Guia n 5 de progresiones y series geométrica

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Colegio España 
Concepción 
Olga Saavedra 
 
 Guía de Aprendizaje N.º 5: Progresiones y Series Geométricas 
 Unidad Procesos Infinitos 
 Cuarto Electivo 
Nombre ………………………………………………………………………………. curso …………… 
 Aprendizaje Esperado: Conocen las progresiones geométricas; aplican algunas 
propiedades en la resolución de problemas 
 
Concepto de Progresiones Geométricas: Una Progresión es Geométrica ( PG) si entre cada 
par de términos consecutivos de ella hay una razón constante denominada factor o razón 
geométrica de la progresión . 
Si 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 y 𝒂𝟑 son términos consecutivos de una progresión geométrica de razón r, 
entonces se cumple que 
𝒂𝟑
𝒂𝟐
 = 
𝒂𝟐
𝒂𝟏
 = r 
 Para probar si esta es una progresión es geométrica, se puede comprobar mediante esta 
forma: 
Ejemplo 2, 6 ,18 ,54 ….. ….. esta es una PG? SI ., porque 
𝟔
𝟐
 =3 ,
𝟏𝟖
𝟔
 = 3 , 
𝟓𝟒
𝟏𝟖
 = 3 
 Y además la podemos escribir como 2 , 2.31 , 2.32 , 2.33 …… 
 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 . 𝒓
𝟏 , 𝒂𝟑𝒓
𝟐 , 𝒂𝟒𝒓
𝟑 …… 
Ejemplo 2) 5,10,20 , 40 …… ¿Puedes probar si es PG? 
 
La Expresión para calcular el enésimo termino 𝒂𝒏 es: 
 
 
 Donde 𝒂𝟏: primer término de la PG 
 n: número de términos 
 r: razón geométrica 
 𝒂𝒏 : término enésimo de la P 
 
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒓
𝒏−𝟏
 
 
 
 
 Serie geométrica finita: Quiere decir la suma de los n primeros términos de una progresión 
geométrica, se debe aplicar la siguiente formula 
 
 𝑺𝒏 = 
𝒂𝟏 ( 𝟏−𝒓
𝒏 )
𝟏−𝒓
 o 𝒔𝒏 =
𝒂𝟏−𝒂𝒏 .𝒓
𝟏−𝒓
 
 
 Ejemplo Calcular la suma de los 5 primeros términos de esta PG 4,16,64,256,1024, 4096,…. 
 𝒂𝟏 = 4 , r= 4 , n = 5 𝑺𝒏 = 
𝒂𝟏 ( 𝟏−𝒓
𝒏 )
𝟏−𝒓
 
 𝑺𝟓 = 
𝟒 ( 𝟏−𝟒𝟓 )
𝟏−𝟒
 = 
𝟒 ( 𝟏−𝟏𝟎𝟐𝟒 )
−𝟑
 = 
𝟒 ( −𝟏𝟎𝟐𝟑)
−𝟑
 = 
−𝟒𝟎𝟗𝟐
−𝟑
= 1.364 
 
 
 EJEMPLOS : 
1) Encontremos el quinto término de una PG ,si el primero es 3 ,la razón es 4 
 𝒂𝟏 = 3 , r = 4 n = 5 aplicando en la expresión 
 𝒂𝟓 = 𝒂𝟏. 𝒓
𝒏−𝟏 remplazando 𝒂𝟓 = 3 . 4
5-1 
 𝒂𝟓 = 3 . 4 
4 = 3 . 256 = 768. El quinto termino es 768. 
 
2) Calculemos la razón de una PG, si 𝒂𝟏 =5, 𝒂𝟒 =135 
 
 𝒂𝟒 = 𝒂𝟏 . r
3 
 
 135 = 5 . r 3 se despeja r 
 27 = r3 se extrae la raíz cubica ambos lados 
 3 = r 
 
 
 
 
3) Las siguientes progresiones son geométricas PG. Determina la razón de cada una de 
ellas .( Dividir el consecutivo por el antecesor ) 
 
a) 2, 6,18, 24 , 72 …. para determinar r debemos dividir 
𝟔
𝟐
 = 3, o 
𝟏𝟖
𝟔
 = 3 r= 3 
 
 
 
b) 1, 
𝟏
𝟑
 , 
𝟏
𝟗
 , 
𝟏
𝟐𝟕
 ,….. para determinar r debemos dividir 
𝟏
𝟑
𝟏
 = 
𝟏
𝟑
 o 
𝟏
𝟗
𝟏
𝟑
 =
𝟑
𝟗
 = 
𝟏
𝟑
 
 
 
 
 
 
4) Problema de aplicación 
 
Una persona gasta 
𝟏
𝟒
 de lo que tenía el día anterior. Si el primer día tenía $ 4096 
¿Cuánto dinero le queda al 6 to día? 
 
 𝒂𝟏 = $ 4096 
 r = 
𝟏
𝟒
 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒓
𝒏−𝟏 
 𝒂𝟔 = x 𝒂𝟔 = 4096 . 
𝟏
𝟒
𝟔−𝟏
 
 n = 6 𝒂𝟔 = 4096 . (
𝟏
𝟒
)𝟓 
 𝒂𝟔 = $ 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Trabajo Individual 
 
1) Identifique si es o no una PG si lo es, Indique cuál seria quinto término de cada 
uno . 
a) 5, 15, 20 ,25, …… 
b) 3, 9, 27. 81, …….. 
c) 3, 1, 
1
3
 , 
1
9
 , ……. 
 
2) Determine el 𝑎10 término de esta progresión Geométrica 3, 15,75,375, …. 
 
3) Si el primer término de una progresión Geométrica es 5 , la razón es r=3 . Calcular el 
termino 𝑎12 y luego la suma de todos estos términos. 
 
 
4) Si el primer término de una progresión geométrica es 
1
3
 y la razón es 3. Determine 7 
términos de esta progresión a partir de 
1
3
 como primer término. 
 
5) En una PG el primer término 𝑎1 = 3 y la razón es r= 
1
2
 . Calcular 𝑎6 
 
 
6) La maquinaria de una fábrica pierde al año un 20 % de su valor. Si el costo es de 
$ 4.000.000 de pesos.¿ En cuánto se valorará después de 4 años? 
 
 
7) Un trazo de 200 cm se divide en 3 partes, en PG en la razón r= 
1
5
 . Determine ¿cual sería 
la medida de cada uno?