Informe de Campos Vectoriales

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“República Bolivariana de Venezuela”
“Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria”
Sección: II0311S
Carrera: Ingeniería Industrial
Profesor: Julián Mavare
Asignatura: Calculo III
Campos Vectoriales
Alumno:
Osmer Zorrilla
Ciudad Ojeda, 02 de diciembre de 2023
Introducción:
Este informe tiene como objetivo presentar diversos conceptos y propiedades 
relacionadas con los campos vectoriales, vectores y sus elementos. Comenzaremos 
definiendo qué son los campos vectoriales y cómo se representan vectores dentro de 
estos campos. Luego explicaremos los elementos básicos de un vector como su 
magnitud, dirección y sentido. 
Seguidamente analizaremos algunas propiedades importantes de los vectores como su 
suma, resta y producto escalar. También estudiaremos la norma de un vector, que es 
un valor escalar asociado a su magnitud.
Otros temas a desarrollar son el gradiente, divergencia y rotacional de un campo 
vectorial. El gradiente mide la variación local de una magnitud escalar, la divergencia 
cuantifica la fuente o sumidero de líneas de campo en un punto, y el rotacional 
representa el giro o curling de las líneas de campo en torno a un eje.
Finalmente, abordaremos tres teoremas vectoriales fundamentales: el teorema de 
Green, el teorema de divergencia y el teorema de Stokes. Estos teoremas relacionan 
conceptos como flujo, divergencia y rotacional a través de integrales de superficie y 
volumen.
Campos Vectoriales
Los campos vectoriales son funciones matemáticas que asignan a cada punto en un 
espacio vectorial un vector. En otras palabras, en cada punto del espacio, un campo 
vectorial especifica una dirección y una magnitud. Estos campos son utilizados en 
física, ingeniería y matemáticas para representar fenómenos como el flujo de fluidos, 
fuerzas electromagnéticas, y otros conceptos relacionados con el movimiento y la 
interacción de objetos en el espacio. Los campos vectoriales son una herramienta 
poderosa para el análisis y la comprensión de una amplia gama de fenómenos físicos y 
matemáticos.
Vectores y sus elementos
Los vectores son entidades matemáticas que tienen magnitud y dirección. En un 
espacio tridimensional, un vector puede representarse como una flecha que va desde 
el origen hasta un punto en el espacio, y su longitud representa la magnitud del 
vector, mientras que su dirección indica la dirección en la que apunta.
Los elementos de un vector incluyen su magnitud, que es un número real que 
representa su longitud, y sus componentes, que son las cantidades que indican cuánto 
se extiende el vector en cada una de las direcciones de los ejes coordenados. Por 
ejemplo, en un espacio tridimensional, un vector puede tener componentes (x, y, z), 
donde x, y, y z representan las cantidades que indican cuánto se extiende el vector en 
las direcciones de los ejes x, y, y z, respectivamente.
Además, los vectores también pueden sumarse, restarse, multiplicarse por escalares y 
tienen propiedades geométricas y algebraicas que los hacen fundamentales en 
matemáticas, física, ingeniería y muchas otras áreas.
Representación de Vectores en un Campo Vectorial
Claro, aquí tienes los pasos para representar vectores en un plano 3D a partir de 
valores dados:
1. Obtener los valores del vector: Comienza con los valores dados para las 
componentes del vector en el espacio tridimensional. Para calcular las coordenadas de 
un vector, necesitas conocer al menos dos puntos en el espacio tridimensional. 
Llamemos a estos puntos P y Q. Las coordenadas del vector se obtienen restando las 
coordenadas del punto inicial (P) de las coordenadas del punto final (Q). 
Si P tiene coordenadas (x1, y1, z1) y Q tiene coordenadas (x2, y2, z2), entonces las 
coordenadas del vector V que va de P a Q son (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
Por ejemplo, si P = (1, 2, 3) y Q = (4, 5, 6), entonces las coordenadas del vector V que va 
de P a Q son (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3).
Esto significa que si te mueves 3 unidades en la dirección x, 3 unidades en la dirección 
y y 3 unidades en la dirección z desde el punto P, llegarás al punto Q. Estas 
coordenadas representan la dirección y la magnitud del vector en el espacio 
tridimensional.
2. Dibujar un sistema de ejes coordenados: Dibuja un conjunto de ejes coordenados 
que representen el espacio tridimensional. Tendrás un eje x, un eje y y un eje z, que 
son perpendiculares entre sí.
3. Ubicar el punto inicial del vector: Ubica el punto inicial del vector en el origen del 
sistema de ejes coordenados, que es el punto (0, 0, 0).
4. Moverte a lo largo del eje x: Desde el punto inicial, muévete 2 unidades en la 
dirección del eje x (si la primera componente del vector es 2). Marca este punto.
5. Moverte a lo largo del eje y: Desde el punto obtenido en el paso anterior, muévete 
-1 unidades en la dirección del eje y (si la segunda componente del vector es -1). Marca 
este punto.
6. Moverte a lo largo del eje z: Desde el punto obtenido en el paso anterior, muévete 
3 unidades en la dirección del eje z (si la tercera componente del vector es 3). Marca 
este punto.
7. Conectar los puntos: Conecta el punto inicial con el punto final que obtuviste en el 
paso anterior. Esto representa el vector en el espacio tridimensional.
Siguiendo estos pasos, habrás representado el vector en el plano 3D a partir de los 
valores dados. Este proceso te permite visualizar la dirección y magnitud del vector en 
el espacio tridimensional.
Propiedades de los Vectores
Claro, aquí tienes una explicación de las propiedades de los vectores con sus fórmulas 
en español:
1. Suma de vectores: La suma de dos vectores se realiza sumando sus componentes 
correspondientes. Si tenemos dos vectores A y B, la suma se expresa como: A + B = (Ax 
+ Bx, Ay + By, Az + Bz) en un espacio tridimensional.
2. Producto por un escalar: Al multiplicar un vector por un escalar (un número real), 
se multiplica cada componente del vector por ese escalar. Si tenemos un vector A y un 
escalar k, el producto se expresa como: kA = (kAx, kAy, kAz).
3. Resta de vectores: La resta de dos vectores se realiza restando sus componentes 
correspondientes. Si tenemos dos vectores A y B, la resta se expresa como: A - B = (Ax 
- Bx, Ay - By, Az - Bz) en un espacio tridimensional.
4. Producto punto (o producto escalar): El producto punto entre dos vectores A y B 
se calcula sumando el producto de sus componentes correspondientes. Si tenemos dos 
vectores A y B, el producto punto se expresa como: A · B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz.
5. Producto cruz (o producto vectorial): El producto cruz entre dos vectores A y B se 
calcula utilizando determinantes para obtener un nuevo vector perpendicular a los 
dos vectores originales. Si tenemos dos vectores A y B, el producto cruz se expresa 
como: A x B = (Ay * Bz - Az * By, Az * Bx - Ax * Bz, Ax * By - Ay * Bx).
Estas propiedades y operaciones son fundamentales en el estudio de los vectores en 
matemáticas y física.
Vector Norma
La norma de un vector, también conocida como su magnitud o módulo, es una medida 
de su longitud en el espacio. En dos dimensiones (2D) y tres dimensiones (3D), la 
fórmula para calcular la norma de un vector es la siguiente:
Para un vector en 2D con componentes (x, y), su norma se calcula utilizando el 
teorema de Pitágoras: ||v|| = √(x^2 + y^2).
Para un vector en 3D con componentes (x, y, z), su norma se calcula de manera similar: 
||v|| = √(x^2 + y^2 + z^2).
En ambas fórmulas, se elevan al cuadrado las componentes del vector, se suman y 
luego se toma la raíz cuadrada del resultado para obtener la magnitud del vector.
Esta medida es importante en física y matemáticas, ya que proporciona información 
sobre la longitud o tamaño de un vector, lo cual es útil paracalcular distancias, 
velocidades, fuerzas y otros conceptos relacionados con el movimiento y la interacción 
de objetos en el espacio.
Gradiente
El gradiente es un concepto matemático que se utiliza en cálculo vectorial para 
representar la tasa de cambio máxima de una función escalar en un punto dado. En 
otras palabras, el gradiente nos indica la dirección y la magnitud en la que una función 
cambia más rápidamente en un punto específico.
El gradiente de una función escalar f(x, y, z) se denota como f, y se calcula tomando∇ 
las derivadas parciales de la función con respecto a cada una de las variables (x, y, z). El 
gradiente resultante es un vector que apunta en la dirección de la tasa de cambio 
máxima de la función y cuya magnitud representa la tasa de cambio en esa dirección.
Un ejemplo sencillo del uso del gradiente es en el caso de un campo de temperatura en 
un espacio tridimensional. Supongamos que tenemos una función escalar T(x, y, z) que 
nos da la temperatura en cada punto del espacio. El gradiente de esta función, T, nos∇ 
dará la dirección y la magnitud en la que la temperatura cambia más rápidamente en 
un punto específico. Por ejemplo, si estamos interesados en saber en qué dirección y 
con qué rapidez la temperatura aumenta en un punto particular, el gradiente nos 
proporcionará esa información.
En resumen, el gradiente es una herramienta fundamental en cálculo vectorial que nos 
permite comprender cómo cambian las funciones escalares en el espacio y es 
ampliamente utilizado en física, ingeniería, ciencias de la computación y otras 
disciplinas relacionadas con el análisis de campos y fenómenos físicos.
Supongamos que tenemos una función escalar f(x, y) = x^2 + y^2. Queremos encontrar 
el gradiente de esta función en el punto (1, 2).
Para calcular el gradiente, primero tomamos las derivadas parciales de la función con 
respecto a x y y:
∂f/∂x = 2x
∂f/∂y = 2y
Entonces, el gradiente de f, denotado como f, es el vector formado por estas∇ 
derivadas parciales:
f = (2x, 2y)∇
Ahora, evaluamos el gradiente en el punto (1, 2):
f(1, 2) = (2*1, 2*2) = (2, 4)∇
Por lo tanto, el gradiente de la función f en el punto (1, 2) es el vector (2, 4). Esto nos 
indica que en el punto (1, 2), la función f cambia más rápidamente en la dirección del 
eje x, con una tasa de cambio de 2, y en la dirección del eje y, con una tasa de cambio 
de 4.
Este ejemplo ilustra cómo el gradiente nos proporciona información sobre la tasa de 
cambio de una función escalar en un punto específico y la dirección en la que ocurre el 
cambio más rápido.
Divergencia
La divergencia es un concepto importante en cálculo vectorial que se utiliza para 
medir la variación de un campo vectorial en un punto dado. En pocas palabras, la 
divergencia nos indica cómo un campo vectorial "se aleja" o "converge" en un punto 
específico.
Matemáticamente, la divergencia de un campo vectorial F = (P, Q, R) se denota como ∇ 
 F y se calcula como la suma de las derivadas parciales de las componentes del campo⋅ 
vectorial con respecto a sus respectivas variables. En un espacio tridimensional, la 
fórmula para la divergencia es: F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z.∇ ⋅
Un ejemplo sencillo para entender la divergencia es el campo vectorial que representa 
el flujo de un fluido en un punto del espacio. Supongamos que tenemos un campo 
vectorial F = (x, y, z), que representa el flujo de un fluido en un punto (x, y, z). Si 
calculamos la divergencia de este campo en un punto específico, el resultado nos 
indicará si el fluido tiende a acumularse o a dispersarse en ese punto.
Por ejemplo, si la divergencia en un punto es positiva, esto significa que el fluido 
tiende a alejarse en ese punto, indicando una "fuente" de flujo. Si la divergencia es 
negativa, el fluido tiende a converger en ese punto, indicando un "sumidero" de flujo. 
Si la divergencia es cero, el flujo es "incompresible" en ese punto, es decir, no hay 
fuentes ni sumideros.
En resumen, la divergencia es una medida importante para comprender cómo un 
campo vectorial "se comporta" en un punto específico y es fundamental en el estudio 
de fenómenos como el flujo de fluidos, campos de fuerza y otros conceptos 
relacionados con la variación de campos vectoriales en el espacio.
Supongamos que tenemos un campo vectorial en dos dimensiones F = (x^2, y). 
Queremos calcular la divergencia de este campo en el punto (1, 2).
La fórmula para la divergencia en dos dimensiones es: F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y∇ ⋅ , donde P 
y Q son las componentes del campo vectorial.
En nuestro caso, P = x^2 y Q = y. Calculamos las derivadas parciales de P y Q con 
respecto a x e y:
∂P/∂x = 2x
∂Q/∂y = 1
Luego, sumamos estas derivadas parciales para obtener la divergencia:
 F = 2x + 1∇ ⋅
Ahora evaluamos la divergencia en el punto (1, 2):
 F(1, 2) = 2*1 + 1 = 3∇ ⋅
Por lo tanto, la divergencia del campo vectorial F en el punto (1, 2) es 3. Esto nos indica 
que en ese punto, el campo vectorial tiende a "expandirse" o "alejarse", ya que la 
divergencia es positiva.
Este ejemplo ilustra cómo la divergencia nos proporciona información sobre la 
variación de un campo vectorial en un punto específico, en este caso, indicando que el 
campo tiende a expandirse en el punto (1, 2).
Rotacional
El rotacional es un concepto importante en cálculo vectorial que se utiliza para medir 
la tendencia de un campo vectorial a girar alrededor de un punto específico. En otras 
palabras, nos indica cómo un campo vectorial "rota" en un punto dado.
Matemáticamente, el rotacional de un campo vectorial F = (P, Q, R) se denota como ×∇ 
F y se calcula como el operador diferencial vectorial aplicado al campo. En un espacio 
tridimensional, la fórmula para el rotacional es: × F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z -∇ 
∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y).
Un ejemplo sencillo para entender el rotacional es el campo vectorial que representa 
el flujo de un fluido en un punto del espacio. Supongamos que tenemos un campo 
vectorial F = (y, -x, 0), que representa el flujo de un fluido en un punto (x, y, z). Si 
calculamos el rotacional de este campo en un punto específico, el resultado nos 
indicará si el fluido tiende a girar alrededor de ese punto.
Por ejemplo, si el rotacional en un punto es un vector no nulo, esto indica que el fluido 
tiende a girar alrededor de ese punto. La magnitud del rotacional nos da la velocidad 
de rotación, y la dirección nos indica el eje de rotación.
En resumen, el rotacional es una medida importante para comprender cómo un campo 
vectorial "rota" alrededor de un punto específico y es fundamental en el estudio de 
fenómenos como el flujo de fluidos, campos de fuerza rotacionales y otros conceptos 
relacionados con la rotación de campos vectoriales en el espacio.
Supongamos que tenemos un campo vectorial tridimensional F = (x, y, z^2). Queremos 
calcular el rotacional de este campo en el punto (1, 2, 3).
La fórmula para el rotacional en tres dimensiones es: × F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z -∇ 
∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y).
En nuestro caso, P = x, Q = y, y R = z^2. Calculamos las derivadas parciales de P, Q y R 
con respecto a x, y y z:
∂P/∂x = 1
∂Q/∂y = 1
∂R/∂z = 2z
Luego, calculamos el rotacional:
 × F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y) = (0 - 0, 0 - 2z, 0 - 0) = (0, -2z, 0)∇
Ahora evaluamos el rotacional en el punto (1, 2, 3):
 × F(1, 2, 3) = (0, -2*3, 0) = (0, -6, 0)∇
Por lo tanto, el rotacional del campo vectorial F en el punto (1, 2, 3) es (0, -6, 0). Esto 
nos indica que en ese punto, el campo vectorial tiende a rotar alrededor del eje y con 
una velocidad de rotación de -6 en la dirección negativa del eje y.
Este ejemplo ilustra cómo el rotacional nos proporciona información sobre la 
tendencia de un campo vectorial a girar alrededor de un punto específico en tres 
dimensiones, en este caso, indicando que elcampo tiende a rotar alrededor del eje y en 
el punto (1, 2, 3).
Teorema de Green 
 El teorema de Green establece una relación entre la integral de una función sobre un 
contorno cerrado y la integral de su divergencia sobre la región delimitada por dicho 
contorno. 
Más específicamente, si tenemos una región plana R delimitada por un contorno 
cerrado C, y una función vectorial campo F definida en toda la región y continua junto 
con sus derivadas parciales primeras, entonces:
∫C F·dl = ∫∫R ( ·F) dA∇
Donde:
- F·dl es la línea integral de F a lo largo del contorno C.
- ·F es la divergencia del campo vectorial F. ∇
- dA es un elemento infinitesimal de área sobre la región R.
En palabras, la integral de línea de F a lo largo del contorno es igual a la integral de la 
divergencia de F sobre toda la región delimitada por ese contorno. Esto es muy útil 
para relacionar campos vectoriales y sus derivadas en problemas de cálculo vectorial y 
ecuaciones en derivadas parciales.
 Aquí va un ejemplo sencillo de aplicación del teorema de Green:
Consideremos el campo vectorial F = xi + yj, definido sobre el cuadrado de lado 2 
centrado en el origen, es decir la región R limitada por el contorno C dado por los 
puntos (x,y) = (1,1), (1,-1), (-1,-1), (-1,1).
1) Calcular la integral de línea de F a lo largo del contorno C:
∫C F·dl
Dado que F = xi + yj, tenemos que F·dl = x dx + y dy a lo largo de cada lado del cuadrado. 
Integrando esta expresión en cada lado obtenemos: 
∫C F·dl = 2
2) Calcular la divergencia de F:
·F = ∂x + ∂y = 1∇
3) Calcular la integral de la divergencia sobre la región R: 
∫∫R ( ·F) dA = ∫∫R 1 dA = A∇ 2/2
Teorema de Divergencia
 El teorema de la divergencia establece una relación entre la integral de volumen de la 
divergencia de un campo vectorial a través de una región y el flujo neto de ese campo 
vectorial a través de la superficie que delimita dicha región.
Formalmente, sea R un volumen delimitado por una superficie cerrada S. Si F es un 
campo vectorial continuo y diferenciable en R y en S, entonces:
∫∫∫R ( ·F) dV = ∫∫S (F·n) da∇
Donde:
- ·F es la divergencia del campo vectorial F.∇
- dV es un elemento infinitesimal de volumen en R. 
- F·n es el flujo de F a través de un elemento infinitesimal de área da de la superficie S, 
siendo n el vector unitario normal a S en ese punto.
En palabras, la integral del volumen de la divergencia de F a través de la región R es 
igual al flujo neto de F a través de la superficie S que delimita R.
Algunas implicaciones importantes del teorema son:
- Si la divergencia de F es cero, entonces el flujo neto a través de S también es cero.
- Puede usarse para relacionar ecuaciones diferenciales de volumen con condiciones 
de contorno.
- Proporciona una herramienta para analizar la conservación o no de magnitudes 
físicas descritas por campos vectoriales.
Así, el teorema de la divergencia proporciona un vínculo matemático muy útil entre 
magnitudes locales y globales de un campo vectorial.
Consideremos el campo vectorial F = xiy + xjz, definido en el cubo de lado 2 centrado 
en el origen, es decir la región R limitada por las caras del cubo.
1) Calcular la divergencia de F:
·F = ∂x + ∂y + ∂z∇
= 1 
2) Calcular la integral del volumen de la divergencia a través de R:
∫∫∫R ( ·F) dV ∇
= ∫∫∫R 1 dV
= V3/3
3) Calcular el flujo neto de F a través de las caras del cubo (superficie S):
En cada cara:
- Flujo a través de la cara superior e inferior = ±1 
- Flujo a través de las caras laterales = 0
Flujo neto = Flujo superior + Flujo inferior = 1 - 1 = 0
Teorema de Stokes
El teorema de Stokes establece una relación entre la integral de línea de un campo 
vectorial a lo largo de un contorno cerrado y la integral de la rotacional de ese campo 
vectorial sobre la superficie delimitada por dicho contorno.
Formalmente, sea S una superficie cerrada delimitada por un contorno C. Si F es un 
campo vectorial continuo y diferenciable en S y tangente a C, entonces:
∫C F·dl = ∫∫S ( ×F)·n da∇
Donde:
- F·dl es la integral de línea de F a lo largo de C. 
- ×F es el rotacional del campo vectorial F.∇
- n es el vector unitario normal a la superficie S.
- da es un elemento infinitesimal de área sobre S.
En palabras, la integral de línea de F a lo largo del contorno C es igual a la integral de la 
componente normal del rotacional de F sobre toda la superficie S delimitada por C.
Algunas implicaciones claves son:
- Relaciona el comportamiento local de F con su comportamiento global.
- Útil en problemas de electromagnetismo, mecánica de fluidos y otras áreas.
- Permite pasar de condiciones de contorno a ecuaciones en derivadas parciales.
Es una herramienta fundamental en cálculo vectorial y sus aplicaciones a diversos 
campos de la física.
Consideremos el campo vectorial F = zix + yjy + xkz, definido sobre la superficie del 
hemisferio superior de radio R=1 centrado en el origen (z≥0). 
1) Tomar el contorno C como la circunferencia de radio 1 en el plano z=0.
2) Calcular el rotacional de F:
×F = k∇
3) Calcular la integral de línea de F sobre C:
∫C F·dl = ∫0^2π R cos d = 2πθ θ
4) Calcular la integral de la componente normal del rotacional sobre la superficie S del 
hemisferio: 
La componente normal de k es 1.
El área de S es 2π.
∫∫S ( ×F)·n da = ∫∫S 1 da = ∇ a2/2
Conclusión:
A lo largo de este informe hemos abordado diversos conceptos teóricos relacionados 
con los campos vectoriales, vectores y sus propiedades. Comenzamos definiendo los 
elementos básicos como campos vectoriales, vectores, magnitud, dirección y sentido. 
Luego analizamos propiedades fundamentales de los vectores como suma, resta, 
producto escalar y norma. 
Asimismo, estudiamos magnitudes derivadas de los campos vectoriales tales como el 
gradiente, divergencia y rotacional. El gradiente mide variaciones locales de una 
magnitud escalar, la divergencia representa fuentes y sumideros, y el rotacional 
cuantifica el giro de las líneas de campo.
Finalmente, revisamos tres teoremas vectoriales clave como son el teorema de Green, 
el teorema de divergencia y el teorema de Stokes. Estos teoremas relacionan conceptos 
de flujo, divergencia y rotacional a través de integrales de superficie y volumen.
En resumen, este informe ha presentado los fundamentos teóricos necesarios para 
comprender la representación y propiedades de los campos y vectores vectoriales. 
Esperamos que la información brindada sirva como base para aplicar estos conceptos 
en problemas y cálculos concretos relacionados con campos de fuerza, movimiento de 
fluidos u otros fenómenos físicos descritos mediante modelos vectoriales.