Montaje por ajuste prensado (Prof Oscar González)

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Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR 
AJUSTES 
Departamento de Mecánica 
MC4131: Diseño de 
Máquinas I 
AJUSTE: 
Unión por fricción entre 
un eje y un cubo 
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
Tipos de montajes por ajustes: 
 
• Ajustes móviles 
• Ajustes indeterminados 
• Ajustes forzados o prensados 
Características funcionales: 
 
• Para movimiento relativo entre piezas 
• Para “adherencia” 
• Para transmisión de potencia 
Si se desea 
montar una 
pieza con 
agujero sobre 
un eje. 
Existen tres 
alternativas 
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
PRENSADOS 
Una vez montado el cubo sobre el 
eje…: 
• Se generan presiones radiales de 
compresión sobre el eje 
• Se generan presiones radiales de 
dilatación en el agujero del cubo 
Unión por fricción entre 
un eje y un cubo 
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
PRENSADOS 
La verificación a resistencia 
de eje y cubo se realiza por la Teoría de 
Cilindros de Pared Gruesa 
Prof. Oscar González R. 
TEORÍA DE CILINDROS 
DE PARED GRUESA 
Prof. Oscar González R. 
TEORÍA DE CILINDROS DE PARED 
GRUESA 
Consideraciones y Convenciones 
. 
A.- Definición de cilindro de pared gruesa 
D/t < 10 (D = diámetro, t = espesor). 
B.-Caso General: Cargas externas e internas 
simétricas respecto al eje del cilindro y 
constantes respecto a ese mismo eje. 
 (pb= presión externa; pa= presión interna) 
C.-Cada punto del cilindro se desplaza radialmente 
debido a las deformaciones producidas por las 
cargas aplicadas. 
D.-No existen tensiones axiales en el cilindro. 
E.- Se desigan por “u” al desplazamiento radial de 
un punto arbitrario. Será función del radio 
generalizado “r”, y no variará a lo largo del cilindro. 
F.- Se considera positiva la dirección “r” 
partiendo del eje del cilindro. 
G.-Se designa por εx y εy los alargamientos o 
deformaciones unitarias en el cilindro, en la 
dirección radial y circunferencial respectivamente. 
r 
Prof. Oscar González R. 
Metodología de análisis: 
 
1. Análisis de deformaciones 
2. Análisis de Esfuerzos 
3. Análisis de la Relación Esfuerzos-deformaciones 
(Ley de Hooke y Ecuaciones constitutivas) 
TEORÍA DE CILINDROS DE PARED GRUESA 
Prof. Oscar González R. 
1.- Análisis de deformaciones 
TEORÍA DE CILINDROS DE PARED GRUESA 
B’ 
A’ B 
A r 
Antes de la carga 
Después de la 
carga 
La nueva longitud del AB elemento será: 
´ ´ ( )A B r dr u du r u dr du
Deformación radial unitaria 
( )
r
o
l dr du dr du
dr drl
Deformación circunferencial unitaria 
Antes de la carga: 
Long. de la Circunferencia = 2 r 
Después de la carga: 
Long. de la Circunferencia = 2 (r+u) 
2 ( ) 2
2t
r u r u
r r
El punto A experimenta 
un desplazamiento “u” y 
el punto B experimenta un 
desplazamiento “u+du” 
Prof. Oscar González R. 
2.- Análisis de esfuerzos 
Las dimensiones del elemento son: 
 dr, dz, rd y (r+dr)d . 
Debido a la simetría axial, solo existirán 
tensiones normales sobre los planos del 
elemento, que son 
σr / σt / σz / σr+dσr 
Por las consideraciones iniciales, las tensiones en “z” son nulas 
también (σz = 0) 
, 
Las tensiones tangenciales son iguales 
a cero, por lo que los planos son 
principales 
0
tz zt rt rz tr zr
Proyección en la dirección radial de las tensiones σt 
2 2
d d
sen
Donde 
TEORÍA DE CILINDROS DE PARED GRUESA 
σt 
σt 
σr+dσr σr 
dΨ 
dΨ/2 
 Fuerzas que actúan sobre el elemento en la dirección radial. 
Ec. 1 
Vista en planta del elemento diferencial 
Al dividir 
entre dr,d ,dz 
se obtiene 
0r
r t
r
dr
d
( ) 0 .2
r t
d
r ec
dr Ec. 2 
Prof. Oscar González R. 
3.- Relación Esfuerzos-deformaciones 
, 
TEORÍA DE CILINDROS DE PARED GRUESA 
Ec. 1 
( ) 0 .2
r t
d
r ec
dr
1
r r tE
1
t t rE
Este sistema también puede expresarse como: 
Sustituyendo las expresiones 
específicas para εr y εt en el 
caso de cilindros de pared 
gruesa, se tiene Ecs. 3 
( )
r
o
l dr du dr du
dr drl
2 ( ) 2
2t
r u r u
r r
Ec. 2 
Ecs. 4 
Sustituyendo Ecs.4 
en Ecs.2 queda 
Ecuaciones constitutivas de elasticidad 
μ=Módulo de Poisson 
E= Módulo de Young 
Prof. Oscar González R. 
3.- Relación Esfuerzos-Deformaciones 
, 
TEORÍA DE CILINDROS DE PARED GRUESA 
Ec 5 
Resolviendo la Ec.5 
(La ecuación diferencial de 
elasticidad) 
Donde C1 y C2 son 
constantes de integración Ec. 6 
Introduciendo Ec.6 en Ecs.4: 
Ec. 7 
Ecs. 4 
Las constantes C1 y C2 se 
determinan imponiendo las 
condiciones de borde 
conocidas, es decir: 
 
En r=a (radio interior); r = -pa 
En r=b (radio exterior); r = -pb 
El signo negativo de pa se debe a que el 
es vector normal a la superficie donde 
aplicada pa, tiene sentido negativo 
(Consideración f.-) 
 En realidad debemos hablar de vector 
tracción 
ˆ
a a a
up ps
El signo negativo de pb se debe a la 
dirección negativa del vector tracción 
producto del sentido de la presión pb 
ˆ ˆ
b b
u ups
2212
1
)1()1(
1 r
CC
E
2212
1
)1()1(
1 r
CC
E
Prof. Oscar González R. 
, 
TEORÍA DE CILINDROS DE PARED 
GRUESA 
Sustituyendo las condiciones de borde en Ec. 7, 
se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas: C1 
y C2, que al resolverse resulta: 
Reemplazando 
estos valores en 
la Ec.7, nos 
quedan las 
ECUACIONES 
DE LAME PARA 
CILINDROS DE 
PARED 
GRUESA: 
(con z = 0) 
3.- Relación Esfuerzos-Deformaciones 
Condiciones de borde conocidas: 
En r=a (radio interior); r = -pa 
En r=b (radio exterior); r = -pb 
Ec. 7 
2212
1
)1()1(
1 r
CC
E
2212
1
)1()1(
1 r
CC
E
22
222
1
..
.
1
1
.
1
ab
bpap
E
C ba ba pp
ab
ba
E
C .
.
.
1
1
.
1
22
222
2
22
2
22
22 ...
ab
r
ba
pppbpa baba
r
22
2
22
22 ...
ab
r
ba
pppbpa baba
t
MONTAJES POR AJUSTES 
PRENSADOS 
Para un montaje por ajuste prensado se tiene: 
Presión interna del eje paeje =0 
Presión externa del cubo pbcubo =0 
Presión externa del eje = Presión interna del cubo = Presión del ajuste = p 
Diámetro NOMINAL externo del eje = diámetro NOMINAL interno del cubo = d 
Diámetro externo del cubo = D 
Diámetro interno del eje (para 
ejes huecos) = dia 
D 
d d 
Verificación a resistencia del eje 
MONTAJES POR AJUSTES 
PRENSADOS 
d 
22
2
22
22 ...
ab
r
ba
pppbpa baba
r
22
2
22
22 ...
ab
r
ba
pppbpa baba
t
2
2
22
2
4
1.
r
d
dd
pd ia
ia
r
ECUACIONES 
DE LAME PARA 
CILINDROS DE 
PARED 
GRUESA: 
(con z = 0) 
2
2
22
2
4
1.
r
d
dd
pd ia
ia
t
Para ejes macizos dia →0 
En el exterior del 
eje: 
r = d/2: 
σr = -p 
σt= -p 
Punto más crítico para el eje?: 
En el interior 
En el interior del 
eje (macizo): 
r →dia→ 0: 
σr = 0 
σt= -2p 
σ 
Τ 
σI= σII =-p 
σ 
Τ 
σI=-2p 
σII =0=σIII σIII =0 
Por Tresca: 22
max
feje
adm
IIII
22
2
max
fejep
2
max
feje
EJEp
Verificación a resistencia del cubo 
MONTAJES POR AJUSTES 
PRENSADOS 22
2
22
22 ...
ab
r
ba
pppbpa baba
r
22
2
22
22 ...
ab
r
ba
pppbpa baba
r
2
2
22
2
4
1.
r
D
dD
pd
r
ECUACIONES 
DE LAME PARA 
CILINDROS DE 
PARED 
GRUESA: 
(con z = 0) 
2
2
22
2
4
1.
r
D
dD
pd
t
Denominando m = D/d 
En el exterior 
del cubo: 
r = D/2: 
σr = 0 
σt= 2p/(m
2-1) 
Punto más crítico para el cubo?: 
En el interior 
En el interior del cubo: 
r =d/2: 
σr = -p 
 
 
σ 
Τ 
σI=σII=0 
σt 
Τ 
σI=-p 
σII =0 
σt= σIII 
Por Tresca: 22
max
fcubo
adm
IIII
2)1(2
)1()1(
2
22
max
fcubo
m
mpmp
2
2
max
2
1
m
m
p
fcubo
CUBO
D 
d 
p
m
m
t .
1
1
2
2
σ 
2
max
feje
EJEp
2
2
max
2
1
m
m
p
fcubo
CUBO
MONTAJES POR AJUSTES 
PRENSADOS 
Se tienen dos valores de 
presión máxima del ajuste. 
 
¿Por dónde fallaría el 
montaje? 
 
Se tomará como valor 
máximo de presión de ajuste 
al menor valor entre pmaxEJE y 
pmaxCUBO 
Capacidad de 
transmisión de 
momento torsor dA 
dθ 
T= Torque a transmitir 
L 
La presión p del ajuste sobre cada 
diferencial de áreadA genera una 
fuerza diferencial normal dFN= pdA 
La fuerza de fricción sobre cada 
elemento diferencial de área dF, 
consecuencia de esa fuerza normal 
diferencial dFN será: 
 
dF = μdFN = μpdA = μ.p.d/2.dθ.L 
Ld
d
dA .
2
La fuerza de fricción TOTAL sobre el 
segmento de eje de longitud L es la 
que se encarga de transmitir el 
momento torsor T 
2
0222
d
d
pL
d
dF
d
T
2
2 pLd
T
Interesa conocer el valor de la 
presión mínima pmin necesaria para 
transmitir ese momento torsor T 
Ld
T
p
2min
2
Como T es el valor nominal del 
torque en operación, se busca 
asegurar la transmisión sin 
deslizamiento en el arranque con un 
factor de seguridad (≈2) 
Ld
T
p
2min
4
Hub material 
Longitudinal press Transverse press 
Dry Greased Dry Greased 
Steel 0.07 ... 0.16 0.05 ... 0.12 0.15 ... 0.25 0.08 ... 0.16 
Cast iron 0.09 ... 0.15 0.04 ... 0.08 0.10 ... 0.16 0.08 ... 0.12 
Al alloys 0.05 ... 0.09 0.04 ... 0.06 0.10 ... 0.15 - 
Bronze 0.06 ... 0.08 0.03 ... 0.05 - - 
Brass - - 0.17 ... 0.25 - 
Preliminary values of friction coefficient “μ” for steel shaft: 
Hub material 
Contact areas 
Dry Greased 
Steel 0.08 ... 0.18 0.05 ... 0.12 
Cast iron 0.12 ... 0.20 0.04 ... 0.10 
Al alloys 0.05 ... 0.10 0.03 ... 0.07 
Bronze 0.06 ... 0.16 0.02 ... 0.08 
Brass 0.04 ... 0.14 0.02 ... 0.05 
Preliminary values of friction coefficient for steel shaft: 
Use higher values for small contact pressures and surfaces with higher roughness. 
 influence of connected part roughness and contact pressure 
value on the friction coefficient for a steel hub: 
http://www.mitcalc.com/doc/shaftconf/help/en/shaftconf.htm 
MONTAJES POR AJUSTES 
PRENSADOS 
AJUSTE DIMENSIONAL 
Relación que resulta de la diferencia 
entre las medidas de dos piezas a 
acoplar y el acoplamiento final 
Definiciones DIN 
MEDIDA NOMINAL 
Medida que sirve para la indicación de 
tamaño y a la que se refieren todas las 
diferencias. Es una medida de referencia 
MEDIDA REAL 
Es la medida determinada numéricamente 
por medición sobre una pieza (sujeta a la 
incertidumbre afectada por los errores del 
instrumento de medida y a la apreciación 
del usuario) 
MEDIDA DE AJUSTE 
Es una medida nominal tolerada 
TOLERANCIA 
Es la diferencia entre el valor 
máximo y mínimo admisible de 
una propiedad mensurable 
45 
+0,124 
-0,080 
En la fase de diseño: 
45,033 
MEDIDA NOMINAL 
TOLERANCIA 
En la fase de fabricación: 
MEDIDA DE AJUSTE 
MEDIDA REAL 
MONTAJES POR AJUSTES 
PRENSADOS 
BANDAS DE TOLERANCIA 45 
+0,124 
-0,080 
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
2
max
feje
EJEp 2
2
max
2
1
m
m
p
fcubo
CUBO
Ld
T
p
2min
4Se requiere una presión mínima para garantizar la transmisión de torsor sin 
deslizamiento eje-cubo 
Se requiere conocer el valor de la presión 
máxima de ajuste para que no ocurra falla 
elástica ni en el eje ni en el cubo 
Se requiere disponer de una 
variable proporcional a la presión 
de ajuste pero más fácil de medir 
en la práctica para garantizar el 
ajuste entre los rangos admisibles 
En el rango elástico, las 
deformaciones son proporcionales 
a las cargas aplicadas 
Si se requiere una presión 
determinada en el ajuste, es 
posible lograrla conociendo las 
deformaciones necesarias en el 
rango elástico del eje y del cubo 
d
re
 
d
rc
 
Diám. nominal del eje = Diám. nominal del agujero del cubo 
Diámetro real del eje > Diámetro real del agujero del cubo 
dne=dnc=d 
dre>drc 
Diseño 
Fabricación/montaje 
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
Rango elástico: deformaciones proporcionales a las cargas aplicadas 
d
re
 
d
rc
 
dne=dnc=d 
dre>drc 
Δdre 
Δdrc 
Interferencia antes del ajuste: I = dre-drc 
Interferencia después del ajuste: I = |Δdre|+Δdrc 
Objetivo: Expresar la interferencia dimensional en 
función de la presión de ajuste deseada 
Se busca expresar Δdre y Δdrc en función de la relación 
esfuerzo-deformación 
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
Δdre 
Δdrc 
Se busca expresar Δdre y Δdrc en función de la 
relación esfuerzo-deformación 
En el cubo: rct
c
t
E
1
nc
rc
d
d
rct
c
nc
rc
E
d
d
Recordar que para el interior del cubo: 
p
m
m
t .
1
1
2
2
pr
c
c
nc
rc
m
m
E
dp
d
1
1.
2
2
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
Δdre 
Δdrc 
Se busca expresar Δdre y Δdrc en función de la 
relación esfuerzo-deformación 
En el eje (sup. macizo): ret
e
t
E
1
ne
re
d
d
ret
e
ne
re
E
d
d
Recordar que para el interior del eje (macizo): 
e
e
ne
re
E
dp
d 1
.
σr = 0 
σt= -2p 
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
Δdre 
Δdrc 
Se busca expresar Δdre y Δdrc en función de la relación esfuerzo/deformación 
e
e
ne
re
E
dp
d 1
.
c
c
nc
rc
m
m
E
dp
d
1
1.
2
2
Interferencia después del ajuste: I = |Δdre|+Δdrc 
e
a
c
c
rcret
E
dp
m
m
E
dp
ddI 1
.
1
1.
2
2
Recordar: dne=dnc=d 
Para el caso muy “común” en que: 
Ec=Ee y μc=μe 
Interferencia “teórica” 
)1.(
..2
2
2
mE
dpm
I t
)1.(
..2
2
2
mE
dpm
I mínmínt
)1.(
..2
2
2
mE
dpm
I máxmáxt
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
Interferencia “teórica” 
e
a
c
c
rcret
E
dp
m
m
E
dp
ddI 1
.
1
1.
2
2
)1.(
..2
2
2
mE
dpm
I t
Interferencia “real” considera la rugosidad de las superficies 
El acabado superficial de los cuerpos 
puede presentar errores de forma 
macrogeométricos y microgeométricos. 
 
• La rugosidad superficial “R” es el 
conjunto de irregularidades de la 
superficie real, definidas 
convencionalmente en una sección 
donde los errores de forma y las 
ondulaciones han sido eliminados. 
Después de un montaje a presión, se estima estadísticamente que la superficie 
experimenta un alisamiento G que reduce la Rugosidad promedio en 40%, 
tanto en el eje como en el cubo, lo cual afecta la interferencia teórica 
RG .6,0
Prof. Oscar González R. 
MONTAJES POR AJUSTES 
Interferencia “teórica” 
e
a
c
c
rcret
E
dp
m
m
E
dp
ddI 1
.
1
1.
2
2
)1.(
..2
2
2
mE
dpm
I t
Interferencia “real” considera la rugosidad de las superficies 
RG .6,0
)(2 cuboejetreal GGII
)6,06,0(2 cuboejetreal RRII
)(2,1 cuboejetreal RRII
)(2,1 cuboejemáxtrealmáx RRII
)(2,1min cuboejemíntreal RRII
Rugosidades según los 
procesos de fabricación: 
 
En el proceso de diseño (y para 
poder realizar los cálculos de 
Interferencias reales para 
ajustes), los valores de las 
rugosidades se “imponen” 
dentro de los rangos 
establecidos por normas y 
referencias dependiendo de 
los procesos de fabricación que 
en la fase de diseño se puedan 
estimar como recomendables 
según la geometría y exigencias 
de acabado de cada pieza 
MONTAJES POR AJUSTES 
)(2,1 cuboejemáxtrealmáx RRII
)(2,1min cuboejemíntreal RRII
En la fase de diseño, se requieren 
especificaciones en planos de tolerancias 
dimensionales para los diámetros de ejes y cubos 
dmíneje 
dmáxeje 
dmincubo 
dmáxcubo 
míncubomáxejemáx ddI
máxcubomínejemín ddI
Debe garantizarse que las dimensiones posibles 
de las piezas no excedan los valores permisibles 
de Interferencias máxima y mínima 
MONTAJES POR AJUSTES 
)(2,1 cuboejemáxtrealmáx RRII
)(2,1min cuboejemíntreal RRII
Las bandas de tolerancia y sus posiciones 
relativas están NORMALIZADAS para su uso 
práctico y generan interferencias que no 
necesariamente coinciden con las calculadas 
como Iminreal e Imaxreal 
dmíneje 
dmáxeje 
dmincubo 
dmáxcubo 
míncubomáxejemáx ddI
máxcubomínejemín ddI
realNORMfinalmínNORMmínreal IIIII maxmax
MONTAJES POR AJUSTES 
2
max
feje
EJEp
2
2
max
2
1
m
m
p
fcubo
CUBO
Ld
T
p
2min
4
)(2,1 cuboejemáxtrealmáx RRII
)(2,1min cuboejemíntreal RRII
realNORMfinalmínNORMmínreal IIIII maxmax
Debe buscarse una combinación de bandas de tolerancia 
normalizadas para eje y cubo que satisfaga estas desigualdades 
MONTAJES POR AJUSTES 
MONTAJES PORAJUSTES 
http://www.eet6sannicolas.edu.ar/biblioteca/alumnos/1polimodal/Tolerancias%
20y%20ajustes/TX-TMP-0003%20MP%20Tolerancias%20y%20Ajustes.pdf 
MONTAJES POR AJUSTES 
http://www.eet6sannicolas.edu.ar/biblioteca/alumnos/1polimodal/Tolerancias%20y%20ajustes/TX-TMP-0003%20MP%20Tolerancias%20y%20Ajustes.pdf 
MONTAJES POR AJUSTES 
Nomenclatura para acotación de tolerancias para geometrías cilíndricas 
Para superficies exteriores (ejes) Para superficies interiores (agujeros) 
640h
640H
Medida nominal 
LETRA MINÚSCULA: Indica la 
posición relativa de la banda de 
tolerancia respecto a la medida 
nominal exacta 
NÚMERO: Indica el “ancho” de la 
banda de tolerancia según grado IT 
establecido en la norma DIN 7151 
LETRA MAYÚSCULA: Indica la 
posición relativa de la banda de 
tolerancia respecto a la medida 
nominal exacta 
NÚMERO: Indica el “ancho” de la 
banda de tolerancia según grado IT 
establecido en la norma DIN 7151 
Como subíndice Como superíndice 
MONTAJES POR AJUSTES 
Nomenclatura para acotación de tolerancias para geometrías cilíndricas 
MONTAJES POR AJUSTES 
Nomenclatura para acotación de tolerancias para geometrías cilíndricas 
MONTAJES POR AJUSTES 
Nomenclatura para acotación de 
tolerancias para geometrías 
cilíndricas DIN 7150 
MONTAJES POR AJUSTES 
Sistema que utiliza la tolerancia de un agujero como referencia para 
varias tolerancias de ejes para simplificar las opciones de selección y 
verificación dimensional 
MONTAJES POR AJUSTES 
Sistema que utiliza la tolerancia de un agujero como 
referencia para varias tolerancias de ejes para 
simplificar las opciones de selección y verificación 
dimensional 
MONTAJES POR AJUSTES 
MONTAJES POR AJUSTES 
Selección de tolerancias normalizadas ISO para ajustes 
640 t
640H
realNORMfinalmínNORMmínreal IIIII maxmax
míncubomáxejemáxNORM ddI
máxcubomínejemínNORM ddI
064,0
048,040
016,0
040
mm064,0000,40064,40
mm032,0016,40048,40
MONTAJES POR AJUSTES 
MONTAJES POR AJUSTES 
MONTAJES POR AJUSTES 
MONTAJES POR AJUSTES 
Sistema que utiliza la tolerancia de un eje como referencia 
para varias tolerancias de agujeros para simplificar las 
opciones de selección y verificación dimensional 
MONTAJES POR AJUSTES 
MONTAJES POR AJUSTES 
MONTAJES POR AJUSTES 
MONTAJES POR AJUSTES 
Nomenclatura para acotación de tolerancias para geometrías cilíndricas 
Para superficies exteriores (ejes) Para superficies interiores (agujeros) 
MONTAJES POR AJUSTES 
MONTAJES POR AJUSTES 
Verificación instrumental de las tolerancias dimensionales 
Diferencias admisibles para 
medidas sin indicación de 
tolerancia DIN 7168 
Tolerancias de forma y de 
posición DIN 7184 
Tolerancias de forma y de 
posición DIN 7184 
Tolerancias de forma y de posición DIN 7184 
Tolerancias de forma y de posición DIN 7184 
Tolerancias de forma y de posición DIN 7184 
Tolerancias de forma y de 
posición DIN 7184 
Tolerancias de forma y de posición DIN 7184 
Tolerancias de forma y de posición DIN 7184 
Tolerancias de forma y de posición DIN 7184 
Tolerancias de forma y de posición DIN 7184 
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Tolerancias de forma y de 
posición DIN 7184 
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