Práctica II Vibraciones Forzadas

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
UNIDAD DE LABORATORIOS
LABORATORIO “A”
SECCIÓN DINÁMICA DE MÁQUINAS
Labor ator io Dinámica de Máquinas
PRÁCTICA 2 
VIBRACIONES FORZADAS 
 
OBJETIVOS 
 
1. Familiarizar al estudiante con los equipos y formas de medición de vibraciones utilizando 
acelerómetros. 
 
2. Estudiar el fenómeno de vibraciones forzadas. 
 
3. Observar y estudiar el fenómeno de resonancia. 
 
4. Analizar comparativamente los resultados teóricos estudiados en el curso de vibraciones 
mecánicas, con los prácticos obtenidos. 
 
INTRODUCCIÓN TEÓRICA 
 
En esta segunda práctica se estudiará un sistema de un grado de libertad bajo vibración 
forzada, la cual ocurre cuando el sistema es excitado por la acción de fuerzas externas. En estos 
casos, si la excitación es de tipo armónico, el sistema tiende a vibrar con la misma frecuencia que la 
de la excitación externa. 
 
Una característica fundamental de los sistemas excitados por fuerzas externas es que su 
respuesta está conformada por un estado o régimen transitorio y un estado permanente (ver figura 
1). El transitorio se debe a la acción conjunta de la respuesta libre y la respuesta forzada, pero 
debido a que la respuesta libre es decreciente en el tiempo, la respuesta del sistema estará 
finalmente dada en función de la respuesta forzada después de transcurrido un cierto tiempo. 
 
 Fig. 1. Estados Transitorio y Permanente. 
 
Vibraciones Forzadas de un Grado de Libertad 
 
El modelo mecánico más simple de un solo grado de libertad con excitación externa, es el 
masa-resorte-amortiguador, identificado mediante sus constantes características equivalentes ���, 
���, ��� y la fuerza �(�), el cual se ilustra en la figura 2: 
2 
 
 
Fig. 2. Sistema de un Grado de Libertad con Excitación Externa. 
 
Para este tipo de sistemas, la ecuación diferencial que rige su movimiento está representada 
por: 
��� ∙ �� + ��� ∙ �� + ��� ∙ � = �(�) 
 
 La solución completa de esta ecuación diferencial depende de la forma de �(�). Sin 
embargo, cuando esta fuerza es periódica, la solución depende del siguiente conjunto de parámetros 
adimensionales: 
 
La “Relación de Frecuencias” asocia la frecuencia natural del sistema con la frecuencia de 
excitación. Se designa con el símbolo � y se expresa según la ecuación: 
� = Ω
��
 
 Donde Ω es la frecuencia de excitación y �� es la frecuencia natural. 
 
El “Factor de Amplificación Dinámico” se designa con el símbolo � (aunque puede variar 
según el autor). Se expresa por: 
� = 1
�(1 − ��)� + (2 ∙ � ∙ �)� 
 
El “Retraso de Fase” se designa con el símbolo � y se expresa en grados o radianes. Se 
expresa según la ecuación: 
� = ���� �2 ∙ � ∙ �
1 − �� � 
 
 
 
 
Fig. 3. Factor de Amplificación (por desbalance) 
vs. Relación de Frecuencias para Diferentes 
Factores de Amortiguación. 
 Fig. 4. Retraso de Fase vs. Relación de 
Frecuencias para Diferentes Factores de 
Amortiguación. 
A efectos tangibles, el Factor de Amplificac
desplazamiento en condición de equilibrio estático y el que ocurre una vez que actúan las fuerzas de 
inercia (régimen dinámico). A su vez, el Retraso de Fase indica la 
máximo valor de fuerza periódica y el máximo valor del desplazamiento (esto es 
excitación). 
 
Como se observa en las figuras 3 y 4; p
frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural 
cuando � = 1. Para este caso se tendrán 
amortiguación es pequeño; ocasionando daños, fatiga y mayor transmisión de fuerzas en los 
componentes del sistema. También, en esta 
independientemente del factor de amortiguación
 
En el caso de esta práctica la fuerza será introducida por desbalance
desbalanceados representan una excitación de tipo 
desbalance (� ∙ ) y de la frecuencia de la excitación (
respuesta del sistema será proporcional al cuadrado de la frecuencia de excitación, lo cual equivale 
a � ∙ �� (ver figura 3). 
 
INSTRUMENTACIÓN 
 
Los instrumentos de medición de vibración que se utilizarán 
sensor óptico nuevamente y el acelerómetro.
Acondicionador de Carga y un Filtro Pasa
 
Un Acelerómetro es un instrum
varios tipos: de galgas extensiométricas, electromagnéticos y
para esta práctica es el piezoeléctrico (mostrado en la figura 5)
Acelerómetro de Cristal, tiene la ventaja de ser más ligero y pequeño en comparación con los otros 
tipos y tiene un rango de operación que se extiende hasta 
impedancia de salida no suelen generar señales por debajo de 
 
Fig. 5
 Estos acelerómetros contienen
cristal (por ejemplo el cuarzo) por 
“Efecto Piezoeléctrico” donde el cristal 
un esfuerzo o presión. Esto se establece m
 
A efectos tangibles, el Factor de Amplificación Dinámico representa la relación entre el 
desplazamiento en condición de equilibrio estático y el que ocurre una vez que actúan las fuerzas de 
inercia (régimen dinámico). A su vez, el Retraso de Fase indica la diferencia angular entre el 
fuerza periódica y el máximo valor del desplazamiento (esto es 
Como se observa en las figuras 3 y 4; para los sistemas de un grado de libertad,
frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural del sistema ocurre 
. Para este caso se tendrán oscilaciones de grandes magnitudes
ocasionando daños, fatiga y mayor transmisión de fuerzas en los 
También, en esta condición, el retraso de fase será siempre 
independientemente del factor de amortiguación. 
En el caso de esta práctica la fuerza será introducida por desbalance
representan una excitación de tipo armónico, la cual depende 
) y de la frecuencia de la excitación (Ω). Particularmente
respuesta del sistema será proporcional al cuadrado de la frecuencia de excitación, lo cual equivale 
Los instrumentos de medición de vibración que se utilizarán en esta segunda práctica son el 
el acelerómetro. Por este último se requiere el uso de un 
Acondicionador de Carga y un Filtro Pasa-Bajos. 
es un instrumento que se utiliza para medir aceleraciones y los hay de 
nsiométricas, electromagnéticos y piezoeléctricos, entre otros. El usado 
para esta práctica es el piezoeléctrico (mostrado en la figura 5). También conoci
iene la ventaja de ser más ligero y pequeño en comparación con los otros 
un rango de operación que se extiende hasta 1	"#$. Sin embargo, por su alta 
impedancia de salida no suelen generar señales por debajo de 1	#$. 
 
ig. 5. Acelerómetro del Laboratorio. 
 
contienen en su interior una masa calibrada que mantiene presionado al 
por efecto de un resorte altamente rígido. Su operación
donde el cristal genera una carga eléctrica proporcional a la aplicación de 
Esto se establece matemáticamente como: 
Δ& � '( ∙ Δ) 
3 
 
ión Dinámico representa la relación entre el 
desplazamiento en condición de equilibrio estático y el que ocurre una vez que actúan las fuerzas de 
diferencia angular entre el 
fuerza periódica y el máximo valor del desplazamiento (esto es respuesta vs. 
istemas de un grado de libertad, cuando la 
curre resonancia, es decir, 
de grandes magnitudes si el factor de 
ocasionando daños, fatiga y mayor transmisión de fuerzas en los 
el retraso de fase será siempre 90° 
En el caso de esta práctica la fuerza será introducida por desbalance. Los sistemas 
, la cual depende del momento de 
Particularmente, la amplitud de la 
respuesta del sistema será proporcional al cuadrado de la frecuencia de excitación, lo cual equivale 
en esta segunda práctica son el 
se requiere el uso de un 
ento que se utiliza para medir aceleraciones y los hay de 
piezoeléctricos, entre otros. El usado 
ambién conocido como 
iene la ventaja de ser más ligero y pequeño en comparación con los otros 
. Sin embargo, por su alta 
masa calibrada que mantiene presionado al 
Su operación se basa en el 
genera una carga eléctrica proporcional a la aplicación de 
 Como la presión es fuerza 
fuerza está relacionada con la aceleración
siguiente forma: 
 
De acuerdo a la expresión anterior, una variación en la aceleración se transforma en un 
cambio de voltaje entregado por el instrumento.
(conocida) y el valor - corresponde al áreatransversal del cristal (también conocida).
Adicionalmente '( se conoce por la configuración 
 
 
 Donde . es la llamada Ganancia o Sensitividad del Instrumento, que es proporcionada por 
calibración dinámica del dispositivo.
únicamente variaciones de aceleración y, en consecuencia, no podrá detectar la aceleración de 
gravedad local. 
 
 Debido a la alta impedancia de salida del instru
cristal son del orden de 1	�& (la carga eléctrica asociada a esto es alrededor de 
términos de medición, propone dos
 
• Los valores leídos puede
(osciloscopio, voltímetro, etc.) 
acelerómetro. En este caso, la medida final es mucho menor a la real y esto se conoce como 
Loading Error (Error de C
 
• Valores tan pequeños de carga o voltaje son difícilmente mesurables directamente, por lo 
que se requiere una amplificación antes de realizar la medición.
 
Para corregir esta problemática se emplean dos dispositivos. El primero de ellos es el 
Acondicionador de Carga (figura 6) 
como entrada y proveer una nueva con menor impedancia que la original para poder ser medida 
correctamente (prácticamente se elimina el error de carga)
un valor definido por el usuario. El segundo dispositivo es un filtro pasa
el ruido indeseado que el acondicionador 
 
Fig. 6. Acondicionador de Carga (PCB).
 
Como la presión es fuerza dividida entre el área y, por la “Segunda Ley de Newton”
fuerza está relacionada con la aceleración, entonces la ecuación anterior se puede reescribir de la 
/& � '( ∙
/�
-
� '( ∙ �
/�
-
 
De acuerdo a la expresión anterior, una variación en la aceleración se transforma en un 
aje entregado por el instrumento. El valor � corresponde a la masa calibrada 
corresponde al área transversal del cristal (también conocida).
se conoce por la configuración y propiedades del cristal, por lo que
/&
/�
�
'( ∙ �
-
								→ 									. �
∆&
∆�
 
es la llamada Ganancia o Sensitividad del Instrumento, que es proporcionada por 
calibración dinámica del dispositivo. Nótese que, por el efecto piezoeléctrico, este sensor percibe 
únicamente variaciones de aceleración y, en consecuencia, no podrá detectar la aceleración de 
la alta impedancia de salida del instrumento, los voltajes asociados a
(la carga eléctrica asociada a esto es alrededor de 
propone dos cuestiones importantes: 
pueden desviarse significativamente si los elementos sensores 
(osciloscopio, voltímetro, etc.) tienen resistencias (impedancias) cercanas al valor de
En este caso, la medida final es mucho menor a la real y esto se conoce como 
Carga). 
equeños de carga o voltaje son difícilmente mesurables directamente, por lo 
que se requiere una amplificación antes de realizar la medición. 
Para corregir esta problemática se emplean dos dispositivos. El primero de ellos es el 
gura 6) cuya función es tomar la señal proveniente del acelerómetro 
como entrada y proveer una nueva con menor impedancia que la original para poder ser medida 
(prácticamente se elimina el error de carga). Además amplifica la señal de acuerdo
un valor definido por el usuario. El segundo dispositivo es un filtro pasa-bajos
el ruido indeseado que el acondicionador adicionalmente también amplifica. 
 
 
. Acondicionador de Carga (PCB). Fig. 7. Filtro Pasa-Bajos 
4 
 
área y, por la “Segunda Ley de Newton”, la 
, entonces la ecuación anterior se puede reescribir de la 
De acuerdo a la expresión anterior, una variación en la aceleración se transforma en un 
corresponde a la masa calibrada 
corresponde al área transversal del cristal (también conocida). 
, por lo que: 
es la llamada Ganancia o Sensitividad del Instrumento, que es proporcionada por 
Nótese que, por el efecto piezoeléctrico, este sensor percibe 
únicamente variaciones de aceleración y, en consecuencia, no podrá detectar la aceleración de 
mento, los voltajes asociados al presionar el 
(la carga eléctrica asociada a esto es alrededor de 1	23). Esto, en 
los elementos sensores 
resistencias (impedancias) cercanas al valor de la del 
En este caso, la medida final es mucho menor a la real y esto se conoce como 
equeños de carga o voltaje son difícilmente mesurables directamente, por lo 
Para corregir esta problemática se emplean dos dispositivos. El primero de ellos es el 
tomar la señal proveniente del acelerómetro 
como entrada y proveer una nueva con menor impedancia que la original para poder ser medida 
amplifica la señal de acuerdo a 
bajos (figura 7) que corrige 
 
Bajos del Laboratorio. 
5 
 
 Los filtros son circuitos eléctricos destinados a mejorar la calidad de una señal. Existen 
varios tipos: pasa-altos, pasa-bajos, los de rechazo de banda, paso de banda; entre otros. El caso que 
compete a la práctica es del tipo pasa-bajo. Esto significa que la señal a su salida sólo contendrá 
aquellas frecuencias de la señal de entrada que estén por debajo de cierto valor establecido. Sin 
embargo, esta limpieza conduce a dos efectos importantes sobre la señal: 
 
1. La amplitud de la señal a la salida no es la misma que la que tenía al entrar al filtro. Su 
ganancia en amplitud viene dada por la siguiente relación: 
 
.456789 = &:;65<;
&��78;<; = 1
�1 + (=3 ∙ Ω)� 
 
2. La señal a la salida del filtro no está en fase con la señal a su entrada. Es decir, el filtro 
introduce un desfasaje inherente a la fenomenología eléctrica que es adicional al que se 
desea medir entre las señales de la excitación y la respuesta de la fenomenología mecánica. 
Este desfasaje se calcula de acuerdo a: 
 
�456789 = ����(=3 ∙ Ω) 
 
En estas dos últimas expresiones, Ω es la frecuencia de la señal de entrada (en radianes sobre 
segundo) y =3 es un valor característico y constante del filtro (producto de la resistencia por la 
capacitancia de los elementos que constituyen al circuito del filtro). 
 
Adquisición de Datos y Análisis de Señales 
 
Principalmente se utilizará el osciloscopio digital para tomar la data de amplitud y desfasaje 
en tiempo real. De igual forma se hará uso de la tarjeta convertidora analógica – digital. Estos son 
los mismos equipos que se utilizaron en la práctica 1. También se utilizará nuevamente el software 
elaborado en LABVIEW™, para observar el espectro de frecuencias y extraer data para ser 
procesada posteriormente. 
 
MONTAJE EXPERIMENTAL 
 
El montaje experimental que se muestra en las figuras 8 y 9, consta de lo siguiente: 
 
1. Una barra de acero de sección rectangular de 1”× ½” y longitud 33”, articulada en sus dos 
extremos en los miembros verticales del bastidor del Banco Universal de Vibración. 
 
2. Un motor colocado en el centro de la barra. En el centro de su eje, se sujeta un disco con un 
orificio para generar la función de excitación por desbalance. 
 
3. Un variador de frecuencias que se conecta al motor con la finalidad de variar la velocidad de giro 
del mismo, mostrado en la figura 10. 
 
4. Un acelerómetro fijado en la barra (ver figura 5), que medirá la aceleración del punto medio de 
la barra producto de la vibración. 
 
5. Un Acondicionador de Carga y un Filtro Pasa-Bajos (ver figuras 6 y 7). 
 
 
 
 
6. Un sensor óptico, situado bajo e
fase (un pulso por revolución debido a la presencia del agujero).
 
7. Una computadora en la cual se ha instalado una tarjeta de adquisición de datos (convertidora 
analógica-digital) y el respectivo instrumento virtual, que permitirá observar y analizar la señal 
proveniente del acelerómetro. 
 
 
Fig. 9. Vista Lateral del Motor.
 
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
 
1. Excitar el sistema mediante 
sistema. 
 
2. Tomar el valor de la frecuencia
espectro de frecuencias. 
 
Filtro 
Barra de 33” 
Articulación 
Plana 
Osciloscopio 
Soporte del 
Sensor 
Orificio 
Disco de 
Desbalance 
Acelerómetro 
bajo el disco de desbalance, el cual permite obtener una referencia de 
fase (un pulso por revolución debido a la presencia del agujero). 
la cual se ha instalado una tarjeta de adquisición de datos (convertidora 
digital) y el respectivo instrumento virtual, que permitirá observar y analizar la señalFig. 8. Montaje Experimental. 
 
 
Vista Lateral del Motor. Fig. 10. Variador de Frecuencias del 
Laboratorio. 
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 
 impacto para que la computadora registre 
el valor de la frecuencia natural (amortiguada) correspondiente al pico observado en el 
Selector de 
Frecuencias 
Frecuencia 
(Hz) 
Motor 
Etiqueta 
Reflectante 
6 
 
l disco de desbalance, el cual permite obtener una referencia de 
la cual se ha instalado una tarjeta de adquisición de datos (convertidora 
digital) y el respectivo instrumento virtual, que permitirá observar y analizar la señal 
 
 
Variador de Frecuencias del 
 la respuesta libre del 
correspondiente al pico observado en el 
Encendido 
Apagado 
Fijador de 
Frecuencia 
Acondicionador 
de Carga 
Motor con 
Desbalance 
Sensor 
Óptico 
Apoyo 
Simple 
Alimentación del 
Sensor Óptico 
7 
 
3. Encender el variador y colocarlo en un valor alejado e inferior al obtenido en el espectro de 
frecuencias. 
 
4. Tomar del osciloscopio los valores de amplitud, período y retraso de fase. Tome en cuenta que la 
frecuencia que registra el osciloscopio puede diferir ligeramente con la que reporta el variador de 
frecuencias (porque el motor es asincrónico). 
 
5. Con el variador, cambiar la velocidad de giro del motor y repetir el paso 4. 
 
6. Ubicar la frecuencia crítica del sistema de un grado de libertad basado en el momento donde la 
amplitud sea máxima. Preste atención al ruido y deflexión de la barra. 
 
Recoja los datos obtenidos en la siguiente tabla: 
 
Medición Ω Variador 
[?@] 
Ω Osciloscopio 
[?@] 
Amplitud 
Pico-Pico[mV] 
Desfase 
[ms] 
Período 
[ms] 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
 
ESQUEMA DEL REPORTE 
 
Procedimiento 
 En esta sección usted debe colocar la metodología seguida durante la práctica, así como la 
instrumentación utilizada y una descripción de los cálculos utilizados. 
 
Experiencia 
 
1. Determine la constante elástica de la barra (en A/�). 
 
2. Utilice las gráficas en el tiempo para determinar el factor de amortiguación (�) y el espectro de 
frecuencias para hallar la frecuencia natural amortiguada y la frecuencia natural (en ��C/D). 
 
3. Calcule la masa equivalente del sistema (en �E). 
 
4. Calcule las diferencias porcentuales entre la frecuencia reportada por el variador y la que reporta 
el osciloscopio. 
8 
 
5. Reporte el valor de la frecuencia crítica (en ��C/D). 
 
6. Calcule el valor del momento de desbalance (� ∙ 	F�E ∙ �G) con los datos experimentales para 
cada frecuencia seleccionada durante el ensayo. Para ello, parta de la respuesta permanente en 
vibración forzada por desbalance: 
HI = � ∙ 
"��
∙ ��
�(1 − ��)� + (2 ∙ � ∙ �)� 
 
Donde HI es la amplitud cero-pico del estado permanente. Tome el promedio de estos valores para 
reportar un � ∙ definitivo. 
 
7. Mencione y explique brevemente tres diferencias que existen entre el transductor de proximidad, 
el sensor óptico, el vibrómetro y el acelerómetro mostrados en el laboratorio. 
 
8. Realice las siguientes gráficas a partir de los datos experimentales (anexe las teóricas 
correspondientes para comparar): 
• Amplitud de vibración pico-pico (H [��]) vs. frecuencia de excitación (Ω [��C/D]). Dado 
que se dispone sólo de data de aceleración, considere la siguiente relación entre ésta y el 
desplazamiento: 
H(�) = HJ ∙ DK�(�� + �) 					→ 					 H� (�) = - = −HJ ∙ �� ∙ DK�(�� + �) 					→ 					 -J = |HJ| ∙ �� 
 
• Factor de Amplificación Dinámico (� ∙ ��) vs. la Relación de Frecuencias (�). 
 
• Retraso de fase de la vibración (�	F°G) vs. Relación de Frecuencias (�). Considere que el 
retraso de fase total medido por el osciloscopio se compone de: 
�MN<5<9 = �(5O8;P5ó� + �456789 
 
9. Mediante el uso del programa de cálculo de su preferencia, desarrolle un modelo matemático 
(numérico o analítico) del sistema físico bajo vibración forzada (H(�)	RD. �(D)) cuando la 
frecuencia de excitación coincide con la frecuencia crítica (sólo colocar el estado permanente). 
Solape esta gráfica teórica con la correspondiente gráfica experimental. 
 
Nota: Utilice la velocidad angular reportada por el osciloscopio, no la del variador. 
 
Datos 
• Aceleración de gravedad en el laboratorio: E = 9,778	�/D� 
• Valor =3 del filtro: =3 = 0,028	D 
• Módulo de Elasticidad del Acero: W = 206	.)� 
• Rigidez de una barra articulada en los extremos: � = 48 ∙ W ∙ Z [\⁄ 
• Momento de Inercia (de Área) de la sección transversal (barra): Z = ^ ∙ ℎ\ 12⁄ 
• Ganancia total de un sistema conectado en serie: .` = .a ∙ .�⋯.c 
• Ganancia del acelerómetro: .; = _______	�&/(� D�⁄ ) 
• Ganancia del acondicionador de carga: .O = _______	&/& 
 
Análisis de Resultados 
 
En esta parte es conveniente hacer referencia a los resultados y explicar por qué se obtienen 
tales resultados. También compare los resultados experimentales con las teorías disponibles. 
Indique los errores inmersos que haya identificado en el procedimiento experimental. Así mismo se 
pueden agregar explicaciones sobre las fuentes del error y las formas para disminuirlos. 
9 
 
Conclusiones 
 
Deben ser concisas. Coloque las ideas separadas en viñetas. Se deben reseñar la mayor 
cantidad de aspectos relevantes de la práctica. En otras palabras, las conclusiones deben reflejar “a 
modo de resumen” lo que observó y analizó a partir de la experiencia práctica y sus resultados. 
Deben funcionar como información explícita y directa acerca de los aspectos verificados en cada 
ensayo de la práctica. 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
• Rao, S., Mechanical Vibrations, Pearson Prentice Hall, Cuarta Edición, USA, 2004. 
 
• Thomson, W. y Dahleh, M., Theory of Vibration with Applications, Prentice-Hall, Quinta 
Edición, USA, 1998. 
 
• De Silva, C., Vibration Fundamentals and Practice, CRC Press, Washington D.C. 2000 
 
• Casanova, E. Vibraciones Mecánicas Avanzadas (Curso). USB, 2013.