U5 pp 116 sucesiones geométricas

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Progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que el elemento siguiente se obtiene multiplicando el
elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión.
Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se
puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo el término
en cuestión, el primer término y , la razón:
En el ejemplo anterior, el sexto elemento de la serie sería:
Que se puede verificar multiplicando el último término por la razón: 
Para obtener la razón de una progresión geométrica solo se divide un término cualquiera entre el término anterior, o sea:
Ejemplos de progresiones geométricas
Definición recursiva
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
Caso notable
Producto de los primeros n términos de una progresión geométrica
Véase también
Referencias
Enlaces externos
La progresión 1, 2, 4, 8, 16, ... es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40, ...
La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875, ... es una progresión
geométrica con razón 1/4.
La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión -3, 6, -12, 24, ... tiene razón -2. Este
tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y
negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7, ...
Otros ejemplos son: la paradoja de Aquiles y la tortuga; el problema del trigo y del tablero de ajedrez y la
cantidad de movimientos de los anillos en la torres de Hanoi. 1 
Índice
Ejemplos de progresiones geométricas
https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Signo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n#La_paradoja_de_Aquiles_y_la_tortuga
https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_del_trigo_y_del_tablero_de_ajedrez
https://es.wikipedia.org/wiki/Torres_de_Hanoi
Se llama progresión geométrica una sucesión numérica (bn) definida por las condiciones
llamada ecuación recursiva de orden 1 2 ( q≠0), n=1, 2,... ( q es la razón de la progresión geométrica) 3 
Se denomina como Sn a la suma de los n primeros
términos consecutivos de una progresión
geométrica:xxx
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una
manera rápida dicha suma, se multiplica ambos
miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.
puesto que 
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.
Despejando 
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último
término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como:
que expresa la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la
progresión.
Definición recursiva
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Geometric_progression_convergence_diagram.svg
Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos
elementos arbitrarios (ambos incluidos):
 
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad , la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión
geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si , tiende hacia 0, de modo que:
Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:
Un ejemplo de progresión geométrica aparece en el caso de una de las paradojas de Zenón: el reto de Aquiles y de la tortuga.
El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula
 (si ).
Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón r (si ), están en progresión aritmética
de diferencia log r, se tiene:
 ,
y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.
Progresión aritmética.
Serie geométrica.
Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
Caso notable
Producto de los primeros n términos de una progresión
geométrica
Véase también
Referencias
https://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_geom%C3%A9trica
1. Matemáticas recreativas de Perelman
2. Markushévich: Sucesiones recurrentes
3. Vodney y otros: Fórmulas matemáticas fundamentales Euro-Omega, Madrid -Moscú /1995
Weisstein, Eric W. «Progresión geométrica» (http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html). En Weisstein,
Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Sum of Geometric Progression Calculator (http://icalc.co.il/calculators/index.php/math-calculators/81-sum-of-geo
metric-progression-calculator.html)
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https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
http://icalc.co.il/calculators/index.php/math-calculators/81-sum-of-geometric-progression-calculator.html
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