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Análisis de la lubricación
termo-elastohidrodinámica y mixta
mediante la aplicación de modelos
numéricos
Álvaro Blázquez de Mingo
Julio 2016
2 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Resumen
La fricción es un fenómeno presente en los contactos entre sólidos. En al-
gunos casos puede resultar deseable, como en el contacto rueda - carril, y en
otros es un fenómeno a evitar. Los cuerpos se pueden encontrar en movimien-
to relativo, existiendo entonces diferentes tipos de comportamiento según este
movimiento. El método utilizado para reducir la fricción consiste en la lubri-
cación.
Combinando movimiento relativo de sólidos con lubricación se obtienen
los diferentes tipos de lubricación según la velocidad de desplazamiento: lu-
bricación límite, mixta e hidrodinámica. La curva de Stribeck representa estas
situaciones [1].
Figura 1: Curva de Stribeck.
En el caso de lubricación hidrodinámica la capa de lubricante impide el
contacto entre las rugosidades de los sólidos. De esta manera el coeficiente
de fricción está únicamente determinado por las características del lubricante,
más concretamente por su tensión cortante (τ). Esta tensión cortante se puede
expresar en función de la viscosidad (η) y de la velocidad de cizalla (γ̇) de la
siguiente forma: τ= η · γ̇.
Álvaro Blázquez de Mingo I
Resumen
Asímismo, cuando la presión existente en un contacto con lubricación es
elevada, entre 0,5 - 4 GPa para contactos en rodamientos y engranajes, se pro-
ducen dos fenómenos: los sólidos en contacto se deforman y el lubricante deja
de comportarse como un fluido newtoniano. Esto se conoce como lubricación
elasto-hidrodinámica (EHL).
A elevadas presiones y temperaturas existentes en los contactos EHL tam-
bién se ve afectada la densidad del lubricante. Para predecir la variación de la
viscosidad y densidad de los lubricantes existen diversos modelos (η= η(P, T )
y ρ = ρ(P, T )).
En un lubricante newtoniano existe una relación lineal entre la tensión cor-
tante (τ) y la velocidad de cizalla (γ̇), de forma que la viscosidad no varía con
la velocidad de cizalla.
Por el contrario, en el momento que el lubricante deja de comportarse como
un fluido newtoniano y la relación entre la tensión cortante (τ) y la velocidad
de cizalla (γ̇) no es lineal, la viscosidad depende de γ̇, siendo η= η(T, P, γ̇).
Para predecir el coeficiente de fricción en los contactos EHL se dispone tan-
to de un modelo analítico como numérico.
El trabajo se estructura en los siguientes apartados: comparación del mo-
delo numérico y el modelo analítico, comparación del modelo numérico con
resultados experimentales y determinación de los límites de convergencia del
modelo numérico.
Comparación del modelo numérico y el modelo analítico
El primer tema de interés es la comparación de ambos modelos para conocer
sus fortalezas y debilidades.
La comparación entre ambos modelos establece que el modelo numérico
ofrece mayor precisión a costa de un tiempo de cálculo más elevado y posi-
bles problemas de convergencia. El modelo analítico presenta menor tiempo
de cálculo, no cuenta con problemas de convergencia pero su precisión es li-
mitada y generalmente sobreestima los resultados. Se presenta un extracto de
las simulaciones:
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Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Figura 2: Simulaciones para lubricante PAO 40
Tal y como se puede observar esta sobreestimación es más acusada para el
caso del cálculo del coeficiente de fricción, siendo menor para el caso del espe-
sor de película. Esto es debido a que las simplificaciones llevadas a cabo en el
modelo analítico afectan en mayor forma al cálculo del coeficiente de fricción.
Se presentan a continuación las ventajas e inconvenientes de cada modelo:
Modelo numérico
Ventajas Inconvenientes
Mayor precisión Tiempo de cálculo elevado
(error máximo 11%-15 %) Convergencia limitada
Varios modelos reológicos Requiere conocimiento de MatLab
Modelo analítico
Ventajas Inconvenientes
Cálculo inmediato Menor precisión
Convergencia garantizada (error máximo 86%-222 %)
Tan solo necesita una hoja de cálculo
Comparación del modelo numérico con resultados experimentales
El segundo tema de interés radica en la comparación de los resultados obte-
nidos por el modelo numérico con resultados experimentales publicados en
diversos artículos.
En este caso la comparación se realizó con resultados experimentales obte-
nidos de [2]. El artículo seleccionado hace uso de un modelo no newtoniano
de variación de la viscosidad denominado tensión cortante límite. Por otra parte
el modelo numérico hace uso del modelo de Carreau. Las diferencias entre los
modelos se aprecian en la siguiente ilustración:
Álvaro Blázquez de Mingo III
Resumen
Figura 3: Comparación de los modelos de viscosidad
Este factor junto con el hecho de que el experimento se encuentra en una
zona de lubricación mixta, donde el modelo numérico es menos preciso, expli-
can las imprecisiones de los resultados obtenidos.
Posteriormente se realizaron comparaciones con resultados experimenta-
les de [3] y [4]. En estos casos los modelos no newtonianos de variación de
la viscosidad utilizados se comportan de forma semejante a como lo hace el
lubricante y los resultados son más exactos.
De lo anterior se extrae la importancia de una buena caracterización del
lubricante y de modelos viscosidad - presión adecuados con objeto de obtener
resultados precisos.
Límites de convergencia del modelo numérico
El último tema de interés trata sobre los límites de convergencia del mode-
lo numérico. Este modelo realiza un cálculo iterativo para la resolución del
problema EHL. Esto provoca que en determinadas ocasiones no se obtenga
convergencia y por lo tanto un resultado válido.
Las variables que expresan los límites de convergencia son las que definen
las condiciones de funcionamiento: presión, velocidad media y SRR (ratio entre
la diferencia de velocidades de los sólidos y su velocidad media). La siguiente
tabla muestra los límites de convergencia del modelo numérico:
Límites de convergencia del modelo numérico
α SRR Presión (GPa) um (m/s)
9 - 11 5 - 110 0,63 - 1,02 ≥ 1
11 - 14 5 - 170 0,63 - 1,3 ≥ 0,5
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Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
El parámetro α o presión - viscosidad del lubricante establece como varía
la viscosidad en función de la presión. Debido a que los problemas de conver-
gencia surgen en el momento de calcular la viscosidad este parámetro es uno
de los más determinantes para definir la convergencia.
Los valores de SRR de convergencia se corresponden con la mayor parte del
rango completo (0 - 200). La presión se ve limitada para valores aceptables,
que sin ser los más altos (0,5 - 4 GPa), se corresponden con un rango de fun-
cionamiento habitual. La velocidad media (um) únicamente ofrece problemas
para valores bajos (≤ 0, 5m/s). Sin embargo, el régimen de funcionamiento
EHL para el que está destinado este modelo habitualmente consiste en veloci-
dades superiores al límite de convergencia.
A continuación se muestran representadas las zonas de convergencia para
el lubricante PAO 6 a 40oC:
Figura 4: Límites de convergencia PAO 6 40oC
En la figura podemos observar tres zonas representadas: zona verde, bue-
na convergencia; zona morada, comienzan los problemas de convergencia pero
los resultados se encuentran dentro del rango de error aceptado y zona roja,
no se alcanza la convergencia.
Álvaro Blázquez de Mingo V
Índice general
Resumen I
1 Introducción 1
1.1 Antecedentes del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Justificación y aplicaciones del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Aspectos económicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2 Aspectosmedioambientales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Fundamentos teóricos 7
2.1 Tribología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Contacto entre sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Fricción seca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Fricción lubricada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Regímenes de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.5 Desgaste y fatiga superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Lubricación elastohidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Distribución de presiones en lubricación EHL . . . . . . . 19
2.2.2 Espesor de película en lubricación EHL . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Ecuación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Lubricación Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Lubricación Mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Lubricantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.1 Reología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Modelo numérico 39
3.1 Algoritmo y estructura del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Algoritmo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2 Algoritmo de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Utilización del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Ejecución del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
3.3 Modelo numérico y modelo analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Modelo analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Comparación de modelos para lubricación EHL . . . . . . 54
4 Comprobación del modelo numérico 61
4.1 Caracterización de lubricante SAE 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 Parámetros de la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 Parámetros de Tait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.3 Parámetros de Carreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Límites del modelo para lubricación EHL . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1 Lubricante PAO 6 80oC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.2 Lubricante PAO 6 40oC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.3 Lubricante PAO 40 40oC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.4 Lubricante newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.5 Límites de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5 Conclusiones y trabajos futuros 101
5.1 Modelo numérico y analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Comparación con resultados experimentales . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Límites de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Líneas de trabajo futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6 Planificación temporal y presupuesto 105
6.1 Planificación temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Presupuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7 Anexo 111
7.1 Máquina de ensayos MPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Índice de figuras 113
Bibliografía 117
Álvaro Blázquez de Mingo VII
ÍNDICE GENERAL
VIII Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Introducción
Para comenzar la memoria se va a realizar una introducción a los antece-
dentes, objetivos, marco de ejecucuión, justificación y aplicaciones del trabajo
que se ha realizado. Este trabajo se ha llevado a cabo en la División de Ingenie-
ría de Máquinas (DIM), perteneciente al Departamento de Ingeniería Mecáni-
ca, en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la Universidad
Politécnica de Madrid.
1.1. Antecedentes del trabajo
Durante los últimos años, la División de Ingeniería de Máquinas ha venido
desarrollando una línea de investigación centrada en la tribología: estudio de
la interacción entre las superficies en movimiento relativo.
Los trabajos fin de carrera, máster y tesis doctorales enfocadas en dicha
línea han dado como resultado un modelo numérico así como un modelo ana-
lítico que resuelve el problema de la lubricación termo-elastohidrodinámica
(TEHL). Los modelos desarrollados permiten la resolución del problema de
contacto, tanto lineal como puntual. Además se dispone de modelos para regí-
menes de lubricación límite y mixta.
La resolución de los problemas de contacto permite obtener los valores de
fricción, temperatura y espesor de película.
1.2. Objetivos
El objetivo principal del proyecto es la búsqueda de los límites de utilización
y convergencia de los modelos mediante la realización de simulaciones con di-
ferentes lubricantes en un rango amplio de condiciones de funcionamiento.
Álvaro Blázquez de Mingo 1
Introducción
Así mismo, realizar una recopilación de artículos y resultados experimen-
tales sobre métodos y modelos que permitan resolver el problema TEHL para
contactos lineales.
1.3. Justificación y aplicaciones del trabajo
La justificación y aplicación de este trabajo se basa en la necesidad de con-
trolar y predecir la fricción en los sistemas tribológicos lubricados, ya que este
concepto está intrínsecamente relacionado con la mejora de la eficiencia ener-
gética y el ciclo de vida de muchos componentes en máquinas.
En la actualidad la tribología es fundamental en la maquinaria moderna,
ya que utiliza superficies en contacto con deslizamiento o rodadura. La fricción
puede ser un fenómeno deseado, como puede ocurrir en las ruedas de ferro-
carril, embragues o en los discos de freno; algo análogo a lo que ocurre con el
desgaste en actividades como el mecanizado. Sin embargo, suele ser un efecto
secundario y perjudicial en cualquier mecanismo que pone piezas en contacto.
Por ello, la lubricación se hace necesaria con el fin de reducir la fricción y el
consiguiente desgaste.
1.3.1. Aspectos económicos
Esta fricción no deseada en los contactos tiene como consecuencia unas
pérdidas económicas significativas. En 1966 Peter Jost [5] señaló en su informe
que una mejora en la eficiencia que redujera las pérdidas por fricción podía
suponer un ahorro de unos 500 millones de libras esterlinas de la época al
año.
2 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Figura 1.1: Ahorro mediante mejoras tribológicas [3].
Tal y como se observa en la gráfica la mayor parte del ahorro proviene de
una reducción en el mantenimiento y desgaste de los componentes. Es impor-
tante tener en cuenta que el informe Jost ha sido considerado muy conservador
en cuanto al poder de ahorro posible.
Con posterioridad han surgido numerosos informes que corroboran la im-
portancia de la tribología y el efecto que una mejora de la eficiencia tendría
sobre la economía. El informe con mayor trascendencia [6], procedente de Es-
tados Unidos, se centra en el ahorro energético. Establece que sería posible un
ahorro del 11 % de la energía consumida en el país mediante eventuales avan-
ces que mejoren la eficiencia tanto en la generación eléctrica y el transporte
como diversos procesos industriales.
En 2001, el propio Jost estimó las pérdidas tribológicas en el 4% del PIB
de un país industrializado y la optimización de estos contactos podría suponer
cerca de un 1% del PIB.
Como conclusión, se puede establecer que pese aunque las pérdidas tér-
micas son dificiles de evitar, una disminucicón de la fricción seca y viscosa
contribuye a una reducción global de las pérdidas. Esto se puede conseguir
mediante la utilización de materiales, lubricantes y acabado superficial óptimo
junto con unas condiciones de operaciónen el rango adecuado.
Álvaro Blázquez de Mingo 3
Introducción
1.3.2. Aspectos medioambientales
La fricción no solo afecta de forma negativa a la economía, también lo hace
al medioambiente. En 2012, un informe del Laboratorio Central de Finlandia
[7] estableció que un tercio del combustible utilizado en automóviles se dedica
a superar las pérdidas por fricción. En la siguiente figura se puede apreciar la
utilización de la energía en un automóvil.
Figura 1.2: Utilización de le energía en un automóvil [7]
4 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Aprovechando los nuevos avances desarrollados en el campo de la tribolo-
gía es posible obtener una reducción de la fricción estimada de un 18% en el
corto plazo (5 - 10 años) y de un 61 % en el largo plazo (15 - 25 años). Esto
equivaldría a unos ahorros de combustible de 117.000 y 385.000 millones de
litros respectivamente y una reducción de emisiones de CO2 de 290 y 960 mi-
llones de toneladas [7]. Para una estimación de las emisiones de CO2 del año
2014 de 3,6 · 1010 toneladas [8], estos ahorros suponen un 0,8 % y un 2,6 %
del total.
Al igual que sucede en el caso de los automóviles, las máquinas que po-
sean fricción no deseada sufren una reducción de su rendimiento que provoca
la utilización de una cantidad de energía para compensar estas pérdidas. Esta
energía provoca un impacto mediambiental que sería reducido con un descen-
so de la fricción.
Este impacto ambiental puede verse reducido de forma similar a la men-
cionada en el impacto económico: mediante la utilización de materiales, lubri-
cantes y acabado superficial óptimo junto con unas condiciones de operación
en el rango adecuado.
Otro aspecto mediambiental significativo es el provocado por los lubrican-
tes a lo largo de su vida útil. La cantidad de lubricantes generados en Europa
ascienden a unas 5 toneladas al año [9].
Existen unos criterios de compatibilidad medioambiental que son necesa-
rios en un lubricante para minimizar su impacto ambiental. Los más importante
son [3]: biodegradabilidad, solubilidad en agua, ausencia de toxicidad y efec-
tos sobre la salud, eficiencia energética y reducción de emisiones.
Entre los métodos para comprobar la biodegradabilidad, los más importan-
tes establecen una degradación ecológica del 60 % en 28 días (OECD - 31) y
del 80% en 21 días (L - 33 - A - 93) [3].
En España, hasta 1997, el método más extendido de eliminación de los
lubricantes era la incineración. Desde 1997 con la creación del Protocolo de
intenciones en relación con las gestión de los aceites industriales usados en España
por parte de la Asociación Española de Lubricantes se estableció un protocolo
para su correcta recogida y eliminación. En 2006 este protocolo fue actualizado
mediante el Real Decreto 679/2006 que genera un nuevo marco en la gestión
de residuos de lubricantes.
Álvaro Blázquez de Mingo 5
Introducción
6 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Fundamentos teóricos
En este capítulo se va a realizar un resumen sobre los fundamentos teóricos
y técnicos enmarcados en el ámbito de desarrollo del trabajo.
2.1. Tribología
La tribología es la ciencia que estudia la interacción de superficies que se
encuentran en movimiento relativo. Incluye el estudio y aplicación de la lu-
bricación, fricción y desgaste y fatiga superficial. Fue establecida en 1966 en
Inglaterra debida a la necesidad de estudiar lo sucedido en las capas externas
de los materiales [4].
2.1.1. Contacto entre sólidos
Cuando dos cuerpos entrán en contacto producen una huella que es di-
ferente según la geometría de ambos cuerpos: lineal (cilindro-cilindro; típico
en engranajes, levas y rodamientos de rodillos), puntual (esfera-esfera; habi-
tual en rodamientos de bolas) y elíptica (cilindro-plano; común en el contacto
rueda-carril) [3].
En este trabajo es de interés únicamente el contacto lineal. La teoría de con-
tacto más extendida corresponde a Hertz [10].
Contacto lineal
Para el caso de contacto lineal seco se considera que la superficie de contac-
to es mucho menor que las dimensiones de los sólidos y la carga (F) es aplicada
perpendicularmente a la generatriz de contacto.
Álvaro Blázquez de Mingo 7
Fundamentos teóricos
Figura 2.1: Contacto lineal entre dos cilindros
Establece un distribución de presiones parabólica de la forma,
P(x) = P0
s
1− (
x
b
)2 (2.1)
con una presión máxima:
P0 =
2F
πbl
(2.2)
Figura 2.2: Ditribución de presiones en la teoría de Hertz
La huella de contacto se corresponde con una superficie rectangular con
longitud l y anchura 2b, siendo
8 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
b =
√
√
√4F
R′
lπ E′
2
(2.3)
donde,
E′ es el módulo elástico equivalente y se calcula a partir de los módulos elás-
ticos (E1 y E2) y los coeficientes de Poisson (υ1 y υ2).
1
E′
=
1
2
�
1−υ2
1
E1
+
1−υ2
2
E2
�
(2.4)
R′ es el radio equivalente del contacto.
1
R′
=
1
R1
+
1
R2
(2.5)
Deformación elástica de los sólidos en un contacto lineal
Debido a que el tipo de contactos que son de interés en este trabajo están
sometidos a presiones elevadas, los sólidos en contacto sufren deformaciones.
En el interior de la zona de contacto se considera la hipótesis de la presión
como una sucesión de fuerzas puntuales. Se supone también comportamiento
lineal en la deformación, propiedades homogéneas e isotrópicas y que las di-
mensiones del contacto son de magnitud inferior al tamaño de los sólidos. De
esta forma se llega a que la deformación elástica (wi) que provoca una fuerza
F viene dada por [3]:
w(x) =
2(1−υ2)
ΠE
∫ −b
b
P(x)ln | x − S | dS (2.6)
donde,
υ es el coeficiente de Poisson del sólido.
E es el módulo elástico del material.
S es el coeficiente adimensional de desplazamiento slide to roll ratio (SRR).
El coeficiente adimensional S se define como:
S =
(ua − ub)
um
(2.7)
donde,
ua y ub son las velocidades de giro de los cuerpos.
um es la velocidad media de giro (um =
ua+ub
2 ).
Álvaro Blázquez de Mingo 9
Fundamentos teóricos
Contacto puntual
Para contacto puntual, por ejemplo entre dos esferas, la presión sigue una
distribución normal como una función de la distancia del centro de la huella
de contacto [11]
p(r) = p0
√
√
(1−
r2
a2
) (2.8)
donde,
a es el radio de la huella de contacto puntual.
La presión máxima se expresa de la siguiente forma:
p0 =
3F
2πa2
(2.9)
Figura 2.3: Contacto puntual entre dos esferas
El radio de la huella de contacto se establece como
a = (
3FR′
4E∗
)
1
3 (2.10)
donde,
E∗es el módulo elástico equivalente y se calcula a partir de los módulos elásticos
(E1 y E2) y los coeficientes de Poisson (υ1 y υ2).
10 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
1
E∗
=
1−υ2
1
E1
+
1−υ2
2
E2
(2.11)
Se puede establecer la siguiente relación entre los módulos elásticos equi-
valentes de los diferentes contacto como:
E′ = 2 · E∗ (2.12)
R′ es el radio equivalente del contacto.
1
R′
=
1
R1
+
1
R2
(2.13)
2.1.2. Fricción seca
La fricción seca es un fenómeno que se opone al movimiento relativo entre
dos superficies en contacto. El primer modelo pertenece a Amontons (1669)
verificado posteriormente por Coulomb (1781) [12]. El modelo desarrollado
establece que entre dos sólidos en contacto existe fricción estática y fricción
cinética y que ambas son independientes del tamaño de las superficies y están
gobernadas por el siguiente modelo:
Fr ¶ µFn (2.14)
donde,
Fr es la fuerza de rozamiento producida por cada superficie sobre la contraria.
Sigue una dirección paralela a la superficie y un sentido tal que se oponga al
movimiento.
µ es el coeficiente de fricción.
Fn es la fuerza normal producida por cada superficie sobre la contraria. Sigue
una dirección perpendicular a la superficie.La fricción estática aparece cuando no existe movimiento relativo entre las
superficies. Se produce fundamentalmente por los enlaces interatómicos que
se producen en el contacto entre superficies.
La fricción cinética solo se produce cuando existe movimiento relativo, su
valor es inferior al de la fricción estática y es independiente de la velocidad de
deslizamiento.
Coeficiente de fricción
El coeficiente de fricción es una magnitud adimensional que establece la
cantidad de fuerza de rozamiento entre dos superficies en función de la fuerza
Álvaro Blázquez de Mingo 11
Fundamentos teóricos
normal entre las mismas. Ha de ser medido experimentalmente y generalmen-
te toma valores entre 0 y 1. En la siguiente gráfica se puede observar como
evoluciona el coeficiente de rozamiento en los distintos estados de fricción.
Figura 2.4: Fuerza de rozamiento frente a fuerza aplicada
donde,
Fr es la fuerza de rozamiento.
Fa es la fuerza aplicada para deslizar el sólido.
Frmaxest es la fuerza de rozamiento máxima para fricción estática.
Frmaxdes es la fuerza de rozamiento máxima para fricción cinética.
2.1.3. Fricción lubricada
En un contacto lubricado en el que existe movimiento relativo entre las su-
perficies también se produce fricción. Sin embargo, esta fricción se produce en
el seno del fluido y se refleja en las superficies en forma de fuerzas tangenciales
cortantes a las mismas.
12 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Figura 2.5: Fuerzas tangenciales en un contacto lubricado
Para obtener un valor de coeficiente de rozamiento comparable con la ex-
presión 2.14 es necesario integrar el esfuerzo cortante (τx y) a lo largo del area
de las superficies de la forma [13]:
F1 =
∫∫
τx y(z = h)d xd y (2.15)
F2 =
∫∫
τx y(z = 0)d xd y (2.16)
En el capítulo dedicado a lubricantes se establecerá la relación entre la
fuerza tangencial producida por el lubricante y sus propiedades reológicas.
2.1.4. Regímenes de funcionamiento
En función de la capacidad del lubricante para mantener separadas las su-
perficies se establecen tres regímenes de funcionamiento: lubricación límite;
lubricación mixta y lubricación hidrodinámica (HL).
Para limitar de forma cuantitativa los diferentes regímenes de lubricación
es necesario definir un parámetro de espesor específico de película (λ) [3].
λ=
h0
Æ
σ2
1 +σ
2
2
(2.17)
donde,
h0 es el espesor mínimo de película del lubricante.
σi es la rugosidad media de cada superficie.
Cuando la película de lubricante es insuficiente comparada con la rugosidad
de las superficies se produce lubricación límite. La carga es soportada por las
irregularidades de las superficies y se producen microsoldaduras metal-metal.
Álvaro Blázquez de Mingo 13
Fundamentos teóricos
Cuando la película de lubricante tiene suficiente espesor las irregularidades
de las superficies están cubiertas y no entran en contacto. Se produce entonces
lubricación hidrodinámica. En el caso de que exista deformación elástica en-
tre las superficies debida a las altas cargas se denomina elastohidrodinámica
(EHL).
El régimen de lubricación mixta se corresponde a un estado intermedio en-
tre las dos anteriores. Exite contaco directo ocasional entre las irregularidades
pero también existe un espesor de película suficiente para mantener separadas
ambas superficies.
En la siguiente figura [14] se pueden observar los diferentes regímenes así
como los límites del espesor específico de película (λ) que los delimitan.
Figura 2.6: Regímenes de lubricación
14 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Curva de Stribeck
La curva de Stribeck (1902) representa el coeficiente de fricción (µ) en
función del parámetro de espesor específico de película (λ) o de la velocidad
adimensionalizada [1].
η∆u
F
(2.18)
donde,
η es la viscodidad del lubricante.
∆u es la velocidad de deslizamiento.
F es la carga aplicada.
Figura 2.7: Curva de Stribeck.
En la curva de Stribeck se puede observar la variación del coeficiente de
fricción en los diferentes regímenes de lubricación. Este puede aumentar un
orden de margnitud y ello afecta significativamente el desgaste. Dicho orden
de magnitud se puede apreciar en la siguiente gráfica: [3]
Álvaro Blázquez de Mingo 15
Fundamentos teóricos
Figura 2.8: Coeficiente de fricción en función del régimen de lubricación.
2.1.5. Desgaste y fatiga superficial
El desgaste de un material está muy relacionado con la magnitud del coe-
ficiente de rozamiento al que es sometido. Cuanto mayor sea el rozamiento
mayor será la tasa de desgaste y este se presentará en las zonas con mayores
presiones. Aunque desgaste y fricción son fenómenos relacionados esta rela-
ción no siempre es proporcional.
Existen ciertas aplicaciones en las que un coeficiente de rozamiento elevado
es necesario, como es el caso de un embrague. En este caso un valor alto es
requerido para garantizar un correcto acoplamiento.
Por el contrario, en otras aplicaciones el coeficiente de rozamiento ha de ser
bajo. Es el caso de un cojinete, donde es necesario el menor rozamiento posible.
En la siguiente figura se puede observar la variación de la tasa de desgaste
en función de los diferentes regímenes de lubricación y la carga. [3]
16 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Figura 2.9: Tasa de desgaste en función del régimen de lubricación.
Para reducir la tasa de desgaste lo idóneo es mantenerse en un regímen
de película gruesa o (elasto)hidrodinámico, pero teniendo en cuenta que un
exceso de espesor de película conlleva un aumento de la fricción.
2.2. Lubricación elastohidrodinámica
El régimen de funcionamiento elastohidrodinámica (EHL o EHD) es en la
mayoría de las aplicaciones el punto deseado de trabajo. Está caracterizado por
áreas de contacto pequeñas (0,1 - 0,5 mm2) y presiones máximas áltas (0,5 - 4
GPa). Las presiones tan altas provocan variaciones de viscosidad del lubricante
muy acusadas y la deformación de los sólidos en contacto.
El régimen EHL es el más estudiado y está basado en la ecuación de Rey-
nolds (1886) que determina el comportamiento de la presión y el espesor de
película en función de la viscosidad y la velocidad. La ecuación de Reynolds
[15]:
∂
∂ x
(
ρh3
η
∂ P
∂ x
) +
∂
∂ y
(
ρh3
η
∂ P
∂ y
) = 6u
∂ (ρh)
∂ x
+ 6ρh
∂ u
∂ x
+ 12
∂ (ρh)
∂ t
(2.19)
donde,
u es la suma de las velocidades de las superficies (u= u1 + u2).
t es el tiempo.
Álvaro Blázquez de Mingo 17
Fundamentos teóricos
P es la presión.
h es es espesor de película.
η es la viscosidad.
ρ es la densidad.
Para llegar a dicha ecuación Reynolds realizó las siguientes hipótesis [16]:
1. Se consideran despreciables el resto de fuerzas que actúan sobre el fluido
(peso, inercia o las fuerzas magnéticas).
2. La presión del fluido es constante a lo largo del espesor de la película.
3. Las superficies se consideran planas. La curvatura de las mismas es mu-
cho mayor que el espesor de película.
4. La velocidad de la capa de lubricante en contacto con cada superficie
coincide con la velocidad de ésta.
5. El fluido es Newtoniano. La relación entre la tensión cortante y el gra-
diente de velocidad es constante.
6. El flujo es laminar.
7. El fluido es incompresible. La densidad del fluido y la viscosidad se con-
sideran constantes.
8. Las superficies no se deforman debido a la presión.
Debido a las altas presiones las hipótesis de la ecuación de Reynolds no se
cumplen ya que existe deformación de las superficies y es muy probable que el
fluido se comporte como no Newtoniano (la viscosidad no es constante).
Hasta 1950 las teorías hidrodinámicas no tenian en consideración la varia-
ción de viscosidad del lubricante y la deformación de los sólidos en contacto.
Estaban, por tanto, alejadas de la realidad para contactos EHL. Mediante la
combinación de la ecuación deReynolds junto con el modelo de viscosidad
de Barus (2.44), Grubin (1950) obtuvo la primera teoría hidrodinámica válida
para contactos EHL. Grubin también llegó a la conclusión de que el espesor de
película en el interior del contacto se mantenía constante e igual al espesor de
película central (hc) representado en la figura 2.10 [17].
Los resultados publicados por Dowson y Higginson en 1959 dieron forma a
la teoría EHL actual con la introducción de la ecuación de deformación elástica
de los sólidos en contacto [17].Para resolver el problema EHL es necesario
realizar un proceso iterativo que agrupa las siguientes ecuaciones:
18 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Ecuación de Reynolds
Ecuación Presión - Viscosidad Se presentarán diversos modelos en el apar-
tado 3.5.1 correspondiente al estudio de la reología de los lubricantes.
Ecuación Deformación Elástica
En el caso de realizar el cálculo para problemas no isotermos es nece-
sario añadir la ecuación de la energía para el cálculo de las temperaturas
en el contacto. El conjunto de estas ecuaciones comprende la teoría termo-
elastohidrodinámica (TEHL).
2.2.1. Distribución de presiones en lubricación EHL
En un contacto seco la ditribución de presiones se corresponde con la teoría
de Hertz presentada previamente. Sin embargo, cuando las superficies están
en movimiento relativo en presencia de un lubricante la distribución de pre-
siones se ve modificada [17]. Los mayores cambios se aprecian a la entrada y
salida del contacto.
Figura 2.10: Distribución de presión y espesor de película en lubricación EHL
[17].
En la entrada el movimiento relativo de las superficies empuja el lubricante
hacia el interior del contacto. Según el lubricante se introduce su viscosidad
Álvaro Blázquez de Mingo 19
Fundamentos teóricos
aumenta exponencialmente debido a las altas presiones y temperaturas exis-
tentes [18]. Los efectos del movimiento relativo y el lubricante provocan una
superficie de contacto mayor de forma que las presiones a la entrada son me-
nores que para un contacto seco Hertziano [17].
En la zona central o Hertziana existe una cantidad de lubricante suficiente
para separar ambas superficies, conocida como espesor de película central (hc).
La presión se puede aproximar por la teoría de Hertz. El aumento en la visco-
sidad provoca que el lubricante se encuentre en un estado pseudoplástico [18].
En la región de salida el lubricante sufre un descenso acusado de la presión
y por lo tanto de su viscosidad. Esta disminución de la viscosidad a valores cer-
canos a presión ambiente provoca un estrechamiento del espesor de película
de forma que se mantenga el flujo de lubricante constante [17]. Esto es debido
a que la viscosidad se opone al flujo del lubricante. El espesor en esta zona
se conoce como el espesor de película mínimo (h0). El descenso del espesor
de película provoca un pico de presiones que depende de la relación presión -
viscosidad del lubricante.
2.2.2. Espesor de película en lubricación EHL
En los contactos EHL se alcanzan presiones lo suficientemente elevadas co-
mo para que el espesor de película del lubricante (h) vea su geometría modifi-
cada como consecuencia de las deformaciones elásticas sufridas por los sólidos
[3]. Por lo tanto, el espesor de película es función de la geometría de los sólidos
y de su deformación.
20 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Figura 2.11: Geometría del espesor de película considerando la deformación
elástica [3].
Como muestra la figura anterior, el espesor de película queda determinado
por la siguiente expresión [19]:
h(x) = h0 +w(x) + uz(x) (2.20)
donde,
h0 es el espesor de película en el punto central sin deformación elástica o el
espesor mínimo con deformación.
w(x) establece la posición de todos los puntos de los sólidos sin deformar.
uz(x) introduce la variación del espesor de película debida a la deformación
elástica.
La suma de los términos h0 y w(x) representa el espesor de película sin
deformación elástica. El valor de h0 se obtiene mediante la resolución de la
expresión del balance de carga unidimensional [20].
W =
∫
P(x)d x (2.21)
La integral de la distribución de presión P(x) obtenida de la resolución de
la ecuación de Reynolds a lo largo del dominio del contacto tiene que ser igual
al valor de la carga aplicada W para que se produzca un equilibrio de fuerzas
Álvaro Blázquez de Mingo 21
Fundamentos teóricos
en el contacto [20].
Para el caso de dos cilindros con el mismo radio, la expresión de w(x) es
de la forma [3]:
w(x) =
x2
2R1
+
x2
2R2
=
x2
2R
(2.22)
El término uz(x) se obtiene teniendo en cuenta la deformación elástica de
los cuerpos en contacto. Su expresión es la siguiente [20]:
uz(x) = −
2
ΠE′
∫ −b
b
P(x)ln(x − S)2dS (2.23)
donde,
E′ es el módulo de elasticidad equivalente.
b es el semi-ancho del contacto Hertziano.
P(x) es la distribución de presiones.
S es el coeficiente adimensional slide to roll ratio (SRR) definido en la expre-
sión 2.7.
La expresión completa del espesor de película para contactos EHL es por
tanto [3]:
h(x) = h0 +
x2
R
−
2
ΠE′
∫ −b
b
P(x)ln(x − S)2dS (2.24)
2.2.3. Ecuación de la energía
El calor producido por la fricción viscosa del lubricante tiene como resulta-
do un aumento de la temperatura en el contacto. Este aumento de temperatura
provoca cambios en la densidad y viscosidad del lubricante afectando al coefi-
ciente de fricción y el espesor de película.
Para poder estimar el valor de la temperatura del lubricante en cada punto
es necesario realizar un balance térmico. Para ello se utilizará la ecuación di-
ferencial de conservación de energía para un volumen de fluido y de sólidos.
En el caso de un elemento diferencial del sólido el balance es [3]:
∂ 2T
∂ x2
+
∂ 2T
∂ y2
+
∂ 2T
∂ z2
=
ρscs
ks
(u
∂ T
∂ x
) (2.25)
22 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
donde,
cs es el calor específico del lubricante.
ks la conductividad térmica del lubricante.
ρs la densidad del lubricante.
u es la velocidad en el contacto, habitualmente se utiliza la velocidad media
(u0).
2.3. Lubricación Límite
En el régimen de lubricación límite la película de lubricante no es capaz
de cubrir la rugosidad de las superficies y por lo tanto estas asperezas son las
encargadas de soportar la mayor parte de la carga. Debido a esto se producen
microsoldaduras y hay interacción metal-metal. En este régimen son comunes
las presiones altas, las velocidades reducidas así como la baja viscosidad del
lubricante.
Figura 2.12: Contaco en régimen de lubricación límite.
En la imagen anterior [14] se pueden apreciar las dos zonas de contacto:
tipo I, donde hay separación por medio de la capa límite de lubricante y tipo
II, donde existe contacto directo de las superficies. La formación de zonas con
protección de lubricante depende de la untuosidad en mayor manera que de
la viscosidad del lubricante.
El coeficiente de fricción es comparable al de un contacto seco e influyen
los fenómenos químicos del lubricante así cómo de las superficies en contac-
to. Su obtención únicamente es posible mediante resultados experimentales o
métodos analíticos.
Álvaro Blázquez de Mingo 23
Fundamentos teóricos
2.4. Lubricación Mixta
Tal y como se describió previamente, el régimen de lubricación mixta se
corresponde con un estado intermedio entre los dos regímenes anteriores. Exi-
te contacto directo ocasional entre las irregularidades pero también existe un
espesor de película suficiente para mantener separadas ambas superficies.
La resolución de este tipo de lubricación se basa en una ponderación y com-
binación de los resultados de los regímenes límite y EHL en unas condiciones
de funcionamiento dependientes de las originales.
Se comienza resolviendo el problema EHL y se realiza una ponderaciónen
función del espesor de película específico (λ). Esto se realiza puesto que se
establece la hipótesis de desacople de los problemas EHL y límite de forma que
se resolverán por separado. El reparto de las cargas soportadas es de la forma:
P = P EH L + PBDR (2.26)
donde,
P es la presión total del contacto.
P EH L es la presión soportada por el lubricante, en régimen EHL.
PBDR es la presión soportada por las rugosidades, en régimen límite.
Para determinar la distribución de la fuerza normal y el coeficiente de ro-
zamiento entre los regímenes se utilizan correlaciones. En este caso se opta
por utilizar la correlación Zhu y Castro [21]. Estas correlaciones se basan en el
espesor de película específico (λ) proveniente del problema EHL desacoplado.
Para la carga normal se establece:
F EH L
N = fλFN (2.27)
F EH L
N = (1− fλ)FN (2.28)
FN = F EH L
N + F EH L
N (2.29)
donde,
FN es la fuerza normal total del contacto.
F EH L es la fuerza normal soportada por el lubricante, en régimen EHL.
F BDR es la fuerza normal soportada por las rugosidades, en régimen límite.
fλ es el parámetro de la correlación.
De manera análoga para el coeficiente de rozamiento se establece [22]:
µ= fλµ
EH L + (1− fλ)µ
BDR (2.30)
24 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
donde,
µ es el coeficiente de rozamiento total del contacto.
µEH L es el coeficiente de rozamiento debido a la tensiones cortantes del lubri-
cante en lubricación EHL.
µBDR es el coeficiente de rozamiento provocado por las rugosidades en lubri-
cación límite.
La correlación utilizada es la siguiente:
f Cast ro
λ
= 0, 82λ0,28 (2.31)
f Zhu
λ
=
1,21λ0,64
1+ 0,37λ1,26
(2.32)
donde,
λ es el espesor específico de película.
A continuación se puede observar una representación de los valores de fλ
y λ [22]:
Figura 2.13: Correlaciones para régimen de lubricación mixta.
Las hipótesis realizadas para la resolución del problema de régimen mixto
parte de una combinación de las hipótesis realizadas en la resolución de los
regímenes EHL y límite.
Álvaro Blázquez de Mingo 25
Fundamentos teóricos
2.5. Lubricantes
Un lubricante es una sustancia, generalmente en estado líquido, que tiene
como objetivo evitar el contacto entre dos piezas con movimiento relativo. Asi-
mismo, reduce el rozamiento en el contacto puesto que la fricción producida
en el seno del lubricante es menor que la generada por contacto de dos superfi-
cies. Tal y como se expuso previamente, el rozamiento creado por el lubricante
parte de la tensión cortante soportada por el seno del mismo.
En función del estado en el que se encuentren existen: lubricantes sólidos,
semisólidos o grasas y líquidos.
Los lubricantes sólidos son utilizados en condiciones de funcionamiento
muy extremas (muy altas temperaturas y presiones). Los más comunmente
utilizados son el grafito y el disulfuro de molibdeno [3].
Los lubricantes semisólidos son productos entre sólidos y semifluidos. Tie-
nen la capacidad de fluir pero poseen una viscosidad más elevada que los lu-
bricantes líquidos. Son idóneos para permanecer en contacto con superficies
en movimiento y no desbordarse del alojamiento por gravedad u otras fuerzas.
Los lubricantes líquidos incluyen sustancias naturales, sintéticas y mezcla
de ambas. Para mejorar sus propiedades es común añadir aditivos. Los más
utilizados dentro de este grupo son los aceites minerales y los sintéticos.
Los lubricantes minerales son derivados del petróleo. Están compuestos
principalmente por hidrocarburos y sus principales tipos son: parafínicos, naf-
ténicos, olefínicos y aromáticos. Su rango de utilización llega hasta los 130oC
[3].
Los lubricantes sintéticos tienen su origen en la necesidad de contar con
lubricantes con propiedades adaptadas a condiciones más exigentes. Su ran-
go de utilización llega hasta aproximadamnete 370oC. Los tipos más comunes
son: polialfaolefinas (PAO), poli-internalolefinas (PIO), polibutenos (PB) e hi-
drocarburos halogenados.
2.5.1. Reología
La reología es la ciencia que estudia la deformación y el flujo de la mate-
ria. Para el ámbito de este trabajo se van a exponer los diferentes modelos que
predicen el comportamiento de los lubricantes en función de la temperatura,
26 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
la presión y la velocidad de cizalla.
Para el caso de contactos en régimen EHL el abanico de condiciones es bas-
tante amplio pudiendo llegar a presiones de 4 GPa, temperaturas de 200oC y
velocidades de cizalla de 109s−1.
Es importante destacar la dificultad que supone la obtención de los pará-
metros que rigen las propiedades de los lubricantes debido a la complejidad de
los equipos de medición dadas las exigentes condiciones de funcionamiento.
Por ello la escasez de existencia de valores para caracterizar los lubricantes.
Densidad
La densidad (ρ) es una propiedad física que relaciona la masa de una sus-
tancia contenida en una unidad de volumen. Dadas las altas presiones y tempe-
raturas soportadas en los contactos la hipótesis de densidad constante para un
fluido no es válida. Por ello son necesarios modelos que predigan la densidad
de los lubricantes para diferentes valores de presión y temperatura.
Figura 2.14: Variación de la densidad del lubricante SAE 30 en función de la
presión (MPa).
Modelos dependientes de la presión
Modelo de Feng y Ramesh [23]
Álvaro Blázquez de Mingo 27
Fundamentos teóricos
ρ(P) =
ρ0
1+ C1
2C2
+ (s
r
1+ 4C2(P−C3)
C2
1
)
(2.33)
donde,
ρ0 es la densidad a presión ambiente.
s, C1, C2 y C3 son parámetros de ajuste empíricos.
Modelo de Dowson-Higginson [12]
ρ(P)
ρ0
= 1+
D1P
1+ D2P
(2.34)
donde,
D1 y D2 son parámetros de ajuste empíricos.
Modelos dependientes de la temperatura
Modelo de Dowson-Higginson [12]
ρ(T ) = 1− ε(T − T0) (2.35)
ε = ε0e−cP (2.36)
donde,
ε es el coeficiente de expansión térmica del lubricante.
ε0 es el coeficiente de expansión térmica a presión atmosférica.
T0 es la temperatura de referencia.
c es una constante de valor aproximado 1,5GPa−1.
Modelos dependientes de la presión y la temperatura
Modelo de Tait [24]
ρ(P, T ) =
ρ0
1− 1
K0
′+1 ln(1+ P
K0
(1+ K0
′))
(2.37)
donde,
K0 es el módulo volumétrico a P=0.
28 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
K0
′ es la derivada del módulo volumétrico.
En caso de no contar con valores específicos para un lubricante es posible
utilizar los valores universales para cálculos EHL: K0 = 1, 67GPa y K0
′ = 6,67.
El modelo de Tait es en muchas ocasiones expresado en función del volu-
men específico adimensional según la expresión:
v̄(P, T ) =
ρ0
ρ
(2.38)
v̄(P, T ) =
v
v0
(2.39)
donde,
ρ0 es la densidad en las condiciones de referencia.
v0 es el volumen en las condiciones de referencia.
Viscosidad
La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales.
Es una fuerza interna que tienen los fluidos debido al tipo de interacción que
poseen. Debido a las condiciones de los contactos EHL no es posible considerar
como válida la hipótesis de viscosidad constante sino dependiente de la tem-
peratura (T), presión (P) y velocidad de cizalla (γ̇).
η= η(T, P, γ̇) (2.40)
La viscosidad solo se manifiesta en líquidos en movimiento y se ha definido
como la relación existente entre la tensión cortante (τ) y la velocidad de ci-
zalla (γ̇). Esta viscosidad recibe el nombre de viscosidad absoluta o viscosidad
dinámica y su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Pa·s.
η=
τ
γ̇
(2.41)
donde,
γ̇ tiene la siguiente expresión:
Álvaro Blázquez de Mingo 29
Fundamentos teóricos
γ̇=
ua − ub
hc
(2.42)
donde,
ua y ub son las velocidades de giro de los sólidos en contacto.
hc es el espesor central de película del contacto.
Es importante realizar la distinción entre viscosidad a baja velocidad de ci-
zalla (µ) y la viscosidad a alta velocidadde cizalla (η).
Se denomina viscosidad a baja velocidad de cizalla (µ) la viscosidad del lu-
bricante en estado newtoniano. En este estado existe una relación lineal entre
la tensión cortante (τ) y la velocidad de cizalla (γ̇).
Por el contrario, en el momento que el lubricante deja de comportarse como
un fluido newtoniano y la relación entre la tensión cortante (τ) y la velocidad
de cizalla (γ̇) no es lineal, se entra en la zona de viscosidad a alta velocidad de
cizalla (η).
El límite entre ambas zonas está relacionado con el módulo a cortante del
lubricante (G) y, tal y como se verá más adelante, es un parámetro de los mo-
delos que definen los comportamientos a alta velocidad de cizalla.
Se define también otra viscosidad, denominada viscosidad cinemática, y
se representa por ν. Para calcular la viscosidad cinemática basta con dividir
la viscosidad dinámica por la densidad del fluído. Su unidad de medida en el
Sistema Internacional es el m2/s.
ν=
η
ρ
(2.43)
La viscosidad de un fluido concreto depende fundamentalmente de tres
variables: la temperatura, la presión y la velocidad de cizalla (γ̇). Cuando la
viscosidad de un fluido depende únicamente de las dos primeras, se dice que
el fluido tiene comportamiento newtoniano. Sin embargo, cuando también de-
pende de la velocidad de cizalla, se dice que el fluido tiene un comportamiento
no-newtoniano.
Cuando la velocidad de cizalla es baja, su influencia sobre la viscosidad
es despreciable y la viscosidad depende fundamentalmente de la presión y de
la temperatura. Sin embargo, cuando la velocidad de cizalla aumenta, en al-
gunos fluidos se produce una disminución de la viscosidad. Esta tendencia se
30 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
conoce como comportamiento pseudoplástico, y es una clase de los posibles
comportamientos no newtonianos que se dan en la naturaleza.
Figura 2.15: Variación de la viscosidad según el tipo de fluido.
Modelos a baja velocidad de cizalla
Modelo de Barus [17]
µ(P, T ) = µ0eα(T )P (2.44)
α(T ) =
1
µ
(
dµ
dP
)T (2.45)
donde,
µ es la viscosidad del lubricante a baja velocidad de cizalla.
µ0 es la viscosidad a presión atmosférica.
α es el coeficiente viscosidad-presión (Pa−1).
El coeficiente viscosidad-presión es obtenido experimentalmente. Sin em-
bargo, para mejorar la precisión del modelo existen diferentes expresiones de
α en función de la presión y la temperatura. Una de ellas es la ecuación del
módulo que se presenta a continuación:
α(P, T ) =
1
a1 + a2T + (b1 + b2T )P
(2.46)
Álvaro Blázquez de Mingo 31
Fundamentos teóricos
donde,
a1, a2, b1 y b2 son parámetros propios de cada lubricante.
El cálculo de estos parámetros puede realizarse de manera experimental o
mediante aproximación cuando son conocidos diferentes puntos de la viscosi-
dad del lubricante.
A continuación se puede observar la variación de la viscosidad en función
de la presión (MPa) para el lubricante PAO 40 siguiendo el modelo de Barus.
Figura 2.16: Variación de la viscosidad del lubricante PAO 40 en función de la
presión (MPa) a 40oC siguiendo el modelo de Barus.
32 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Modelo de Vogel [17]
µ(P, T ) = µ0(P)− br(
c
T −d) (2.47)
donde,
b, c y d son constantes empíricas dependientes del lubricante.
Modelo de Doolittle [25]
µ
µR
= ex p[BR0(
1+ ε(T − Tr)
(v/vR)− R0(1+ ε(T − TR))
−
1
1− R0
)] (2.48)
donde,
el subíndice R denota el estado de referencia o inicial.
K ′0, K∞, K̇0, av, B y R0 son obtenidos experimentalmente.
v/vR es la relación entre el volumen del lubricante y el volumen en las condi-
ciones de referencia o iniciales procedente de la ecuación de Tait (3.28).
Modelo de Roelands [3]
El modelo de Roelands establece la siguiente relación entre la viscosidad y la
temperatura:
µ(T ) = µ0e−β(T−T0) (2.49)
donde,
β es una constante empírica del lubricante denominada coeficiente temperatura-
viscosidad.
Modelos a elevada velocidad de cizalla
La hipótesis de fluido Newtoniano establece que la viscosidad de un fluido no
varía en función de la velocidad de cizalla, tan solo en función de la presión y
temperatura. En este tipo de fluidos simplemente son necesarios los modelos
expuestos anteriormente, a baja velocidad de cizalla, para definir su viscosidad.
Sin embargo, los fluidos de estudio en este trabajo, los lubricantes, cam-
bian su comportamiento en función de la velocidad de cizalla. De modo que a
bajas velocidades de cizalla (γ̇) se comportan como fluidos newtonianos pero
a partir de un determinado valor de γ̇ la viscosidad disminuye al aumentar la
cizalla, se comportan como fluidos pseudoplásticos. Este fenómeno es reversi-
ble al cesar el cizallamiento y recibe el nombre de shear thinning [4].
Álvaro Blázquez de Mingo 33
Fundamentos teóricos
Figura 2.17: Comportamientos de un fluido en función de la velocidad de ci-
zalla.
Los fluidos no newtonianos son aquellos cuya viscosidad depende del gra-
diente de velocidad, y los más representativos son los pseudoplásticos, los di-
latantes y los plásticos de Bingham [3].
τ= η(γ̇)γ̇ (2.50)
Los modelos más utilizados para caracterizar la viscosidad a elevadas ve-
locidades de cizalla son: el modelo de tensión cortante límite y el modelo de
Carreau. En la siguiente figura se puede obervar una comparación de ambos.
Figura 2.18: Modelos para elevada velocidad de cizalla.
34 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Modelo de Carreau
El modelo de Carreau establece la viscosidad a elevada velocidad de cizalla
partiendo de un valor previo a baja velocidad de cizalla. Tiene caracter expo-
nencial y se adapta correctamente a la zona de comportamiento pseudoplástico
de gran parte de los lubricantes.
η=
τ
γ̇
= µ2 + (µ1 −µ2)(1+ (
µ1γ̇
Gcr
)2)
n−1
2 (2.51)
donde,
η es la viscosidad a alta velocidad de cizalla.
τ es la tensión cortante.
γ̇ es la velocidad de cizalla.
µ1 es la viscosidad a baja velocidad de cizalla.
µ2 es la viscosidad para tensión de cizalla tendiente a infinito.
n es el exponente de Carreau.
Gcr es la tensión crítica de cizalla del fluido.
Por norma general se suele tomar µ2 = 0 [26].
Los parámetros característicos de este modelo son n y Gcr , y serán por tanto
los parámetros a determinar cuando se caracterize un lubricante. El parámetro
Gcr es función de presión y temperatura a través de la expresión:
Gcr =
ρRθ
M0
(2.52)
donde,
M0 es el peso molecular del lubricante.
ρ es la densidad.
θ es la temperatura.
R es la constante de los gases ideales (R= 8314J/kmol∆K).
Este parámetro Gcr determina el punto de transición entre la zona de com-
portamiento newtoniano del pseudoplástico.
Por su parte, el parámetro n, o exponente de Carreau, da una idea del ca-
rácter pseudoplástico que presenta un lubricante (determina la pendiente de
decrecimiento de la viscosidad con la cizalla). Este parámetro puede variar en-
tre 0 y 1, y como puede observarse en la siguiente figura, cuanto más pequeño
sea su valor, tanto más marcado será el carácter pseudoplástico del lubricante
en cuestión, y tanto más disminuirá su viscosidad con la velocidad de cizalla.
Álvaro Blázquez de Mingo 35
Fundamentos teóricos
Figura 2.19: Parámetro exponencial del modelo de Carreau.
Un lubricante con exponente n= 1 tendría un comportamiento puramente
newtoniano, como se puede comprobar sustituyendo este valor en la expresión.
A diferencia de lo que sucede con el valor de Gcr , no existe ninguna teoría que
relacione con precisión el parámetro n con la estructura molecular del aceite,
y por tanto su obtención queda reducida a los ensayos experimentales.
Modelo de la tensión cortante límite
El modelo de la tensión cortante límite es generalmente utilizado para ran-
gos de cizalla más elevados. Con muy elevadas presiones y bajas temperaturas
la viscosidad del lubricante podría ser delorden de 1012 Pa·s [3]. En estas
condiciones la tensión cortante no se corresponde con los modelos anteriores
(Barus, para estado Newtoniano y Carreau, pseudoplástico), sino que presenta
la rigidez de un sólido, implicando que es un sólido plástico que fluye con un
valor de tensión cortante [27].
El valor de la tensión cortante límite depende de las características de cada
lubricante. En algunos casos se puede establecer dicha tensión límite como un
porcentaje de la tensión máxima de Hertz presente en el contacto.
A continuación se puede observar un ejemplo del modelo de tensión cortan-
te límite en el lubricante SAE 30. La zona lineal esta gobernada por el modelo
de Barus. En el eje de ordenadas está representada la tensión cortante (τ) y
en el eje de abscisas la velocidad de cizalla (γ̇).
36 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Figura 2.20: Modelo de la tensión cortante límite para SAE 30.
El modelo establece una zona de comportamiento lineal (Newtoniano) se-
guido de una zona de comportamiento pseudoplástico.
§
τ= η(P, T )γ̇ ηγ̇≤ τl im
τ= τl im ηγ̇= τl im
(2.53)
donde,
τl im es la tensión cortante límite del lubricante.
η(P, T ) es la viscosidad en la zona lineal.
γ̇ es la velocidad de cizalla.
Es importante destacar que este modelo simplemente establece el inicio de
la zona de comportamiento pseudoplástico del lubricante. Para la zona lineal
es habitual la utilización del modelo Newtoniano de comportamiento.
Álvaro Blázquez de Mingo 37
Fundamentos teóricos
38 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Modelo numérico
En este capítulo se va a proceder a exponer de manera breve el mecanismo
de funcionamiento del software de resolución del problema TEHL. En primer
lugar se va a exponer el algoritmo de funcionamiento interno del modelo para
posteriormente explicar cómo se utiliza.
El proceso que se va a describir a continuación permite únicamente el cálcu-
lo de lubricación EHL. Para el cálculo de lubricación mixta, también disponible
en el modelo, se realiza mediante el método explicado en el apartado 2.4. En
este método primeramente se resuelve el contacto EHL para posteriormente
ponderar el resultado según el espesor específico de película (λ). El coeficien-
te de rozamiento para lubricación límite se obtiene de forma experimental.
3.1. Algoritmo y estructura del modelo
El modelo de resolución tiene carácter iterativo de forma que está com-
puesto por varios bucles de resolución que finalizan cuando se han cumplido
alguna de las dos condiciones: número máximo de iteraciones o convergencia
en el cálculo.
El número máximo de iteraciones en cada bucle está establecido teniendo
en cuenta la relación entre el tiempo y la convergencia. De esta forma no se
establece un número de iteraciones demasiado alto que solamente demore el
cálculo sin aportar mejores resultados ni un número demasiado bajo que no
permita un resultado lo suficientemente preciso.
La convergencia de las variables es el principal problema de la utilización
de un método numérico. En secciones posteriores se abordará con más detalles
este problema así como los rangos de funcionamiento donde se ha conseguido
la convergencia.
Álvaro Blázquez de Mingo 39
Modelo numérico
A continuación se van a exponer los algoritmos y las ecuaciones utilizadas
en el modelo. Mayor detalle sobre el proceso que sigue el modelo de cálculo
se puede encontrar en [3].
3.1.1. Algoritmo de cálculo
Para el cálculo de las propiedades de densidad y viscosidad del lubricante
se optó por utilizar:
Densidad
Modelo de Tait (expresión 2.37).
Viscosidad a baja velocidad de cizalla
Modelo de Barus (expresión 2.44) con opción de la utilización de la ecua-
ción del módulo (expresión 2.46) de forma que el parámetro viscosidad-
presión este en función de presión y temperatura.
Viscosidad a elevada velocidad de cizalla
Modelo de Carreau (expresión 2.51).
La resolución del problema TEHL conlleva la utilización de los modelos
reológicos presentados así como del sistema de ecuaciones formado por la
ecuación de Reynolds (P(h(x),η,ρ, u), la ecuación del espesor de película
(h(P(x), h0, R′, E′), la ecuación de la energía (Tm(Tsa, Tsb, H, P(x)) y la ecua-
ción del balance de carga (h0(P(x), W ).
En el caso de la ecuación de Reynolds y la ecuación de la energía no se han
definido todos los parámetros de los que dependen, faltando las características
físicas y térmicas del lubricante y los materiales.
Donde,
P es la presión del contacto según el modelo de Hertz.
h(x) es el espesor de película.
h0 es el espesor inicial de película.
R′ es el radio equivalente de contacto.
E′ es el módulo elástico equivalente.
Tm es el perfil de temperaturas del contacto.
Tsi es el perfil de temperaturas de ambos cilindros.
H es el espesor de película adimensionalizado.
W es la carga adimensionalizada.
Es importante destacar la diferencia en la notación en lo referente a las
mayúsculas. Es este trabajo, y en la mayor parte de trabajos y artículos de in-
vestigación, las letras mayúsculas se refieren a variables adimensionalizadas.
40 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Dichas variables sin adimensionalizar se representan con la misma letra pero
en minúscula. Siguiendo con este tema, pese a que en las ecuaciones las va-
riables aparezcan con dimensiones, a la hora de realizar el cálculo se realiza
un paso previo de adimensionalización. Esto es debido a la mayor facilidad de
cálculo que aportan las variables adimensionalizadas. Se presenta la adimen-
sionalización de las variables más comunes:
W =
w
E′R′
(3.1)
U =
ηum
E′R′
(3.2)
H =
hR′
b
(3.3)
donde,
w es la carga por unidad de longitud en N/m.
um es la velocidad media.
U es la velocidad adimensionalizada.
b es el semi-ancho del contacto.
Junto con el problema de la convergencia, la fuerte interrelación entre las
diferentes variables del problema es otra de las dificultades. Esto provoca que
las diferentes ecuaciones del sistema estén acopladas, lo que obliga a resolver
el sistema en su conjunto, complicando considerablemente el cálculo. Además
el problema no es lineal, ya que la ecuación de Reynolds y los modelos de pre-
dicción de las propiedades del lubricante no lo son [4]. Esto obliga al desarrollo
de un proceso de cálculo largo y complejo. Para el proceso iterativo se escogió
el método de Levenberg-Marquard [3].
Las variables iniciales del problema son las características geométricas (ra-
dio equivalente) y físicas de los materiales (módulo elástico equivalente), las
condiciones de funcionamiento (velocidad, deslizamiento y carga), las propie-
dades del lubricante y las temperaturas de cilindros y lubricantes.
El algoritmo de cálculo desarrollado se compone de dos bucles iterativos
internos que se engloban en un tercer bucle externo. A continuación se expo-
nen los dos bucles internos para el cálculo de la viscosidad y las temperaturas
superficiales.
Cálculo de la viscosidad
Álvaro Blázquez de Mingo 41
Modelo numérico
El bucle iterativo de cálculo de viscosidad aparente tiene como finalidad la
obtención de la solución de viscosidad aparente y del gradiente de cizalla en el
contacto. Para ello se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la ecuación
del gradiente de cizalla y el modelo de Carreau. Finaliza con la convergencia
de la viscosidad aparente y el cálculo de la viscosidad aparente del lubricante
en todos los puntos del contacto.
Figura 3.1: Bucle para el cálculo de la viscosidad.
Cálculo de las temperaturas superficiales
El bucle iterativo de cálculo de las temperaturas superficiales de los discos
calcula estos parámetros a partir de una hipótesis inicial y de funciones aso-
ciadas a las propiedades térmicas de los materiales, viscosidad y espesor de
película. Se realiza la suposición inicial de que los cilindros se encuentrana la
temperatura del baño de lubricante. El bucle finaliza con la convergencia de
estas temperaturas superficiales.
42 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Figura 3.2: Bucle para el cálculo de las temperaturas superficiales.
Bucle iterativo externo
El bucle iterativo externo comprende las ecuaciones de Reynolds, de la
energía y del balance de carga. Con los valores de distribución de presiones, es-
pesor de película y temperaturas de la iteración anterior (o los de la suposición
inicial para el caso de comienzo del cálculo), y los cálculos de viscosidad y tem-
peraturas de los bucles internos, se realiza el cálculo del sistema de ecuaciones
formado por la ecuación de Reynolds discretizada en cada sección del contac-
to y el balance de carga. La finalidad es la consecución de una distribución de
presiones y un factor de compensación del espesor de película actualizado. El
bucle termina con la obtención de una solución que cumpla el criterio de con-
vergencia establecido.
Álvaro Blázquez de Mingo 43
Modelo numérico
Figura 3.3: Bucle iterativo externo.
La combinación de estos algoritmos permite resolver el modelo lineal y ob-
tener los resultados finales para lubricación EHL: distribución de presiones en
el contacto, espesor de película a lo largo del contacto, mapa de temperaturas
a lo largo del contacto y coeficiente de fricción entre ambas superficies.
En el caso de tratarse de lubricación mixta se sigue el procedimiento desa-
rrollado en el apartado 2.4 y al comienzo de este capítulo.
44 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
3.1.2. Algoritmo de convergencia
El método utilizado para la resolución de los sistemas de ecuaciones es el
método de Levenberg-Marquard. Este algoritmo es una mezcla del método de
Newton-Raphson junto con el descenso por gradiente. Su utilización es bastan-
te común a la hora de ajustar curvas cálculando mínimos locales sin necesidad
de calcular mínimos globales.
A continuación se ofrece una breve descripción del proceso iterativo que
permita entender los resultados obtenidos al ejecutar el software. Mayor deta-
lle y profundidad se puede encontrar en [3].
La iteración se lleva a cabo de la siguiente manera:
x i−1 = x i − (H + Lambda · I)−1Ï f (x i) (3.4)
donde,
H es la matriz Hessiana evaluada en el punto x i.
Ï f (x i) es el gradiente de la función.
Lambda es un parámetro que recoge la influencia del descenso del gradiente.
La actualización del parámetro Lambda es de la forma:
1. Se efectúa una iteración del vector de variables.
2. Se evalua el error mediante la norma del vector residuos:
‖ f vec ‖≤ 10−3 (3.5)
3. Si el error disminuye con respecto a la iteración anterior se admite dicha
actualización del vector de variables, se reduce Lambda en un factor de
10 (esto solo se realiza a partir de Lambda > 100), con el fin de reducir
la influencia del gradiente.
4. Si el error aumenta con respecto a la iteración anterior, la actualización
del vector de variables no se acepta, y se incrementa el valor del pará-
metro Lambda en un factor de 10.
En caso de aumentar el parámetro Lambda excesivamente, la matriz Hes-
siana se vuelve irrelevante ya que adquiere mucha mayor importancia el gra-
diente.
Álvaro Blázquez de Mingo 45
Modelo numérico
Los tres elementos que marcan el final de la iteración son el parámetro
Lambda, el número máximo de iteraciones y el error. El parámetro Lambda
comienza en 10−16 y en caso de aumentar hasta 1010 se da por finalizada la
iteración. El número máximo de iteraciones para los bucles de temperatura y
viscosidad está establecido en 2.000 y para el bucle externo en 10.500. El error
da por finalizado el bucle cuando este es inferior a 10−2. La situación ideal se
produce cuando el fin de las iteraciones se ha producido por el límite introdu-
cido por el error. Un final debido a los otros dos condicionantes no desecha el
resultado pero sí da señales de dificultad en la convergencia.
3.2. Utilización del modelo
Para la resolución del problema TEHL se han desarrollado tres ramas del
mismo modelo: Liso, Rugoso y Mixto.
El modelo Liso se corresponde a situaciones en régimen hidrodinámico en
las que la rugosidad no se tiene en cuenta.
El modelo Rugoso se corresponde a las mismas situaciones que el anterior
aunque en esta rama sí se tienen en cuenta las rugosidades de las superficies.
Por último, el modelo Mixto resuelve condiciones en régimen mixto me-
diante una combinación de los anteriores y las correlaciones de Zhu y Castro
(Sección 2.4).
A continuación se va a describir cómo utilizar el modelo así como las dife-
rentes partes de las que está compuesta su interfaz.
3.2.1. Ejecución del modelo
El archivo que contiene el código que controla la interfaz de usuario prin-
cipal se denomina TEHL.m. Para ejecutar el modelo simplemente es necesario
ejecutar dicho archivo o ejecutar el comando TEHL en la ventana de comando
de MATLAB. Es importante recordar que para que se ejecute el comando TEHL
correctamente el espacio de trabajo debe estar situado en la ruta del modelo.
Una vez ejecutado el modelo se muestra la siguiente ventana:
46 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Figura 3.4: Pantalla principal del modelo.
En ella se pueden apreciar las diferentes secciones en las que está dividida
la introducción de datos: Condiciones de funcionamiento, Propiedades de los
materiales y Lubricante.
En caso de ejecutar el modelo Rugoso o Mixto se muestra también un cuadro
de texto para introducir la rugosidad combinada (σ =
Æ
σ2
1 +σ
2
2) en metros.
También se puede establecer el tipo de mallado a realizar: muy grueso,
grueso, fino y muy fino. Un mallado más fino otorga más puntos de cálculo en
el contacto que se traduce en un número mayor de iteraciones y un resultado
más preciso a costa de un tiempo de cálculo más alto.
El botón Vista preliminar ofrece una vista previa con todos los parámetros
de cálculo.
Álvaro Blázquez de Mingo 47
Modelo numérico
Figura 3.5: Sección de vista preliminar del modelo.
Condiciones de funcionamiento
En esta sección se pueden introducir las características geométricas y de
funcionamiento: radios de los cilindros; carga (N/m); velocidad media; SRR;
temperatura inicial del baño de lubricante y la longitud de contacto, habitual-
mente 1 mm.
Figura 3.6: Sección de condiciones de funcionamiento del modelo.
48 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Propiedades de los materiales
Encontramos un menú desplegable dónde seleccionar el tipo de material
a utilizar. Las propiedades del acero y el cobre se encuentran ya programadas
de forma que solo es necesario seleccionarlos. EN caso de querer introducir un
nuevo material sería necesario pulsar Seleccionar e introducir sus propiedades
en la ventana que se muestra.
Figura 3.7: Sección de propiedades de los materiales del modelo.
Lubricantes
La sección de lubricantes permite seleccionar un lubricante ya introducido
previamente, introducir uno nuevo, modificar uno existente y seleccionar los
modelos reológicos y sus parámetros.
Para seleccionar un lubricante introducido previamente simplemente es ne-
cesario escribir su nombre en el recuadro Cargar desde base de datos. Es impor-
tante respetar mayúsculas y minúsculas.
Álvaro Blázquez de Mingo 49
Modelo numérico
Figura 3.8: Sección de lubricantes del modelo.
La introducción de un nuevo lubricante se realiza pulsando el botón Intro-
ducir nuevo lubricante y cumplimentando las propiedades de la ventana corres-
pondiente.
Para modificar un lubricante ya introducido es necesario pulsar el recuadro
Lubricante modificado correspondiente a la propiedad que se quiere modificar
y posteriormente el botón correspondiente a los parámetros a variar. Deesta
forma aparecerá una ventana dónde introducir los nuevos valores.
50 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Figura 3.9: Sección introducir lubricante del modelo.
Si el recuadro Lubricante modificado no se encuentra marcado los nuevos
parámetros no se tendrán en cuenta al realizar el cálculo.
Figura 3.10: Sección lubricante modificado del modelo.
Los modelos reológicos se seleccionan de los menús desplegables situados
bajo las propiedades a las que responden (viscosidad, densidad, Carreau y pro-
piedades térmicas).
Por último señalar la importancia de los parámetros presión-viscosidad (α),
n y G. Una pequeña variación de estos parámetros afecta de forma muy signifi-
cativa a los resultados. Por ello es muy importante introducir estos parámetros
medidos o estimados en las condiciones adecuadas.
Asímismo, el parámetro α es quizás el más influyente en el resultado y su
variación con la presión y la temperatura es significativa. Por ejemplo, α para
Álvaro Blázquez de Mingo 51
Modelo numérico
PAO 6 a presión ambiente y 40oC tiene un valor de 11,5 GPa−1 y para una
presión de 0,88 GPa y 50oC desciende hasta 10,8 GPa−1.
3.3. Modelo numérico y modelo analítico
En esta sección se va a exponer de manera breve el funcionamiento del
modelo analítico que permite resolver el problema TEHL lineal. Tal y como se
desarrolló en el capítulo 2.2, Los contactos en condiciones EHL están some-
tidos a elevadas presiones y temperaturas. Debido a esto los sólidos en con-
tacto sufren deformación y el lubricante entra en régimen de comportamiento
pseudoplástico. Habitualmente las soluciones a los contactos EHL consideran
una aproximación isotérmica, donde las variaciones de temperatura debidas al
deslizamiento son despreciadas. Sin embargo, esto solo es aplicable en ciertas
condiciones [28]. El modelo analítico que es de interés en este trabajo sí tiene
en cuenta las variaciones en la temperatura.
También se realizará una comparación con el modelo numérico.
3.3.1. Modelo analítico
El modelo analítico permite resolver el problema TEHL lineal utilizando
una hoja de cálculo y un pequeño número de iteraciones.
Las principales ventajas de este método frente al método numérico son dos:
mayor velocidad de cálculo y la certeza de que se obtendrá un resultado bajo
cualquier condición de funcionamiento al no existir problemas de convergen-
cia.
Sin embargo, la debilidad del método analítico es la menor precisión de los
resultados respecto al modelo numérico.
El modelo analítico obtiene el resultado de la siguiente expresión [29]:
µ= CnG1−n(
4
P0π
+
αn
3
[(1−
p
3
2
)enαP0
Ç
1
2+
p
3
4 + enαP0/
p
2 + (1+
p
3
2
)enαP0
Ç
1
2−
p
3
4 ])
(3.6)
donde,
µ es el coeficiente de rozamiento.
G es la tensión cortante límite del modelo de Carreau.
n es el parámetro del modelo de Carreau.
α es el parámetro presión - viscosidad del modelo de Barus.
52 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
P0 es la presión máxima del contacto.
C es un parámetro que tiene la siguiente expresión:
C = (
η0∆uK
hc
)n (3.7)
donde,
η0 es la viscosidad inicial.
∆u es la diferencia de velocidades entre los discos.
hc es el espesor de película corregido.
K es la conductividad térmica del lubricante.
Espesor de película
El espesor de película corregido con la influencia de la temperatura (hc) se con-
sidera constante en todo el contacto [30]. Primeramente se obtiene un espesor
de película en condiciones isotermas (hNc) con la siguiente expresión:
hNc = 2, 154α0,47(η0um)
0,692E′0,11R′0,308P−0,332
0 (3.8)
donde,
hNc es el espesor de película no corregido, sin la influencia de la temperatura.
um es la velocidad media.
E′ es el modulo elástico equivalente.
R′ es el radio equivalente.
Posteriormente se corrige este espesor para adaptarlo a las variaciones de-
bidas a los cambios de temperatura mediante el parámetro ΦT de la forma
hc = hNc ·ΦT . El parámetro ΦT se expresa como:
ΦT =
1− 13, 2(P0/E
′)L0,47
1+ 0, 213
�
1+ 2,23(∆u
um
)0,83
�
L0,64
(3.9)
donde,
L se expresa como:
L ≈ βη0u2
m/kl (3.10)
donde,
β es el parámetro temperatura - viscosidad del lubricante.
η0 es la viscosidad del lubricante.
kl es la conductividad del lubricante.
Álvaro Blázquez de Mingo 53
Modelo numérico
La expresión del espesor de película teniendo en cuenta también efectos de
piezoviscosidad queda de la siguiente forma:
hNc
hc
=
�
1+ 0,79((1+
SRR
100
)
umη0
hNcG
)
1
1+0,002·SRR
�3,6(1−n)1,7
(3.11)
donde,
U es la velocidad adimensional.
Viscosidad
Para el cálculo de la viscosidad a baja velocidad de cizalla se utiliza el mo-
delo de Barus. Se puede encontrar en la sección 2.5.1.
A alta velocidad de cizalla se utiliza el modelo Tait-Doolitle:
η
ηR
= ex p[(B
v
vR
)(
1+ ε(T − Tr)
(v/vR)− R0(1+ ε(T − TR))
−
1
1− R0
)] (3.12)
donde,
R denota el estado de referencia.
v es el volumen del lubricante.
B y ε son parámetros del lubricante.
Para el cálculo del volumen adimensional ( v
vR
) se utiliza la ecuación de Tait
descrita en la expresión 2.37.
3.3.2. Comparación de modelos para lubricación EHL
A continuación se van a mostrar diferentes resultados numéricos, analíti-
cos y experimentales con el objetivo de exponer graficamente las fortalezas y
debilidades de ambos métodos de cálculo. Se ha seleccionado un lubricante
con viscosidad elevada (PAO 40) y un lubricante con viscosidad baja (PAO 6).
Los resultados experimentales se han tomado de [4] y [3]. Ambos se han
realizado con una máquina MPR con los siguientes valores:
54 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
MPR
R1: 27 mm
R2: 6 mm
E′: 210 GPa
υ1: 0,3
υ2: 0,3
ρ: 7850 kg/m3
k: 41 W/m K
Cp: 418 J/kg K
Mayor detalle y una breve descripción de una máquina MPR puede encon-
trarse en el anexo correspondiente.
Lubricante PAO 40 40oC
Las diferentes características del lubricante PAO 40 a 40oC son:
PAO 40 [3]
TR: 40oC
ηR: 0,348 Pa s
Presión - viscosidad (α): 14,4 x 10−9 Pa−1
Temperatura - viscosidad (β): 0,027 K−1
ρ0: 829 Kg/m3
n: 0,4
G: 6 MPa
k: 0,1472 W/m K
Cp: 2194 J/kg K
Expansión térmica: 0,0007 K−1
Estos ensayos se realizaron con una presión de Hertz máxima (P0) de 0,88
GPa correspondiente a una carga de 100 N en la máquina MPR, velocidades
medias de 1, 1,5 y 2 m/s y un SRR de 10-190. Los resultados de los mismos así
como los valores del modelo analítico y numérico pueden observarse a conti-
nuación:
Álvaro Blázquez de Mingo 55
Modelo numérico
Figura 3.11: Resultados PAO 40 1 m/s.
Figura 3.12: Resultados PAO 40 1,5 m/s.
56 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos
Figura 3.13: Resultados PAO 40 2 m/s.
Tal y como muestran los resultados el modelo numérico se aproxima con-
siderablemente mejor a los resultados reales que el modelo analítico. Para el
modelo analítico se produce un error medio del 222% por un error medio del
11% para el modelo numérico.
Por otra parte, el tiempo medio de cálculo del modelo numérico son 576 s
(9,6 minutos) en contraposición al tiempo casi nulo del modelo analítico.
Álvaro Blázquez de Mingo 57
Modelo numérico
Lubricante PAO 6 80oC
Las diferentes características del lubricante PAO 6 a 80oC son:
PAO 6 [4]
TR: 80oC
ηR: 0,00736 Pa s
Presión - viscosidad (α): 9 x 10−9 Pa−1
a1: 49290000 Pa
a2: 390100 Pa/oC
b1: 0,02479 b2: 0,0002354 oC−1
Temperatura - viscosidad (β): 0,03 K−1
ρ0: 820 Kg/m3
K0: 0,85 GPa
K ′0: 10,19
n: 0,73
G: 0,1 MPa
k: 0,15 W/m K
Cp: 2000 J/kg K
Expansión térmica: 0,0007 K−1
En este caso de van a utilizar presiones de 0,88 GPa (100 N en la máquina
MPR) y 1,02 GPa (150 N en la máquina MPR), velocidades medias de 1,5, 2 y
2,5 m/s y SRR de 10-100 y de 10-190.
Figura 3.14: Resultados PAO 6 100 N 2 m/s.
58 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)
Análisis