Aplicaciones Derivadas

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Introducción - 1 
 
 
 
 
Aplicaciones de la Derivada 
 
Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema de encontrar 
la mejor manera de hacer algo. Por ejemplo, un productor necesita elegir la 
mezcla de cultivos que sea la más apropiada para producir la mayor 
ganancia. Un médico desea seleccionar la menor dosis de una droga que 
curará cierta enfermedad. 
A un fabricante le gustaría minimizar el costo de distribución de sus 
productos, etc. 
Algunas veces, un problema de este tipo puede formularse de modo que 
implique maximizar o minimizar una función en un conjunto específico. 
 
Existen dos criterios para encontrar el máximo mínimo de una función: 
 
a) Criterio de la primera Derivada 
 
b) criterio de la Segunda derivada. 
 
Previo a estudiar estos Criterios definamos : 
 
Máximos y mínimos absolutos y relativos de una Funión 
Máximo absoluto 
 
El máximo absoluto de una función en un intervalo 
cerrado es el mayor valor que toma la función en todo el intervalo. 
 Es decir, una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es 
mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función. 
 
 
 
 
 
Mínimo absoluto 
 
El mínimo absoluto de una función en un intervalo 
cerrado es el menor valor que toma la función en todo el intervalo. Es 
decir una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la 
ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del 
dominio de la función. 
 
 Máximo y mínimo relativo 
 
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si 
f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. ( 
f(a) ≥ 𝑓(𝑥)) 
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si 
f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b. ( 
f(b) ≤ 𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
a = 3.08 b = -3.08 
 
Cálculo de los máximos y mínimos de una función. 
 
Utilizaremos el criterio de la segunda derivada para 
encontrar los máximos y mínimmos de una función: 
 
Ejemplo: Dada la función: y = 𝒙𝟑+3 𝒙𝟐-8 
Encontrar los valores máximos y mínimos de la función aplicando el criterio 
de la segunda derivada 
 
 
 
 
 
Pasos a seguir para aplicar este criterio: 
 
1) Derivar una vez la función y = 𝒙𝟑+3 𝒙𝟐-8 
𝑦!= 3𝑥2+6 x 
 
2) obtener los puntos críticos de la función es decir encontrar los valores de 
x, para ello igualamos a cero la primera derivada de la función. 
3𝑥2+6 x = 0 
 
Obtenemos las raíces para ello usamos la formula general de Baskara: 
 
encontramos las raíces: 
 
𝑥1,2= −𝑏 ±
 √𝑏2−4𝑎.𝑐
2𝑎
 = - 6± 
√62−43.0
2.3
 ; 𝑥1 =
−6+6
6
= 0 
𝑥2 =
−6−6
6
= 
−12
6
 =-2 
 
3) Encontrar la segunda derivada de la función 
(la segunda derivada nos permite determinar la concavidad de la curva) 
 Sabemos que la primera derivada es iguala:𝑦 , = 3𝑥2+6 x ; 
 Derivamos nuevamente 𝑦 , = 3𝑥2+6 x, para obtener la 
se𝑔𝑢𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 
 𝐲,,= 𝟔𝐱𝟐+6 
 
ahora sustituimos los valores críticos: 𝑥1 = 0; 𝑥2= -2 en la segunda 
derivada: 
𝐲,, = 𝟔𝐱𝟐+6 
 
 
 
 
 
Entonces para : 𝑥1 = 0 , la segunda derivada será igual a: 
 y’’ = 6 (0) + 6y’’ = 6 (0) + 6 
 
 3.1) y’’ = 6 > 0 entonces la curva es cóncava hacia arriba por lo tanto 
tenemos un mínimo en x= 0 
 
Ahora sustituimos valor críticos 𝑥2= -2 en la segunda derivada: 
 y’’ = 6 (-2) + 6 
 y’’ = -12 + 6 
3.2 ) y’’ = - 6 ˂ 0 entonces la curva es cóncava hacia abajo por lo tanto 
tenemos un máximo en x= -2 
 
4) Obtenemos los puntos críticos :(x;y) ; (x;y) 
 
Como ya conocemos los valores de x debemos encontrar los valores de y, 
para ello sustituimos los valores de x en la ecuación original: y = 𝑥3+3 𝑥2-
8 
Primero reemplazamos x= 0 en la ecuación original para encontrar el 
primer punto crítico (0,…) 
Obtenemos:y = 03+3 02-8: 
 Y = -8 
Un punto crítico sería ( 0,-8) donde existe un mínimo ya que según lo 
analizado en el punto 3.1y’’ = 6 > 0 entonces la curva es cóncava hacia 
arriba por lo tanto tenemos un mínimo en x= 0 e y = -8 
Segundo reemplazamos x=-2 en la ecuación original para encontrar el 
segundo punto crítico 
(-2,…) 
Obtenemos:y = (−2)3+3 22-8: 
y = -8 +12 -8 
 y= -16 + 12; 
 
 
 
 
 y= - 4; el punto crítico sería (-2,-4)donde existe un máximo ya que 
según lo analizado en el punto 3.2) la segunda derivada es negativa y’’ = - 6 
˂ 0 entonces la curva es cóncava hacia abajo por lo tanto tenemos un 
máximo en x= -2 
e y= -4. 
Gráfica: el punto máximo es ( -2;-4) y el punto mínimo (0,-8)