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CLASE #26
Series: Criterios de convergencia para series
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
1. Criterios de convergencia para series
1.1. Series alternantes
Las pruebas de convergencia que se han examinado hasta ahora se aplican sólo a
series con términos positivos. En esta sección y en la siguiente, se estudia cómo tratar
con series cuyos términos no son necesariamente positivos.
Una serie alternante es una serie cuyos términos son alternadamente positivos y
negativos. Por ejemplo las siguientes series so alternantes
∞∑
n=1
(−1)n−1 1
n
= 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ · · ·
∞∑
n=1
(−1)n n
n+ 1
= −1
2
+
2
3
− 3
4
+
4
5
− 5
6
+ · · ·
Teorema [Prueba de la serie alternante]. Sea an > 0, las series alternantes
∞∑
n=1
(−1)nan y
∞∑
n=1
(−1)n+1an
convergen si se satisfacen las siguientes dos condiciones.
i) an+1 ≤ an para todo n,
ii) ĺım
n→∞
an = 0
Ejemplo 22. Determine si la serie
∞∑
n=1
(−1)n n+ 2
n(n+ 1)
es convergente o divergente
1
https://wlh.es/v2/1690384899139/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690384899139/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Solución Claramente la serie
∞∑
n=1
(−1)n n+ 2
n(n+ 1)
es alternante donde an =
n+ 2
n(n+ 1)
Además, como an+1 ≤ an es equivalente a tener que an+1/an ≤ 1
an+1
an
=
n+3
(n+1)(n+2)
n+2
n(n+1)
=
n(n+ 3)
(n+ 2)2
=
n2 + 3n)
n2 + 4n+ 4
< 1
Por otra parte,
ĺım
n→∞
an = ĺım
n→∞
n+ 2
n(n+ 1)
= ĺım
n→∞
1/n+ 2/n2
1 + 1/n
= 0
Por lo tanto la serie
∞∑
n=1
(−1)n n+ 2
n(n+ 1)
es convergente.
Ejemplo 22. Determine si la serie es convergente o divergente
a)
∞∑
n=1
(−1)n
n
b)
∞∑
n=1
(−1)n3n
4n− 1
c)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2
n3 + 1
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 729
Ejemplo 22. Determine si la serie es convergente o divergente
a)
∞∑
n=1
n
(−2)n−1
b)
∞∑
n=1
(−1)n(n+ 1)
n
c)
2
1
− 1
1
+
2
2
− 1
2
+
2
3
− 1
3
+
2
4
− 1
4
+ · · ·
Solución Ver Larson, 9na ed página 634
1.2. Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raı́z
Definición [Convergencia absoluta]. Una serie
∑
an es llamada absolutamen-
te convergente si la serie de valores absolutos
∑
|an| es convergente.
Definición [Convergenciacondicional]. Una serie
∑
an es condicionalmente
convergente si
∑
an converge pero
∑
|an| es divergente.
Teorema S. i una serie
∑
an es absolutamente convergente, entonces es convergen-
te.
Ejemplo 23. Determinar si cada una de las series es convergente o divergente. Cla-
sificar cada serie como absolutamente convergente o condicionalmente convergente.
2
https://wlh.es/v2/1690384899143/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
a)
∞∑
n=1
(−1)n(n+1)/2
3n
b)
∞∑
n=1
(−1)n
ln(n+ 1)
Solución a) Note que
∞∑
n=1
∣∣∣∣(−1)n(n+1)/23n
∣∣∣∣ = ∞∑
n=1
1
3n
es una serie geométrica convergente, se puede aplicar el teorema 9.16 para con-
cluir que la serie dada es absolutamente convergente (y por consiguiente conver-
gente).
b) Note que
∞∑
n=1
∣∣∣∣ (−1)nln(n+ 1)
∣∣∣∣ = 1ln 2 + 1ln 3 + 1ln 4 + ·
Como
ln(n+ 1) ≤ n+ 1 ⇔ 1
n+ 1
≤ 1
ln(n+ 1)
Como la serie
∑
1
n+1
, entonces por el criterio domparaci+on se tiene que la serie∑∞
n=1
∣∣∣ (−1)n(ln(n+1) ∣∣∣ es divergente. Sin embaargo, la serie es condicionalmente convergen-
te (ejercicio).
Ejemplo 24. Determine si la serie es convergente o divergente
a)
∞∑
n=1
(−1)n−1
n2
b)
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
c)
∞∑
n=1
cosn
n2
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 732 y 733.
Teorema [Prueba de la razón]. Sea
∑
an una serie con términos distintos de cero.
i) Si ĺım
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L < 1, entonces la serie ∑∞n=1 an es absolutamente convergente
(y, por tanto, convergente).
ii) Si ĺım
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L > 1, o bien, ĺımn→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = ∞, entonces la serie ∑∞n=1 an es
divergente.
iii) Si ĺım
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 1, la prueba de la razón no es concluyente; es decir, no se puede
sacar conclusión alguna con respecto a la convergencia o a la divergencia de∑∞
n=1 an..
3
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∞∑
n=0
2n
n!
Solución Sea an =
2n
n!
. Luego,
ĺım
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = ĺımn→∞
∣∣∣∣∣
2n+1
(n+1)!
2n
n!
∣∣∣∣∣
= ĺım
n→∞
2n+1
(n+1)!
2n
n!
= ĺım
n→∞
2·2n
(n+1)·n!
2n
n!
= ĺım
n→∞
2 · 2n · n!
2n · (n+ 1) · n!
= ĺım
n→∞
2
n+ 1
= ĺım
n→∞
2/n
1 + 1/n
= 0
Como ĺım
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 0 < 1, entonces por la prueba de la razón se tiene que ∞∑
n=0
2n
n!
es
convergente.
Ejemplo 26. Determine si la serie es convergente o divergente
a)
∞∑
n=1
(−1)nn3
3n
b)
∞∑
n=1
nn
n!
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 735 y 736.
Ejemplo 27. Determine si la serie es convergente o divergente
a)
∞∑
n=0
2n+1n2
3n
b)
∞∑
n=1
(−1)n
√
n
n+ 1
Solución Ver Larson, 9na ed página 642 y 643.
Ejemplo 28. Determine si la serie es convergente o divergente
a)
∞∑
n=0
(−1)n+1 n
2n
b)
∞∑
n=1
(−1)n n+ 2
n(n+ 1)
Solución Ver Leithold, 7ma ed página 691 y 692.
Teorema [Prueba de la raı́z]. Sea
∑
an una serie
4
https://wlh.es/v2/1690384899163/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690384899163/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
i) Si ĺım
n→∞
√
|an| = L < 1, entonces la serie
∑∞
n=1 an es absolutamente convergente
(y, por tanto, convergente).
ii) Si ĺım
n→∞
√
|an| = L > 1, o bien, ĺım
n→∞
√
|an| = ∞, entonces la serie
∑∞
n=1 an es
divergente.
iii) Si ĺım
n→∞
√
|an| = 1, la prueba de l no es concluyente.
Ejemplo 29. Determine si la serie
∞∑
n=1
e2n
nn
es convergente o divergente
Solución Se puede aplicar el criterio de la raı́z como sigue.
ĺım
n→∞
√
|an| = ĺım
n→∞
√∣∣∣∣e2nnn
∣∣∣∣
= ĺım
n→∞
√
e2n
nn
= ĺım
n→∞
e2n/n
nn/n
= ĺım
n→∞
e2
n
= 0 < 1
Como este lı́mite es menor que 1, se puede concluir que la serie es absolutamente
convergente (y por consiguiente converge).
Ejemplo 30. Determine si la serie
∞∑
n=1
(
2n+ 3
3n+ 2
)n
es convergente o divergente
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 736
Ejemplo 31. Determine si la serie es convergente o divergente
a)
∞∑
n=0
(−1)n3
2n+1
n2n
b)
∞∑
n=1
1
[ln(n+ 1)]n
Solución Ver Leithold, 7ma ed página 693 y 694.
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Referencias
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McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning
Editores.
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