Vectores Definiciones, Elementos y Operaciones_0

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Kharla Mérida 
Matemática de 2do Año Vectores 
 En esta sección presentamos un nuevo elemento matemático que es indispensable 
fundamento para el estudio de física. Lo estamos conociendo ahora y nos 
acompañará el resto de nuestros estudios básicos y el resto de nuestra vida aunque 
no seamos conscientes de ello. Es un concepto ideal porque representa un ente que 
no es tangible, no podemos percibir con nuestros sentidos, su manifestación está 
basada en nuestra observación de los fenómenos físicos y la interpretación que les 
damos. Acompáñanos a conocer este elemento. 
1 
 Direccionar nuestra voluntad y disciplina en función de prepararnos y 
ser parte del flujo que genera bienestar general, es ser parte de las 
soluciones. 
9.1 Definiciones, Elementos y 
Operaciones 
Descripción 
9 
9na Unidad 
Vectores 
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Matemática de 2do Año Vectores 
 Operaciones y Propiedades de los Números Reales, Plano Cartesiano, Proyecciones 
Ortogonales. 
 Definiciones y Elementos de Vectores, Vectores Notable y Operaciones, Suma y 
Multiplicación de Vectores, Ejemplos de Vectores. 
VECTORES. Definición y Elementos 
VECTORES. Vectores Notables y Operaciones 
VECTORES. Suma de Vectores y Multiplicación Escalar de Vectores. Ejemplos 
 Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al 
encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una 
dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el 
Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones. 
2 
Videos Disponibles 
Conocimientos Previos Requeridos 
Contenido 
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VECTORES. Definición y Elementos. 
Vectores. Son segmentos que poseen modulo, dirección y sentido. 
Recordemos: 
Sentido. se entiende la orientación que indique la 
punta de flecha o saeta. Un elemento importante de 
los vectores son las líneas de acción. 
Línea de acción de un vector es una recta imaginaria 
que contiene al vector. El efecto del vector actuando 
en cualquier punto de esa recta es el mismo. 
3 
Guiones Didácticos 
 Aclaremos qué es segmento, módulo, dirección y 
sentido, para comprender mejor la definición de 
vector 
Módulo. Es la medida o longitud de un segmento 
dado. 
Ver 7.1 Conceptos Primitivos, Línea, Recta, Plano, Medida, Tipos de Ángulos. 
Segmento. es una porción de recta comprendida 
entre dos puntos. 
Dirección. Es el ángulo que forma una recta o 
segmento con respecto a la parte positiva del eje x. 
Nota: El efecto del vector actuando en cualquier punto de esa recta es el mismo. 
 La Representación Gráfica de un vector es una 
flecha. 
 Su Representación Simbólica o Notación esta dada 
por una letra mayúscula o minúscula con una 
pequeña flecha en su parte superior. 
 Hay libros en los que, por razones tipográficas, se les 
representa con letras en negrita. 
A a
Representación Simbólica: 
a
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 Otra manera de representar simbólicamente un 
vector es con dos letras, correspondientes a los 
puntos origen y extremo, y una la flechita en la 
parte superior. 
 La Representación Algebraica esta dada por un par de 
valores escritos entre paréntesis angulares,  , y separados 
por una coma. 
Nota: Debemos estar pendientes del contexto en el que se esta trabajando para 
saber si una expresión como(a1 , a2) se trata de un vector o un punto. 
 1 2a , a
4 
a a1 2,
 Aunque esa es la representación con la que se definen los 
vectores, por razones de comodidad, olvido, u otras, se 
adquirió la costumbre de escribirlo con paréntesis 
redondos, ( ), igual que los puntos. Lo que es aceptado de 
forma universal. 
 Es bueno tener presente que cuando se trata de puntos 
se escribe una letra, que los representa, junto a los 
paréntesis y a los dos valores dentro del paréntesis se les 
denomina coordenadas. 
 Conociendo los puntos origen y extremo del vector: 
 Se ubica en el plano las coordenadas del punto origen 
(punto de aplicación), A, y las del punto extremo, B, del 
vector. El vector se traza uniendo ambos puntos, con la 
punta de flecha en el punto extremo. 
 Esto permite graficar con precisión el vector estudiado. 
 Mientras que cuando se trata de un vector, se escribe la 
representación simbólica separada de los paréntesis por 
un igual, y los valores dentro del paréntesis se llaman 
componentes. 
 Conociendo las componentes del vector: 
 Se ubican las componentes del vector en el plano y se 
traza el vector desde el origen de coordenadas hasta la 
ubicación de las componentes 
 Para graficar un vector en el plano tenemos dos opciones: 
Gráfica de un vector en el plano 
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 En la 1ra opción, las componentes del vector se hallan 
restando las coordenadas del punto extremo, B, menos 
las coordenadas del punto de origen, A, del vector. 
 Al hacer esto las componentes que se obtienen, se 
corresponden con un vector, , equivalente al vector 
inicial pero anclado en el origen. 
 A aB b , b a  11 2 2
 El origen de coordenadas, O(0 ,0) es el origen o punto 
de aplicación del vector, y las componentes del vector 
coinciden con las coordenadas del punto extremo del 
vector, es decir, las coordenadas del punto extremo y las 
componentes del vector son iguales. 
hemos conocido la definición de vector y sus elementos 
AB '
 hemos conocido la definición de vector y sus elementos. Acompáñanos a la 
siguiente lección para conocer los tipos de vectores y formas de presentar sus 
componentes. 
VECTORES. Vectores Notables y Operaciones. 
Vectores Notables Por su Medida. 
Vector Nulo. Vector de módulo cero Vector Unitario. Vector de módulo uno 
Vectores Notables Por su Ubicación. 
Vector Fijo. es todo vector ubicado en el plano 
cartesiano, y que tiene punto de origen y punto 
extremo dados. 
Equipolentes (Equivalentes). Son vectores que 
tienen el mismo módulo, dirección y sentido, pero 
distintos puntos de aplicación u origen 
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Libres. Es un conjunto de vectores equipolentes. 
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Anclados en el origen son vectores cuyo punto de 
aplicación está en el origen de coordenadas. 
Vectores Paralelos. son vectores que tienen la 
misma dirección y sentido. 
Vectores Notables Por su Posición Respecto a Otros Vectores. 
Vectores Opuestos. son vectores que tienen el 
mismo módulo y dirección, pero sentido contrario. 
Vectores perpendiculares. son vectores cuyas 
líneas de acción se cortan perpendicularmente 
Operaciones entre vectores en el plano 
Suma 
 Para sumar algebraicamente dos vectores, y , conociendo sus componentes, 
se suma 1ra componente de con 1ra componente de , y 2da componente de 
con 2da componente de . El resultado es el vector suma. 
 1 2A = a , a  1 2B = b , b  1 2A+B = a +b , a +b2 2
A B
A B A
B
Ejemplos 
 A = 3 , - 7  B = 2 , 5  A+B = 3 + 2 , - 7 + 5
 A+B = 5 , - 2
 c = -1 , 0

 d = 4 , 7  c + d = -1+ 4 , 0 +7
 c + d = 3 , 7
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7 
Nota: Para obtener el opuesto de un vector, se cambian los signos de ambas 
componentes. 
 1 2A = a , a  1 2B = b , b  A B = A B  
Resta 
 Para restar vectores hacemos un procedimiento igual al de resta de números 
enteros. Se transforma la resta en una suma cambiando el vector sustraendo por su 
opuesto. 
      1 2-A+ B = a + b , a -+ b 2 2 1 2B = b b- , -
 Para multiplicar un escalar por un vector, se multiplica 
el escalar por cada componente del vector. 
 La multiplicación escalar de vectores es un número 
que resulta de multiplicar componente con 
componente y sumar estos productos. 
1 1A B = a b a b   2 2
Acompáñanos a la siguiente lección para conocer mas sobre vectores. 
Multiplicación de un Escalar por un vector 
 1 2A = a , a  k k k
Multiplicación Escalar de vectores 
Nota: el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero, lo cual es de gran 
valor cundo se quiere comprobar si dos vectores son perpendiculares. 
VECTORES. Suma de Vectores y Multiplicación Escalar de Vectores. 
Ejemplos 
Dados los vectores , efectuar las operaciones indicadas 
     a = -2,7 ; b = 8,-12 ; c = -6 , 5
a , b y c
i. a+b + c ; ii. a+ 2b ; iii. - 3a+b + 4c
tenemos la suma de los vectores 
i. a+b + c
 Sustituimos las notaciones de vector por los vectores dados con sus componentes. 
a , b y c
     a+b + c = -2 , 7 + 8 , -12 + -6 , 5
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iii. - 3a+b + 4c
 Efectuamos la suma de los primeros dos 
vectores, y el resultado lo sumamos con el 
tercer vector. 
 Se suma 1ra componente con 1ra 
componente, y 2da componente con 2da 
componente. 
 Ahora efectuamos la suma resultante. 
        a -2 7b 8+ + c = , + , -12 6 , 5+ -
iii. - 3a+b + 4c
   = 6 , - 5 + -6 , 5
  = 6 + ,-6 - 5 + 5
 a+b + c = 0,0 La suma de los tres vectores resultó en el 
vector nulo. 
Nota: cuando la suma de dos o mas vectores es el vector nulo (vector cero) los tres 
vectores conforman un conjunto de vectores Linealmente Dependientes. 
tenemos la suma del vector a con el doble del vector b 
ii. a+ 2b
 Sustituimos el símbolo o notación de cada 
vector por los vectores dados con sus 
componentes. 
a+ 2b
   a+ 2b = -2 , 7 + 2 8 , -12
Multiplicación del escalar por el vector: 
 El 2 multiplica cada componente del vector. 
   a+ 2b = -2 , 7 + 8 22 , -1
    2= -2 , 7 + 8 , 12 - 2 
   -2 167= , + , - 24
Suma de Vectores: 
 Sumamos 1ra componente con 1ra 
componente y 2da componente con 2da 
componente. 
  = + ,-2 716 + -24
 = 14 , -17
 a+ 2b = 14 , 71
 Tenemos multiplicación de escalar por 
vector y suma de vectores 
-3a+b + 4c
 Sustituimos cada notación vector por los vectores dados con sus componentes. 
     -3a+b + 4c = -3 -2,7 8,-12 4 -6 , 5 
Multiplicación del escalar por el vector: 
 El -3 y el 4 multiplican cada componente del vector al que multiplican. 
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     a+b + c = -2,7 8,--3 4 - 12 - 53 4 6 , 
       = -2 , 7 8,-12-3 - 3 4 -6 , 4 5     
     = 6, 21 8,-12 -24 , 20  
Suma de Vectores: 
 Sumamos los primeros dos vectores 
y el resultado con el tercero. 1ra 
componente con 1ra componente y 
2da componente con 2da 
componente. 
    21 -12= , -24 , 206 8   
   - 3314 - 0= , 24 , 2
  = + ,- 33 14 -24 + 20
 -3a+b + 4c = -10 ,-13
 Hemos calculado las tres operaciones indicadas. Veamos ahora ejemplos de 
productos escalares de vectores acompáñanos a la siguiente lección. 
      21 -12= , , -24 , 206 8 
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Emparejando el Lenguaje 
Vectores. Son segmentos que poseen modulo, dirección y sentido aclaremos que es 
segmento, modulo, dirección y sentido, para comprender mejor la definición de 
vector . 
Segmento. es una porción de recta comprendida entre dos puntos. 
Módulo. Es la medida o longitud de un segmento dado. 
Dirección. Es el ángulo que forma una recta o segmento con respecto a la parte 
positiva del eje x. 
Sentido. se entiende la orientación que indique la punta de flecha o saeta. Un 
elemento importante de los vectores son las líneas de acción. 
Línea de acción de un vector es una recta imaginaria que contiene al vector. El 
efecto del vector actuando en cualquier punto de esa recta es el mismo. 
Vector Nulo. Vector de módulo cero. 
Vector Unitario. Vector de módulo uno. 
Vector Fijo. es todo vector ubicado en el plano cartesiano, y que tiene punto de 
origen y punto extremo dados. 
Equipolentes. Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, pero 
distintos puntos de aplicación u origen. 
Libres. Es un conjunto de vectores equipolentes. 
Anclados en el Origen. Son vectores cuyo punto de aplicación está en el origen de 
coordenadas. 
Vectores Paralelos. Son vectores que tienen la misma dirección y sentido. 
Vectores Opuesto. Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido 
contrario. 
Vectores Perpendiculares. Son vectores cuyas líneas de acción se cortan 
perpendicularmente. 
Suma de Vectores. Es un vector cuyas componentes son las sumas de las primeras 
componentes entre sí y las segundas componentes entre sí. 
Resta de Vectores. Es un vector que resulta de sumar el vector minuendo con el 
opuesto del vector sustraendo. 
Multiplicación de un Escalar por un Vector. Es un vector cuyas componentes son el 
producto del escalar con cada componente del vector. 
Multiplicación Escalar de Vectores. Es un escalar (número) que resulta de la suma de 
los productos de las primeras componentes entre sí y las segundas componentes 
entre sí. 
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11 
A Practicar 
Dados los vectores . Hallar el vector resultante en cada una de las 
operaciones indicadas 
       a = 1,7 ; b = -5,0 ; c = -3 , 4 ; d = 0 , 2
a , b , c y d
 a. + c d1 b  - 2a b d2 + 5.  4c b d3.  
4. Hallar el vector resultante en cada una de las operaciones indicadas: 
  3a. a b   b. cb -6   c b dc.  
5. Identifique los pares de vectores perpendiculares entre sí (ver 2da Nota de la 
página 7). 
 d a c+ b6. Hallar el vector resultante: 
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Lo Hicimos Bien? 
Hallar el vector resultante en cada una de las operaciones indicadas: 
4. Hallar el vector resultante en cada una de las operaciones indicadas: 
b. - 90   c. 0 , 30
5. Vectores perpendiculares: 
6. 
 1. 3,9   -22. 7,-16   -3. 7 , 18
a. -15
db y
   d a = -47 , 56c+ b
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