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Física IV 
Ejercicio Resuelto 
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Resolución de Ejercicio N° 19, TP 5: Ecuación de Schrödinger 
Consigna 
La parte espacial de la función de onda del estado base para el electrón en el átomo de hidrógeno 
es: ψ(𝑟, 𝜃, 𝜙) =
√
/
𝑒 , donde 𝑎 es el radio de Bohr. 
a) Dibuje la parte espacial de la función de onda en función de r. 
b) ¿La función de onda se encuentra normalizada? 
c) Suponga ahora que el electrón se encuentra en un estado que es combinación del estado 
anterior con el estado Ψ . Escriba una posible función de onda (con su dependencia 
temporal) que lo describa y obtenga la frecuencia de oscilación de su correspondiente 
densidad de probabilidad. 
Resolución 
a) Dibuje la parte espacial de la función de onda en función de r. 
Para poder representar la función de onda analicemos que sucede si r=0. 
 ψ(𝑟, 𝜃, 𝜙) =
1
√𝜋
1
𝑎
/
𝑒 (1) 
 ψ(𝑟 = 0) =
1
√𝜋
1
𝑎
/
𝑒 =
1
√𝜋
1
𝑎
/
 (2) 
Para facilitar la expresión, llamemos a este último término K: 
 𝐾 =
1
√𝜋
1
𝑎
/
 (3) 
Reemplazando K en la expresión (1) 
 𝜓(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝐾𝑒 (4) 
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Esta función tiene la forma de 𝑦 = 𝑒 , en este caso con ordenada al origen situada en K. Por lo 
tanto la gráfica nos queda de la siguiente manera. 
 
 
b) ¿La función de onda se encuentra normalizada? 
Para que una función de onda se encuentre normalizada debe cumplir que: 
 
𝜓𝜓∗𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝑟 = 1 
𝑝(𝑟) = 1 
(5) 
Observación: 𝜓∗es el conjugado de 𝜓, y 𝑝(𝑟) = ∫ ∫ 𝜓𝜓∗𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝜃 es la densidad de 
probabilidad radial. 
Para realizar el cálculo utilizaremos la expresión (4), considerando que K no depende de los 
parámetros 𝜙, 𝜃 y r, obtenemos la siguiente expresión: 
K 
r 
𝜓(𝑟) 
Gráfico 1. Se representa la parte espacial de la función de onda en función de r. 
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𝐾𝑒 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝑟 = 𝐾 𝑒 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝑟 
Integrando respecto de 𝜙: 
𝐾 𝑒 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 (2𝜋) 𝑑𝜃 𝑑𝑟 = 2𝜋𝐾 𝑒 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑟 
Integrando respecto de 𝜃: 
2𝜋𝐾 𝑒 𝑟 (2) 𝑑𝑟 = 4𝜋𝐾 𝑒 𝑟 𝑑𝑟 
Para integrar respecto de r, se puede utilizar la tabla de integrales, en este caso la siguiente integral 
es útil: 
 
𝑥 𝑒 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑒
𝑎
−
𝑛
𝑎
𝑥 𝑒 𝑑𝑥 
(6) 
Entonces nuestra integral queda: 
4𝜋𝐾
𝑟 𝑒
−
−
2
−
𝑟𝑒 𝑑𝑟 
Agregando los límites de integración: 
4𝜋𝐾 lim
→
𝑟 𝑒
−
𝑟 = 𝐴
𝑟 = 0
−
2
−
𝑟𝑒 𝑑𝑟 
4𝜋𝐾 lim
→
– 𝑎 𝑟 𝑒
2
𝑟 = 𝐴
𝑟 = 0
+ 𝑎 𝑟𝑒 𝑑𝑟 
Nuevamente podemos utilizar la tabla de integrales, en este caso la siguiente integral es útil: 
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 𝑥𝑒 𝑑𝑥 =
𝑒
𝑎
(𝑎𝑥 − 1) (7) 
Entonces la integral queda: 
4𝜋𝐾
– 𝑎 𝑟 𝑒
2
+ 𝑎
𝑒
−
(
−2𝑟
𝑎
− 1) 
Agregando los límites de integración: 
4𝜋𝐾 lim
→
– 𝑎 𝑟 𝑒
2
𝑟 = 𝐴
𝑟 = 0
+ 𝑎 lim
→
𝑒
−
(
−2𝑟
𝑎
− 1)
𝑟 = 𝐴
𝑟 = 0
 
4𝜋𝐾 lim
→
– 𝑎 𝑟 𝑒
2
𝑟 = 𝐴
𝑟 = 0
+ lim
→
𝑎 𝑒
4
(
−2𝑟
𝑎
− 1)
𝑟 = 𝐴
𝑟 = 0
 
Reemplazando r=A y r=0: 
4𝜋𝐾 lim
→
– 𝑎 𝐴 𝑒
2
+ lim
→
𝑎 𝑒
4
−2𝐴
𝑎
− 1 −
𝑎
4
(−1) 
4𝜋𝐾 lim
→
– 𝑎 𝐴 𝑒
2
+ lim
→
−2𝐴𝑎 𝑒
4
−
𝑎 𝑒
4
+
𝑎
4
 
4𝜋𝐾 lim
→
– 𝑎 𝐴
2𝑒
+ lim
→
−2𝐴𝑎
4𝑒
−
𝑎
4𝑒
+
𝑎
4
 
Cuando evaluamos el límite de los términos en rojo queda una indeterminación del tipo ∞/∞, si 
realizamos la regla de L’Hopital, obtenemos estos resultados. 
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lim
→
– 𝑎 𝐴
2𝑒
= lim
→
– 𝑎 2𝐴
2. . 𝑒
= lim
→
– 𝑎 2
2. . 𝑒
= 0 
lim
→
−2𝐴𝑎
4𝑒
= lim
→
−2𝑎
4.2𝐴. 𝑒
= 0 
El término en verde también resulta cero ya que el denominador tiende a infinito. Luego, la 
expresión queda: 
𝜓𝜓∗𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝑟 =
4𝜋𝐾 𝑎
4
 
Recordando que 𝐾 =
√
/
 
𝜓𝜓∗𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝑟 = 𝜋 𝑎
1
√𝜋
1
𝑎
 
𝜓𝜓∗𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝑟 = 𝜋𝑎
1
𝜋
1
𝑎
= 1 
Por lo tanto la función de onda está normalizada como queríamos demostrar. 
En la Tabla 1, se presentan las eigenfunciones (también llamadas autofunciones, y son soluciones 
de la ecuación de Schrödinger) normalizadas para átomos con un solo electrón. En la tabla se 
menciona los números cuánticos: 
 n: número cuántico principal que indica el nivel de energía donde se encuentra el electrón. 
 l: número cuántico secundario que indica el orbital en el que se encuentra el electrón. 
 ml: número cuántico magnético que indica la orientación del giro del electrón. 
 
 
 
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Tabla 1 – Algunas eigenfunciones para átomos con un sólo electrón. Extraído del libro “Física Cuántica” 
de los autores Eisberg-Resnick. 
Números cuánticos 
Eigenfunciones 
𝒏 𝒍 𝒎𝒍 
1 0 0 𝜓 =
1
√𝜋
𝑍
𝑎
𝑒 
2 0 0 𝜓 =
1
4√2𝜋
𝑍
𝑎
2 −
𝑍𝑟
𝑎
𝑒 
2 1 0 𝜓 =
1
4√2𝜋
𝑍
𝑎
𝑍𝑟
𝑎
𝑒 cos 𝜃 
2 1 ±1 𝜓 ± =
1
8√2𝜋
𝑍
𝑎
𝑍𝑟
𝑎
𝑒 sin 𝜃 𝑒± 
3 0 0 𝜓 =
1
81√3𝜋
𝑍
𝑎
27 − 18
𝑍𝑟
𝑎
+
2𝑍 𝑟
𝑎
𝑒 
3 1 0 𝜓 =
√2
81√𝜋
𝑍
𝑎
6 −
𝑍𝑟
𝑎
𝑍𝑟
𝑎
𝑒 cos 𝜃 
3 1 ±1 𝜓 ± =
1
81√𝜋
𝑍
𝑎
6 −
𝑍𝑟
𝑎
𝑍𝑟
𝑎
𝑒 sin 𝜃 𝑒± 
3 2 0 𝜓 =
1
81√6𝜋
𝑍
𝑎
𝑍 𝑟
𝑎
𝑒 (3 cos 𝜃 − 1) 
3 2 ±1 𝜓 ± =
1
81√𝜋
𝑍
𝑎
𝑍 𝑟
𝑎
𝑒 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑒± 
3 2 ±2 𝜓 ± =
1
162√𝜋
𝑍
𝑎
𝑍 𝑟
𝑎
𝑒 sin 𝜃 𝑒± 
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En este ejercicio estamos analizando el átomo de hidrógeno, por lo cual Z=1, y la función de onda 
con los números cuánticos n=1, l=0 y ml=0 
𝜓 =
1
√𝜋
1
𝑎
/
𝑒 
Esta expresión es la misma que nos daban de dato (1), podemos concluir que nos estaban 
presentando la función de onda ya normalizada y que nuestros cálculos fueron acertados. 
c) Suponga ahora que electrón se encuentra en un estado que es combinación del estado 
anterior con el estado 𝚿𝟐𝟎𝟎. Escriba una posible función de onda (con su dependencia 
temporal) que lo describa y obtenga la frecuencia de oscilación de su correspondiente 
densidad de probabilidad. 
Nuestra nueva función de onda es una combinación del estado 𝛹 y 𝛹 
 𝛹 = 𝐶 𝛹 + 𝐶 𝛹 (8) 
El enunciado nos pide escribir 𝛹 = 𝜓 𝜙(𝑡). Recordando que la parte temporal la podemos 
describir de la siguiente manera (teniendo en cuenta que 𝑤 = 𝐸 /ℏ, y 𝐸 representa a la energía 
de dicho estado): 
 𝜙(𝑡) = 𝑒 (9) 
En este caso, 𝑤 está asociada a una energía E1 correspondiente a la función de onda 𝜓 , y 𝑤 
está asociada a la energía E2 correspondiente a la función de onda 𝜓 . Entonces 𝛹 nos queda: 
 𝛹 = 𝐶 𝜓 𝑒 + 𝐶 𝜓 𝑒 (10) 
 
Y la conjugada queda expresada como: 
𝛹∗ = 𝐶∗𝜓∗ 𝑒 + 𝐶∗𝜓∗ 𝑒 
 
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Además, se pide hallar la densidad de probabilidad: 
 𝜌 = |𝛹| = 𝛹. 𝛹∗ (11) 
Desarrollemos el producto 𝛹. 𝛹∗: 
𝛹𝛹∗ = 𝐶 . 𝐶∗. 𝜓 . 𝜓∗ . 𝑒 . 𝑒 + 𝐶 . 𝐶∗. 𝜓 . 𝜓∗ . 𝑒 . 𝑒
+ 𝐶 . 𝜓 . 𝑒 . 𝐶∗. 𝜓∗ . 𝑒 + 𝐶∗. 𝜓∗ . 𝑒 . 𝐶 . 𝜓 . 𝑒 
Si se analiza 𝜓 y 𝜓 de la tabla (1), éstos no tienen parte imaginaria, por lo cual los términos 
conjugados de las eigenfunciones quedan iguales: 
𝜓∗ = 𝜓 
𝜓∗ = 𝜓 
Luego: 
𝛹𝛹∗ = 𝐶 𝐶∗|𝜓 | + 𝐶 𝐶∗|𝜓 | + 𝜓 𝜓 𝐶 𝐶∗𝑒 ( ) + 𝐶∗𝐶 𝑒 ( ) 
Utilizamos estas expresiones para simplificar el resultado: 
 𝑒 = cos(𝑧) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝑧) (12) 
 𝑒 = cos(𝑧) − 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝑧) (13) 
𝛹𝛹∗ = 𝐶 𝐶∗|𝜓 | + 𝐶 𝐶∗|𝜓 |
+ 𝜓 𝜓 {𝐶 𝐶∗[cos 𝑡(w − w ) − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑡(𝑤 − 𝑤 )]
+ 𝐶∗𝐶 [cos t(w − w ) + i sen t(w − w )] } 
Sin pérdida de generalidad, podemos considerar C1 y C2 como coeficientes reales 
𝛹. 𝛹∗ = |𝐶 | |𝜓 | + |𝐶 | |𝜓 | + 𝜓 𝜓 {2𝐶 𝐶 cos[ 𝑡(w − w )]} 
Teniendo en cuenta que cos(−𝜃) = cos (𝜃), podemos re-escribir la ecuación anterior como: 
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𝛹. 𝛹∗ = |𝐶 | |𝜓 | + |𝐶 | |𝜓 | + 𝜓 𝜓 {2𝐶 𝐶 cos[ 𝑡(w − w )]} 
Finalmente, el término (w2-w1) es lo que se conoce como frecuencia de oscilación w, por lo tanto: 
𝑤 = 𝑤 − 𝑤 
𝑤 = (𝐸 − 𝐸 )/ħ