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Criterios de convergencia para series de términos positivos 539
a) Si L < 1 la serie
X
n>1
an es convergente.
b) Si L > 1 o si LDC∞ o si hay un númerok 2N tal que para todon>k es anC1
an
>1,
entonces
X
n>1
an es divergente y ademásfang no converge a0.
Demostración. a) Sea� un número tal queL < � < 1. La definición de límite implica que
existen02N tal que para todon > n0 se verifica que:
an D
an
an�1
an�1
an�2
� � � an0C1
an0
an0 6 �
n�n0an0 D
an0
�n0
�n:
Como0 < � < 1, la serie
X
n>1
�n es convergente. Deducimos, en virtud del criterio de compa-
ración, que
X
n>1
an es convergente.
b) Si L > 1 entonces, tomando� tal que1 < � < L y razonando como antes, obtenemos
que para todon > n0 es an >
an0
�n0
�n. Como� > 1 se sigue que la sucesiónfang diverge
positivamente y, con mayor razón, la serie
X
n>1
an diverge positivamente. 2
9.32 Ejemplo. Sea la serie
X
n>1
.n!/2
.2n/!
x2n , dondex es un número real. Es una serie de términos
positivos por lo que podemos aplicar el criterio del cociente para estudiar su convergencia.
Pongamosan D
.n!/2
.2n/!
x2n. Tenemos que:
anC1
an
D .nC 1/
2.n!/2
.2nC 2/.2nC 1/.2n/!x
2nC2 .2n/!
.n!/2
x�2n D .nC 1/
2
.2nC 2/.2nC 1/x
2 ! x
2
4
El criterio del cociente nos dice que si
x2
4
< 1, es decir,jxj < 2, la serie es convergente; si
x2
4
> 1, es decir,jxj > 2, la serie no es convergente porquefang no converge a0. El caso en
quex2 D 4, o seax D˙2, se tiene que:
anC1
an
D 4.nC 1/
2
.2nC 2/.2nC 1/ D
2nC 2
2nC 1 > 1:
Y concluimos que la serie no converge parax D˙2. �
El segundo criterio parte de que la serie geométrica de término generalan D xn, donde
x > 0, converge si n
p
an D x < 1, esto lleva, en el caso general de una serie de términos
positivos,
X
n>1
an , a considerar el comportamiento de la sucesiónf n
p
ang.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Criterios de convergencia para series de términos positivos 540
9.33 Proposición(Criterio de la raíz o de Cauchy (1821)). Sea
X
n>1
an una serie de términos
positivos y supongamos que
lKım npan DL2RCo [ fC∞g:
a) Si L < 1 la serie
X
n>1
an es convergente.
b) Si L > 1 o si LDC∞ o o si hay un númerok 2N tal que para todon>k es npan>1
entonces
X
n>1
an es divergente y ademásfang no converge a0.
Demostración. a) Sea� un número tal queL < � < 1. La definición de límite implica que
existen0 2N tal que para todon > n0 es n
p
an 6 �, es decir,an6 �n. Puesto que0 < � < 1,
la serie
X
n>1
�n es convergente y, en virtud del criterio de comparación, se sigue que
X
n>1
an es
convergente.
b) Si L > 1 entonces, tomando� tal que1 < � < L y razonando como antes, obtene-
mos que para todon > n0 esan > �n y, como� > 1, se sigue que la sucesiónfang diverge
positivamente y, con mayor razón, la serie
X
n>1
an diverge positivamente. 2
9.34 Ejemplo. Sea la serie
X
n>1
 
n2 � 1
n2
!2n3�2n
. Como es una serie de términos positivos po-
demos estudiar su convergencia usando el criterio de la raíz. PongamosanD
 
n2 � 1
n2
!2n3�2n
.
Tenemos que:
n
p
an D
 
n2 � 1
n2
!2n2�2
D
 
n2 � 1
n2
!2n2 
n2
n2 � 1
!2
! e�2 < 1:
Concluimos que la serie es convergente. �
Cuando
anC1
an
6 1 y lKım anC1
an
D 1, también es lKım npanD 1. En esta situación los criterios
del cociente y de la raíz no proporcionan información suficiente sobre el comportamiento de
la serie
X
n>1
an . Por ejemplo, para las series de Riemann,an D 1=n˛ , se tiene que lKım
anC1
an
D
1 cualquiera seą . Observa queestos criterios solamente pueden proporcionar información
sobre la convergencia de series que pueden compararse con una serie geométrica. El siguiente
criterio suele aplicarse cuando fallan los anteriores.
9.35 Proposición(Criterio de Raabe (1832)). Supongamos quean > 0 para todon 2N, y
pongamosRn D n
�
1� anC1
an
�
.
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Criterios de convergencia para series de términos positivos 541
i) Si fRng ! L, dondeL > 1 o LDC∞, la serie
X
n>1
an es convergente.
ii) Si fRng ! L, dondeL < 1 o LD�∞, o bien si existe algúnk2N tal queRn6 1 para
todon > k, entonces la serie
X
n>1
an es divergente.
Demostración. i) Las hipótesis hechas implican que existen˛ > 1 y n0 2 N tales que para
todo k > n0 es Rk > ˛. Seaı D ˛ � 1 > 0. Tenemos que:
Rk � 1D .k � 1/ � k
akC1
ak
> ı .k > n0/;
por lo que
ak 6
1
ı
�
.k � 1/ak � kakC1
�
.k > n0/:
Sumando estas desigualdades desdek D n0 hastak D n > n0, obtenemos que:
nX
kDn0
ak 6
1
ı
�
.n0 � 1/an0 � nanC1
�
<
1
ı
.n0 � 1/an0 :
Por el criterio básico de convergencia para series de términos positivos, deducimos que
X
n>1
an
es convergente.
ii) Si Rn61 para todon>k, entonces.n�1/an�nanC160 y resulta que la sucesiónfnanC1g
es creciente paran > k, luegonanC1> kakC1, es decir, para todon > k esanC1> kakC1
1
n
y, por el criterio de comparación, deducimos que
X
n>1
an es divergente. 2
El criterio de Raabe suele aplicarse cuando el criterio del cociente no proporciona informa-
ción, es decir, cuando
anC1
an
! 1. En tal caso la sucesión:
Rn D n
�
1 � anC1
an
�
D�n
�
anC1
an
� 1
�
es de la formavn.un�1/ dondevnD�n y unD anC1an ! 1. Aplicando el criterio de equivalencia
logarítmica tenemos que:
lKımRn DL ” lKım
�
anC1
an
��n
D
�
an
anC1
�n
! eL
con los convenios usuales para los casos en queLD˙1.
9.36 Proposición(Forma alternativa del criterio de Raabe). Seaan > 0 para todon2N y
supongamos quelKım anC1
an
D 1. PongamosSn D
�
an
anC1
�n
.
i) Si Sn ! eL conL > 1 o siSn !C∞, la serie
X
n>1
an es convergente.
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