Ensayo de Integrales Cerradas

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“República Bolivariana de Venezuela”
“Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior”
Universidad Alonso de Ojeda
Asignatura: Cálculo III
Profesor: Julián Mavarez
Tema: Integrales Cerradas: Positivas y Negativas
Autores: Osmer Zorrilla, Francisco Romero
En este ensayo, explicaremos en detalle las integrales cerradas positivas y
negativas, examinando sus definiciones, ejemplos y sus propiedades. Las
integrales cerradas, tanto positivas como negativas, son conceptos fundamentales
en el campo de las matemáticas y tienen una amplia gama de aplicaciones en
diversas disciplinas. Estas integrales representan la acumulación de cantidades a
lo largo de un camino cerrado, y su comprensión es crucial para comprender
fenómenos físicos, económicos y sociales.
Según el matemático y físico francés Henri Poincaré, en su obra "Analysis
Situs" publicada en 1895, las integrales cerradas son herramientas fundamentales
en el estudio de campos vectoriales. Estas integrales representan la acumulación
de una cantidad a lo largo de un camino cerrado, lo que permite analizar
fenómenos como el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada.
En efecto, las integrales cerradas se refieren a la cantidad que se acumula
a lo largo de un camino cerrado y se denota con el símbolo∮
Según Carl Friedrich Gauss en su obra Disquisitiones arithmeticae (1801)
las integrales cerradas positivas son aquellas integrales definidas en las que el
límite superior e inferior de la variable de integración son constantes y el área bajo
la curva es positiva. En otras palabras, se trata de la suma de las áreas de un
conjunto de intervalos, donde cada intervalo tiene una longitud positiva.
La integral cerrada se representa mediante la notación ∮ (a, b) f(x) dx,
donde "a" y "b" son los límites de la variable "x", y "f(x)" es la función que se
integra. La integral cerrada positiva implica que tanto "a" como "b" son números
reales y que el área bajo la curva es positiva.
En efecto, las integrales cerradas positivas se definen como aquellas
donde el valor del límite superior es mayor que el inferior.
Por ejemplo, considere la función f(x) = x^2. Para encontrar la integral
cerrada positiva de esta función en el intervalo [0, 2], podemos calcular la integral
definida:
∮ (0, 2) x^2 dx = [∮ (0, 2) x^2 dx]
∮ (0, 2) x^2 dx = [1/3 * x^3] (evaluado en 2) - [1/3 * x^3] (evaluado en 0)
= (1/3 * (2)^3) - (1/3 * (0)^3)
= (1/3 * 8) - 0
= 8/3
Entonces, la integral cerrada positiva de la función f(x) = x^2 en el intervalo
[0, 2] es igual a 8/3, que es positivo.
Según Carl Friedrich Gauss en su obra Disquisitiones arithmeticae (1801)
una integral cerrada negativa se refiere a una integral definida en la que el límite
inferior es mayor que el límite superior. En otras palabras, la integral se calcula
desde un punto más alto hasta un punto más bajo. La notación para una integral
cerrada negativa es la siguiente: ∮[b,a] f(x) dx ,donde "a" es el límite inferior (el
punto más bajo) y "b" es el límite superior (el punto más alto). La función f(x) es la
función que se integra dentro del intervalo [b, a].
En efecto, las integrales cerradas negativas son aquellas en la cual el valor
del límite inferior es mayor que del límite superior.
Por ejemplo, supongamos que tenemos la función f(x) = -x^2 en el intervalo
cerrado [-2, 1]. Queremos encontrar la integral cerrada de esta función.
La función es negativa, ya que el coeficiente del término cuadrático es
negativo. Para encontrar el área bajo la curva, debemos calcular el área entre el
eje x y la curva, y luego restar el área entre la curva y el eje x. La integral de la
función es:
∮[-2, 1] -x^2 dx
Primero, calculamos la integral de -x^2 con respecto a x:
-∮x^2 dx = -(1/3)x^3 + C
Ahora, evaluamos la integral en los límites del intervalo:
[(-1/3)(-2))^3 - (-1/3)(1))^3] = (8/3) + (1/3) = 9/3
Entonces, la integral cerrada negativa de la función f(x) = -x^2 en el
intervalo cerrado [-2, 1] es 9/3.
Según Henri Poincaré en su obra Analysis Situs (1895), las propiedades de
las integrales cerradas son las siguientes:
Las integrales cerradas positivas y negativas tienen algunas propiedades
comunes como la suma y resta de integrales cerradas, si tenemos dos funciones
f(x) e g(x) y queremos encontrar la integral cerrada de su suma o diferencia en un
intervalo [a, b], podemos utilizar la propiedad de la suma y resta de integrales:
∮ (a, b) [f(x) + g(x)] dx =∮ (a, b) f(x) dx + ∮(a, b) g(x) dx
∮ (a, b) [f(x) - g(x)] dx =∮ (a, b) f(x) dx -∮ (a, b) g(x) dx
Seguidamente está, la multiplicación y división de integrales cerradas, si
queremos encontrar la integral cerrada de la multiplicación o división de dos
funciones f(x) e g(x), podemos utilizar la propiedad de la multiplicación y división
de integrales:
∮ (a, b) [f(x) * g(x)] dx =∮ (a, b) f(x) dx * ∮(a, b) g(x) dx
∮ (a, b) [f(x) / g(x)] dx =∮ (a, b) f(x) dx /∮ (a, b) g(x) dx
También tenemos el cambio de variable, si queremos encontrar la integral
cerrada de una función f(x) en un intervalo [a, b] y queremos cambiar la variable a
una nueva variable u, podemos utilizar la propiedad del cambio de variable:
∮ (a, b) f(x) dx =∮ (a, b) f(u) du/dx
Las integrales cerradas positivas y negativas difieren en que el área bajo la
curva en una integral cerrada positiva es positiva, mientras que en una integral
cerrada negativa es negativa. Además, el resultado de una integral cerrada
positiva es siempre mayor que el resultado de una integral cerrada negativa con la
misma función y el mismo intervalo.
En conclusión, las integrales cerradas positivas y negativas son
fundamentales en el análisis matemático y tienen varias propiedades y
aplicaciones. A lo largo de este ensayo, hemos explorado las propiedades
comunes y diferencias entre las integrales cerradas positivas e integrales
cerradas negativas, así como algunas técnicas útiles para resolver y trabajar con
estas integrales, como la suma y resta de integrales, la multiplicación y división de
integrales, el cambio de variable y la integración por partes. Además, hemos visto
cómo las integrales cerradas positivas y negativas se relacionan con el área bajo
la curva de una función en un intervalo y cómo estas propiedades pueden ser
útiles en diversas aplicaciones del análisis matemático.