Geometría algebraica

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Geometría algebraica
Esta superficie de Togliatti es una superficie algebraica de quinto grado. La imagen representa una porción de su lugar geométrico real
La geometría algebraica es una rama de la matemática que, como sugiere su nombre, combina el álgebra abstracta, especialmente el álgebra conmutativa, con la geometría analítica. Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas. Cuando hay más de una variable, aparecen las consideraciones geométricas que son importantes para entender el fenómeno. Se puede decir que la materia en cuestión comienza cuando se abandona la mera solución de ecuaciones, y el tema de "entender" todas las soluciones se vuelve tan importante como el de encontrar alguna solución, lo que lleva a las "aguas más profundas" del mundo de la matemática, tanto conceptual como técnicamente.
Los objetos fundamentales de estudio de la geometría algebraica son las variedades algebraicas, que son manifestaciones geométricas de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas. Ejemplos de las clases más estudiadas de variedades algebraicas son líneas rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, curvas cúbicas como las curvas elípticas, y curvas cuárticas como las lemniscatas y el óvalo de Cassini. En estas curvas algebraicas planas, un punto del plano pertenece a una curva algebraica si sus coordenadas satisfacen una ecuación polinómica dada.