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CLASE #25
Series: Series infinitas de términos positivos
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
1. Series infinitas de términos positivos
Teorema . Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su
sucesión de sumas parciales tiene una cota superior.
Ejemplo 13. Demuestre que la serie
∞∑
n=1
1
n!
es convergente.
Solución Ver Leithold, 7ma ed página 672.
Criterio de comparación
Teorema [Criterio de comparación]. Sea
∞∑
n=1
an una serie de términos positivos
i) Si
∞∑
n=1
bn una serie de términos positivos que es convergente y an ≤ bn para todos
los enteros positivos n, entonces la serie
∞∑
n=1
an es convergente.
ii) Si
∞∑
n=1
bn una serie de términos positivos que es divergente y bn ≤ an para todos
los enteros positivos n, entonces la serie
∞∑
n=1
an es divergente.
Ejemplo 14. Determine si la serie es convergente o divergente
1
https://wlh.es/v2/1690384878903/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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a)
∞∑
n=1
4
3n + 1
b)
∞∑
n=1
1√
n
Solución La idea es utilizar el criterio de comparación
a) Considere la serie
∞∑
n=1
4
3n + 1
donde an =
4
3n + 1
, luego, vamos a comparar esta
serie con la serie geométrica
∞∑
n=1
4
3n
donde bn =
4
3n
, a = 4/3 y r = 1/3 Como
|1/3| < 1, entonces la serie
∞∑
n=1
4
3n
es convergente.
Además,
3n ≤ 3n + 1 ⇔ 1
3n + 1
≤ 1
3n
⇔ 4
3n + 1
≤ 4
3n
⇔ an ≤ bn
Como dicha desigualdad se cumple para todo entero positivo n, entonces por el
criterio de comparación se sigue que
∞∑
n=1
4
3n + 1
es convergente.
b) Considere la serie
∞∑
n=1
1√
n
con an =
1√
n
, luego, vamos a comparar esta serie con
la serie armónica
∞∑
n=1
1
n
donde bn =
1
n
Note que
√
n ≤ n ⇔ 1
n
≤ 1√
n
⇔ bn ≤ an
Como dicha desigualdad se cumple para todo entero positivo n, entonces por el
criterio de comparación se sigue que
∞∑
n=1
1√
n
es divergente.
Ejemplo 15. Determine si la serie es convergente o divergente utilizando el criterio
de comparación
a)
∞∑
n=1
5
2n2 + 4n+ 3
b)
∞∑
k=1
ln k
k
2
https://wlh.es/v2/1690384878906/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Solución Ver Stewart, 7ma ed páginas 723 y 724 .
Ejemplo 16. Determine si la serie es convergente o divergente utilizando el criterio
de comparación
a)
∞∑
n=1
1
2 + 3n
b)
∞∑
k=1
1
2 +
√
n
Solución Ver Larson, 9na ed páginas 627 .
Criterio de comparación por paso al lı́mite
Teorema [Criterio de comparación por paso al lı́mite]. Sean
∞∑
n=1
an y
∞∑
n=1
bn dos
series de términos positivos
i) Si ĺım
n→∞
an
bn
= c > 0 entonces ambas series son convergentes o ambas son diver-
gentes.
ii) Si Si ĺım
n→∞
an
bn
= 0 y
∞∑
n=1
bn converge, entonces
∞∑
n=1
an converge.
iii) Si Si ĺım
n→∞
an
bn
→ ∞ y
∞∑
n=1
bn diverge, entonces
∞∑
n=1
an diverge.
Ejemplo 17. Determine si la serie es convergente o divergente utilizando el criterio
de comparación por paso al lı́mite
a)
∞∑
n=1
4
3n + 1
b)
∞∑
n=1
1√
n
c)
∞∑
n=1
n3
n!
Solución Ver Leithold, 7ma ed páginas 675 a 677 .
Ejemplo 18. Determine si la serie es convergente o divergente utilizando el criterio
de comparación por paso al lı́mite
a)
∞∑
n=1
√
n
n2 + 1
b)
∞∑
n=1
n2n
4n3 + 1
Solución Ver Larson, 9na ed página 629.
Ejemplo 19. Determine si la serie es convergente o divergente utilizando el criterio
de comparación por paso al lı́mite
3
https://wlh.es/v2/1690384878912/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_c3Q9UERGJm9pZD0zMjIyNzkyNzE5JmxpZD02MzMyNDM2MTk1JmNpZD0xMzg0Mzc5NzgyMzMmc2lkPTg2MjgxOTImdWI9MyZzcG9uc29yZWQ9dW5kZWZpbmVkJnNkPWM5MGNkMDBmLTg5ZWQtNGVlMS1hZmQwLTNmM2Y1N2Y1NGU4YSZ1aWQ9Mzg0MjI1NyZ1cmw9aHR0cHMlM0ElMkYlMkZhZGNsaWNrLmcuZG91YmxlY2xpY2submV0JTJGcGNzJTJGY2xpY2slMjUyNTNGeGFpJTI1MjUzREFLQU9qc3NXYjcxczlHWHFNTW41OVB5dzB6X0dHdWRfcU1qeWFwUER0OE01NWxyVElHRm5FdnBvUl8wV0JiOUhGRzZSb2Q2bDRhWWdCeEdMVGZBYVVWTkR5MVJnY0hobm9pOEhLSHFCTkRIdmR1LVRKSU1OYS1aU2IwQV9Ua2pkWmhOMGozeVg2b2ZlY0xRcFRISjFpMzMtVXRJU2s1VGc0WXhVZXBuZzRIREFXM3BLcE02X3dVcFQ0elVad3JuMjNxd1NOcmtnM3RaNGZZTjJJcV9rX3lMQkJidTdHOGJtdnF6ZTNwaWdlYzVrRXpvOHhvczY4Vnc1OURDZklubjUyS0JiemxuelZ6OUZqUHlBaXJwNWtfWTlRZ2Rsc0EtSERCZWkxM2UyT3RlQTdYaEozSHp3NnpfY0lwYS1uTXV2WGE3djMwN3YySk5Wdm55ViUyNTI1MjZzYWklMjUyNTNEQU1mbC1ZU3Zna1plV3F0VzlLbTNqNTFVa1k2ZUVKZnZvYWxHZUY1ODVTbVRkTjBiLXVlZXNjQXBfb00ycmViMlByM0RQWGsxY1Zsb1NtRGszdG5MeDR3JTI1MjUyNnNpZyUyNTI1M0RDZzBBcktKU3pDNHd1aERpNU1rdkVBRSUyNTI1MjZmYnNfYWVpZCUyNTI1M0QlMjUyNTVCZ3dfZmJzYWVpZCUyNTI1NUQlMjUyNTI2dXJsZml4JTI1MjUzRDElMjUyNTI2YWR1cmwlMjUyNTNEaHR0cHMlM0ElMkYlMkZsaW5rdHIuZWUlMkZ3dW9sYWglMjUzRnV0bV9zb3VyY2UlMjUzRHd1b2xhaCUyNTI2dXRtX21lZGl1bSUyNTNEYXB1bnRlcyUyNTI2dXRtX2NhbXBhaWduJTI1M0Rmb290ZXIlMjZ0JTNENDFkMGFhODktMWZmZS00NzI3LWJlYWMtZmU1MWYzNzExZjNl
a)
∞∑
n=1
1
2n − 1
b)
∞∑
n=1
2n2 + 3n√
5 + n5
Solución Ver Stewart, 7ma ed páginas 724y 725.
Prueba de la integral y series p
Teorema [Prueba de la integral]. Suponga que f es una función continua, positi-
va y decreciente sobre [1,∞) y sea a an = f(n). Entonces la serie
∑∞
n=1 an es conver-
gente si y sólo si la integral impropia
∫∞
1
f(x) dx es convergente. En otras palabras:
i) Si
∫ ∞
1
f(x) dx es convergente, entonces
∞∑
n=1
an es convergente.
ii) Si
∫ ∞
1
f(x) dx es divergente, entonces
∞∑
n=1
an es divergente.
Ejemplo 20. Determine si la serie es convergente o divergente
a)
∞∑
n=1
ne−n b)
∞∑
n=2
1
n
√
lnn
Solución La idea de es ejemplo es aplicar la prueba de la integral
a) Considere la serie
∞∑
n=1
ne−n donde an = ne−n. Sea f(x) = xe−x, claramente f es
continua y positiva sobre [1,∞).
Veamos que f es decreciente sobre [1,∞). Para ello calcularemos la derivada
f ′(x) = e−x − xe−x = (1− x)e−x
Como f ′(x) < 0 para x > 1, entonces se tiene que f es decreciente para x ≥ 1. Por
lo tanto, se satisfacen todas las condiciones de la prueba de la integral.
Aplicando integración por partes, tenemos que∫
xe−x dx = −e−x(1− x) + C.
4
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https://wlh.es/v2/1690384878920/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Luego, ∫ ∞
1
xe−x dx = ĺım
b→∞
(∫ b
1
xe−x dx
)
= ĺım
b→∞
[
−e−x(1− x)
]b
1
= ĺım
b→∞
[
2
e
− b+ 1
eb
]
=
2
e
−
�
��
�
��*
0
ĺım
b→∞
b+ 1
eb
=
2
e
Note que es necesario aplicar la regla de L’hospital para verificar que ĺım
b→∞
b+ 1
eb
=
0.
Ası́, tenemos que
∫ ∞
1
xe−x dx =
2
e
converge, por lo tanto, por la prueba de la
integral tenemos que
∞∑
n=1
ne−n =
2
e
converge.
b) Dada la serie
∞∑
n=2
1
n
√
lnn
, consideremos la función f(x) =
1
x
√
lnx
. Note que f es
continua y positiva para x ≥ 2. Además, si 2 ≤ x1 < x2, se tiene que f(x1) > f(x2),
de modo que es decreciente para x ≥ 2. Por lo tanto, aplicando la prueba de la
integral. ∫ ∞
2
1
x
√
lnx
dx = ĺım
b→∞
[∫ b
2
1
x
√
lnx
dx
]
= ĺım
b→∞
[
2
√
lnx
]b
2
= ĺım
b→∞
[
2
√
ln b− 2
√
ln 2
]
= ĺım
b→∞
2
√
ln b− 2
√
ln 2 → ∞
Ası́, la integral es divergente y por lo tanto,
∞∑
n=2
1
n
√
lnn
es divergente.
Definición [Series p]. Las series de la forma
∞∑
n=1
1
np
son llamadas series p. Luego,
i)
∞∑
n=1
1
np
es convergente si p > 1.
5
https://wlh.es/v2/1690384878922/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
ii)
∞∑
n=1
1
np
es divergente si 0 < p ≤ 1.
Ejemplo 21. Determine si la serie es convergente o divergente
a)
∞∑
n=1
1
n2 + 1
b)
∞∑
n=1
1
n2
c)
∞∑
n=1
1
n3
d)
∞∑
n=1
1
n1/3
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∞∑
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lnn
n
Solución Ver Stewart, 7ma ed páginas 716 y 717.
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Referencias
[1] Larson, R., and Edwards, B. H. (2010). Cálculo I de una variable (9.a ed., Vol. 1).
McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning
Editores.
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