archivodiapositiva_20236591510

Vista previa del material en texto

Unidad 2
ECUACIONES E INECUACIONES
Tema 1
Ecuaciones
MATEMÁTICAS
Subtemas
Subtemas del tema 1:
 1 Definiciones de igualdad, identidad y ecuación. Similitudes y diferencias.
 2 Ecuaciones lineales y cuadráticas.
 3 Ecuaciones polinomiales y fraccionarias. 
 4 Ecuaciones con radicales y con valor absoluto. 
3
Objetivo
Determinar el conjunto solución de las ecuaciones e inecuaciones mediante procedimientos matemáticos
Introducción
En las presentes láminas se abordan las definiciones de relacionadas con las ecuaciones, sus diferentes clasificaciones, así como sus respectivos procedimientos de resolución. 
4
ACTIVIDAD DE INICIO
Lluvia de ideas sobre la temática de: 
¿Qué es una ecuación?
Subtema 1: Ecuaciones, definición.
IGUALDAD, IDENTIDAD Y ECUACIÓN
IGUALDAD.- Una Identidad o igualdad absoluta, es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas con el símbolo “=” y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.
Ejemplo:
𝑥0 = 1
(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
ECUACIÓN.- Una ecuación es una igualdad, en la cual hay términos conocidos y desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por letras minúsculas.
Ejemplo:
x– 2 = 17, es una igualdad siempre y cuando x = 19.
19– 2 = 17	17 = 17
Ejercicios Propuestos
Determinar si cada igualdad es correcta:
45+24 = 18+56
Marcos realizó un préstamo a un chulquero y debe pagar en 5 meses y los primeros 4 meses pago $78, $72, $87
y $90, respectivamente. ¿Cuánto debe pagar en el último mes para completar el préstamo de $400?
Subtema 2: Características y tipos de ecuaciones.
PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES
Las expresiones que están a ambos lados del símbolo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la
izquierda, segundo miembro el de la derecha.
Expresión 1 = Expresión 2
Considera que a, b, c ∈ R
	Propiedad	Proposición	Ejemplo
	1.- Reflexiva: Todo número es igual a si mismo.	a=a	5=5
	2.- Aditiva: Si sumamos el mismo número a ambos lados
de la igualdad, la igualdad permanece.	Si a = b => a + c = b + c	Si x = 4 => x + 2 = 4 + 2
	3.- Multiplicativa: Si multiplicamos el mismo número en ambos lados de la igualdad, la igualdad permanece.	Si a = b => a . c = b . c	Si x = 4 => x . 2 = 4 . 2
	4.- Potencia: Si elevamos a la misma potencia ambos
lados de una igualdad, ésta se sigue cumpliendo.	Si a=b, => 𝑎2=𝑏2	Si x = 5, => 𝑥2=52
	5.- Transitiva: Si un número es igual a un segundo número y éste es igual a un tercero, el primero y el tercero son iguales.	Si a = b y b = c => a = c	x = 4 y 4 = z x = z
Subtema 3: Sistema de ecuaciones lineales.
Una ecuación lineal o de primer grado, corresponde al tipo más simple de ecuación, pudiendo ser reducida a un
predicado de la forma:
Se indica que son ecuaciones de primer grado cuando el exponente de las variables es 1. Procedimiento para resolver
ecuaciones lineales
Subtema 3: Sistema de ecuaciones lineales.
Solución:
	Consideramos la expresión original:	7x - 5 = 4x + 7
	Siempre de un lado del igual están las incógnitas y del otro lado los valores,
(recuerde la propiedad de aditiva de las igualdades):	7x – 5 + 5 = 4x + 7 +5
	Reducimos la expresión:	7x = 4x + 12
	Restamos 4x a ambos miembros de la ecuación:	7x-4x=4x-4x+12
	Reducimos la expresión:	3x =12
	Efectuamos el producto con el inverso multiplicativo de 3:	1	1
3x =	12
3	3
	Despejamos la incógnita x:	x=4
	Comprobamos el valor de x:	P(4): 7(4)-5 = 4(4)+7 = 23
	Se concluye que AP(X)= {4}	
Subtema 3: Sistema de ecuaciones lineales.
Un vendedor de galletas gasta 24.00 dólares en ingredientes y cobra $ 2.00 por cada galleta. Si al final del día su
ganancia neta de 88 dólares, ¿cuántas galletas vendió?
Solución:
Gasto 24
Valor 2
Ganancia Neta 88
Galletas x
Ganancia Neta= Valor * (Galletas) - Gasto
88= 2 * (x) - 24
Subtema 3: Sistema de ecuaciones lineales.
Se denomina sistema de ecuaciones lineales al conjunto finito de ecuaciones lineales que deben verificarse simultáneamente.
Ejemplo
Sea S un sistema de tamaño 2 × 3 en R tal que:
Los sistemas:
Son equivalentes
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
Sustitución
Igualación
Reducción
Método Gráfico
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
Primero despejamos la variable que tiene menor coeficiente:
x= 11 - 4y
Métodos De Solución Por Sustitución
Este método consiste en despejar alguna de las incógnitas en una ecuación (de preferencia la
incógnita que tenga menor coeficiente) y sustituir su valor en otra ecuación.
Ejemplo:
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Sustituimos x en la otra ecuación:
5 (11 - 4y) + 2y = 19
55 – 20y + 2y = 19
– 20y + 2y = 19 – 55
-18y = -36 => 18y = 36
18
36
y=	=> y= 2
Sustituimos y en la otra ecuación:
x + 4(2) = 11
x + 8 = 11
x = 11 – 8
x= 3
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
Despejamos x en
ambas ecuaciones:
x= 11 - 4y
Métodos De Solución Por Igualación
Este método es muy parecido al de sustitución, consiste en despejar de las dos ecuaciones la misma incógnita e igualarlas, para obtener el valor de la segunda incógnita y después sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones despejadas previamente.
Ejemplo:
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Igualamos las ecuaciones:
19 − 2y
5
= 11 – 4y
19 – 2y = 5 (11 – 4y)
– 2y + 20y = 55 – 19 18y = 36
36
18
y=	=> y= 2
Sustituimos y en la otra ecuación:
x=
19 − 2 (2)
5
x=
19 − 4
5
x=
15
5
x= 3
x= 19 − 2y
5
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
Métodos De Solución Por Reducción
Éste método es para sistemas lineales y de dos incógnitas (dos ecuaciones), consiste en utilizar productos y divisiones para hacer que en las dos ecuaciones una incógnita tenga el mismo coeficiente pero diferente signo, y luego sumar las dos ecuaciones para que así esa incógnita se elimine y nos quede una sola ecuación con una incógnita.
Ejemplo:
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Multiplicamos el coeficiente de la primera ecuación por la segunda para conseguir el mismo coeficiente en x. Y luego la primera ecuación por -1.
Sumamos las dos ecuaciones:
36
18
y=	=> y= 2
x= 19 − 2 (2)
5
x= 19 − 4
5
x=
15
5
x= 3
Sustituimos y en la otra ecuación:
5x + 2 (2) = 19
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
Métodos De Solución Por Método Gráfico
Este método sólo se utiliza con dos incógnitas. Los pasos son:
Ejemplo:
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
1.- Despejamos y en las dos ecuaciones:
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
2.- Construir la gráfica para cada ecuación, obteniendo la tabla de valores de cada una.
	x	0	1	2
	y	2,7	2,5	2,2
	x	0	1	2
	y	9,5	7	4,5
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
3.- Intersección de las gráficas.
Como se puede observar en la gráfica la solución del sistema es en la intersección x=3 , y=2.
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
Problema de Aplicación
Consideremos el siguiente ejemplo; en la tabla se nuestra la información sobre la cantidad de energía (calorías) y proteínas que aportan a nuestro organismo una porción de leche en polvo y una porción de alimento fortificante.
¿Cuántas porciones de leche en polvo y alimento fortificante se requiere para ingerir 1800
calorías y 70 gramos de proteínas?
Sea “x” la cantidad de porciones de alimento fortificante y sea “y” la cantidad de porciones de leche. De acuerdo a esto, podemos formar la siguiente ecuación:
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
Métodos De Solución Por Sustitución
Primero despejamos la variable que tiene menor coeficiente:
x= 70 − 20y
4
Sustituimos x en la otra ecuación:
120 (70 − 20y ) + 450y = 1800
4
2100 – 600y + 450y = 1800
– 600y + 450y = 1800 – 2100
-150y = -300 => 150y = 300
y=
300
150
=> y= 2
Sustituimos y en la otra ecuación:
4x + 20(2) = 70
4x + 40= 70
x = 70 − 40
4
x= 30
4
x= 7,5
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
Métodos De Solución Por Igualación
Despejamos x en ambas ecuaciones:
x= 1800 − 450y
120
Igualamos las ecuaciones:
19 − 2y
600y = 1200
y=
1200
600
=> y= 2
Sustituimos y en la otra ecuación:
x= 70 − 40
4
x= 30
4
x= 7,5
x= 70 − 20y
4
=
1800 − 450y	70 − 20y
120	4
4 (1800 – 450y) = (70 – 20y) * 120
7200 - 1800y = 8400 – 2400y
– 1800y +5 240=0y1=1 8–440y0 – 7200
4x + 20(2) = 70
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
Métodos De Solución Por Reducción
Multiplicamos	el	coeficiente	de	la	primera
ecuación por la segunda para conseguir el mismo coeficiente en x. Y luego la primera ecuación por -1.
Sumamos las dos ecuaciones:
y=
1200
600
=> y= 2
Sustituimos y en la otra ecuación:
𝑆 =
−480𝑥 − 1800𝑦
480𝑥 + 2400𝑦
= −7200
= 8400
−480𝑥 − 1800𝑦	= −7200
 480𝑥 + 2400𝑦	= 8400 
//	600y	=	1200
x=
70 − 40
4
x= 30
4
x= 7,5
4x + 20(2) = 70
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
1.- Despejamos y en las dos ecuaciones:
S=
𝑦 = 1800 −120𝑥
450
𝑦 = 70 −4𝑥
20
Métodos De Solución Por Método Gráfico
2.- Construir la gráfica para cada ecuación, obteniendo la tabla de
valores de cada una.
	x	0	1	2
	y	4	3,73	3,46
	x	0	1	2
	y	3,5	3,3	3,1
Subtema 4: Métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales.
3.- Intersección de las gráficas.
Como se puede observar en la gráfica la solución del sistema es en la intersección x=7,5 , y=2.
ACTIVIDAD DE CIERRE
Conclusiones y preguntas sobre la clase
Utilizar el botón “levantar la mano” de Zoom, para acceder al uso del micrófono de forma ordenada.
ó
Realizar la pregunta por vía chat de Zoom
Bibliografía
Matemáticas aplicadas a la Administración y Economía, 5ta edición. Arya, Lardner, Ibarra. Pearson Education.
Matemáticas para Administración y Economía, 10ma edición. Haeussler, Paul. Pearson Education. 
Fundamentos matemáticos para bachillerato, 3ra edición. Baquerizo, Ramos, Carrión. ESPOL.
Haeussler Jr, Ernest f; Paul, Richard s; Wood, Richard J. (2015). Matemáticas para Administración y Economía. México: Pearson, (4 Ejemplares disponibles en Biblioteca).
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS. : EDITORIAL BONUM, (1 Ejemplar disponible en Biblioteca) 
26
image2.png
image3.png
image4.png
image5.png
image6.jpeg
image7.jpg
image8.jpg
image9.jpg
image10.jpg
image11.jpg
image12.png
image13.png
image14.png
image15.png
image16.png
image17.jpg
image18.jpg
image19.png
image20.jpg
image21.png
image22.jpg
image23.png
image24.jpg
image25.png
image26.jpg
image27.jpg
image28.jpg
image29.png
image30.png
image31.jpg
image32.png
image33.jpg
image34.png
image35.jpg
image1.png