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Criterios de convergencia no absoluta 557
9.39 Proposición(Suma por partes (Abel, 1826)). Dadas dos sucesionesfang y fbng, pon-
gamosAp D
pX
jD1
aj . Se verifica entonces, para todon2N, que:
nX
kD1
akbk D
nX
kD1
Ak.bk � bkC1/CAnbnC1 (9.10)
Demostración. Pongamos, por comodidad de notación,A0D 0, con lo que para todok2N se
verifica queak DAk �Ak�1. Tenemos que:
nX
kD1
akbk D
nX
kD1
.Ak �Ak�1/bk D
nX
kD1
Akbk �
nX
kD2
Ak�1bkD
D
nX
kD1
Akbk �
nX
kD1
AkbkC1 CAnbnC1D
D
nX
kD1
Ak.bk � bkC1/CAnbnC1 : 2
9.40 Teorema(Criterio general de Dirichlet ). Seanfang , fbng dos sucesiones, y pongamos
An D
nX
kD1
ak . Supongamos que:
i) Existe un númeroM > 0 tal que para todon2N es
ˇ̌
An
ˇ̌
6 M .
ii) La serie
X
n>1
jbn � bnC1j es convergente.
iii) fbng ! 0.
Se verifica entonces que la serie
X
n>1
anbn es convergente.
Demostración. Puesto que
ˇ̌
An
ˇ̌ˇ̌
bn � bnC1
ˇ̌
6 M
ˇ̌
bn � bnC1j , deducimos, por el criterio de
comparación que la serie
X
n>1
An.bn � bnC1/ converge absolutamente y, por tanto, es conver-
gente, es decir, la sucesión
nX
kD1
Ak.bk � bkC1/ es convergente. Como, además, la sucesión
˚
AnbnC1
	
converge a cero por ser producto de una sucesión acotada por otra convergente a
cero, deducimos, en virtud de la igualdad (9.10), que la serie
X
n>1
anbn es convergente. 2
9.41 Teorema(Criterio general de Abel). Seanfang y fbng dos sucesiones y supongamos
que:
i) La serie
X
n>1
an es convergente.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Criterios de convergencia no absoluta 558
ii) La serie
X
n>1
jbn � bnC1j es convergente.
Se verifica entonces que la serie
X
n>1
anbn es convergente.
Demostración. La hipótesis i) nos dice que la sucesiónAn D
nX
kD1
an es convergente; en parti-
cular está acotada, por lo que, al igual que antes, se deduce que la sucesión
nX
kD1
Ak.bk �bkC1/
es convergente. Además, ii) implica que la serie
X
n>1
.bn � bnC1/ es convergente,y como dicha
serie es la sucesión
˚ nX
jD1
.bj � bjC1/
	
D fb1 � bnC1g , obtenemos quefbng es convergente.
Resulta así que la sucesión
˚
AnbnC1
	
converge por ser producto de sucesiones convergentes
y, en virtud de la igualdad (9.10), deducimos que la serie
X
n>1
anbn es convergente. 2
9.42 Proposición. Si la sucesiónfbng es monótona y acotada, entonces se verifica que es
convergente la serie
X
n>1
jbn � bnC1j.
Demostración. En efecto, basta tener en cuenta que
nX
jD1
jbj � bjC1j D
8
ˆ̂̂
ˆ̂<
ˆ̂̂
ˆ̂:
nX
jD1
.bj � bjC1/D b1 � bnC1; si fbng es decreciente;
nX
jD1
.bjC1 � bj /D bnC1 � b1; si fbng es creciente.
2
La proposición anterior permite particularizar los criterios de Dirichlet y de Abel de la
forma que sigue.
9.43 Corolario (Criterio particular de Dirichlet ). Seanfang, fbng dos sucesiones, y ponga-
mosAn D
nX
kD1
an. Supongamos que:
i) Existe un númeroM > 0 tal que para todon2N es
ˇ̌
An
ˇ̌
6 M .
ii) fbng es monótona yfbng ! 0.
Se verifica entonces que la serie
X
n>1
anbn es convergente.
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9.44 Corolario (Criterio particular de Abel ). Seanfang, fbng dos sucesiones y supongamos
que:
i) La serie
P
an es convergente.
ii) fbng es monótona y acotada.
Se verifica entonces que la serie
X
n>1
anbn es convergente.
Hay un caso todavía más particular del criterio de Dirichletque se aplica aseries alterna-
das, es decir, a series del tipo
X
n>1
.�1/nC1xn dondexn > 0 para todon 2N. Este criterio es
debido a Leibniz, y aunque puede deducirse fácilmente del corolario 9.43, merece la pena dar
una prueba directa del mismo porque así obtenemos una fácil acotación del error que se comete
al aproximar la suma de una serie alternada por una suma parcial de la serie.
9.45 Proposición(Criterio de Leibniz para series alternadas). Supongamos que la sucesión
fang es decreciente y convergente a cero. Entonces la serie alternada
P
n>1.�1/nC1an es
convergente. Además, siAnD
Pn
kD1.�1/kC1ak y SD
P1
nD1.�1/nC1an, entonces para todo
n2N se verifica quejS �Anj 6 anC1.
Demostración. Es inmediato comprobar que la sucesiónfA2n�1g es decreciente yfA2ng es
creciente. ComoA2 6 A2n 6 A2n�1 6 A1, deducimos que ambas sucesiones convergen. Ade-
más, comoA2n�1 �A2n D a2n ! 0, concluimos queAn converge.
SeaS D
P1
nD1.�1/nC1an D lKımfAng. Puesto que
S D lKımfA2n�1g D KınffA2n�1 W n2Ng D lKımfA2ng D supfA2n W n2Ng;
se verifica queA2n6 S 6 A2nC1, de donde:
0 6 S �A2n6 a2nC1; y � a2n6 S �A2n�16 0: (9.11)
En consecuenciajS �Anj6 anC1 para todon2N. 2
Teniendo en cuenta la proposición9.8, el criterio de Leibniz prueba que las series de la
forma
P
.�1/nC1an dondefang ! 0 y la sucesiónfang es monótona a partir de un cierto
término en adelante, son convergentes (aunque la acotación del error antes obtenida ya no
tiene por qué ser válida).
Observa que los criterios de Dirichlet y de Abel pueden, en principio, ser aplicados a una
serie cualquiera,
P
xn, pues sólo tenemos que expresarxn de la formaxnD anbn, lo que, evi-
dentemente, puede hacerse de muchas maneras; pero es imprescindible elegir apropiadamente
an y bn para que pueda aplicarse con éxito alguno de dichos criterios.
9.46 Estrategia(Estrategia para estudiar la convergencia de una serie). Para estudiar la
convergencia de una serie
P
zn numérica lo primero que debes hacer es estudiar la convergen-
cia absoluta, es decir la convergencia de la serie de términos positivos
P
jznj, para lo que se
aplican los criterios de convergencia para series de términos positivos. Si la serie
P
jznj conver-
ge entonces, en virtud del teorema9.14, sabemos que la serie
P
zn también converge (y todas
sus reordenaciones). Cuando la serie
P
jznj no converge se aplican los criterios de Dirichlet o
de Abel para estudiar directamente la convergencia de la serie
P
zn.
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