vectores

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VECTORES
Contenidos
Artículos
Vector (física) 1
Producto escalar 10
Producto vectorial 15
Referencias
Fuentes y contribuyentes del artículo 20
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 21
Licencias de artículos
Licencia 22
Vector (física) 1
Vector (física)
Un vector es utilizada para representar una magnitud física el cual necesita de un módulo y una dirección (u
orientación) para quedar definido.
Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos o
; es decir, bidimensional o tridimensional.
Ejemplos
• La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su
módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia
la que se dirige.
• La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad
o módulo, de la dirección en la que opera.
• El desplazamiento de un objeto.
Conceptos básicos
Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, las
componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.
Magnitudes escalares y vectoriales
Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de
su punto de aplicación y de los versores cartesianos.
Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la
masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura,
etc; que quedan completamente definidas por un
número y las unidades utilizadas en su medida,
aparecen otras, tales como el desplazamiento, la
velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico,
etc., que no quedan completamente definidas dando un
dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección.
Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en
contraposición a las primeras que son llamadas
escalares.
Las magnitudes escalares quedan representadas por el
ente matemático más simple; por un número. Las
magnitudes vectoriales quedan representadas por un
ente matemático que recibe el nombre de vector. En un
espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un
vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su
longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, determinada por el ángulo que forma el vector
con los ejes de coordenadas. Así pues, podemos enunciar:
Un vector es una magnitud física que tienen módulo y dirección.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Magnitud_f%C3%ADsica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_%28vector%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Orientaci%C3%B3n_%28geometr%C3%ADa%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidad
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Fuerza
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Desplazamiento_%28vector%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Moglfm01sn_vector.jpg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Masa
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Presi%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Volumen
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Energ%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Temperatura
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Desplazamiento
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidad
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aceleraci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Fuerza
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Campo_el%C3%A9ctrico
Vector (física) 2
Representación de los vectores.
Se representa como un segmento orientado, con una
dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su
longitud representa el modulo del vector y la "punta de
flecha" indica su dirección.
Notación
Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las
magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se
representan colocando una flechita sobre la letra que designa su módulo (que es un escalar). Ejemplos:
• ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una
magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector:
...
• En los textos manuscritos escribiríamos: ... para los vectores y ... o ...
para los módulos.
Cuando convenga, representaremos la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento
orientado que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados en la Figura 2 en la forma
, ... resultando muy útil esta notación para los vectores desplazamiento.
Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan
frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .
Tipos de vectores
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse
distintos tipos de los mismos:
• Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
• Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
• Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.
Podemos referirnos también a:
• Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
• Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).
• Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.
• Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
• Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Moglfm0101_equipolencia.jpg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Escalar
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_unitario
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_%28vector%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_equipolente
Vector (física) 3
Componentes de un vector
Componentes del vector.
Un vector en el espacio se puede expresar como una
combinación lineal de tres vectores unitarios o versores
perpendiculares entre sí que constituyen una base
vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se
representan por , , , paralelos a los ejes de
coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del
vector en una base vectorial predeterminada pueden
escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de
coordenadas cartesiano, será
Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes vector que, salvo que
se indique lo contrario, son números reales.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila,
particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:
Con esta notación, los versores cartesianos quedan expresados en la forma:
Operaciones con vectores
Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final
de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Método del paralelogramo.
Método del paralelogramo
Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de
manera que los orígenes de ambos coincidan en un
punto, completando un paralelogramo trazando rectas
paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del
otro (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma
es la diagonal del paralelogramo que parte del origen
común de ambos vectores.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Vector1.png
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Combinaci%C3%B3n_lineal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_%28%C3%A1lgebra%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_%28%C3%A1lgebra%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_real
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_columna
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_fila
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_%28matem%C3%A1ticas%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Vectoren_optellen.svg
Vector (física) 4
Método del triángulo.
Método del triángulo
Consiste en disponer gráficamente un vector a
continuación de otro; es decir, el origen de uno de los
vectores se lleva sobre el extremo del otro. A
continuación se une el origen del primer vector con el
extremo del segundo.
Método analítico para la suma y diferencia de vectores
Dados dos vectores libres,
El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma
y ordenando las componentes,
Con la notación matricial sería
Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo que forman entre sí, el módulo de
es:
La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Vectoren_optellen_2.svg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Deducci%C3%B3n_del_m%C3%B3dulo_de_la_suma
Vector (física) 5
Producto de un vector por un escalar
Producto por un escalar.
El producto de un vector por un escalar es otro vector
cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo
del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o
contraria a este si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre
la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el
módulo de vector como indica el escalar.
Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de
las componentes del vector por el escalar; esto es,
Con la notación matricial sería
Derivada de un vector
Dado un vector que es función de una variable independiente
Calculamos la derivada del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus
componentes como si de escalares se tratara:
teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.
Con notación matricial sería
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Scalar_multiplication_of_vectors.svg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada
Vector (física) 6
Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:
Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura.
Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función representa el vector de posición
en función del tiempo t. Derivando tendremos:
Realizando la derivada:
La derivada del vector de posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el
vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:
Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. Si
derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Vector-valued_function.jpg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_de_posici%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidad
Vector (física) 7
Ángulo entre dos vectores
El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:
Cambio de base vectorial
Cambio de base vectorial.
En matemáticas las rotaciones son
transformaciones lineales que conservan
las normas en espacios vectoriales en los
que se ha definido una operación de
producto interior. La matriz de
transformación tiene la propiedad de ser una
matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su
determinante es 1.
Sea un vector expresado en una sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) con una base vectorial asociada
definida por los versores ; esto es,
Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que
obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base vectorial asociada definida por los
versores . Las componentes del vector en esta nueva base vectorial serán:
La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal
(representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):
que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Moglfm0120_rotacion.jpg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticas
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Norma
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Producto_interior
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_ortogonal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Determinante
Vector (física) 8
Cambio de base vectorial.
Ejemplo
En el caso simple en el que el giro tenga magnitud 
alrededor del eje z, tendremos la transformación:
Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del
vector en la nueva base vectorial:
siendo
las componentes del vector en la nueva base vectorial.
Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales
No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un
vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben
transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.
En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con
pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales
antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya definición interviene el
producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.
En teoría especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes
observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen auténticas magnitudes
vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores y deben
relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Moglfm0121_rotacion.jpg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tupla
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Observador
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_axial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Momento_angular
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Campo_magn%C3%A9tico
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_especial_de_la_relatividad
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuadrivector
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Transformaci%C3%B3n_de_Lorentz
Vector (física) 9
Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento
angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes
vectoriales sino tensoriales.
Véase también
• Producto escalar
• Producto vectorial
• Doble producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Base ortogonal
• Base ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares
Referencia
Bibliografía
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español). Monytex. ISBN 84-404-4290-4,
ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6ª edición (en inglés),
Brooks/Cole.ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes) (en español). Barcelona: Ed. Reverté.
ISBN 84-291-4382-3.
Enlaces externos
• Juega con vectores (http:/ / www. frontiernet. net/ ~imaging/ vector_calculator. html)
• Demostración gráfica de operaciones básicas con Vectores (http:/ / www. mis-algoritmos. com/ fisica)
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Momento_angular
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Momento_angular
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Campo_el%C3%A9ctrico
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Campo_magn%C3%A9tico
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tensor
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Doble_producto_vectorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Producto_mixto
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Producto_tensorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Combinaci%C3%B3n_lineal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_generador
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Independencia_lineal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_%28%C3%A1lgebra%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ortogonal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ortonormal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_cartesianas
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_polares
http://www.frontiernet.net/~imaging/vector_calculator.html
http://www.mis-algoritmos.com/fisica
Producto escalar 10
Producto escalar
En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación
externa definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o número.
, 
* λ
para dos vectores cualesquiera del espacio, se obtendrá un escalar λ procedente del cuerpo o campo de escalares 
También es válida esta definición si tomamos un sólo vector del espacio para operar consigo mismo. En este caso
concreto: = 
, 
* λ
Por componentes, sea un vector y un vector , ambos pertenecientes
al espacio vectorial .
El producto escalar se calcula tomando componente a componente los productos de cada una de las
coordenadas y finalmente sumándolo todo:
= =
= 
ya que se trata de un escalar.
En el caso concreto que se calcula el producto escalar de un vector consigo mismo, se obtiene: Sea 
= = =
El cuerpo puede ser el conjunto de los números complejos o una restricción de éste, el conjunto de los
números reales por tratarse de un espacio euclídeo
Definición general
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y
definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Una operación donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido,
que tiene que cumplir:
1. (lineal en el primer componente),
2. (hermítica),
3. , y si y sólo si x = 0 (definida positiva),
donde x,y,z son vectores arbitrarios, a,b representan escalares cualesquiera y es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el
ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por o por .
Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o
espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá
que es un espacio euclídeo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticas
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Escalar
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuerpo_o_campo_de_escalares
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_eucl%C3%ADdeo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Forma_bilineal_definida
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_herm%C3%ADtico
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Definida_positiva
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_bilineal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sim%C3%A9trica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuerpo_%28matem%C3%A1tica%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_prehilbertiano
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_de_hilbert
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_eucl%C3%ADdeo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Norma_vectorial
Producto escalar 11
.
Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real
A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.
El producto escalar de dos vectores en un
espacio euclídeo se define como el producto
de sus módulos por el coseno del ángulo 
que forman.
En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es 
Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base
del espacio vectorial escogida.
Proyección de un vector sobre otro
Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos
θ = proy AB, será
de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de
ellos por la proyección del otro sobre él.
Ángulos entre dos vectores
De la expresión geométrica del producto escalar 
es posible calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores, despejándolo desde la ecuación.
= 
Es decir, el ángulo existente entre dos vectores es el arco cuyo coseno sea el valor de la razón existente entre el
producto escalar (entre los dos vectores) y el producto de sus módulos.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dot_Product.svg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_eucl%C3%ADdeo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo_%28vector%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coseno
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base
Producto escalar 12
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí.
Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.
En un ángulo recto, el valor del coseno es cero, por lo tanto al multiplicarse por el producto de los módulos, da lugar
a que el producto escalar sea cero a su vez.
Vectores paralelos o en una misma dirección
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados.
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos
vale lo mismo que el producto escalar.
Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa:
2. Distributiva respecto a la suma vectorial:
3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:
4. Propiedades de la norma de un vector: a.
b.
c.
Expresión analítica del producto escalar
Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base
canónica en formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:
El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ortogonal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Perpendicular
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paralelo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conmutatividad
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Distributividad
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Asociatividad
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Norma
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_can%C3%B3nica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_can%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Producto_matricial
Producto escalar 13
Norma o Módulo de un vector
Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.
Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.
Se realiza la raiz cuadrada del escalar obtenido, siendo A el módulo o norma del vector
Se calcula el producto escalar de un vector consigo mismo:
= = 
entonces, realizamos la raíz cuadrada sobre el valor obtenido:
 |A| = 
Por componentes, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i , j , k}
El cálculo del módulo se realiza a través del producto matricial del vector consigo mismo, para ello, tomamos 
como vector-fila y lo multiplicamos por su vector-columna, su recíproco no es cierto ya que el producto matricial no
cumple la propiedad conmutativa.
Una vez realizado el producto escalar, se calcula la raíz cuadrada para obtener el módulo o norma del vector .
Productos interiores definidos en espacios vectoriales
• En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto
punto) por:
• En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:
Siendo el número complejo conjugado de 
• En el espacio vectorial de las matrices de m x n elementos
donde tr(A) es la traza de la matriz A y es la matriz traspuesta de B.
• En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b :
C[a, b]
• En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:
Dado tal que :
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_can%C3%B3nica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector-fila
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector-columna
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Propiedad_conmutativa
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Norma
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_complejo_conjugado
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Traza
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_traspuesta
Producto escalar 14
Referencias
Véase también
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Portal:Física. Contenido relacionado con Física.
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Matriz de Gram
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial
Bibliografía
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español). Monytex. ISBN 84-404-4290-4,
ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6ª edición (en inglés),
Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes) (en español). Barcelona: Ed. Reverté.
ISBN 84-291-4382-3.
• Navarro Camacho, Jorge y otros (julio 2007). Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas
(Volumen III) (en español). MAD. ISBN 84-665-7931-1,.
• Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004). Cálculo vectorial, 5ª edición (en español), Pearson educación, S.A.. ISBN
84-7829-069-9.
• Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich (1984). DTV Atlas zur Mathematik Band 1 Grundlagen, Algebra und Geometrie
(en español). Alianza universidad. ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Portal:Matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Nuvola_apps_katomic.svg
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Portal:F%C3%ADsica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%ADsica
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Producto vectorial 15
Producto vectorial
Esquema
En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación
binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo
tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a
los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina
también producto cruz (pues se lo denota mediante el
símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el
producto exterior).
Definición
Relaciones entre los vectores.
Sean dos vectores y en el espacio vectorial ℝ3. El
producto vectorial entre y da como resultado un nuevo
vector, . Para definir este nuevo vector es necesario
especificar su módulo y dirección:
• El módulo de está dado por
donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
• La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos
manuscritos, para evitar confusiones con la letra x, es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_lineal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operaci%C3%B3n_binaria
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operaci%C3%B3n_binaria
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_eucl%C3%ADdeo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_eucl%C3%ADdeo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ortogonal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Producto_exterior
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B3dulo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Direcci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Regla_de_la_mano_derecha
Producto vectorial 16
donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano
derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla
del sacacorcho.
Producto vectorial de dos vectores
Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afín
tridimensional según la base anterior.
Se define el producto , y se escribe , como el vector:
En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila,
también decimos:
Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el
segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
Con la notación matricial esto se puede escribir:
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_unitario
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ortogonalidad_%28matem%C3%A1ticas%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Regla_de_la_mano_derecha
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Regla_de_la_mano_derecha
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Producto_vectorial_2.png
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_af%C3%ADn
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Determinante_%28matem%C3%A1ticas%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Regla_de_la_mano_derechaProducto vectorial 17
Ejemplo
El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:
Expandiendo el determinante:
Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b efectuando el producto escalar y
verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).
Propiedades
Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. Si y , entonces implica que ; esto es, la anulación del producto vectorial
proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. .
4. , conocida como regla de la expulsión.
5. , conocida como identidad de Jacobi.
6. , siendo el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al
producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .
Bases ortonormales y producto vectorial
Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ3. Se dice que es una base ortonormal
derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:
1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior,
son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.
Vectores axiales
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física
aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los
vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que
no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.
Dual de Hodge
En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede
reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos
vectores. Así el producto vectorial es simplemente:
Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Determinante_%28matem%C3%A1tica%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Perpendicular
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Anticonmutatividad
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Condici%C3%B3n_de_paralelismo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Gustav_Jakob_Jacobi
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paralelogramo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plano_%28geometr%C3%ADa%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_de_referencia
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_%28%C3%A1lgebra%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ortogonal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_unitario
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ortonormal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Regla_de_la_mano_derecha
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_axial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_%28f%C3%ADsica%29%23Requirimientos_f%C3%ADsicos_de_las_magnitudes_vectoriales
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_diferencial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Variedad_riemanniana
Producto vectorial 18
Generalización
Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede generalizarse a 
dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan vectores, dependiendo de la dimensión en la que
se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un
vector, y el resultado es un vector ortogonal.
Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:
Otros productos vectoriales
Dados dos vectores, se definen tres operaciones matemáticas de tipo producto entre ellos:
• producto escalar
• producto vectorial
• producto tensorial
El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil y
directa. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por
dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado producto mixto de
tres vectores.
En el espacio afín bidimensional, , el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado un
vector que no pertenece al mismo espacio vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por
ser un vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional, , el producto vectorial es una
operación interna.
Véase también
• Producto escalar
• Doble producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)* Base ortogonal
• Base ortonormal
• Coordenadas cartesianas
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Producto_tensorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Operador_norma
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Producto_mixto
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_af%C3%ADn
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_af%C3%ADn
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Doble_producto_vectorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Producto_mixto
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Producto_tensorial
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial
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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_generador
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Independencia_lineal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_%28%C3%A1lgebra%29
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ortogonal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ortonormal
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordenadas_cartesianas
Producto vectorial 19
Bibliografía
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español). Monytex. ISBN 84-404-4290-4,
ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.
Enlaces externos
• Cross Product [1], MathWorld
• Real and Complex Products of Complex Numbers [2]
Referencias
[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ CrossProduct. html
[2] http:/ / www. cut-the-knot. org/ arithmetic/ algebra/ RealComplexProducts. shtml
http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html
http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/RealComplexProducts.shtml
http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html
http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/RealComplexProducts.shtml
Fuentes y contribuyentes del artículo 20
Fuentes y contribuyentes del artículo
Vector (física)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36208048  Contribuyentes: Abgenis, Aibdescalzo, Airunp, Alberto Salguero, Alexav8, Algarabia, Alhen, Aliman5040, Alvaro
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Producto vectorial  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36250167  Contribuyentes: Algarabia, Angel GN, Charlitos, Dante93, Davius, Diegusjaimes, Dodo, Dusan, Edgardo C,
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