ejercicio fisica cuantica

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Trabajo Práctico N 5 
Ecuación de Schrödinger – Ejercicio N 8 “Caja de Potencial” 
 
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Enunciado 
Para un electrón obligado a moverse en una caja de potencial de ancho 𝒂 = 𝟐Å 
a) Calcular las energías posibles de un electrón en ese potencial 
b) Obtener la expresión para las funciones de onda posibles 
c) Si la partícula está en el estado fundamental, 
i) ¿Cuál es la probabilidad de encontrarla en un intervalo ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏𝒂, en el centro 
de la caja? 
ii) ¿Cuál es la probabilidad de encontrarla en un intervalo ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏𝒂, en uno de 
los bordes de la caja? 
d) Para el electrón en el estado fundamental calcular 𝒙 y 𝒙𝟐 
 
Para resolver este ejercicio debemos considerar el comportamiento ondulatorio de un 
electrón que se mueve en un potencial del tipo caja, por lo que para resolverlo debemos 
utilizar la ecuación de Schrödinger: 
−ℏ
2𝑚
𝜕 𝜓(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑖
𝜕𝜓(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
 
(1) 
 
Considerando un potencial independiente del tiempo, es decir V(x)V(x,t), la ecuación de 
onda se podrá escribir como: 
𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝜓(𝑥)𝜙(𝑡) (2) 
En el estado estado estacionario (independientes del tiempo), el potencial quedará 
𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉(𝑥) (3) 
Y 
𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝜓(𝑥)𝑒 . /ℏ (4) 
Simplificando la ecuación unidimensional de Schrödinger (1) de la siguiente manera: 
−ℏ
2𝑚
𝜕 𝜓(𝑥)
𝜕𝑥
+ 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥) = 𝐸
𝜕𝜓(𝑥)
𝜕𝑡
 
(5) 
 
En la ecuación (5) estaría representada la energía cinética más la energía potencial de la 
partícula igualada a su energía total E y es la que utilizaremos en este ejercicio. 
Este problema en particular es un modelo de “partícula confinada”, esto quiere decir que la 
energía potencial fuera del pozo es infinita, por lo tanto, la probabilidad de encontrar a la 
partícula es cero. Entonces no puede escapar al infinito, sino que está en una región 
restringida del espacio de ancho a, quiere decir que el movimiento es solo unidimensional y 
esta partícula se mueve sólo a lo largo del eje x. 
En la Figura 1 se muestra la caja de potencial de ancho 𝒂 = 𝟐Å que se indica en el enunciado 
del problema. 
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Figura 1. Esquema de la energía potencial para una partícula dentro de una caja de potencial infinito, donde V(x) es cero en 
el intervalo 0<x<a e infinito en todos los puntos fuera de este intervalo. 1 y 3 representan las regiones x<0 y x>a 
respectivamente (regiones prohibidas) y 2 representa la región 0<x<a. ( 6) 
a) Calcular las energías posibles de un electrón en ese potencial 
Tanto en la región “1” y “3” el potencial es 𝑉(𝑥)+ ∞ por lo que la ecuación de Schrödinger 
(5) queda de la siguiente forma 
−ℏ
2𝑚
𝜕 𝜓(𝑥)
𝜕𝑥
+ (∞ )𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥) 
(7) 
Por lo que, la única solución posible es 
𝜓 (𝑥) = 𝜓 (𝑥) = 0 (8) 
En la región “2”, se tiene 𝑉(𝑥) = 0, por lo que nos encontramos en un caso equivalente al de 
una partícula libre, donde la solución a la ecuación de Schrödinger es de la forma: 
−ℏ
2𝑚
𝜕 𝜓 (𝑥)
𝜕𝑥
= 𝐸𝜓 (𝑥) 
(9) 
Con 
𝜓 (𝑥) = 𝑒 + 𝐵𝑒 (80) 
Siendo 
𝑘 =
2𝑚𝐸
ℏ
 
(11) 
Lo que quedaría como: 
𝜓 (𝑥) = 𝐴𝑒 ℏ + 𝐵𝑒 ℏ 
(12) 
Sabiendo que tanto en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝑎 la función 𝜓(𝑥) deberá ser continua para ser solución 
de la Ec. de Schrödinger. Lo que nos da las siguientes condiciones de contorno: 
𝜓 (𝑥 = 0) = 𝜓 (𝑥 = 0)
𝜓 (𝑥 = 𝑎) = 𝜓 (𝑥 = 𝑎)
 
(13) 
Por lo que, 
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0 = 𝐴 + 𝐵
0 = 𝐴𝑒 + 𝐵𝑒
 
(94) 
Este sistema en primera instancia es compatible determinado, por ser un sistema homogéneo 
con dos ecuaciones y dos incógnitas, por lo que tiene una única solución, 𝐵 = −𝐴. 
Reemplazando una ecuación en la otra obtenemos 
0 = 𝐴(𝑒 − 𝑒 ) (15) 
Existen dos posibles caminos para resolver esta ecuación, 𝐴 = 0 o 𝑒 − 𝑒 = 0, pero la 
solución A=0 no es de utilidad, por lo que buscaremos las soluciones no triviales. Trabajando 
sobre la segunda opción, procedemos a multiplicar y dividir por 2𝑖 
2𝑖
𝑒 − 𝑒
2𝑖
= 0 
(16) 
Pudiendo hacer uso de la fórmula de Euler, se tiene: 
sin(𝑘𝑎) = 0 (17) 
Una solución posible es k=n𝜋, donde n es un número entero. 
Luego, se reemplaza el valor de 𝑘, en la ecuación (11) y se obtiene: 
2𝑚𝐸
ℏ
𝑎 = 𝑛𝜋 
(18) 
Si despejamos el valor de la energía concluimos que E podrá tomar valores discretos, de la 
siguiente forma: 
𝐸(𝑛) =
ℏ
2𝑚
𝑛𝜋
𝑎
 
(19) 
Y diremos que la energía está cuantizada. En la Figura 2 se muestran algunos niveles de 
energía que puede tomar la partícula. 
La energía en el estado fundamental será: 
𝐸(𝑛 = 1) =
ℏ
2𝑚
𝜋
𝑎
 
(20) 
 
 
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Figura 2. Diagrama de niveles de energía posibles para una partícula en una caja. Cada energía es 𝐸 . 𝑛 donde 𝐸 es la 
energía del nivel fundamental. 
b) Obtener la expresión para las funciones de onda posibles. 
Del inciso anterior tenemos que la función de onda dentro del pozo potencial tiene la forma: 
𝜓 (𝑥) = 2𝑖𝐴 sin
2𝑚𝐸(𝑛)
ℏ
𝑥 
(21) 
Simplificando la expresión tomando 𝐴 = 2𝑖𝐴, 𝑘 = ( )
ℏ
 
𝜓 (𝑥) = 𝐴 sin(𝑘𝑥) (22) 
La constante 𝐴 debe ser tal que la función de onda quede normalizada 
|𝜓(𝑥)| 𝑑𝑥 = 1 
(23) 
Tomando el rango de la integral en las tres regiones de la Figura 1. 
|𝜓 (𝑥)| 𝑑𝑥 + |𝜓 (𝑥)| 𝑑𝑥 + |𝜓 (𝑥)| 𝑑𝑥 = 1 
(24) 
Reemplazando por las expresiones conocidas (8) y (24) en (26), se tiene: 
𝐴 sin (𝑘𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐴 .
1
2
(𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥)
𝑎
0
= 𝐴
𝑎
2
= 1 ⟹ 𝐴 =
2
𝑎
 
(25) 
Luego, la ecuación de onda queda expresada de la siguiente manera: 
𝜓(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
 0 (−∞; 0]
2
𝑎
sin
2𝑚𝐸(𝑛)
ℏ
𝑥 [0; 𝑎] 
 0 [𝑎; +∞) 
 
 
 
(26) 
 
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En la Figura 3 se puede apreciar la parte real de las tres funciones de onda para los niveles 
n=1, n=2 y n=3 para 𝑡 = 0, mientras que en la Figura 4 se muestra la densidad de probabilidad 
para los mismos niveles. 
Figura 3. Funciones de onda para una partícula en una caja, con n=1, 2 y 3. 
 
Figura 4. Módulo al cuadrado de las funciones de onda para una partícula en una caja, con n=1, 2 y 3. 
 
 
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c) Si la partícula está en el estado fundamental, 
En el estado fundamental: 𝑛 = 1 
𝐸(𝑛 = 1) =
ℏ
2𝑚
𝜋
𝑎
 
(27) 
i) ¿Cuál es la probabilidad de encontrarla en un intervalo ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏𝒂, en el centro 
de la caja? 
La probabilidad de encontrar la partícula en el centro del pozo potencial en el intervalo [ −
0,005𝑎, + 0,005𝑎] se encuentra integrando |𝜓(𝑥)| (densidad de probabilidad) en ese 
intervalo. En la Figura 4 puede apreciarse el intervalo sobre el cual integrar para obtener el 
valor de probabilidad deseado. 
 
Figura 5. Función de densidad de probabilidad de una partícula en una caja. 
|𝜓 (𝑥)| 𝑑𝑥
,
.
=
2
𝑎
sin
2𝑚
ℏ
2𝑚
𝜋
𝑎
ℏ
𝑥 𝑑𝑥
,
,
= 
2
𝑎
sin
𝜋
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
,
,
=
1
1Å
sin
𝜋
2Å
𝑥 𝑑𝑥
, Å
, Å
= 0,0199 
 
 
 
(28) 
La probabilidad de encontrar la partícula en ese intervalo es del 1,9%. Dicha integral se puede 
aproximar ∫ |𝜓(𝑥)| 𝑑𝑥
,
.
 ≈ |𝜓(0,5𝑎)| ∆𝑥, (ya que se tiene que a>>∆𝑥), queda para el 
estudiante realizar dicho cálculo. 
 
ii) ¿Cuál es la probabilidad de encontrarla en un intervalo ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏𝒂, en uno de 
los bordes de la caja? 
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 Suponiendo que nos encontramos en el borde de la caja que se encuentra en el origen 
debemos integrar de 0 a 0,01𝑎 
|𝜓 (𝑥)| 𝑑𝑥
,
=1
1Å
sin
𝜋
2Å
𝑥 𝑑𝑥 =
1
1Å
sin
𝜋
2Å
𝑥 𝑑𝑥
, Å,
 
|𝜓 (𝑥)| 𝑑𝑥
,
= 6,57𝑥10 
 
 
 
(29) 
La probabilidad de encontrar la partícula en ese intervalo es de 0,000006% 
 Suponiendo que nos encontramos en el borde de la caja que se encuentra en 𝑥 = 𝑎 
debemos integrar de 𝑎 − 0,01𝑎 a 𝑎 
 
|𝜓 (𝑥)| 𝑑𝑥 =
1
1Å
sin
𝜋
2Å
𝑥 𝑑𝑥 = 6,57𝑥10
Å
, Å
Å
, Å
 
(30) 
 
La probabilidad de encontrar la partícula en ese intervalo es de 0,000006% 
 
 
d) Para el electrón en el estado fundamental calcular 𝒙 y 𝒙𝟐 
�̅� = 𝑥|𝜓 (𝑥)| 𝑑𝑥 =
𝑥
1Å
sin
𝜋
2Å
𝑥 𝑑𝑥 = 1Å
Å
 
(31) 
𝑥 = 𝑥 |𝜓 (𝑥)| 𝑑𝑥 =
𝑥
1Å
sin
𝜋
2Å
𝑥 𝑑𝑥
Å
= 1,131Å𝟐 
(32)