CT-3412 - Clase 2 2 Conceptos Básicos Ecuaciones Fundamentales

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TURBOMÁQUINAS TÉRMICAS
CT-3412CT-3412
2-Conceptos básicos 2. Ecuaciones Fundamentales
Prof. Nathaly Moreno Salas
Ing. Victor Trejo
Contenido
� Ecuación de Continuidad
� Trabajo Específico en las Turbomáquinas
� Triángulos de Velocidades
� Ecuación de Euler� Ecuación de Euler
� Rotalpía
Ecuación de continuidad
� La ecuación de continuidad para el volumen de 
control en estado estable mostrado en la figura es:
222111 CACAm ρρ ==&
Volumen de control en un ventilador de flujo mixto (plano meridional)
Fuente: Turbomachinery performance analysis – Lewis R.
Trabajo específico en una turbomáquina
� A partir de la Primera Ley se puede relacionar el 
trabajo realizado con el cambio de energía 
(entalpía) en el fluido.
( ) ( ) ( )


 −+−+−=− 221
zzgccmhhmWQ &&&
(1)
� En las turbomáquinas se suele considerar que:
� El proceso de transferencia de energía es adiabático
� La variación de energía potencial gravitatoria es 
despreciable con respecto al resto de las contribuciones
( ) ( ) ( )


 −+−+−=− 12
2
1
2
212 2
1
zzgccmhhmWQ x &&&
Trabajo específico en una 
turbomáquina
� Aplicando estas consideraciones a la ecuación (1),
expresándola en función de la entalpía de
estancamiento y dividiendo entre el flujo másico se
obtiene la siguiente expresión para el trabajo
específico:específico:
para compresores:
para turbinas:
0102 hhw −=
0201 hhw −= ( )2
Triángulos de velocidad – Notación (1/2)
� La velocidad absoluta del fluido c, la velocidad del 
rotor u y la velocidad relativa del fluido con respecto 
al rotor w se relacionan mediante:
Cinemática de una turbomáquina radial
Fuente: Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas – Mataix C.
wuc rrr +=
Triángulos de velocidad – Notación (2/2)
� u: velocidad absoluta del álabe
� c: velocidad absoluta del fluido
� w velocidad relativa del fluido con respecto al álabe
� cm: componente meridional de la velocidad absoluta del fluido
� cu ó cθ: componente periférica de la velocidad absoluta del fluido
� α: ángulo que forman las velocidades c y u
� β: ángulo que forma w con (-u). Nótese que el ángulo que forma w con u es el β’, 
suplemento de β
Triángulos de 
velocidad de 
entrada y salida de 
los álabes de un 
rotor de bomba o 
compresor
Fuente: Mecánica de 
fluidos y máquinas 
hidráulicas – Mataix
C.
Principio de funcionamiento (1/3)
� El mecanismo físico a través del cual se produce la 
transferencia de energía en una turbomáquina es la 
variación de la cantidad angular de movimiento.
� La segunda ecuación universal de la mecánica nos dice 
que “en un sistema de referencia inercial, el momento que “en un sistema de referencia inercial, el momento 
que, con respecto a un punto P del espacio, producen 
los vectores miai de cada una de las partículas que 
constituyen el sistema material es, en cada instante, 
igual al momento resultante del sistema de fuerzas 
externas, referido al mismo punto P”.
Fuente: Mecánica – León J.
Principio de funcionamiento (2/3)
� Aplicando este principio al elemento de fluido que describe la 
línea de flujo de la figura, se obtiene que el torque que 
el rotor debe proveer para que el fluido cambie su cantidad 
angular de movimiento de mc
θ1 a mc
θ2 es:
oψ τ
)( 1122 θθτ crcrm −= & )3(
Flujo a través de una bomba o compresor
Fuente: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. y Hall C.
Principio de funcionamiento (3/3)
� Al multiplicar la ecuación (3) por la velocidad angular 
ω se obtiene:
Donde U corresponde a la velocidad tangencial del álabe.
� Si ahora se divide esta expresión entre el flujo másico, 
)()( 11221122 θθθθω cUcUmcrcrmW −=−= &&&
� Si ahora se divide esta expresión entre el flujo másico, 
se obtiene:
Donde w es el trabajo específico realizado por el álabe. 
Nótese que ahora se dispone de dos expresiones para 
el trabajo específico.
1122 θθ cUcUw −= )4(
Ecuación de Euler (1/4)
� Se han mostrado dos expresiones para el trabajo 
específico:
� La ecuación (2) lo describe como una función de la entalpía 
total (estado termodinámico y cinemático del fluido)
La ecuación (4) lo describe como una función de las � La ecuación (4) lo describe como una función de las 
velocidades tangenciales del rotor y del fluido
Al igualar ambas expresiones se obtiene la primera forma de 
la ecuación de Euler:
11220102 θθ cUcUhh −=−
22110201 θθ cUcUhh −=−
Para compresores, bombas y ventiladores
Para turbinas
( )5
Ecuación de Euler (2/4)
� La ecuación de Euler permite relacionar el trabajo específico con el
estado termodinámico y cinemático del fluido con las velocidades
del fluido y de la turbomáquina a través de la combinación de la
conservación de la energía y de la cantidad angular de
movimiento:
La forma de la ecuación de Euler mostrada es válida para un
)fluido del velocidadde campo,,(),( 120102 UUfhhfw ==
� La forma de la ecuación de Euler mostrada es válida para un
análisis unidimensional (aplicable a un elemento de masa a lo largo
de la línea de flujo).
� En la práctica permite estimar de forma sencilla el trabajo a través
de mediciones de velocidad.
� Para poder describir el proceso en cualquier punto del dominio es
necesario derivar ecuaciones diferenciales equivalentes a la forma
mostrada de la ecuación de Euler.
Ecuación de Euler (3/4)
� La ecuación de Euler se suele expresar también en función de 
las velocidades C, U y W.
� Al aplicar el teorema del coseno en un triángulo de velocidad 
se obtiene:
−+=−+= α
� Al sustituir (6) en (5) se obtiene la segunda forma de la 
ecuación de Euler (caso de bombas o compresores):
( )222
22222
2
1
2)cos(2
wcuuc
uccuuccuw
++=
−+=−+=
θ
θα
( )6
( ) ( ) ( )
222
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
0102
wwccuu
hh
−+−+−=−
Fuente: Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas – Mataix C.
( )7
Ecuación de Euler (4/4)
� La segunda forma de la ecuación de Euler es útil para discernir los 
mecanismos de transferencia de energía. La interpretación física de 
cada sumando de la ecuación (7) es:
� : representa la energía transferida debido al cambio en 
la energía cinética absoluta del fluido al atravesar la 
turbomáquina. Si se trata de un compresor o bomba, esta 
( )
2
2
1
2
2 cc −
Fuente: Turbomachinery performance analysis – Lewis R.
turbomáquina. Si se trata de un compresor o bomba, esta 
cantidad se puede usar para crear un aumento de presión a 
través de un difusor.
� : representa la energía transferida debido a las fuerzas 
centrífugas a medida que el fluido se mueve en dirección radial. 
Las máquinas axiales no aprovechan este efecto, por lo que 
tienen menor aumento o caída de presión por etapa.
� : representa la energía transferida debido al cambio en 
la energía cinética relativa del fluido en la turbomáquina.
( )
2
2
1
2
2 uu −
( )
2
2
2
2
1 ww −
Fuente: Turbomachinery design and theory – Dekker M.
Rotalpía
� Si se reorganiza la primera forma de la ecuación de Euler (5) 
de esta manera:
se observa que la magnitud se mantiene constante a lo 
largo de una línea de flujo. A esta magnitud se le conoce como 
11012202 θθ cUhcUh −=−
Uch −
largo de una línea de flujo. A esta magnitud se le conoce como 
rotalpía I:
flujo de línea una de largo lo a constante21 === III
Flujo a través de una bomba o compresor