Oscilaciones - Matemáticas

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA. FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES. DEPARTAMENTO EN FÍSICA. 
Carrera: Profesorado en Fisica- Licenciatura en Física. 
Cátedra: Física II 
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1 
RESUMEN1 UNIDAD Nº 5: OSCILACIONES 
Movimiento armónico simple (M.A.S.). Energía en el Movimiento Armónico Simple. Aplicaciones del M.A.S.: 
Péndulo Simple, Péndulo de Torsión, Péndulo Físico. Movimiento Armónico Amortiguado. Unidades. 
Problemas de Aplicación.- 
 
5.1 Movimiento armónico simple (M.A.S.). 
 
 Cualquier movimiento que se repita en intervalos de tiempo iguales se llama movimiento periodico. El 
desplazamiento de una partícula en un movimiento periodico puede expresarse siempre en terminos de senos y 
cosenos. Como el término armónico se aplica a las expresiones que contienen estas funciones, el movimiento 
periodico a menudo se llama tambien movimiento armónico. 
 Si una partícula en movimiento periodico se mueve de ida y vuelta sobre la misma trayectoria, decimos que el 
movimiento es oscilatorio o vibratorio. El universo esta lleno de movimientos oscilatorios. Un ejemplo muy sencillo 
de este movimiento ocurre cuando la fuerza que actúa sobre un cuerpo es proporcional a su desplazamiento a partir de 
la posición dequilibrio. Si esta fuerza actúa siempre hacia la posición de equilibrio del cuerpo hay un movimiento 
repetitivo hacia delante y hacia atras alrededor de esta posición. Dicho movimiento es un ejemplo de lo que se conoce 
como movimiento periodico u oscilatorio. Ejemplos de movimiento periodico son: las oscilaciones de una masa unida 
a un resorte, el movimiento de un péndulo y las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical. Otros sistemas 
que muestran un movimiento oscilatorio, son las moleculas en un sólido que oscilan alrededor de su posición de 
equilibrio; las ondas electromagnéticas, como las ondas luminosas, de radar y de radio, que se caracterizan por vectores 
de campo electrico y magnetico oscilantes; en circuitos de corriente alterna, el voltaje, la corriente y la carga electrica 
que varían periodicamente con el tiempo. 
 Si una partícula se mueve a lo largode un eje x se dice que lo hace con un movimiento armónico simple 
cuando x, su desplazamiento desde la posición de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación: 
 
 x A t cos   (5.1) 
 
donde A,  y  son constantes de movimiento. Con el fin de brindar significado físico a estas constantes en 
conveniente graficar x como una función de t, Figura 5.1. 
 
 
Observe primero que A, o 
 
 
F 
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2 
amplitud del movimiento, es el 
desplazamiento máximo de la 
partícula en la dirección x, ya 
sea positiva o negativa. El 
ángulo  recibe el nombre de 
constante de fase (o fase inicial 
del movimiento) y junto con la 
amplitud A está determinado 
sólo por el desplazamiento y la 
velocidad iniciales de la partícula. Las constantes  y A nos indican cuál era el desplazamiento en el tiempo t= 0. La 
cantidad    t  es conocida como fase del movimiento y es útil para comparar los movimientos de dos sistemas de 
partículas. Advierta que la función x es periodica y se repite cuando t aumenta en 2 rad. 
 
 El periodo T, del movimiento es el tiempo que tarda la partícula en completar un ciclo. Es decir, el valor de x 
en un tiempo t es igual al valor de x en un tiempo t + T . Podemos demostrar que T=2/ con el hecho de que la 
fase aumenta en 2 rad en un tiempo T: 
      t t T    2 
 
Por lo tanto T=2, o 
T 
2

 (5.2) 
 
 El inverso del periodo recibe el nombre de frecuencia del movimiento, f. La frecuencia representa el número 
de oscilaciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo: 
f
T
 
1
2


 (5.3) 
Las unidades de f son ciclos/s o hertz (Hz). 
 Al reescribir la ecuación (5.3) obtenemos: 
 

 2
2
f
T
 (5.4) 
La constante  recibe el nombre de frecuencia angular y tiene unidades de rad/s. 
 Podemos obtener la velocidad de una partícula que experimenta un movimiento armónico simple 
diferenciando la ecuación (5.1) respecto del tiempo: 
- A 
A 
T 
t 
 
Figura 5.1 
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3 
 
 v
dx
dt
A t     sen (5.5) 
 
 De modo similar, la aceleración de la partícula es: 
 
 a
dv
dt
A t     2 cos (5.6) 
 
 Utilizando la expresión (5.1), podemos expresar la ecuación (5.6) como: 
 
a x 2
 (5.7) 
 
 Puesto que las funciones seno y coseno oscilan entre  1, de la ecuación (5.5) vemos que los valores extremos 
de la velocidad son   A. Según la ecuación (5.6) , los valores extremos de la aceleración son   A. En 
consecuencia los valores máximos de la velocidad y aceleración son: 
 
v Amax   (5.8) 
 
v Amax  
2 (5.9) 
 
 La figura (5.2) representa el desplazamiento en función del tiempo para un valor arbitrario de la constante de 
fase. Las curvas para la velocidad y aceleración también se ilustran en la misma figura. Según estas curvas, la fase de la 
velocidad difiere de la fase del desplazamiento en /2 rad ó 90°. Esto siginifica que, cuando x es un máximo o un 
mínimo, la velocidad es cero. 
 De igual modo, cuando x es cero, la velocidad es un máximo. Advierta también que la fase de la aceleración 
difiere de la fase del desplazamiento en  rad ó 180°. Es decir, que cuando x es un máximo, a es un máximo en el 
sentido opuesto. 
 
 
 
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4 
La constante de fase  es importante cuando se compara el 
movimiento de dos o más partículas oscilantes. Suponga que 
la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 de un sólo 
oscilador estan dadas, es decir, en t= 0, x= x0 y v=v0 . En 
estas condiciones de las ecuaciones (5.1) y (5.2), obtenemos: 
x A0  cos y v A0   sen (5.10) 
 
Al dividir la segunda de estas ecuaciones en la primera se 
elimina A, lo que produce 
v
x
tang
0
0
    , ó: 
tang
v
x


 
0
0 
 (5.11) 
 
Aún más, si elevamos al cuadrado las ecuaciones (5.10) y 
sumamos término a término, obtenemos 
x
vA A0
2 0
2
2 2 2 2





  

 cos sen 
 
Al despejar A, encontramos: 
A x
v
 





0
2 0
2

 (5.12) 
Así pues vemos que  y A se conocen si se dan x0 ,  y v0. 
 
x
t
v
xo
vo
t
A
T
vmax
a
t
a
max
0
0
0
a)
b)
c)
 
 
Las siguientes son propiedades importantes de una partícula que efectúa un movimiento armónico simple: 
 El desplazamiento, la velocidad y la aceleración varían senoidalmente con el tiempo pero no estan en fase, como lo 
muestra la figura (5.2) . 
 La aceleración de la partícula es directamente proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario. 
 La frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud. 
 
 
Una masa unidad a un resorte. 
Figura 5.2 
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 Considere un sistema físico compuesto por una masa unida al extremo de un resorte, donde la masa se puede 
mover libremente por una pista horizontal sin fricción, figura (5.3). 
Cuando un resorte no esta ni alargado ni comprimido; la masa está 
en la posición x=0 , conocida como la posición de equilibrio del 
sistema. Por experiencia, sabemos que dicho sistema oscilara hacia 
delante y hacia atrás si se saca de la posición de equilibrio. Como la 
superficie no presenta fricción, la masa se mueve con un 
movimiento armónico simple. 
 Podemos entender este movimiento de manera cualitativa si 
recordamos primero que cuando la masa se desplaza una pequeña 
distancia x a partir del equilibrio, el resorte ejerce una fuerza sobre 
m dada por la ley de Hoocke, según lo expresado por la ecuación: 
F k x  
Esta fuerza se denomina restauradora (lineal) y es directamente 
proporcional al desplazamiento y siempre esta dirigida hacia la 
posición de equilibrio, por lo que es opuesta al desplazamiento. 
 
F
m
x=0
x
xa)
F= 0
m
x=0
xb)
F
m
x=0
x
xc)
 
 
 
 Esto significa que cuando la masa se desplaza hacia la derecha en la figura (5.3), x es positiva y la fuerza 
restauradora apunta hacia la izquierda. Cuando la masa se desplaza hacia la izquierda de x= 0, entonces x es negativa y 
F esta dirigida hacia la derecha. 
 Si aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento de la masa en la dirección x, obtenemos: 
F k x m a   
a
k
m
x  (5.13) 
Es decir, la aceleración es proporcional al desplazamiento de la masa a partir del equilibrio y esta en la dirección 
opuesta. Si la masa se desplaza a una distancia máxima x= A en algun tiempo inicial y se suelta desde el reposo, su 
aceleración inicial es –kA/m (su valor negativo extremo). Cuando la masa pasa por la posición de equilibrio, x= 0, su 
aceleración es cero. En este instante, su velocidad es un máximo. La masa luego continúa su viaje hacia la izquierda de 
la posición de equilibrio y por último llega a x= A, tiempo en el cual su aceleración es k A/m (máximo positivo) y su 
velocidad es otra vez cero. Así pues, vemos que la masa oscila entre los puntos de retorno x= A. En un ciclo 
completo de su movimiento, la masa recorre una distancia 4 A. 
Figura 5.3 
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 Ahora describiremos el movimiento en una manera cuantitativa. Recuerde que a=dv/dt=d2x/dt2, así que 
podemos expresar la ecuación (5.13) como: 
d x
dt
k
m
x
2
2   (5.14) 
 L expresión (5.14) es una ecuación diferencial de segundo orden. La solución de esta ecuación debe ser una 
expresión para x que cumpla con la igualdad, es decir que su segunda derivada sea igual a la función pero de signo 
contario y multiplicada por una constante k/m.. 
 Podemos demostrar que la expresión buscada es  x t A t( ) cos    : 
 
dx
dt
A t    sen  
dx
dt
A t
2
2
2    cos 
luego reemplazando en (5.14) tenemos: 
       A t
k
m
A t    2 cos cos 
2 
k
m
 

k
m
 (5.15) 
Entonces podemos decir que la ecuación (5.1) es solución de (5.14), si se cumple (5.15). 
 A partir de este análisis podemos formular el siguiente enunciado: 
Cada vez que una fuerza que actúa sobre una partícula es directamente proporcional al desplazamiento y tiene sentido 
opuesto, la partícula efectúa un movimiento armónico simple. 
 
 Puesto que el periodo es T=2/ y la frecuencia es es el inverso del periodo podemos expresar el periodo y la 
frecuencia del movimiento de este sistema como: 
 
T
m
k
 
2
2


 (5.16) 
 
f
T
k
m
 
1 1
2
 (5.17) 
Es decir, el periodo y la frecuencia dependen sólo de la masa y de la constante de fuerza del resorte. Como podriamos 
esperar, la frecuencia es más grande para un resorte de mayor rigidez (tanto más rígido el resorte, será más elevado el 
valor de k) y disminuye a medida que crece la masa. 
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Ejemplo Ilustrativo. 
Con el proposito de entender mejor el significado físico de nuestra 
solución de la ecuación de movimiento, consideremos el siguiente 
caso especial. Suponga que tiramos la masa una distancia A a partir 
del punto de equilibrio y la soltamos del reposo desde esta posición 
extendida., como muestra la figura 5.4. Ahora es necesario que 
nuestra solución para x(t) obedesca las condiciones iniciales de que 
en t= 0 , x0= A y v0= 0. 
A
m
0 x = A
t= 0
v = 0
x= A cos(w t)
0
0 
 
 Estas condiciones se logran si elegimos = 0, y se obtiene x= A cos(t), como solución. Para verificar esta 
solución, adviértase que ésta satisface la condición x0= A en t= 0, puesto que cos 0 = 1. Así vemos pues que A y  
contienen la información en las condiciones iniciales.Veamos el comportamiento de la velocidad y la aceleración para 
este caso especial. Puesto que x= A cos(t), 
 
v
dx
dt
A t   sen 
y 
 
a
dv
dt
A t  2 cos 
 
como esperabamos a partir de la expresión anterior de velocidad, vemos que en t= 0, v0= 0. La expresión para la 
aceleración nos indica que en t= 0, a= -  A. Físicamente esta aceleración negativa tiene sentido , puesto que la fuerza 
sobre la masa está dirigida hacia la izquierda cuando el desplazamiento es positivo. En efecto en la posición extrema 
mostrada en la figura 5.4, F= kA (hacia la izquierda), y la aceleración inicial es kA/m. 
 
 También podriamos utilizar un enfoque más formal para probar que x= Acost es la solución correcta 
usando la relación tan=-v0/ x0 (ecuación 5.11). Puesto que v0= 0 en t= 0, tan= 0 y por ello = 0 ó . Solo = 0 
produce el signo correcto para x0. 
 
 
 
 
Figura 5.4 
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5.2 Energía en el Movimiento Armónico Simple. 
 Examinemos ahora la energía mecánica del sistema masa-resorte descripto en la figura 5.4. Puesto que la 
superfice horizontal no presenta fricción, esperamos que la energía mecánica total sea constante. Podemos utilizar la 
ecuación 5.5 para expresar la energía cinética como: 
    E m v m A t m A tc      
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2 2 sen sen     (5.18) 
 La energía potencial elástica almacenada en el resorte para cualquier elongación x esta dada por 
1
2
2kx . Con la 
ecuación 5.1, obtenemos: 
    E k x k A t kA tp     
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2 cos cos    (5.19) 
 Vemos que EC y EP son siempre cantidades positivas. En vista de que 2  k
m , podemos expresar la energía 
total del oscilador armónico simple como: 
 
    E E E kA t tM C P     
1
2
2 2 2sen cos    
 
Pero sen2  + cos2  = 1, donde =  t +  , en consecuencia esta ecuación se reduce a : 
 
E kAM 
1
2
2
 (5.20) 
 
Lo cual significa que la energía de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento y es proporcional al 
cuadrado de la amplitud. De hecho, la energía mecánica total es igual a la energía potencial máxima almacenada en el 
resorte cuando x=  A. En estos puntos, v= 0 y no hay energía cinética. En la posición de equilibrio, x= 0 y EP = 0, 
de manera que la energía total está toda dada en la forma de energía cinética. 
Es decir, en x= 0, 
 
E mv m Ac max 
1
2
2 1
2
2 2 . 
 
 En la figura 5.5a se presentan gráficas de las energías cinética y potencial en función del tiempo, donde hemos 
tomado = 0. Como se mencionó antes, EC como EP siempre son positivas y su suma en todo momento es una 
constante igual a 
1
2
2kA , la energía mecánica total del sistema. Las variaciones de EC y EP se grafican en la figura 5.5b. 
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La energía se transforma continuamente de la energía potencial almacenada en el resorte a la energía cinética de la 
masa. 
t
E , Ec p
1 k A
2
2
TT/2
 = 0
E
E
c
p
a)
Ec Ep
- A A x0
b)
1 k x
2
2
1 m v
2
2
 
 
 
 La figura 5.6 ilustra la posición, velocidad, aceleración, energía cinética y energía potencial del sistema masa-
resorte para un periodo completo del movimiento. La mayor parte de las ideas expuestas hasta ahora se incorpora en 
esta importante figura. Estúdiala cuidadosamente. 



amax
vmax
a
max
vmax
amax
- A A0 
t 
 
0 
 
 
T/4 
 
 
T/2 
 
 
3T/4 
 
 
T 
x 
 
A 
 
 
0 
 
 
A 
 
 
0 
 
 
A 
v 
 
0 
 
 
 A 
 
 
0 
 
 
 A 
 
 
0 
a 
 

 A 
 
 
0 
 
 

 A 
 
 
0 
 
 

 A 
EC 
 
0 
 
 
 1
2
2
m A 
 
 
0 
 
 
 1
2
2
m A 
 
 
0 
EP 
 
1
2
2kA 
 
 
0 
 
 
1
2
2kA 
 
 
0 
 
 
1
2
2kA 
 
Figura 5.5 
Figura 5.6 
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 Por último, es posible utilizar la conservación de la energía para obtener la velocidad correspondiente a un 
desplazamiento arbitrario x al expresar la energía total en alguna posición arbitraria como: 
E E E mv k x k AC P    
1
2
1
2
1
2
2 2 2 
 v
k
m
A x A x     2 2 2 2 (5.21) 
También en este caso esta expresión comprueba el hecho de que la velocidad es un máximo en x= 0 y es cero en los 
puntos x=  A 
 
 
5.3 Aplicaciones del M.A.S. 
5.3.1Péndulo Simple, 
 El péndulo simple es otro sistema mecánico que se mueve en un 
movimiento oscilatorio. Se compone de una masa puntual m suspendida por 
una cuerda ligera de longitud L, donde el extremo superior de la cuerda esta 
fijo como muestra la figura 5.7. El movimiento ocurre en un plano vertical y 
es accionado por la fuerza gravitacional. Mostraremos que, siempre y cuando 
el ángulo  sea pequeño, el movimiento es el de un oscilador armónico 
simple. Las fuerzas que actúan sobre la masa son la fuerza T y la fuerza 
graviracional mg. La componente tangencial de la fuerza gravitacional, 
mgsen , actúa siempre hacua  = 0, opuesta al desplazamiento. 

mg sen

TL
mg
mg cos
m
s
 
Por consiguiente, la fuerza tangencial es una fuerza restauradora y podemos escribir la ecuación de movimiento en la 
dirección tangencial: 
F mg m
d s
dt
t   sen
2
2
 
donde s es el desplazamiento medido a lo largo del arco y el signo menos indica que Ft actúa hacia la posición de 
equilibrio. Puesto que s= L  y L es constante, esta ecuación se reduce a: 
d
dt
g
L
2
2

  sen 
 El lado derecho es proporcional a sen en lugar de  ; por lo tanto concluimos que el movimiento no es 
armónico simple, debido a que no es de la forma de la ecuación (5.14). Sin embargo si suponemos que  es pequeño 
Figura 5.7 
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podemos utilizar la aproximación sen  , donde  se mide en radianes2. En consecuencia, la ecuación de 
movimiento se vuelve: 
d
dt
g
L
2
2

  (5.22) 
 
 Tenemos ahora una expresión que es exactamente de la misma forma que la ecuación (5.14), por lo que 
concluimos que el movimiento es armónico simple. En conseciencia,  puede escribirse como: 
     0 cos t 
donde  es el desplazamiento angular máximo. 
 
 La frecuencia angular es: 
 
g
L
 (5.23)
 
 Para el periodo del movimiento tenemos: 
T
L
g
 
2
2
 
 


 (5.24) 
 
 En otras palabras, el periodo y la frecuencia de un péndulo simple dependen sólo de la longitud de la cuerda y 
del valor de g. Puesto que el periodo es independiente de la masa, concluimos que todos los péndulos simples de igual 
longitud, en el mismo sitio de la Tierra, oscilan con periodos iguales3. La analogía entre el movimiento de un pédulo 
simple y el sistema masa-resorte se ilustran en la figura 5.6. 
 
 El pédulo simple puede ser empleado como un marcador de tiempo. También es un dispositivo adecuado para 
efectuar medidas precisas de la aceleración en caída libre. Dichas mediciones son importantes puesto que las 
variaciones en los valoreslocales de g pueden brindar información acerca de la ubicación de petróleo y otros valiosos 
recursos subterráneos. 
 
2
 Esta aproximación puede entenderse examinando el desarrollo en serie para sen , el cual es sen
! !
... 
 
   
3 5
3 5
 Para valores pequeños 
de , vemos que sen  . La diferencia entre  (en radianes) y sen para = 15° es aproximadamente del 1 %. 
3
 El periodo de oscilación para el péndulo simple con amplitud arbitraria es: T
L
g
   





2 1
1
4 2
9
64 2
2 0 4 0

 
sen sen ... donde  es el 
desplazamiento angular máximo en radianes. 
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12 
5.3.2 Péndulo Físico. 
 Si un objeto colgante oscila de un eje fijo que no pasa por su centro de 
masa, y el objeto no puede aproximarse con precisión a una masa puntual, 
entonces debe tratarse de un péndulo físico o compuesto. Considere un objeto 
rígido que gira alrededor de un punto O que está a una distancia d del centro de 
masa.. Figura 5.8. El momento de torsión alrededor de O lo proporciona el peso 
del objeto, y la magnitud del momento de torsión es mgd sen. Aprovechando 
el hecho de que = I  , donde I es el momento de inercia alrededor del eje que 
pasa por O, obtenemos: 
O
CM
mg
d
d sen

 
 mgd I
d
dt
sen
2
2
 
 El signo menos indica que el momento de torsión alrededor de O tiende a disminuir . Es decir, el peso del 
objeto produce un momento de torsión restaurador. 
 Si suponemos también que  es pequeño, entonces la aproximación sen =  es válida y la ecuación de 
movimiento se reduce a: 
d
dt
mgd
I
2
2
2
   





   (5.25) 
 
 Esta ecuación es de la misma forma que la ecuación (5.14), de manera que el movimiento es armónico simple. 
Es decir, la solución de la ecuación (5.25) es      0 cos t , donde  es el desplazamiento angular máximo y 
 
mgd
I
 
 El período es 
T
I
mgd
 
2
2


 (5.26) 
 
 Se puede utilizar este resultado para medir el momento de inercia de un cuerpo rígido plano. Si se conoce la 
localización del centro de masa y consecuentemente de d, el momento de inercia puede obtenerse midiendo el período. 
Por último, advierta que la ecuación (5.26) se reduce al período de un péndulo simple (ecuación 5.24) cuando I = md2, 
es decir, cuando toda la masa se concentra en el centro de masa. 
 
 
Figura 5.8 
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13 
5.3.3 Péndulo de Torsión 
 La figura 5.9 muestra un cuerpo rígido suspendido por un alambre 
amarrado en la parte superior de un soporte fijo. Cuando el cuerpo se hace 
girar cierto ángulo pequeño , el alambre torcido ejerce un momento de 
torsión restaurador sobre el cuerpo proporcional al desplazamiento angular. 
 Es decir: 
    
Donde  (la letra griega Kappa) recibe el nombre de constante de torsión del 
alambre de soporte. El valor de  puede obtenerse aplicando un momento de 
torsión conocido para torcer el alambre un ángulo  que pueda medirse. 

 
 
La aplicación de la segunda ley de Newton para movimiento rotacional produce 
  

   I
d
dt
2
2
 
d
dt I
2
2
 
  (5.27) 
 De nuevo, esta es la ecuación de movimiento para un oscilador armónico simple, con


I
 y un periodo 
T
I
 2

 (5.28) 
 Este sistema recibe el nombre de péndulo torsional. No hay una restricción de ángulo pequeño en esta situación, 
siempre que la respuesta del alambre permanezca lineal. El volante de un reloj oscila como un péndulo de torsión, por 
medio de la energía del resorte principal. Los péndulos de torsión se usan también en los galvanómetros de laboratorio 
y en la balanza de torsión de Cavendish. 
 
5.4. Oscilaciones Amortiguadas 
 Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora han correspondido a sistemas ideales, es 
decir, sistemas que oscilan de manera indefinida bajo la acción de una fuerza restauradora lineal. En sistemas reales, las 
fuerzas disipativas, como la fricción, están presentes y retardan el movimiento. En consecuencia, la energía mecánica 
del sistema disminuye en el tiempo y se dice que el movimiento está AMORTIGUADO 
 Un tipo común de fuerza retardadora, es proporcional a la velocidad y actúa en la dirección opuesta al 
movimiento. Esta fuerza retardadora se observa cuando un objeto se mueve a través de un gas. Puesto que la fuerza 
Figura 5.9 
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retardadora puede expresarse como R = bv, donde b es una constante, y la fuerza restauradora del sistema es k x, 
podemos escribir la segunda ley de Newton como 
F k x bv m ax x    
   k x b
dx
dt
m
d x
dt
2
2
 (5.29) 
Para solucionar esta ecuación se necesitan matemáticas que quizá aún no lo sean familiares, de manera que 
simplemente la enunciaremos aquí sin demostración. Cuando la fuerza es pequeña comparada con kx., es decir, 
cuando b es pequeña, la solución para la ecuación 5.29 es 
 x A e t
b
m
t
 

 
 
2 cos   (5.30) 
donde la frecuencia angular del movimiento es 
  






k
m
b
m2
2
 (5.31) 
Este resultado puede verificarse al sustituir la ecuación 5.30 en la 5.29. 
En este caso, la figura 5.10a muestra el desplazamiento 
como una función de tiempo. Vemos que “cuando la fuerza 
retardadora es pequeña comparada con la fuerza 
restauradora, el carácter oscilatorio del movimiento se 
preserva pero la amplitud disminuye en el tiempo, y el 
movimiento finalmente cesa”. Cualquier sistema que se 
comporte de esta manera se conoce como un oscilador 
amortiguado. Las líneas punteadas en la figura 5.10a, las 
cuales definen lo que se conoce como la ENVOLVENTE 
de la curva oscilatoria, representan el factor exponencial que 
aparece en la ecuación 5.30. Esta envolvente muestra que 
LA AMPLITUD DECAE EXPONENCIALMENTE 
CON EL TIEMPO. Para el movimiento con una constante 
de resorte y masa de la partícula determinadas, las 
oscilaciones se amortiguan con mayor rapidez a medida que 
el valor máximo de la fuerza retardadora se acerca al valor 
máximo de la fuerza restauradora. Un ejemplo oscilador 
armónico amortiguado es una masa sumergida en un fluido, 
x
A
A e
b
2 m
t-
t
0
liquido
a)
b)
 
Figura 5.10 
a) Gráfica del desplazamiento en función del 
tiempo para un oscilador amortiguado. Advierta 
la reducción de la amplitud con el tiempo. b) Un 
ejemplo del oscilador amortiguado es una masa 
unidad a un resorte sumegida enun líquido. 
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15 
como se ve en la figura 5.10b. 
 
 Es conveniente expresar la frecuencia angular de un oscilador amortiguado en la forma 
  





0
2
2
2
b
m
 
 
donde 0 
k
m
 representa la frecuencia angular cuando no hay fuerza retardadora (el oscilador subamortiguado). 
En otras palabras, cuando b = 0, la fuerza retardadora es cero y el sistema oscila con su frecuencia natural, 0 
Conforme la magnitud de la fuerza retardadora se acerca a la magnitud de la fuerza restauradora en el resorte, las 
oscilaciones se amortiguan rápidamente. Cuando b alcanza un valor crítico bc tal que 
b
m
c
2 0 
  ., el sistema no oscila y 
se dice que está críticamente amortiguado. 
 
En este caso, una vez liberado desde le reposo en cierta posición de no equilibrio, el sistema regresa al equilibrio y ahí 
permanece. La gráfica del desplazamiento contra el tiempo en este caso es la curva b en la figura 5.11. 
 Si el medio es tan viscoso que la fuerza retardadora 
es más grande que la restauradora, es decir, si 
b
m2 0 
   el 
sistema está sobreamortiguado. También en este caso el 
sistema desplazado no oscila sino simplemente regresa a su 
posición de equilibrio. Conforme aumenta el 
amortiguamiento, el tiempo que se requiere para que el 
desplazamiento alcance el equilibrio también aumenta, como 
se indica en la figura 5.11 En cualquier caso, cuando la 
fricción está presente, con el tiempo la energía del oscilador 
será cero. La energía mecánica perdida se disipa en energía 
térmica en el medio retardador 
x
ta
b
c
 
 
Este resumen se complementa con la lectura de los libros cuyos autores y nombres figuran en la Bibliografía Básica de 
la guía didáctica. En particular en los libros: RESNICK Y HOLLIDAY. (1997). Física, Parte I. México. C.E.C.S.A 
paginas 311 1 335. El tema composición de movimientos se sugiere consultar en Cap 12, páginas 391 a 399 del libro 
FISICA, DE ALONZO Y FIN, VOLUMEN I. 
Figura 5.11. 
Grafica del desplazamiento en función del 
tiempo para un oscilador subamortiguado 
a); un oscilador criticamente amortiguado 
b); y un oscilador sobreamortifguado c).