Integrales_Dobles

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Escuela de Ciencias Exactas e Ingenieŕıa
Programas de Ingenieŕıa
Modelación Matemática
Segundo semestre 2020
Integrales Dobles: Volumen, Área y Promedio
Un edificio tendrá un techo curvo sobre una base rectangular. La base es la región −30 ≤ x ≤ 30, −20 ≤ y ≤ 20,
donde x y y se miden en metros. La altura del techo sobre cada punto de la base está dada por:
h(x, y) = 12− 0.003x2 − 0.005y2
• Encuentre el volumen del edificio.
• Encuentre la altura promedio del techo.
Para hallar el volumen se debe resolver la integral doble∫∫
R
h(x, y) dA
donde R es la región:
1 Material recopilado, diseñado y/o editado
por Bibiana Patiño y Jhon Alex Alvarez.
V olumen =
x=30∫
x=−30
y=20∫
y=−20
(12− 0.003x2 − 0.005y2)dydx
=
x=30∫
x=−30
(
12y − 0.003x2y − 0.005
3
y3
)y=20
y=−20
dx
=
x=30∫
x=−30
[(
12(20)− 0.003x2(20)− 0.005
3
(20)3
)
−
(
12(−20)− 0.003x2(−20)− 0.005
3
(−20)3
)]
dx
=
x=30∫
x=−30
(
1360
3
− 0.12x2
)
dx
=
(
1360
3
x− 0.04x3
)x=30
x=−30
= 25040
El volumen del edificio es de 25040 unidades cúbicas.
Para la Altura Promedio se utiliza la fórmula:
1
Area R
∫∫
R
h(x, y) dA
Por lo tanto Altura Promedio =
1
2400
(25040) = 10.43
!En Geogebra
Material recopilado, diseñado y/o editado
por Bibiana Patiño y Jhon Alex Alvarez.
2
� Ejercicios
1. Resuelva las siguientes integrales:
(a)
∫
(6xy2 − 4x)dx
(b)
∫
(6xy2 − 4x)dy
(c)
2∫
1
(12x2y5 − 4x
y
)dy
(d)
y2∫
y
(3x + 2y)dx
(e)
y3∫
0
(8x3y − 4xy2)dx
(f)
4∫
0
2y∫
y
(8x + ey)dxdy
(g)
1∫
0
1∫
x
x2
√
1 + y4 dydx
(h)
2∫
−2
8−x2∫
x2
dydx. ¿Qué representa el resultado de la integral?
2. Grafique la región de integración de:
(a)
2∫
1
5−y∫
y
f(x, y)dxdy
(b)
x=2∫
x=0
y=2x∫
y=0
f(x, y)dydx
(c)
y=9∫
y=0
x=
√
y∫
x=0
f(x, y)dxdy
(d)
2∫
0
4∫
x2
f(x, y)dydx
3. Un vendedor de bicicletas ha encontrado que si las bicicletas de 10 velocidades se venden en x dólares cada
una, y el precio de la gasolina es y centavos por galón, entonces se venderán aproximadamente
Q(x, y) = 200− 24
√
x + 4(0.1y + 5)3/2
bicicletas por mes. Si el precio de las bicicletas vaŕıa entre $287 y $312 durante un mes t́ıpico y el precio de
la gasolina vaŕıa entre $1.70 y $1.82, ¿aproximadamente cuántas bicicletas se venderán cada mes?
4. En un experimento psicológico se aplican x unidades de est́ımulo A y y unidades del est́ımulo B a un sujeto
cuyo rendimiento en cierto trabajo es medido por la función
P (x, y) = 10 + xye1−x
2−y2
suponga que x vaŕıa entre 0 y 1, mientras que y vaŕıa entre 0 y 3. ¿Cuál es la respuesta promedio del sujeto
a los est́ımulos?
5. Una comunidad está trazada como un rectángulo cuadriculado respecto a dos calles principales que se cruzan
en el centro de la ciudad, cada punto de la comunidad tiene coordenadas (x, y) en esta cuadŕıcula, para
−10 ≤ x ≤ 10, −8 ≤ y con x y y medidas en millas. Suponga que el valor del terreno situado en el punto
(x, y) es V mil dólares, donde
V (x, y) = (250 + 17x)e−0.01x−0.05y
Estime el valor de la manzana de terrenos que ocupa la región rectangular 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2.
3 Material recopilado, diseñado y/o editado
por Bibiana Patiño y Jhon Alex Alvarez.
6. Dibujar la región cuya área está representada por la integral
2∫
0
4∫
y2
dxdy
Después hallar otra integral iterada que utilice el orden inverso para representar la misma área y mostrar que
ambas integrales dan el mismo valor.
7. Hallar el área de la región que se encuentra bajo la parábola y = 4x − x2, sobre el eje x y sobre la recta
y = −3x + 6.
8. Hallar el volumen de la región sólida acotada por la superficie f(x, y) = e−x
2
y los planos z = 0, y = 0, y = x
y x = 1.
9. Una función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas x y y es una función
f(x, y) que satisface las propiedades:
(a) f(x, y) ≥ 0
(b)
∞∫
−∞
∞∫
−∞
f(x, y) dxdy = 1
Muestre que
f(x, y) =

1
4
xy si 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2
0 en otro punto
es una función de densidad de probabilidad conjunto y hallar la probabilidad P [0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2].
10. En cada caso evalúe la integral dada:
(a)
∫∫
R
ex+2ydA donde R es la región acotada por las rectas y = 1, y = 2, y = x, y = −x + 5.
(b)
∫∫
R
xcos(y)dA donde R es la región acotada por y = 0, y = x2, x = 2.
(c)
∫∫
R
(x2 + 3y)dA donde R es la región triangular con vértices en (0, 0), (2, 6) y (2, 0).
11. Para cada integral dibuje la región de integración, establezca el orden inverso y evalúe los dos ordenes.
(a)
4∫
0
2y∫
y
(x3 + y) dxdy
(b)
3∫
2
1∫
−1
(2x2y − 5x) dydx
(c)
4∫
0
√
x∫
x/2
x2y dydx
12. En cada caso encuentre el área de la región acotada por las gráficas de:
(a) y = −x, y = 2x− x2
(b)
√
x +
√
y = 2, x + y = 4
13. En cada caso evalúe la integral correspondiente al orden inverso
(a)
1∫
0
2∫
2y
e−y/x dxdy
(b)
1∫
0
1∫
x
x2
√
1 + y4 dydx
Material recopilado, diseñado y/o editado
por Bibiana Patiño y Jhon Alex Alvarez.
4
(c)
3∫
0
3∫
y
sen(x)
x
dxdy
14. Encuentre el volumen del sólido que se forma debajo del paraboloide z = 4 − 0.03x2 − 0.1y2 y arriba de la
región triangular cuyos vértices son: (−1, 1), (2, 3),(4,−1).
15. Dada la integral
2∫
0
4∫
y2
cos
√
x3 dxdy
(a) Grafique la región de integración.
(b) Invierta el orden de integración.
(c) Calcule la integral.
5 Material recopilado, diseñado y/o editado
por Bibiana Patiño y Jhon Alex Alvarez.