Práctica III Vibraciones Forzadas con Dos Grados de Libertad

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
UNIDAD DE LABORATORIOS
LABORATORIO “A”
SECCIÓN DINÁMICA DE MÁQUINAS
Labor ator io Dinámica de Máquinas
PRÁCTICA 3 
VIBRACIONES FORZADAS CON 
DOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
OBJETIVOS 
 
1. Estudiar el comportamiento de un sistema de dos grados de libertad con vibración forzada. 
 
2. Diseñar un amortiguador dinámico como acumulador de vibraciones. 
 
3. Comparar los resultados teóricos estudiados en el curso de vibraciones mecánicas, con los 
obtenidos experimentalmente. 
 
INTRODUCCIÓN TEÓRICA 
 
En esta tercera práctica se estudiarán sistemas de dos grados de libertad con vibración 
forzada (ver figura 1). Básicamente se trata del mismo sistema de un grado de libertad de la práctica 
anterior, al que se le acoplará un segundo grado de libertad. 
 
En la práctica anterior ya se había observado que ocurre resonancia cuando la frecuencia de 
excitación coincide con la frecuencia natural del sistema. En ese caso se tienen oscilaciones de 
grandes magnitudes que transmiten fuerzas excesivas a los apoyos o fundaciones de una máquina y, 
por lo tanto, pueden crearse daños sobre la misma. 
 
A fin de minimizar este efecto, la primera opción que se tiene es la de eliminar la fuerza, 
pero en la mayoría de los casos no es posible. También se puede cambiar la masa o la elasticidad 
equivalentes, pero generalmente resulta poco práctico y muy difícil. Una tercera posibilidad es el 
uso de un “Amortiguador Dinámico”, inventado en 1909 por Frahm, el cual consiste en un sistema 
vibratorio acoplado al sistema original cuya frecuencia natural coincide con la frecuencia de la 
excitación. Por consiguiente, la energía que excita el sistema es dirigida preferencialmente al nuevo 
elemento provocando el cese de la vibración del sistema original. 
 
 
Fig. 1. Modelo Mecánico para un Amortiguador Dinámico. 
2 
 
Al acoplar un segundo sistema al inicial, se tendrá un nuevo sistema mecánico de “Dos 
Grados de Libertad”, es decir, un sistema cuya posición geométrica debe expresarse en cualquier 
instante con dos variables independientes. 
 
Un sistema tendrá tantas frecuencias naturales como grados de libertad tenga y, por lo tanto, 
el sistema entrará en resonancia cuando la frecuencia de excitación se iguala con alguna de sus 
frecuencias naturales o propias, llamadas también frecuencias críticas si el sistema tiene poca 
amortiguación. 
 
Sin embargo, estos sistemas tienen características más extensas: al incrementarse el número 
de grados de libertad no sólo se incrementan las frecuencias propias sino que también aumentan las 
formas posibles en que se llevan a cabo los movimientos oscilatorios. Estas formas son llamadas 
“Modos de Vibración” y también coinciden con el número de grados de libertad. Adicionalmente, 
cada modo está vinculado a una frecuencia propia en específico. Para este sistema en particular se 
presentan los siguientes modos: 
 
 
Primer Modo: Oscilan opuestos. 
Cuando el punto medio de la barra está en 
una posición baja, el extremo libre del 
amortiguador dinámico está en un punto 
alto. 
 
Forma del autovector: �� = �+�−�	 
 
Segundo Modo: Oscilan solidarios. 
Cuando el punto medio de la barra está en 
una posición baja, el extremo libre del 
amortiguador dinámico también está en 
posición baja. 
 
Forma del autovector: �
 = �+�+�	 
 
Para obtener el modelo matemático de este tipo de sistemas, es necesario entonces aplicar la 
Segunda Ley de Newton a cada cuerpo involucrado en el movimiento o bien la Ecuación de 
Lagrange. Convencionalmente se prefiere trabajar con la Ecuación de Lagrange en estos casos 
porque genera las ecuaciones de movimiento desde un enfoque escalar y evita el cálculo de las 
variables dinámicas (fuerzas o momentos) que no son requeridas para el análisis vibratorio. 
 
La ecuación de Lagrange es: 
 

� �
��
��� � −

��
�� +

��
�� +

��
��� = �� 
 
Aquí: 
• �� es la fuerza generalizada aplicada sobre el i-ésimo grado de libertad. 
• �� es la energía cinética total del sistema. 
• �� es la energía potencial total del sistema. 
• �� es la energía disipativa total del sistema. 
• �� es el i-ésimo grado de libertad. 
 
Cuando esta ecuación es aplicada sobre el sistema de � grados de libertad se generan � 
ecuaciones diferenciales. Esto conformará un sistema de � ecuaciones diferenciales con � variables 
dependientes del tiempo. Indudablemente, esto trae consigo dificultades en la resolución si se quiere 
la respuesta del sistema en el tiempo pero, afortunadamente, la información primordial que interesa 
de estos sistemas puede extraerse sin resolver las ecuaciones diferenciales. 
 
3 
 
En general, el conjunto de ecuaciones diferenciales puede expresarse de la siguiente forma 
(Nota: los vectores y matrices se indican en negritas mientras los escalares se indican en texto 
simple): � ∙ �� + � ∙ �� + � ∙ � = 
 
Donde � es el vector de grados de libertad (coordenadas físicas y sus derivadas), es un 
vector que reúne las � fuerzas generalizadas mientras que �,�	y � son, respectivamente, las 
matrices de Masa, Amortiguación y Rigidez equivalente (de dimensiones � × �). Principalmente 
interesan las matrices �	y �, las cuales se pueden asociar (tras un arreglo matricial) de la siguiente 
manera: $�%& ∙ � − '()* ∙ � = +, 
Lo cual es un problema de autovalores y autovectores para la respuesta libre (siendo ) la 
matriz identidad). Los valores propios '� serán entonces las frecuencias naturales (por esto son 
llamadas propias) y los vectores propios �� corresponderán a los modos de vibración. 
 
Para resolver la respuesta forzada existen diferentes metodologías, entre las cuales se 
encuentra el uso de coordenadas modales -./, esto es un cambio de variable de la siguiente forma: 
 � = 0 ∙ . 
 
Donde 0 es una matriz, llamada modal, que reúne a los autovectores calculados 
anteriormente: 0 = $�& ⋯ �2* (Importante, los vectores se organizan en columnas). Con esto 
se generan los siguientes arreglos modales: 
 
Matriz de Masa Modal: �, = 03 ∙ � ∙ 0 = 45& ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 529 
Matriz de Amortiguación Modal: �, = 03 ∙ � ∙ 0 = 4:& ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ :29 
Matriz de Rigidez Modal: �, = 03 ∙ � ∙ 0 = 4;& ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ ;29 
Vector de Fuerza Modal: = 03 ∙ = 4<&⋮<29 
 
Estas nuevas matrices son todas diagonales y, por lo tanto simétricas, además, generan � 
ecuaciones diferenciales pero ahora cada una puede ser resuelta independientemente de las demás 
(solución modal). A través la combinación lineal de estas soluciones, se puede obtener la respuesta 
permanente en coordenadas físicas: 
 
�� = 0 ∙ .� ==�� ∙ >�
2
�?&
==�� ∙ @� ∙ AB�-Ω ∙ � − D�/
2
�?&
 
Donde: 
 
@� = <�;�
1
F-1 − G�(/( + -2 ∙ :� ∙ G�/(
 D� = �G���� I2 ∙ :� ∙ G�1 − G�( J G� = Ω'� 
 
 
INSTRUMENTACIÓN 
 
Durante el desarrollo de esta tercera y última prác
piezoeléctrico junto con los dispositivos auxiliares que requiere
 
Adquisición de Datos y Análisis de Señales
 
Se utilizará el osciloscopio digital para tomar la data de amplitud en tiempo real. De igual 
forma se hará uso de la tarjeta convertidora analógica 
utilizaron en la práctica 1 y 2. También se utilizará nuevame
LabVIEWTM, para observar el espectro de frecuencias y extraer data para ser procesada 
posteriormente. 
 
MONTAJE EXPERIMENTAL
 
El montaje experimental, que se muestra en la
 
1. Una barra de acero de sección rectangular de 1”
(articulado en un extremo y apoyado en el otro), en los miembros verticales del bastidor del 
Banco Universal de Vibración.
 
2. Un motor colocado en el centro de la barra. En el
orificio para generar la función de excitación por desbalance. 
 
3. Dos pequeñas barras horizontales de sección rectangular (lá
la barra de acero y ajustadas mediante un tornillo,
 
Fig. 2. Barras H
4. Un variador de frecuencias que se conecta al motor con la finalidad de variar la velocidad de 
giro del mismo. 
 
5. Un acelerómetro fijado en el punto medio de la
aceleración de dicho punto. 
 
Disco de 
Desbalance 
Masa de 
Amortiguador 
Dinámico 
Durante el desarrollode esta tercera y última práctica se utilizará solamente 
piezoeléctrico junto con los dispositivos auxiliares que requiere. 
Adquisición de Datos y Análisis de Señales 
Se utilizará el osciloscopio digital para tomar la data de amplitud en tiempo real. De igual 
forma se hará uso de la tarjeta convertidora analógica – digital. Estos son los mismos equipos que se 
utilizaron en la práctica 1 y 2. También se utilizará nuevamente el software elaborado en 
, para observar el espectro de frecuencias y extraer data para ser procesada 
MONTAJE EXPERIMENTAL 
que se muestra en las figuras 2 y 3, consta de lo siguiente:
Una barra de acero de sección rectangular de 1” × ½” y longitud 33
articulado en un extremo y apoyado en el otro), en los miembros verticales del bastidor del 
Banco Universal de Vibración. 
Un motor colocado en el centro de la barra. En el centro de su eje, se sujeta un disco con un 
orificio para generar la función de excitación por desbalance. 
Dos pequeñas barras horizontales de sección rectangular (láminas de zinc
la barra de acero y ajustadas mediante un tornillo, como se muestra en la figura 2
. Barras Horizontales (Láminas Metálicas). 
 
Un variador de frecuencias que se conecta al motor con la finalidad de variar la velocidad de 
el punto medio de la barra de acero (ver figura 2), que medirá 
punto. 
4 
 
tica se utilizará solamente un acelerómetro 
Se utilizará el osciloscopio digital para tomar la data de amplitud en tiempo real. De igual 
digital. Estos son los mismos equipos que se 
nte el software elaborado en 
, para observar el espectro de frecuencias y extraer data para ser procesada 
consta de lo siguiente: 
ud 33” con dos apoyos 
articulado en un extremo y apoyado en el otro), en los miembros verticales del bastidor del 
centro de su eje, se sujeta un disco con un 
minas de zinc), colocadas debajo de 
figura 2: 
 
Un variador de frecuencias que se conecta al motor con la finalidad de variar la velocidad de 
(ver figura 2), que medirá la 
Cinta 
Reflectiva 
Láminas de 
Zinc 
Acelerómetro 
6. Un Acondicionador de Carga y un Filtro Pasa
 
7. Una computadora en la cual se ha instalado una tarjeta de adquisición de datos (convertidora 
analógica-digital) y el respectivo instrumento virtual, que permitirá observar y analizar la señal 
proveniente del acelerómetro.
 
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 
 
1. Tomar la frecuencia critica del sistema 
oscilación en esas condiciones.
 
2. Medir la sección transversal de las 
cuidadosamente ambas puesto que no son iguales
significativamente los cálculos posteriores
 
Lámina 1 
Ancho -KK/
Espesor -KK
 
Lámina 2 
Ancho -KK/
Espesor -KK
 
3. Diseñar un amortiguador dinámico de manera que absorba las vibraciones del sistema en su 
frecuencia de crítica. Para esto, 
la masa conocida y el soporte del acelerómetro.
 
 
 
 
4. Comprobar la efectividad del amortiguador dinámico midiendo nuevamente la amplitud del 
movimiento vibratorio en la frecuencia de 
que la nueva amplitud sea como máximo 5% de la original.
 
5. Si la amplitud es mayor a 5% de la original, ajuste la longitud manualmente hasta lograr el 
resultado deseado. 
Filtro 
Barra de 33” 
Articulación 
Plana 
Osciloscopio 
Carga y un Filtro Pasa-Bajos (ver figura 3). 
en la cual se ha instalado una tarjeta de adquisición de datos (convertidora 
digital) y el respectivo instrumento virtual, que permitirá observar y analizar la señal 
elerómetro. 
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 
Tomar la frecuencia critica del sistema que fue obtenida en la práctica 2 y medir la amplitud de 
oscilación en esas condiciones. 
Medir la sección transversal de las láminas de zinc para calcular la inercia de área. 
ambas puesto que no son iguales y el valor de la inercia puede desviar 
significativamente los cálculos posteriores. 
- / -KK/ 
- / -KK/ 
Diseñar un amortiguador dinámico de manera que absorba las vibraciones del sistema en su 
Para esto, calcule la longitud que deberán tener las láminas de zinc entre 
la masa conocida y el soporte del acelerómetro. 
Fig.3. Montaje Experimental. 
Comprobar la efectividad del amortiguador dinámico midiendo nuevamente la amplitud del 
movimiento vibratorio en la frecuencia de crítica del sistema de un grado de libertad
que la nueva amplitud sea como máximo 5% de la original. 
es mayor a 5% de la original, ajuste la longitud manualmente hasta lograr el 
5 
 
en la cual se ha instalado una tarjeta de adquisición de datos (convertidora 
digital) y el respectivo instrumento virtual, que permitirá observar y analizar la señal 
en la práctica 2 y medir la amplitud de 
para calcular la inercia de área. Debe medir 
y el valor de la inercia puede desviar 
 
 
 
 
Diseñar un amortiguador dinámico de manera que absorba las vibraciones del sistema en su 
la longitud que deberán tener las láminas de zinc entre 
 
Comprobar la efectividad del amortiguador dinámico midiendo nuevamente la amplitud del 
sistema de un grado de libertad. Verificar 
es mayor a 5% de la original, ajuste la longitud manualmente hasta lograr el 
Acondicionador 
de Carga 
Motor con 
Desbalance 
Apoyo 
Simple 
6 
 
 
Frecuencia Crítica $LM* Amplitud 
Pico-Pico Inicial[mV] 
Amplitud 
Pico-Pico Final[mV] 
Longitud de las Láminas 
de Zinc [mm] 
 
 
6. Comparar cualitativamente la nueva amplitud del sistema inicial con la que presentaba antes de 
colocarle el amortiguador dinámico. 
 
7. Con el motor apagado, excitar el sistema mediante impacto para que la computadora registre la 
respuesta libre del sistema de dos grados de libertad (con el amortiguador dinámico). 
 
8. Registrar los dos valores de frecuencia que aparecen en el espectro de frecuencia. 
 
9. Comprobar que el sistema con el amortiguador dinámico tiene, efectivamente, dos frecuencias 
de resonancia. Para ello, utilizar el variador de frecuencias y mida las amplitudes de oscilación 
en el dominio de frecuencias utilizado en la práctica 2. 
 
Medición Ω Variador 
[LM] 
Amplitud 
Pico-Pico[mV] Medición Ω Variador 
[LM] 
Amplitud 
Pico-Pico[mV] 
1 10 
2 11 
3 12 
4 13 
5 14 
6 15 
7 16 
8 17 
9 18 
 
ESQUEMA DEL REPORTE 
 
Procedimiento 
 
 En esta sección usted debe colocar la metodología seguida durante la práctica, así como la 
instrumentación utilizada y una descripción de los cálculos utilizados. 
 
Experiencia 
 
1. Calcule la constante elástica de las láminas -N�	O/K/. 
 
2. Calcule la longitud -N�	KK/ que deben tener las láminas para que el amortiguador dinámico 
reduzca las vibraciones. 
 
3. Calcule el porcentaje de reducción de amplitud de oscilación luego de ser colocado el 
amortiguador dinámico para la frecuencia crítica del sistema de un grado de libertad. 
 
4. Calcule analíticamente las dos nuevas frecuencias propias (en G��/A). Para esto puede 
considerar la formulación matricial descrita en esta práctica. Presente el procedimiento para 
llegar a sus resultados. 
 
7 
 
5. Compare los valores de frecuencias propias con los medidos en la sesión de práctica y 
determine la diferencia porcentual entre los valores prácticos y teóricos. 
 
6. Realice las siguientes gráficas a partir de los datos experimentales: 
 
• Amplitud de Vibración pico-pico (@ [KK]) vs. Frecuencia de Excitación (Ω [G��/A]) 
para el sistema de dos grados de libertad. 
 
• Solapar las gráficas de Amplitud de Vibración pico-pico (@ [KK]) vs. Frecuencia de 
Excitación (Ω [G��/A]) para el sistema uno y dos grados de libertad. 
 
7. Mediante el uso del programa de cálculo de su preferencia, desarrolle un modelo matemático 
(numérico o analítico) del sistema físico de dos grados de libertad bajo vibración forzada (solo 
colocar el estado permanente) y obtenga las siguientes prácticas. 
 
• Amplitud de Vibración pico-pico (en el punto medio de la barra) (@ [KK]) vs. 
Frecuencia de Excitación (Ω [G��/A]) para el sistema de dos grados de libertad. 
 
• Amplitud de Vibración pico-pico (en el punto medio de la barra)(@ [KK]) vs. 
Frecuencia de Excitación (Ω [G��/A]) para el sistema de 1 GDL (con amortiguación) y 
para el de 2 GDL (despreciando amortiguación). Compare ambas curvas en una misma 
gráfica para poder compararlas. 
 
Datos 
• Aceleración de gravedad en el laboratorio: Q = 9,778	K/A( 
• Valor UV del filtro: UV = 0,028	A 
• Módulo de Elasticidad del Acero: �W = 206	YZ� 
• Módulo de Elasticidad del Zinc: �[2 = 104,5	YZ� 
• Masa del Amortiguador Dinámico: K = 0,175	^Q 
• Rigidez de una barra articulada en los extremos: ^ = 48 ∙ � ∙ _ à⁄ 
• Rigidez de una barra empotrada en un extremo: ^ = 3 ∙ � ∙ _ à⁄ 
• Momento de Inercia (de Área) de la sección transversal (lámina): _ = � ∙ ℎa 12⁄ 
• Ganancia total de un sistema conectado en serie: Y3 = Y& ∙ Y(⋯Ye 
• Ganancia del acelerómetro: Yf = _______	Kh/-K A(⁄ / 
• Ganancia del acondicionador de carga: Yi = _______	h/h 
 
Análisis de Resultados 
 
En esta parte es conveniente hacer referencia a los resultados y explicar por qué se obtienen 
tales resultados. También compare los resultados experimentales con las teorías disponibles. 
Indique los errores inmersos que haya identificado en el procedimiento experimental. Así mismo se 
pueden agregar explicaciones sobre las fuentes del error y las formas para disminuirlos. 
 
Conclusiones 
 
Deben ser concisas. Coloque las ideas separadas en viñetas. Se deben reseñar la mayor 
cantidad de aspectos relevantes de la práctica. En otras palabras, las conclusiones deben reflejar “a 
modo de resumen” lo que observó y analizó a partir de la experiencia práctica y sus resultados. 
Deben funcionar como información explícita y directa acerca de los aspectos verificados en cada 
ensayo de la práctica. 
 
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BIBLIOGRAFÍA 
 
• Rao, S. (2004). Mechanical Vibrations. USA: Pearson Prentice-Hall, Cuarta Edición. 
 
• Thomson, W. (1981). Theory of Vibration with Applications. USA: Prentice-Hall, 
Segunda Edición. 
 
• Dimarogonas, A. (1996). Vibration for Engineers. USA: Prentice-Hall, Segunda Edición. 
 
• De Silva, C., Vibration Fundamentals and Practice, CRC Press, Washington D.C. 2000 
 
• Casanova, E. Vibraciones Mecánicas Avanzadas (Curso). USB, 2013.