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Universidad de Chile Departamento de F́ısica FI1002-2 - Sistemas Newtonianos Gúıa de Problemas: Oscilaciones Amortiguadas y Forzadas RECORDATORIO: • Movimento Armonico Simple: Imaginemos que tenemos un una masa unido a un resorte o un pendulo que oscilan. Este movimiento se puede expresar haciendo diagramas de cuerpo libre de cada uno. Suponiendo que no hay roce se tiene: ẍ+ ω2ox = 0 o θ̈ + ω 2 oθ = 0 La solucion de esta ecuacion es del tipo (las 3 son equivalentes) x(t) = Acos(ωot+ ϕo) Bsen(ωot+ ψo) Csen(ωot) +Dcos(ωot) Por lo general se utiliza mas la priemera solucion, la que tiene un coseno (de esta se basan para sacar las soluciones de las amortiguadas y forzadas en este curso). Las constantes A,B,C,D y los desfaces ϕo, ψo se pueden sacar a partir de las condiciones iniciales x(0) y ẋ(0) • Oscilaciones Amortiguadas: Despues de entender el movimento armonico simple, notamos que pueden existir fuerzas que influyen sobre una oscilacion. Es el caso del roce viscoso por ejemplo. Este se puede expresar de la forma Fr.viscoso = −bẋ. Esta fuerza está completamente ligado a la velocidad del sistema. Entre mas rapido va, mas lo frena. Entonces una osilacion amortiguada sera del tipo: ẍ+ 1 τ ẋ+ ω2ox = 0 Cuya solucion sera: x(t) = Ae− t 2τ cos(Ωt+ φ0) con Ω2 = ω2o − 1 4τ2 (Esta es la nueva frecuencia del sistema) • Oscilaciones Forzadas: Ahora imaginemos que no solo existe algun tipo de frenado. Supong- amos que existe una fuerza externa que vaya ”forzando” nuestra osilacion. Este se vera de la forma: ẍ+ 1 τ ẋ+ ω2ox = F (t) M 1 Universidad de Chile Departamento de F́ısica FI1002-2 - Sistemas Newtonianos ** F(t) tendra que ser de la forma F (t) = Fosin(ωt) para simplificar nuestros calculos. ω es completamente independiente de ωo y Ω, esta nos dice la frecuencia en la que ”oscila nuestra fuerza externa” Como nuestra EDO ya es un poco mas complicada, la solucion sera de igual manera un poco mas larga. La solucion de un osilacion forzada toma la forma: x(t) = Ae− t 2τ cos(Ωt+ φ0) + Fo M √ (ω2o − ω2)2 + (ωτ )2 sin(ωt− δ) donde Ω es la misma que en las amortiguadas y con tan(δ) = ω τ(ω2o − ω2) Finalmente existe algo que se llama frecuencia de resonancia que es cuando se producen valores maximos en nuestra solucion y la amplitud aumenta considerablemente. ω2r = ω 2 o − 1 2τ2 No olvidarse del periodo del sistema, este es el tiempo en que se demora la oscilacion en dar una vuelta completa. Si se pide el periodo de un movimiento armonico simple T = 2πωo , o de una osiclacion amortiguada T = 2πΩ (La frecuencia que se utiliza es la que acompaña al t dentro del seno o coseno ya que esa es la frecuencia de oscilacion del sistema) PROBLEMAS: P1. Un nino de masa M esta sentado en un columpio de masa m y largo L. El coeficiente de roce viscoso del columpio y el nino con el aire es b. Si el columpio se empuja con una fuerza ~F = Fsin(ωt)θ̂ donde theta es la direccion tangencial al movimiento del columpio (es decir, perpendicular siempre a la cuerda, y en direccion creciente), se le pide detallar (a) La ecuacion de movimiento del columpio (b) El periodo de pequenas oscilaciones (c) La frecuencia de resonancia del columpio Figure 1: Columpio 2 Universidad de Chile Departamento de F́ısica FI1002-2 - Sistemas Newtonianos P2. Considere una partıcula de masa m que esta apoyada sobre un resorte de constante k y largo natural lo, bajo la accion de gravedad. El punto B de donde se sostiene el resorte se encuentra en t = 0 al nivel de la mesa. (a) Encuentre la altura de equilibrio de la masa (b) En t = 0, cuando la masa esta quieta y en la posi- cion de equilibrio, el punto B comienza a oscilar verti- calmente. El movimiento de B puede ser descrito como ~rB(t) = A0sin(ωt)ĵ. Encuentre la ecuacion que describe el movimiento de la masa. (c) Resuelva la ecuacion de movimiento para las condiciones iniciales dadas (d) Manteniendo la amplitud A0 fija, considere que la frecuen- cia ω es menor que la frecuencia de resonancia. ¿Cual es la frecuencia maxima para que la masa nunca choque con la mesa? Figure 2: Resorte P3. Considere un disco de radio Ry masa Mal cual se conecta un resorte de constante k y largo natural lo , como se muestra en la figura. El disco puede rodar sin resbalar sobre una superficie rugosa cuyo coeficiente de roce estatico es µ . Suponga que el movimiento es de pequeña amplitud de modo que el resorte esá dispuesto siempre en forma horizontal. (a) Calcule la frecuencia de pequeñas oscilaciones del sistema (b) Determine la fuerza de roce como funcion del tiempo Fr(t) (c) Encuentre la condicion que asegure que el disco no resbale sobre la superficie rugosa. Figure 3: P3 3 Universidad de Chile Departamento de F́ısica FI1002-2 - Sistemas Newtonianos P4. Considere una masa m = 0, 5[Kg], la cual cae desde una altura h = 5[m], se adosa a un resorte de constante k = 2. El sistema resultante viene gobernado por la ecuación de movimiento: z”(t) + (2w)z′(t) + w2z(t) = 0 La magnitud z(t) mide la posición de la masa m, con respecto al punto de equilibrio y w = (k/m)1/2. La solución general del problema viene dada por la relación: z(t) = (A + Bt)exp(−wt), donde A y B son constantes que se ajustan con las condiciones iniciales. (a) Determine A y B, usando las condiciones iniciales del problema (b) Determine el instante t∗, en el cual el resorte llega a su máxima compresión. Para ello, elija el cero temporal en el instante en que la masa colisiona con el resorte (c) ¿Cuál será la enerǵıa total disipada por el amortiguador? Figure 4: P4 Figure 5: P5 P5. Se superponen dos masas en presencia de dos resortes de largo natural L, como se indica en la figura. Calcule la amplitud maaxima de oscilacion de modo que ambas masas no se separen, gracias a la presencia de una fuerza de roce estatico (de constante µe). P6. Considere un objeto de masa M que puede oscilar alrededor de un eje que lo atraviesa. Sea I el momento de inercia para rotaciones alrededor de ese eje y L la distancia entre el eje y el centro de masas del objeto (a) Encuentre el periodo T para pequeñas oscilaciones alrededor de su posicion de equilibrio. (b) Demuestre que un pendulo simple equivalente (igual periodo) tiene un largo Lo = I mL 4 Universidad de Chile Departamento de F́ısica FI1002-2 - Sistemas Newtonianos P7. La figura representa un modelo de un automovil, de masa M , y suspension de constante eláastica total k y largo natural lo. Supondremos que los resortes que componen las suspensión son tan ŕıgidos que se desprecia el efecto de la gravedad. Se modelará la disipacion como un roce viscoso lineal, de constante b. En equilibrio, la distancia entre el piso y el automóvil es d = lo2 Un terremoto ejerce una fuerza Fosen(ωt)sobre el vehiculo, en dirección vertical. Se observa que éste alcanza un estado estacionario cuya amplitud es tal que el auto toca justo el piso. ¿Cuál es la frecuencia ω de forzaje del temblor? Figure 6: P7 P8. La figura muestra un disco de radio R y masa M homogeneamente distribuida, que rueda sin resbalar sobre una superficie rugosa. El disco está unido por su centro al extremo de un resorte de constante elastica k y largo natural lo. El otro extremo está unido a un piston que realiza un movimiento oscilatorio, dado por xp = Asen(ωt). El sistema se encuentra sumergido en un fluido viscoso, de manera que el disco siente una fuerza de roce viscoso dado por Frv = −b~v, donde ~v es la velocidad de su centro de masa con respecto a la superficie. (a) Encuentre la ecuacion de movimiento del disco (b) Escriba la expresion de la trayectyoria del centro de masa del disco para tiempos largos (c) Bosqueje la amplitud de las oscilaciones del centro de masa del disco en funcion de ω. Explique cualitativamente su bosquejo. Figure 7: P8 5 Scanned by CamScanner P1 Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner P2 Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner P3 CAPÍTULO 13. OSCILADOR ARMÓNICO485 Solución al problema 22 a) Sea x0 la magnitud que el resorte se comprimirá respecto a su largo natural una vez que llegue al equilibrio. Se tiene que kx0 = mg o sea, x0 = mg k = 0.5 · 10 2 m = 2.5 m. La velocidad v0 de la masa cuando choca con el resorte viene dada por v0 = √ 2gh = √ 2 · 10 · 5 m s = 10 m s . Por consiguiente, las condiciones iniciales son x(0) = x0 = 2.5 m y ẋ(0) = −v0 = −10 m s . La frecuencia angular natural del sistema es ω0 = √ k/m = 21s . Derivando la expresión z(t) = (A+Bt)e−ω0t se obtiene ż(t) = (B −Aω0 −Bω0t)e−ω0t. Evaluando estas expresiones en t = 0 se obtiene z(0) = A y ż(0) = B −Aω0. Usando las condiciones iniciales se encuentra para A y B los valores A = x0 = 2.5 m y B = Aω0 + ż(0) = (2.5 · 2− 10) m s = −5 m s . b) La velocidad ż(t) es nula cuando (B − Aω0 − Bω0t) = 0. De esta relación se deduce que ello ocurre en el instante to = 1 ω0 − A B = ( 1 2 − 2.5 (−5) ) s = 1 s . c) La figura 13.31 muestra el gráfico de la posición z(t) en función del tiempo. P4 CAPÍTULO 13. OSCILADOR ARMÓNICO 486 z( t) t −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 4 3 2 1 Figura 13.31 d) Del cambio de enerǵıa potencial ∆U = mg(h+ x0), 1 2 kx2o queda como enerǵıa potencial del resorte; el resto se disipa. Por lo tanto, la enerǵıa disipada es Q = mgh+mgx0 − 1 2 kx20 = mgh+ 1 2 kx20 = [ 1 2 · 10 · 5 + 1 2 · 2 · (2.5)2 ] Joule = 31.25 Joule Solución al problema 30 Una vez que se adosa la esfera al resorte el nuevo punto de equilibrio del resorte sube en una magnitud D que se puede evaluar de la relación kD = 4 3 πR3(ρ0 − ρ)g , donde ρ0 = 1 g/cm 3 es la densidad del agua. Observe que la amplitud de la oscilación coincidirá con D, o sea, D = A = 0.8 cm. Despejando ρ se encuentra de una amplitud A, al cabo de cinco ciclos su amplitud es A/3. El lapso de cada ciclo es de 0.2 [s]. (a) Determine la frecuencia angular ω0 del oscilador. (b) Determine la velocidad terminal de cáıda del mismo cuerpo, si es dejado caer libre y verticalmente en el mismo medio, bajo la acción de la gravedad. P21. Se tiene un oscilador mecánico amortiguado, compuesto por un carro de masa m = 0.54 [Kg] y un resorte de constante de rigidez k. El carro se mueve sobre un riel lubricado, de modo que el roce está bien descrito por una ley de roce viscoso lineal. Dadas ciertas condiciones iniciales, se obtiene una serie de medidas de la posición x del carro en función del tiempo t. Estos resultados se presentan en el gráfico adjunto. A partir de él, obtenga una estimación del valor de k para el sistema. 2 Resolución de problemas P1. Situamos un eje horizontal con x = 0 en el centro del sistema (coincidente con el largo natural de ambos resortes). Se impone una dirección arbitraria para Fr y opuesto para cada masa y, para conservar generalidad, se considera que no nece- sariamente es positivo. La fuerza elástica se dibuja ”alejándose del resorte” y se utilizará la fórmula Fe = −k4x. DCL asociados: 7 P5 Es claro que: N1 −m1g = 0→ N1 = m1g m1a1x = Fr + Fe1 = Fr + (−k14x) = Fr − k1x N2 −m2g −N1 = 0→ N2 = m2g +N1 = (m1 +m2)g m2a2x = −Fe2 − Fr = −(−k24x)− Fr = +k2(−x)− Fr = −k2x− Fr Es claro que, como las masas no se separan, la aceleración en el eje x de ambos cuerpos coincide (a1x = a2x = a) m1a = Fr − k1x m2a = −k2x− Fr Uniendo las ecuaciones: Fr − k1x m1 = −k2x− Fr m2 Frm2 − k1m2x = −k2m1x− Frm1 x = Fr(m1 +m2) k1m2 − k2m1 Los casos ĺımite son cuando Fr = ±µeN1 = ±µem1g xmax = ± µem1(m1 +m2)g m2k1 −m1k2 Y como la amplitud se define como positiva: Amax = µem1(m1 +m2)g |m2k1 −m1k2| Podemos también calcular la frecuencia natural de oscilaciones, sabemos que: m1a = Fr − k1x m2a = −k2x− Fr Despejamos: 8 m1a+ k1x = −k2x−m2a a+ k1+k2m1+m2x = 0 ẍ+ k1+k2m1+m2x = 0 Lo que representa un MAS con: ω20 = k1 + k2 m1 +m2 P2. Situamos un eje vertical con y = 0 en el centro del sistema (coincidente con el largo natural de ambos resortes), positivo hacia arriba. La fuerza elástica se dibuja ”alejándose del resorte” y se utilizará la fórmula Fe = −k4x. DCL asociado: Ecuaciones: Fy = Fe2 − Fe1 −mg Fy = (−ky)− (−k(−y))−mg = −2ky −mg mÿ = −2ky −mg ÿ + 2km x+ g = 0 Notamos que no es movimiento armónico simple escrito de esta forma. Pero si usamos una variable z = y + gm2k , es claro que z̈ = ÿ. Entonces reemplazamos: z̈ + 2km (z − gm 2k ) + g = 0 z̈ + 2km z = 0 Lo que śı es movimiento armónico simple. Donde: ω0 = √ 2k m T = 2πω0 = π √ 2m k Las soluciones de este movimiento son del tipo: z(t) = Acos(ω0t+ θ0) 9 E = 32MgL(1− cos(θ)) + 17 24ML 2θ̇2 Como se conserva: dE dt = 0 = 3 2MgLsin(θ)θ̇ + 17 24ML 22θ̇θ̈ 0 = 32gsin(θ) + 17 12Lθ̈ 0 = 18g17Lsin(θ) + θ̈ Para pequeñas oscilaciones: 0 = 18g17Lθ + θ̈ Luego ω20 = 18g 17L . P16. Dibujamos un objeto cualquiera. DCL: Es claro que solo el peso ejerce torque. Luego τ = −MgLsin(θ). Como conocemos la inercia: Iθ̈ = −MgLsin(θ) Para pequeñas oscilaciones: 0 = θ̈ + MgLI θ Entonces T = 2πω0 = 2π √ I MgL . Ahora consideramos el caso de un péndulo simple de masa M y largo IML . DCL: 21 P6 El momento de inercia es I = (Masa)(Largo)2 = M I 2 M2L2 = I 2 ML2 . Luego Iθ̈ = −Mg(Largo)sin(θ) = −Mg IMLsin(θ) = − gI L sin(θ) I2 ML2 θ̈ = −gIL sin(θ) I ML θ̈ = −gsin(θ) Para pequeñas oscilaciones: 0 = θ̈ + gMLI θ En efecto, ambas tienen igual ecuación de movimiento y, por lo tanto, peŕıodo de pequeñas oscilaciones. P17. Primero que todo, el roce es cinético, de modo que śı hay resbalamiento (no es relevante la velocidad angular con que giran las ruedas). La posición x = 0 es la posición del primer cilindro. 22 P7 Pauta Control 2 Pregunta 2 P3: La figura muestra un disco, de radio R y masaM homogeneamente distribuida, que rueda sin resbalar sobre una superficie rugosa. El disco esta unido por su centro al extremo de un resorte de constante elástica k y largo natural l0. El otro extremo del resorte esta unido a un pistón que realiza un movimiento oscilatorio, dado por xp(t) = A sin [(!t). El sistema se encuentra sumergido en un fluido viscoso, de manera que el disco siente una fuerza de roce viscoso dado por ~Frv = �b~v, donde ~v es la velocidad de su centro de masa con respecto a la superficie. 1. (3 pts.) Encuentre la ecuación de movimiento del disco. 2. (1.5 pts.) Escriba la expresion de la trayectoria del centro de masa del disco para tiempos largos. 3. (1.5 pts.) Bosqueje la amplitud de las oscilaciones del centro de masa del disco en funcióon de !. Explique cualitativamente su bosquejo. FIG. 1: Figura Problema 2 Control 2 Solución: 1.- La ecuación de movimiento del disco se puede encontrar planteando la ecuación de movimiento del centro de masa y de rotación con respecto al CIR (Centro instantáneo de rotación) que llamaremos O. Tomando como referencia la posición de la pared en reposo (cuando A = 0), la ecuación que describe como se mueve el centro de masa y(t) es M d2y(t) dt2 = �k(y(t)� xp(t)� l0)� b dy(t) dt + fr(t) (1) donde fr(t) es la fuerza de roce estático que permite que el disco ruede sin resbalar. La ecuación de torque con respecto a O es IO R d2y(t) dt2 = �k(y(t)� xp(t)� l0)R� b dy(t) dt )R (2) donde hemos usado la condición geométrica dy(t) = Rd�(t) con �(t) el ángulo que describe el disco al girar. Sabiendo que el momento de inercia con respecto a O de un disco, usando Steiner es IO = MR2+MR2/2 = 3MR2/2, la ecuación para el centro de masa del disco es d2y(t) dt2 + 2b 3M dy(t) dt + 2k 3M y(t) = 2k 3M A sin (!t)� 2k 3M l0 (3) Además encontramos que la fuerza de roce fr(t) = � M 2 d2y(t) dt2 2.- Para tiempos largos, luego de dejar pasar el transiente encontramos primero que la posición de equilibrio de y(t) es l0 (lo que es esperable ya que ese es el largo natural del resorte). Sobre esta posición de equilibrio se encuentra P8 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ω/ωo (y (t) −l 0) /A Curva deresonancia para ωoτ = 10 FIG. 2: Curva de resonancia la oscilación a tiempos largos. De la ecuación (3) notamos que ⌧ = 3M2b , !o = q 2k 3M y fo = A! 2 o . 3.- La curva de resonancia tiene la forma mostrada en la Figura 2. Utilizamos las variables normalizadas !/!o y (y(t)� l0)/A por simplicidad. Aśı la curva tiene un máximo en 1 y su valor es !o⌧ .
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