Práctico - Integrales

Vista previa del material en texto

ANALISIS MATEMÁTICO II - MATEMÁTICA II Prof: Dr. Raúl Ortega 
Año 2022 JTP: Lic. Isaías Ibañez 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 
 
INTEGRALES DOBLES 
 
1. Calcular ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝐷
 sobre la región rectangular dada. 
(𝐚) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 en 𝐷: [0,2] × [0,1] 
 
(𝐛) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 en 𝐷: [1,3] × [1,2] 
 
(𝐜) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦2 en 𝐷: [1,4] × [−2,5] 
 
(𝐝) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦2 en 𝐷: [0,2] × [1,2] 
 
(𝐞) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦 cos 𝑥 en 𝐷: [0,
𝜋
2
] × [0,1] 
 
 
2. Calcular ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝐷
 sobre la región dada. 
(𝐚) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 en 𝐷: región acotada por 𝑦 = 𝑥 + 3 ; 𝑦 = 2𝑥2 
 
(𝐛) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 en 𝐷: región acotada por 𝑥 = 0 ; 𝑦 = 1 ; 𝑦 = 𝑥2 ; 1° cuadrante 
 
(𝐜) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 en 𝐷: región acotada por 𝑦 = 𝑥2 ; 𝑦 = 2 − 𝑥2 
 
Observación: Cuando 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1, la integral doble queda ∬ 𝑑𝐴
𝐷
 y es el área de la región 𝑫. Es decir 
𝐴(𝐷) = ∬ 𝑑𝐴
𝐷
 
 
(𝐞) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦4
 en 𝐷: región acotada por 𝑥 = 0 ; 𝑦 = 1 ; 𝑥 = 𝑦3 
 
(𝐟) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2𝑒𝑥𝑦 en 𝐷: región acotada por 𝑦 = 2𝑥 ; 𝑦 = 0 ; 𝑥 = 3 
 
 
3. Calcular las integrales y dibujar la región de integración. 
(𝐚) ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
4
2
2
1
 (𝐛) ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦
0
1
0
 (𝐜) ∫ ∫ 2𝑦 sin 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√𝑥
0
𝜋
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANALISIS MATEMÁTICO II - MATEMÁTICA II Prof: Dr. Raúl Ortega 
Año 2022 JTP: Lic. Isaías Ibañez 
 
INTEGRALES TRIPLES 
 
4. Calcular ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉
𝐸
 sobre la región dada. 
(𝐚) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 en 𝐸: [0,4] × [0,4] × [0,4] 
 
(𝐛) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦𝑧2 en 𝐸: [−1,5] × [2,4] × [0,1] 
 
(𝐜) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 sin 𝑥 cos 𝑦 en 𝐸: [0, 𝜋] × [
3
2
𝜋, 2𝜋] × [1,3] 
 
(𝐝) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 en 𝐸: región bajo 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 6 en el 1° octante 
 
(𝐞) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3 − 4𝑥 en 𝐸: región bajo 𝑧 = 4 − 𝑥𝑦 
 sobre la región en el plano 𝑥𝑦 dada por [0,2] × [0,1] 
 
(𝐟) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 en 𝐸: región bajo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 1 
 sobre la región en el plano 𝑥𝑦 acotada por 𝑦 = √𝑥 ; 𝑦 = 0 ; 𝑥 = 1 
 
Observación: Cuando 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1, la integral triple queda ∭ 𝑑𝑉
𝐸
 y es el volumen del sólido 𝑬. Es decir 
𝑉(𝐸) = ∭ 𝑑𝑉
𝐸
 
 
5. Calcular las integrales. 
(𝐚) ∫ ∫ ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑧
𝑥+𝑦
0
𝑑𝑥
2𝑦
𝑦
𝑑𝑦
1
0
 (𝐛) ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑥
1
√𝑦
𝑑𝑧
𝑦2
0
𝑑𝑦
1
0
 (𝐜) ∫ ∫ ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥
ln(𝑦+𝑧)
0
𝑑𝑦
𝑧2
𝑧
𝑑𝑧
2
1