Clase 5 1 Definiciones de Rendimiento

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5-DEFINICIONES DE 
RENDIMIENTO
Turbomáquinas Térmicas CT-3412
Prof. Nathaly Moreno Salas
Ing. Víctor Trejo
Contenido
� Expansión y compresión en diagrama h-s
� Eficiencia o Rendimiento
� Eficiencia de una turbomáquina
� Divergencia de isóbaras en diagrama h-s� Divergencia de isóbaras en diagrama h-s
� Definiciones de Eficiencia Turbina
� Definiciones de Eficiencia compresor
� Eficiencia politrópica
� Relación entre eficiencia isentrópica y politrópica
� Proceso politrópico
� Factor de recalentamiento
Expansión y compresión en diagrama h-s
Expansión
Expansión real
Compresión
Expansión isentrópica
(sin pérdidas)
Compresión isentrópica
(sin pérdidas)
Compresión real
Eficiencia
� En general, una eficiencia es una relación entre lo que 
se puede aprovechar y lo que se ha gastado para 
obtenerlo:
Ó una relación entre el gasto o el provecho de dos 
Gasto
Provecho=η
� Ó una relación entre el gasto o el provecho de dos 
procesos:
donde el proceso de comparación puede ser, por 
ejemplo: isentrópico (sin pérdidas), politrópico o 
isotérmico.
ncomparació de Proceso
real Proceso=turbinaη
real Proceso
ncomparació de Proceso=compresorη
Eficiencia de una turbomáquina (1/3)
� Para las turbomáquinas existen muchas definiciones 
importantes de eficiencia según:
� Los límites del proceso (componente, etapa o máquina)
� El propósito de la máquina (turbina o compresor)� El propósito de la máquina (turbina o compresor)
� Proceso con el cual se compara (isentrópico, politrópico, 
isotérmico)
� Energía útil a la salida
� Consideración de pérdidas externas (fugas, fricción en 
rodamientos, caja de transmisión, acoples, etc.)
Fuente: Presentaciones de la asignatura Fundamentos de los turbomáquinas térmicas de la universidad de Stuttgart
Eficiencia de una turbomáquina (2/3)
� La eficiencia de una turbomáquina puede ser 
escrita como el producto de las eficiencias 
isentrópica (o adiabática), mecánica y volumétrica:
ηηηη =
� Cada una de estas eficiencias se define de forma 
diferente para compresores y para turbinas de 
acuerdo a lo que se considere gasto y provecho en 
cada caso.
adiabáticaavolumétricmecánica ηηηη =
Eficiencia de una turbomáquina (3/3)
Compresor
Turbina
Eficiencia 
mecánica
eje elpor entregada Potencia
mecánicas Pérdidaseje elpor entregada Potencia −
mecánicas Pérdidaseje al entregada Potencia
eje al entregada Potencia
+
Turbina
Eficiencia 
volumétrica
mecánicas Pérdidaseje al entregada Potencia +
fugascon máquina la a entregada Potencia
fugassin máquina una a entregada Potencia
fugascon máquina lapor entregada Potencia
fugassin máquina unapor entregada Potencia
Compresor
Turbina
Fuente: Presentaciones de la asignatura Fundamentos de los turbomáquinas térmicas de la universidad de Stuttgart
Divergencia de isóbaras en diagrama h-s 
(1/10)
Bh∆
Ah∆
Bh∆
BA hh ∆<∆
Divergencia de isóbaras en diagrama h-s 
(2/10)
� La ecuación de Gibbs explica la divergencia de las 
isóbaras en el diagrama de Mollier. Su forma 
original es:
(1) pdvduTds +=
� Diferenciando la definición de entalpía se obtiene:
� Sustituyendo 2 en 1 se obtiene una forma que 
permite observar la pendiente de una isóbara:
(1) pdvduTds +=
(2) pdvvdpdhdu −−=
(3) vdpTdsdh +=
Fuentes: Introduction to thermodynamics and heat transfer – Cengel, Y.
Applied thermodynamics – Singh, O.
Divergencia de isóbaras en diagrama h-s 
(3/10)
� A lo largo de una isóbara dp=0. Sustituyendo esto 
en 3 y diviendo entre ds, se obtiene:
(4) T
ds
dh =
� La expresión 4 muestra que la pendiente de la 
entalpía es proporcional a la temperatura (y a la 
entalpía) a lo largo de una isóbara, lo que explica 
su divergencia (mostrado en forma gráfica en 
siguiente lámina).
(4) T
ds
=
Divergencia de isóbaras en diagrama h-s 
(4/10)
Ads
dh






BA ds
dh
ds
dh





>





Bds
dh






¡Divergencia 
de las 
isóbaras!
Divergencia de isóbaras en diagrama h-s 
(5/10)
� La divergencia de las isóbaras tiene al menos dos consecuencias 
importantes en las turbomáquinas que se explican en las siguientes 
láminas:
� Una etapa de turbina es menos eficiente que la turbina y una etapa de un 
compresor es más eficiente que el compresor.
La compresión es más eficiente a bajas temperaturas y la expansión a altas � La compresión es más eficiente a bajas temperaturas y la expansión a altas 
temperaturas
Turbina a gas 
General Electric
Con un gran 
número de 
etapas de 
compresión y 
pocas etapas 
de expansión
Esquema de
Compresión con
interenfriamietno
Divergencia de isóbaras en diagrama h-s 
(6/10)
En un proceso de expansión:
Si se realiza la expansión en 2 etapas:
h∆
ss hh
hh
21
21
2,1 ∆+∆
∆+∆=η
Viendo ahora la expansión completa:
sh1∆
ssh2∆
1h∆
sh2∆ 2h∆
Viendo ahora la expansión completa:
21+∆h
sss hh
hh
21
21
21 ∆+∆
∆+∆=+η
211,2
22
 Luego
 que Nótese
+<
∆>∆
ηη
sss hh
Fuente: Presentaciones de la asignatura Fundamentos de los turbomáquinas térmicas de la universidad de Stuttgart
Divergencia de isóbaras en diagrama h-s 
(7/10)
En un proceso de expansión:
Esto significa que la eficiencia de 
una turbina es más alta que la de 
sus etapas. Análogamente se 
puede mostrar que la eficiencia 
Fuente: Presentaciones de la asignatura Fundamentos de los turbomáquinas térmicas de la universidad de Stuttgart
puede mostrar que la eficiencia 
de una etapa de compresión es 
más alta que la de toda la 
máquina. Es importante recordar 
esto al hablar de eficiencia 
politrópica. Una interpretación 
física de esto es…
Divergencia de isóbaras en diagrama h-s 
(8/10)
Compresor
Cada etapa aumenta la temperatura del fluido de 
trabajo (efecto de precalentamiento), por lo que en la 
siguiente se requiere más trabajo para comprimirlo y se 
ve perjudicada la eficiencia de la máquina
Compresor con 
enfriamiento después de 
cada etapa. Conocido 
comercialmente como 
compresor isotérmico
Divergencia de isóbaras en diagrama h-s 
(9/10)
Turbina
Las pérdidas por fricción en cada etapa se transforman en 
calor (que es contabilizado como pérdida en la eficiencia 
de la etapa) que puede ser aprovechado parcialmente en 
las siguientes etapas, lo que se traduce en un aumento de 
la eficiencia de la máquina.la eficiencia de la máquina.
Turbina a gas de 140MW (GE)
Divergencia de isóbaras en diagrama h-s 
(10/10)
� El hecho de que la compresión sea más eficiente a 
bajas temperaturas y la expansión a altas 
temperaturas explica la importancia de dos 
mejoras comunes en los ciclos termodinámicos: el 
interenfriamiento en compresión y el 
recalentamiento y la regeneración en expansión.
Ciclo Brayton (turbina a gas) con 
interenfriamiento, recalentamiento y 
regeneración
Definiciones de Eficiencia Turbina (1/4)
� La eficiencia global se define como:
� La eficiencia isentrópica (o adiabática) se define como la 
tiempofluidodisponibleenergíadiferenciaMáxima
tiempoacopledisponiblemecánicaEnergía
To /
/
, =η
•
∆
=
os
To
hm
ejePotencia
,η
� La eficiencia isentrópica (o adiabática) se define como la 
relación entre trabajo real y trabajo ideal (isentrópico):
� La eficiencia mecánica se puede definir:
s
Tt
Tt
hh
hh
0201
0201
,
, mpofluido/tiedisponibleenergíadediferenciaMáxima
porotor/tiemaldasuministraEnergía
−
−=
=
η
η
t
m
m
η
ηη
η
0
porotor/tiemdasuministraEnergía
mpoacople/tiedisponiblemecánicaEnergía
=
=
Definiciones de Eficiencia Turbina (2/4)
� Para hallar la expresión de eficiencia isentrópica de la turbina 
se empleará una vía mucho más expedita (pero que no pasa 
por la expresión ya obtenida de trabajo isentrópico). 
Retomando (5):
1
2
21
1
T
T
T
TT
turbina
−
=
−
−=η
� Para un proceso isentrópico y gas ideal:
� Sustituyendo se obtiene finalmente:
1
221 1
T
TTT ss
turbina
−
=
−
=η
γ
γ 1
1
2
1
2
−






=
P
P
T
T s
γ
γη 1
1
2
1
2
1
1
−






−
−
=
p
p
T
T
turbina
Definiciones de Eficiencia Turbina (3/4)
Eficienciatotal a total: expresa el aprovechamiento
De la Energía Cinética a la salida de la Turbina
( ) ( )
( ) ( )
cChChhh =+−+=−=
2
22
2
110201 2121η
h
01
02 ( ) ( )
( ) ( ) dChChhh sss
Ttt =
+−+
=
−
=
2
22
2
11
2211
0201
0201
, 2121
η
Frecuentemente C1 = C2 o que la diferencia entre ellas sea pequeña y C2 ≈ C2s, por
lo que la eficiencia queda
s
Ttt hh
hh
21
21
, −
−=η
s
02
Definiciones de Eficiencia Turbina (4/4)
h
01
02
Eficiencia total a estática: se emplea cuando no se
aprovecha la Energía Cinética a la salida de la Turbina
( ) ( )
( ) ( )
cChChhh =+−+=−=
2
12
2
110201 2121η
s
( ) ( )
( ) ( ) eChChhh sss
Tts =
+−+
=
−
=
2
22
2
11
1211
0201
0201
, 2121
η
Frecuentemente C1 = C2 o que la diferencia entre ellas sea pequeña y C2 ≈ C2s, por
lo que la eficiencia queda
2
121
21
, 21 Chh
hh
s
Ttt +−
−=η
Definiciones de Eficiencia Compresor (1/4)
� La eficiencia global se define como:
� La eficiencia isentrópica (o adiabática) se define como la 
mpoacople/tiealdasuministraEnergía
2/tiempo1comprimirparamínimaEnergía
,
→=Coη
ejePotencia
hm os
Co
∆=
•
,η
� La eficiencia isentrópica (o adiabática) se define como la 
relación entre trabajo real y trabajo ideal (isentrópico):
� La eficiencia mecánica se puede definir:
0102
0102
,
, mpofluido/tiealrotorpordasuministraEnergía
2/tiempo1comprimirparamínimaEnergía
hh
hh s
Tt
Ct
−
−=
→=
η
η
t
m
m
η
ηη
η
0
mpoacople/tiedasuministraEnergía
mpofluido/tierotorpordasuministraEnergía
=
=
Definiciones de Eficiencia Compresor 
(2/4)
h
02
01 ( ) ( )
( ) ( )
cChChhh sss =+−+=−=
2
11
2
22102 2121η
Rendimiento adiabático o total a total: debido
a que siempre se aprovecha la Energía Cinética a la salida
s
( ) ( )
( ) ( ) dChChhh
sss
Ctt =
+−+
=
−
=
2
11
2
22
1122
0102
102
, 2121
η
Frecuentemente C1 = C2 o que la diferencia entre ellas sea pequeña y C2 ≈ C2s, por
lo que la eficiencia queda
12
12
, hh
hh s
Ctt −
−=η CttCt ,, ηη =
Eficiencia Isentrópica (3/4)
� La temperatura a la entrada y a la salida se puede medir, 
pero la temperatura de salida isentrópica no, pero 
escribiendo el trabajo isentrópico con la relación isentrópica:
γ
γγ
1
1
111 




=⇒=
p
p
vvvppv
� Sustituyendo en la definición de trabajo:
� Al integrar (y usar la ecuación de gas ideal) se obtiene una 
expresión para el trabajo isentrópico:
111 



=⇒=
p
vvvppv
∫∫ 




==∆
ss
s dp
p
p
vvdph
2
1
1
1
2
1
1
γ
(6) 1
11
1
11
1
2
1
1
2
11










−





−
=










−





−
=∆
−−
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
p
p
RT
p
p
vph ss
s
Eficiencia Isentrópica (4/4)
� Para gas ideal:
� Usando esto y (6) en la definición de eficiencia isentrópica
para compresión:
TCph ∆=∆
 −1γγ
RT
� Recordando que
� Se obtiene finalmente:
( )










−





−
−=
∆
∆=
−
1
1
1
1
2
12
1 γ
γ
γ
γ
η
p
p
TTCp
RT
h
hs
compresor
γ
γ 1−=
Cp
R
1
1
1
2
1
1
2
−





−





=
−
T
T
P
P
compresor
γ
γ
η
Eficiencia politrópica o del pequeño 
escalonamiento (1/4)
� El concepto de eficiencia politrópica nace de la necesidad de
comparar máquinas con diferentes relaciones de presión (la
eficiencia isentrópica depende de la relación de compresión
como lo muestra la divergencia de las isóbaras en el
diagrama h-s)diagrama h-s)
Fuente: Gas turbine theory – Cohen H., Rogers G. Saravanamuttoo H.
Microturbina
Turbina a gas SGT6-5000F (Siemens) de 200MW
Vs.
Eficiencia politrópica (2/4)
� La eficiencia politrópica se define como la eficiencia 
isentrópica de una etapa infinitesimal que sería constante en 
todo el proceso. Para un compresor:
(7) , dT
dTs
compresorp =η
� Para gas ideal y proceso isentrópico se cumple:
� Y en forma diferencial:
(7) , dTcompresorp =η
constante1 =−
γ
γ
p
T
(8) 
1
p
dp
T
dTs
γ
γ −=
Eficiencia politrópica (3/4)
� Al despejar dTs de (7) y sustituirlo en (8) se obtiene:
� Recordando que la eficiencia politrópica es constante por definición e 
integrando esta expresión entre las condiciones de entrada 1 y salida 2 se 
p
dp
T
dT
compresorp γ
γη 1
,
−=
1γ −
integrando esta expresión entre las condiciones de entrada 1 y salida 2 se 
obtiene:
� Análogamente se puede obtener para una turbina:
(9) ó 
ln
ln
,
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
,
compresorp
p
p
T
T
T
T
p
p
compresorp
γη
γ
γ
γ
η
−
−






=












=
( )
(10) ó 
ln
ln 1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
,
,
γ
γη
γ
γη
−
− 





=












=
turbinap
p
p
T
T
p
p
T
T
turbinap
Eficiencia politrópica (4/4)
� La diferencia entre ambos rendimientos está en su
comportamiento en función de la relación de presiones:
� ηt = f(rp)
� ηp ≠ f(rp) = constante
� En la práctica es común definir las eficiencias isentrópicas y
politrópicas en función de propiedades de estancamiento.politrópicas en función de propiedades de estancamiento.
� La eficiencia politrópica puede ser interpretada como una
medida de la calidad del diseño y refleja el estado del
arte de una máquina, por lo que es útil para comparar
máquinas.
� El uso de la eficiencia isentrópica es más apropiado cuando
se desea analizar un ciclo o aplicación de interés.
Fuente: Gas turbine theory – Cohen H., Rogers G. Saravanamuttoo H.
Relación entre eficiencia isentrópica y 
politrópica (1/2)
� Partiendo de las expresiones halladas de eficiencia isentrópica:
1
1
1
2
1
1
2
−





−





=
−
T
T
P
P
compresor
γ
γ
η
γ
γη 1
1
2
1
2
1
1
−






−
−
=
p
p
T
T
turbina
� Y haciendo uso de las expresiones 9 y 10 para eficiencia politrópica, se 
pueden relacionar ambos rendimientos sustituyendo la relación de 
temperaturas (al hacer esto se está modelando el proceso real como 
proceso politrópico:

1



 p
(11) 
1
1
,
1
1
2
1
1
2
−





−





= −
−
compresorp
P
P
P
P
compresor
γη
γ
γ
γ
η (12) 
1
1
1
1
2
)1(
1
2
,
γ
γ
γ
ηγ
η −
−






−






−
=
p
p
p
p
turbinap
turbina
Relación entre eficiencia isentrópica y 
politrópica (2/2)
� En la figura se muestra 
la eficiencia isentrópica
en función de la 
relación de presiones 
para un compresor y 
una turbina a través de una turbina a través de 
las expresiones 11 y 12 
para una eficiencia 
politrópica igual a 
0.85. Como se 
esperaba, la eficiencia 
de la turbina aumenta 
con la relación de 
presiones y la del 
compresor disminuye
Proceso politrópico (1/4)
� Nótese que si tomamos las expresiones 9 y 10 y escribimos 
los exponentes de la siguiente forma:
( )
n
n
n
n turbinap
compresorp
11
 ó 
11 ,
,
−=
−−=−
γ
γη
γη
γ
� Para compresión y expansión respectivamente, obtenemos 
la expresión de un proceso politrópico (para gas ideal):
� De este hecho proviene el nombre de eficiencia politrópica.
� El trabajo politrópico puede ser calculado con la expresión 
6 sustituyendo el coeficiente isentrópico por el politrópico.
n
n
p
p
T
T
1
2
1
2
1
−






=
Fuente: Gas turbine theory – Cohen H., Rogers G. Saravanamuttoo H.
Proceso politrópico (2/4)
� Un proceso politrópico es un proceso en el cual el 
volumen y la presión se relacionan según la 
siguiente expresión:
constante=npv
� Donde n es el exponente politrópico. Para un gas 
ideal se puede escribir también:
constante=pv
1
2
1
1
1
2
1
2
−−






=





=
n
n
n
v
v
p
p
T
T
Proceso politrópico (3/4)
� Un proceso real puede ser 
modelado como proceso 
politrópico mediante un 
sistema de 2 ecuaciones para 
determinar la constante y el 
exponente n. Si la suposición exponente n. Si la suposición 
de gas ideal es aplicable, ésta 
permite determinarlo 
conociendo la presión y la 
temperatura (fácilmente 
medibles) en dos puntos del 
proceso, porejemplo, a la 
entrada y salida de la 
máquina.
constante=npv
Proceso real modelado como proceso politrópico
Proceso politrópico (4/4)
� Diferentes procesos no reales pueden ser
modelados como casos particulares de un
proceso politrópico:
Proceso Exponente politrópico Justificación
Isobárico
Isotérmico
Isentrópico
Isocórico
0=n constanteconstante0 =⇒= ppv
constconst ==⇒= RTppv
constante=γpv
constanteconstante
1
=⇒= vvpn
1=n
γ=n
±∞=n
Fuente: Presentaciones de la asignatura Fundamentos de los turbomáquinas térmicas de la universidad de Stuttgart
Factor de recalentamiento (1/2)
� El vapor no se comporta 
como gas ideal, por lo 
que las expresiones 11 
y 12 no pueden ser 
aplicadas a turbinas a 
vapor.
aplicadas a turbinas a 
vapor.
� Por esta razón, en las 
turbinas a vapor se 
utiliza el concepto de 
factor de 
recalentamiento Rh para 
vincular las eficiencias 
isentrópica y politrópica.
Fuente: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon, S.
Factor de recalentamiento (2/2)
� El factor de recalentamiento se define como:
� Debido a la divergencia de las isóbaras, Rh es siempre
( ) ( )[ ]
s
is
s
ysxxs
H hh
h
hh
hhhh
R
2121
1 ...
−
∆
=
−
+−+−
= ∑
� Debido a la divergencia de las isóbaras, Rh es siempre
mayor que uno (típicamente 1.03-1.08). Siendo la
eficiencia isentrópica:
� La eficiencia politrópica se puede relacionar con la
isentrópica entonces como:
s
is
iss
turbina hh
h
h
hh
hh
hh
21
21
21
21
−
∆
∆
−=
−
−= ∑
∑
η
Hturbinapturbina R,ηη =
Eficiencia de una tobera
1
2
Aplicando la primera ley de la termodinámica
( ) ( )2
1
2
212 2
1
CChhWQ 


 −+−=−
••
( ) ( ) ( )
0102
2
11
2
22
2
1
2
212
2
1
2
1
2
1
0
2
hh
ChCh
ICChh
=
+=+



 −+−=

Como no existe trabajo ni calor, la ecuación queda
Eficiencia de una tobera
También podemos decir que para un proceso adiabático reversible se tiene
( )
22
2
1
2
221 2
1
CChh
CChh ss
−−
−=−
El rendimiento de una tobera puede escribirse
21
0201
21
21
2
1
2
2
2
1
2
2
21
21
1
PP
PP
PP
hh
CC
CC
hh
hh
tob
s
ss
tob
−
−−=
−=−
−
−=
−
−=
η
ρ
η
Para un proceso isentrópico se cumple que Tds = 0 = dhis –vdP, además si el flujo es
incompresible, las variaciones 
de 1 a 2s se puede expresar
Reescribiendo la relación (I), se puede expresar la eficiencia como:
Eficiencia de un Difusor
21 Aplicando la primera ley de la termodinámica, Q = W = 0
0102
2
11
2
22 2
1
2
1
hh
ChCh
=
+=+
Reescribiendo
( )
( )
2
2
2
1
2
2
2
1
2
12
2
2
2
112
2
2
2
112
2
1
2
1
CC
CC
hh
hh
CChh
CChh
ss
dif
ss
−
−=
−
−=
−=−
−=−
η
Reescribiendo
Para el proceso adiabático reversible se cumple que:
Se puede definir el rendimiento del difusor como:
Eficiencia de un Difusor
También puede escribirse el 
rendimiento del difusor:
1
−+
=η
PPdif
1
1
1
1
1
2
02
01
1
1
2
21
0201
−















−





=
−
−+
−
−
γ
γ
γ
γ
η
P
P
P
P
P
P
PP
PP
dif
dif