se denominan series telescópicas .
Observación . Una serie telescópica puede ser
∞∑
n=1
(bn − bn+1) o bien
∞∑
n=1
(bn+1 − bn).
Teorema [Convergencia de una serie telescópica]. La serie
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
(bn −
bn+1) converge, si y sólo si, existe ĺım
n→∞
bn, encuyo caso se tiene que
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
(bn − bn+1) = b1 − ĺım
n→∞
bn
Ejemplo 6. Determine la convergencia de las siguientes series
a)
∞∑
n=1
(
1
n2 + n
)
.
b)
∞∑
n=1
(3n2 + 3n+ 1).
c)
∞∑
n=1
(
1
9n2 − 3n− 2
)
.
d)
∞∑
n=1
(
2
4n2 − 1
)
.
Solución En general la idea de este ejemplo es expresar cada serie como una serie
telescópica y luego determinar la convergencia.
a)
∞∑
n=1
(
1
n2 + n
)
. Sea an =
1
n2 + n
. Luego, realizando descomposición en fracciones
parciales
an =
1
n2 + n
=
1
n(n+ 1)
=
A
n
+
B
n+ 1
Es fácil ver que A = 1 y B = −1. Por lo tanto an =
1
n
− 1
n+ 1
6
https://wlh.es/v2/1690384833975/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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 que si tomamos bn =
1
n
, entonces an =
1
n
− 1
n+ 1
= bn− bn+1. Como ĺım
n→∞
bn =
ĺım
n→∞
1
n
= 0 existe, se tiene que
∞∑
n=1
(
1
n2 + n
)
=
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= b1 − ĺım
n→∞
bn
= 1 + 0
= 1.
Por lo tanto, la serie es convergente y
∞∑
n=1
(
1
n2 + n
)
= 1.
b)
∞∑
n=1
(3n2 + 3n+ 1). Sea an = 3n2 + 3n+ 1. Luego,
an = 3n
2 + 3n+ 1 = n3 − n3 + 3n2 + 3n+ 1
= n3 + 3n2 + 3n+ 1− n3
= (n+ 1)3 − n3
Tomando bn = n3, tenemos que an = bn+1 − bn, de modo que
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
(3n2 + 3n+ 1)
=
∞∑
n=1
((n+ 1)3 − n3),
=
∞∑
n=1
(bn+1 − bn),
la cual es claramente una serie telescópica. Sin embargo, la serie no es conver-
gente, ya que ĺım
n→∞
bn = ĺım
n→∞
n3 → ∞ no existe.
c)
∞∑
n=1
(
1
9n2 − 3n− 2
)
. Note que
an =
1
9n2 − 3n− 2
=
A
3n− 2
+
B
3n+ 1
realizando los cálculos adecuados se puede ver que A = 1/3 y B = −1/3. Por lo
tanto,
an =
1
3(3n− 2)
− 1
3(3n+ 1)
7
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Tomando bn =
1
3(3n− 2)
y bn+1 =
1
3(3(n+ 1)− 2)
=
1
3(3n+ 3− 2)
=
1
3(3n+ 1)
.
Ası́, que
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
(
1
9n2 − 3n− 2
)
=
∞∑
n=1
[
1
3(3n− 2)
− 1
3(3n+ 1)
]
=
∞∑
n=1
(bn − bn+1)
Claramente la serie es telescópica. Como ĺım
n→∞
bn = ĺım
n→∞
1
3(3n− 2)
= 0 existe.
Entonces la serie es convergente y
∞∑
n=1
(
1
9n2 − 3n− 2
)
=
∞∑
n=1
[
1
3(3n− 2)
− 1
3(3n+ 1)
]
=
1
3
− ĺım
n→∞
bn
=
1
3
− 0
=
1
3
d)
∞∑
n=1
(
2
4n2 − 1
)
. Con un procedimiento similar al del inciso c) tenemos que
an =
2
4n2 − 1
=
1
2n− 1
− 1
2n+ 1
Ası́, tenemos la serie telescópica
∞∑
n=1
(
2
4n2 − 1
)
=
∞∑
n=1
(
1
2n− 1
− 1
2n+ 1
)
= 1
1.1.2. Series geométricas
Definición [Series geométricas]. Una serie dad por
∞∑
n=1
arn−1 = a+ ar + ar2 + · · · · · ·
es llamada una serie geométrica de razón r.
8
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Teorema [Convergencia de una serie geométrica]. La serie geométrica
∞∑
n=1
arn−1 = a+ ar + ar2 + · · · · · ·
es convergente si 0 < |r| < 1 y su suma es
∞∑
n=1
arn−1 =
a
1− r
; |r| < 1.
Si |r| ≥ 1, la serie geométrica es divergente.
Ejemplo 7. Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes
a)
∞∑
n=1
3
2n
b)
∞∑
n=1
(
3
2
)n
Solución La idea es verificar que estas son series geométricas y luego determinar u
convergencia.
a) Note que
∞∑
n=1
3
2n
=
∞∑
n=1
3 · 1
2n
=
∞∑
n=1
3 · 1
2
(
1
2
)n−1
=
∞∑
n=1
3
2
·
(
1
2
)n−1
Claramente es una serie geométrica con a = 3/2 y r = 1/2. Como |r| = |1/2| < 1,
entonces la serie es convergente y su suma es
∞∑
n=1
3
2n
=
∞∑
n=1
3 ·
(
1
2
)n
=
∞∑
n=1
3
2
·
(
1
2
)n−1
=
a
1− r
=
3/2
1− 1/2
=
3/2
1/2
= 3
b) Note que
∞∑
n=1
(
3
2
)n
=
∞∑
n=1
3
2
·
(
3
2
)n−1
Claramente es una serie geométrica con a = 3/2 y r = 3/2. Como |r| = |3/2| > 1,
entonces la serie es divergente
9
https://wlh.es/v2/1690384833998/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690384833998/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Ejemplo 8. Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentesa)
∞∑
n=1
22n31−n
b) Escribir el número 2,317 = 2,3171717 . . . como una razón de enteros
a)
∞∑
n=0
xn, donde |x| < 1.
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 707. .
1.1.3. Serie armónica
Definición [Series armónica]. Llamaremos serie armónica a la serie
∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ·
Ejemplo 9. Demuestre que la serie armónica es divergente
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 708.
Teorema [Lı́mite del término n-ésimo de una serie convergente]. Si la serie
∞∑
n=1
an
converge, entonces ĺım
n→∞
an = 0.
Observación . En general, el inverso del teorema (1.1.3) no se cumple. Si ĺım
n→∞
an =
0., no podemos concluir que
∞∑
n=1
an es convergente. Por ejemplo, ĺım
n→∞
1
n
= 0. Sin embar-
go, la serie armónica
∞∑
n=1
1
n
es divergente.
Teorema [Prueba de la divergencia]. Si ĺım
n→∞
an no existe o si ĺım
n→∞
an ̸= 0, enton-
ces la serie
∞∑
n=1
an diverge.
Ejemplo 10. Estudiar la convergencia de las siguientes series
a)
∞∑
n=0
2n b)
∞∑
n=1
n!
2n! + 1
Solución La idea es aplicar la prueba de la divergencia
10
https://wlh.es/v2/1690384834001/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
a) Considere la serie
∞∑
n=0
2n, donde an = 2n. Como ĺım
n→∞
2n → ∞ no existe, entonces
∞∑
n=0
2n es divergente.
b) Considere la serie
∞∑
n=1
n!
2n! + 1
donde an = 2n. Como ĺım
n→∞
n!
2n! + 1
=
1
2
̸= 0, entonces
∞∑
n=0
n!
2n! + 1
es divergente.
Ejemplo 11. Demuestre que la serie
∞∑
n=1
n
5n2 + 4
es divergente
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 709.
Observación . Si encontramos que ĺım
n→∞
an ̸= 0 sabemos que
∞∑
n=1
an es divergente. Si
tiene que ĺım
n→∞
an = 0 nada sabemos con respecto a la convergencia o la divergencia de
la serie .
1.2. Algunas propiedades de las series
Teorema [Propiedades de las series]. Si
∑
an y
∑
bn son series convergentes, en-
tonces también lo son las series
∑
can (donde c es una constante),
∑
(an+ bn) y
∑
(an−
bn) Además,
i)
∞∑
n=1
can = c
∞∑
n=1
an
ii)
∞∑
n=1
(an + bn) =
∞∑
n=1
an +
∞∑
n=1
bn
iii)
∞∑
n=1
(an − bn) =
∞∑
n=1
an −
∞∑
n=1
bn
Ejemplo 12. Determine la suma de la serie
∞∑
n=1
(
3
n(n+ 1)
+
1
2n
)
.
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 710.
11
https://wlh.es/v2/1690384834011/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Observación . Una cantidad finita de términos no afecta la convergencia o diver-
gencia de una serie. Por ejemplo, supongamos que somos capaces de demostrar que la
serie
∞∑
n=4
n
n3 + 1
es convergente, entonces
∞∑
n=1
n
n3 + 1
=
1
2
+
2
9
+
3
28
+
∞∑
n=4
n
n3 + 1
Como
∞∑
n=4
n
n3 + 1
es convergente, entonces toda la serie
∞∑
n=1
n
n3 + 1
es convergente.
Teorema . Si
∞∑
n=1
an es convergente, entonces
∞∑
n=1
an =
N∑
n=1
an +
∞∑
n=N+1
an.
El siguiente teorema es una consecuencia del teorema (1.2) anterior de las propieda-
des, y en ocasiones se usa para demostrar la divergencia de una serie.
Teorema . Si la serie
∞∑
n=1
an es convergente y la serie
∞∑
n=1
bn es divergentes, entonces
la series
∞∑
n=1
(an + bn) es divergente.
Ejemplo 12. Determine si la serie
∞∑
n=1
(
3
4n
+
1
4n
)
.
Solución Ver Louis Leithold, 7ma ed página 668.
El siguiente teorema muestra que la convergencia o divergencia de una serie no se
afecta al cambiar un número finito de términos.
Teorema . Si
∞∑
n=1
an y
∞∑
n=1
bn son dos series infinitas (es decir, ak = bk para k > m ),
entonces las dos series son convergentes o ambas son divergentes.
Ejemplo 12. Determine si la serie es convergente o divergente
∞∑
n=1
1
n+ 4
.
Solución Ver Leithold, 7ma ed página 669.
.
12
https://wlh.es/v2/1690384834018/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Referencias
[1] Larson, R., and Edwards, B. H. (2010). Cálculo I de una variable (9.a ed., Vol. 1).
McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning
Editores.
13
https://wlh.es/v2/1690384834028/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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://wlh.es/v2/1690384834028/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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