CURSO DE FRACCIONES

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CURSO DE FRACCIONES 
 
INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIONES 
 
Comencemos por hablar acerca de las fracciones, para entenderlas vamos a 
decir que: 
Una fracción es simplemente la división de un valor entre otro. 
 
Los elementos que forman una fracción son: 
 
 
Por ejemplo, imaginemos que ?enes un pastel rectangular y está par?do en 6 
porciones todas de igual tamaño y llegan a visitarte 4 amigos. Entonces: 
 
¿Cuántas porciones de pastel tendrías que repar?r para que tus amigos 
comieran una porción? 
 
Quizá la respuesta no sea fácil, pero analizando vemos que son 4 amigos y que 
?enes dividido el pastel en 6 porciones, si le das a cada uno de tus amigos una 
porción serían 4, y como lo ?enes dividido en 6, te sobrarían dos porciones. 
 
 
¿Cómo escribimos esto en fracciones? 
 
Ya dijimos que el pastel está dividido 6 porciones, cada amigo tuyo come una 
de esas seis porciones que representan a todo el pastel podemos expresarlo 
como: 
 
 
 
Donde 
1 = una porción del pastel. 
6 = el total de porciones en las que está dividido el pastel. 
 
Ahora bien, en la imagen anterior podemos observar que repar?mos 4 de 6 
partes que ?ene el pastel por lo tanto, eso lo podemos expresar como: 
 
 
TIPOS DE FRACCIONES 
 
Como vimos en el tema anterior, las fracciones no son otra cosa más allá de 
una división entre dos valores, sin embargo éstas están divididas de acuerdo 
a algunas caracterís?cas que comentaremos a con?nuación, pero podemos 
encontrar: 
 
• Fracciones Propias. 
• Fracciones Impropias. 
• Fracciones Mixtas. 
 
 
 
FRACCIONES PROPIAS 
 
Estas fracciones ?enen la siguiente caracterís?ca: 
Numerador < Denominador 
Ejemplos: 
 
 
 
 
Esto quiere decir que siempre va a alcanzar al "repar?r", ya que siempre va a 
sobrar "algo del total". Esto es, ejemplificando el primer caso, 3/4: 
 
Tienes un pastel dividido en 4 partes iguales, y lo vas a repar?r con 3 amigos, 
esto implica que a cada uno de tus tres amigos le vas a dar un pedazo de pastel, 
entonces de los 4 pedazos que forman el total del pastel, solo vas a u?lizar 3 y 
te va a sobrar un pedazo. 
 
 
 
 
FRACCIONES IMPROPIAS 
 
Estas fracciones -enen la siguiente caracterís-ca: 
Numerador > Denominador 
Ejemplos: 
 
 
Como puedes observar, el numerador es mayor que el denominador, en otras 
palabras, lo que significa es que "no te alcanza" a repar?r a todos si ?enes 4 
amigos y tu pastel está dividido en 3 partes iguales (!
!
). 
Esto es, te "faltaría" un pedazo más de otro pastel para que tus 4 amigos tengan 
una rebanada. 
 
 
 
 
 
 
Las fracciones impropias ?enen la caracterís?ca de que al ser mayor el 
numerador que el denominador estas pueden ser divisibles y se van a crear 
enteros con fracciones. 
 
 
 
 
Por ejemplo: 
 
 
Ya que esto se puede descomponer como: 
 
 
 
 
FRACCIONES MIXTAS 
 
Las fracciones mixtas es otra manera de representar las fracciones impropias, 
y ?enen la caracterís?ca: 
 
Numerador > Denominador pero su representación está dada por enteros y 
fracciones. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
En este caso, el uso de fracciones mixtas va de la mano con las fracciones 
impropias, ya que como puedes observar en el ejemplo anterior, si tu pastel 
está dividido en 3 partes y son 4 amigos, vas a necesitar un pastel completo y 
una tercera parte de otro para que todos tengan su porción. 
 
 
 
CONVERSIÓN DE FRACCIONES 
 
En algunas ocasiones vamos a necesitar conver?r las fracciones para poder 
trabajar más fácilmente con ellas, por lo que en esta lección vamos a ver cómo 
se llevan a cabo algunas conversiones entre ellas. 
 
 
FRACCIONES EQUIVALENTES 
 
Las fracciones equivalentes son aquellas que representan el mismo valor 
numérico o can?dad pero están expresadas con otros números tanto en el 
numerador como el denominador, ejemplo: 
 
 
Son fracciones equivalentes porque si divido 3/4 me da el mismo resultado que 
dividir 12/16, esto es 0.75. Otra manera de saber si son equivalentes es 
mul?plicando el numerador de una por el denominador de la otra y viceversa, 
y si su resultado es el mismo entonces son equivalentes: 
 
 
 
Como los resultados son los mismos, podemos decir que las fracciones son 
equivalentes. 
 
Lo vemos en la recta numérica: 
 
 
Procedimiento para obtener fracciones equivalentes: 
 
FRACCIONES EQUIVALENTES DE MENOR A MAYOR 
 
Este primer proceso se u?liza cuando vamos a pasar de fracciones donde los 
valores son pequeños y debemos representarlos con valores mayores. 
 
El proceso para obtener una fracción equivalente a otra basta 
con mul?plicar un mismo valor tanto en el numerador como en el 
denominador. 
 
Ejemplo 1: 
 
 
Ejemplo 2: 
 
En este caso mul?plicamos por 2 el numerador y el denominador. 
 
 
 
Una fracción equivalente a es 
 
 
FRACCIONES EQUIVALENTES DE MAYOR A MENOR 
 
Este segundo proceso se u?liza cuando vamos a pasar de fracciones donde los 
valores son mayores y debemos representarlos con valores menores. 
 
El proceso para obtener una fracción equivalente a otra basta con dividir un 
mismo valor tanto en el numerador como en el denominador. 
 
 
 
CONVERSIÓN DE FRACCIONES MIXTAS E IMPROPIAS: 
 
En la lección anterior hablamos sobre las fracciones mixtas, las cuales 
están formadas por un entero y una fracción; por su parte una fracción 
impropia es aquella que el numerador es mayor que el denominador. 
 
CONVIRTIENDO UNA FRACCIÓN MIXTA A FRACCIÓN IMPROPIA 
 
Para conver?r una fracción mixta a fracción impropia, es necesario mul?plicar 
el denominador por el entero y sumar el numerador, dejando el mismo 
denominador de la fracción mixta en la nueva fracción impropia. 
 
Ejemplo 1: 
 
 
Ejemplo 2: 
 
 
 
CONVIRTIENDO DE FRACCIÓN IMPROPIA A FRACCIÓN MIXTA 
 
Para conver?r una fracción impropia a fracción mixta debemos dividir, el 
entero resultante será el cociente de la división, el residuo el numerador de 
la fracción y el divisor el denominador de la fracción. 
 
Ejemplo 1: 
 
 
Ejemplo 2: 
 
En este caso, si dividimos 109/9 = 12 (son los enteros) y va a sobrar 1 ya que 
9*12 = 108 y 109 - 108 = 1; por lo tanto este 1 corresponde a parte de la 
fracción. 
 
 
 
 
SUMA DE FRACCIONES 
 
La suma de fracciones se lleva a cabo dependiendo del ?po de fracción que se 
nos presente. 
 
SUMA DE FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS DE IGUAL DENOMINADOR 
 
La suma de fracciones más sencilla es aquella donde los denominadores de 
cada fracción ?enen en común el mismo número, ya que el proceso de la suma 
se basa en sumar los numeradores y dejar el mismo denominador. 
 
 
 
 
SUMA DE FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS DE DIFERENTES 
DENOMINADORES 
 
Para sumar fracciones de dis?nto denominador, debemos seguir 
el proceso que se indica a con?nuación: 
 
Encontrar el común denominador. 
 
Dividir el común denominador entre el denominador de cada una de las 
fracciones y mul?plicar el resultado de cada división por su correspondiente 
numerador. 
 
Anotar el resultado. 
 
Sumar todos los numeradores y escribir el denominador obtenido en el paso 
1. 
 
Ejemplo: 
 
Resolver la siguiente suma de fracciones: 
 
 
 
Pasos: 
 
1. Encontrar el común denominador: 
 
Cuando necesitamos encontrar el denominador común u?lizamos el 
procedimiento del Mínimo Común Múl?plo; este procedimiento se basa en 
encontrar todos números primos que mul?plicados entre ellos nos darán el 
nuevo denominador de la fracción resultante, que ?ene la par?cularidad de 
que es divisible de manera exacta por cada denominador de la suma de 
fracciones. 
 
Calculando el común denominador de la suma de fracciones anterior: 
 
 
En esta suma de fracciones el valor del nuevo denominador es 12 y los 
denominadores de la suma de fracciones son 2, 3 y 4. 
 
Si dividimos 12 entre cada denominador, nos daremos cuenta que en todos 
ellos el residuo es cero. 
 
Ahora nos toca: 
 
2. Dividir el común denominador entre el denominador de cada una de las 
fracciones. 
3. Mul?plicar el resultado de cada división por su correspondiente numerador.4. Anotar el resultado como se indica en la siguiente imagen: 
 
 
5. Sumar todos los numeradores y escribir el denominador obtenido al calcular 
el MCM. 
 
 
De manera general: 
 
 
 
SUMA DE FRACCIONES MIXTAS 
 
El procedimiento más sencillo para realizar sumas de fracciones mixtas es 
conver?r primero la(s) fracción(es) mixta(s) a impropia(s), tal como se explicó 
en la lección de conversión de fracciones, y posteriormente aplicar el proceso 
de Suma de fracciones propias e impropias de diferentes denominadores. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
SUMA DE FRACCIONES COMBINADAS 
 
En el caso de las fracciones combinadas se sugiere pasar las fracciones mixtas 
a impropias, y se lleva a cabo el mismo proceso: 
 
Ejemplo: 
 
 
RESTA DE FRACCIONES 
 
La resta de fracciones se lleva a cabo dependiendo del ?po de fracción que se 
nos presente. 
 
RESTA DE FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS DE IGUAL DENOMINADOR. 
 
La resta de fracciones más sencilla es aquella donde los denominadores de 
cada fracción ?enen en común el mismo número, ya que el proceso de la resta 
se basa en restar los numeradores y dejar el mismo denominador. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
RESTA DE FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS DE DIFERENTES 
DENOMINADORES 
 
Para restar fracciones de dis?nto denominador debemos seguir el proceso que 
se indica a con?nuación: 
 
Encontrar el común denominador (m.c.m). 
 
Dividir el común denominador entre el denominador de cada una de las 
fracciones y mul?plicar el resultado de cada división por su correspondiente 
numerador. 
 
Anotar el resultado. 
 
Restar todos los numeradores y escribir el denominador obtenido en el paso 
1. 
 
Ejemplo: 
 
Resolver la siguiente Resta de fracciones: 
 
 
 
Pasos 
 
1. Encontrar el común denominador. 
 
Cuando necesitamos encontrar el denominador común u?lizamos el 
procedimiento del Mínimo Común Múl?plo. 
 
Calculando el común denominador de la resta de fracciones anterior: 
 
En esta resta de fracciones el valor del nuevo denominador es 12, y los 
denominadores de la resta de fracciones son 2, 3 y 4. 
 
Si dividimos 12 entre cada denominador, nos daremos cuenta que en todos 
ellos el residuo es cero. 
 
Ahora nos toca: 
 
2. Dividir el común denominador entre el denominador de cada una de las 
fracciones. 
3. Mul?plicar el resultado de cada división por su correspondiente 
numerador. 
4. Anotar el resultado como se indica en la siguiente imagen. 
 
 
5. Restar todos los numeradores y escribir el denominador obtenido al 
calcular el MCM. 
 
 
33/12 
 
 
RESTA DE FRACCIONES MIXTAS 
 
El procedimiento más sencillo para realizar la resta de fracciones mixtas es 
conver?r primero la(s) fracción(es) mixta(s) a impropia(s), tal como se explicó 
en la lección de conversión de fracciones, y posteriormente aplicar el proceso 
de Resta de fracciones propias e impropias de diferentes denominadores. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
RESTA DE FRACCIONES COMBINADAS 
 
En el proceso de resta con fracciones combinadas solo es necesario pasar las 
mixtas a impropias y aplicar el procedimiento descrito en este documento. 
 
Ejemplo: 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES 
 
El producto o mul?plicación de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador 
es el producto de los numeradores, y su denominador el producto de los 
denominadores. 
 
 
En ocasiones los factores de las fracciones ?enen un signo nega?vo, y a la hora 
de mul?plicarlos afecta el signo del producto de la fracción resultante. 
 
Es importante mencionar que si la fracción no ?ene signo esta es posi?va, esto 
es (+). 
 
Cuando dos factores son de dis?nto signo, se aplica la ley de los signos que 
establece lo siguiente: 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES POR UN ENTERO 
 
Para mul?plicar fracciones donde una de ellas ?ene un entero, basta con 
conver?r ese entero en fracción, esto se hace poniendo un 1 como 
denominador del entero y realizar la mul?plicación directa (numerador por 
numerador y denominador por denominador) 
 
Ejemplo: 
 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIÓN POR UN NÚMERO MIXTO 
 
Para mul?plicar fracciones con números mixtos se recomienda pasar la 
fracción mixta a impropia y después realizar la mul?plicación de fracciones 
directa. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
DIVISIÓN DE FRACCIONES 
 
La división de dos fracciones es otra fracción que ?ene como numerador el 
producto del numerador del dividendo por el denominador del divisor, y cuyo 
denominador es el producto del dividendo por el numerador del divisor. 
 
 
 
MÉTODO DE PRODUCTOS CRUZADOS 
 
El primer método lleva un patrón de zig zag, ya que el numerador de cociente 
se ob?ene mul?plicando el numerador de la primera fracción por el 
denominador de la segunda, el denominador del cociente se ob?ene 
mul?plicando el denominador de la primera fracción por el numerador de la 
segunda. 
 
Ejemplo: 
 
 
MÉTODO DEL INVERSO 
 
Este método se caracteriza por inver?r la segunda fracción pasando el 
numerador a la posición del denominador y el del denominador al del 
numerador, y el cociente de la nueva fracción se obtendrá realizando la 
mul?plicación de numeradores y denominadores. 
 
 
LA LEY DEL "SANDWICH" 
 
La división por la ley del sandwich se u?liza comúnmente cuando llegamos a 
una representación de una división de una división. 
 
Ejemplo: 
 
Para resolver este ?po de divisiones se ob?ene el cociente de la nueva fracción 
mul?plicando los extremos de las fracciones, que será el numerador, y a su vez 
se mul?plican los medios, que será el denominador del cociente de la nueva 
fracción. 
 
Ejemplo: 
 
 
Si la división de fracciones ?ene números mixtos, se recomienda pasarlas 
primero a fracciones impropias, ejemplo: 
 
 
 
USO DE FRACCIONES EN ALGEBRA 
 
Las fracciones en álgebra se basan en los mismos conceptos de fracciones 
vistos anteriormente, sin embargo, es importante tener en consideración los 
aspectos de sumas, restas y mul?plicación de polinomios para comprender de 
lleno el proceso. 
 
 
 
SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON MISMO DENOMINADOR 
 
Las fracciones algebraicas con mismo denominador se trabajan igual que una 
fracción común pero debemos de tomar en cuenta que solo podemos sumar 
fracciones que tengan la misma(s) literal(es) y el mismo(s) exponente(s), esto 
se conoce como términos semejantes. 
 
 
Por lo tanto de acuerdo al ejemplo anterior podemos sumar 18/12 + 2/12, ya 
que estos ?enen términos semejantes, y como ?enen el mismo denominador 
solo sumamos los numeradores, dejando 1/12 solamente indicado, ya que no 
hay otra fracción que tenga la misma literal y mismo exponente que él. 
 
Ejemplo: 
 
 
SUMA DE FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR 
 
El proceso que se lleva a cabo en este caso es el mismo que se realiza en la 
suma de fracciones con diferente denominador, salvo que en este caso 
debemos seguir considerando que solamente se sumarán aquellas fracciones 
que ?enen los mismos términos semejantes. 
 
Ejemplo 1: 
 
Este ejemplo muestra cómo se realiza la suma de fracciones con diferentes 
denominadores y las variables que se encuentran en el numerador. 
 
 
Ejemplo 2: 
 
Suma de fracciones con diferente denominador y variables en el denominador. 
 
 
 
RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON MISMO DENOMINADOR 
 
Las restas de fracciones algebraicas con mismo denominador se trabajan igual 
que una fracción común, pero debemos tomar en cuenta que solo podemos, 
al igual que la suma, restar fracciones que tengan la misma(s) literal(es) y 
mismo(s) exponente(s). 
 
 
Por lo tanto, de acuerdo al ejemplo anterior podemos restar 20/9 - 4/9, ya que 
estos ?enen términos semejantes y como ?enen el mismo denominador solo 
restamos los numeradores, dejando 1/9 solamente indicado, ya que no hay 
otra fracción que tenga la misma literal y mismo exponente que él. 
 
Ejemplo: 
 
 
RESTA DE FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR 
 
El proceso que se lleva a cabo en este caso es el mismo que se realiza en la 
suma de fracciones con diferentedenominador, recordando que solamente se 
restarán aquellas fracciones que ?enen los mismos términos semejantes. 
 
Ejemplo 1: 
 
Este ejemplo muestra cómo se realiza la resta de fracciones con diferentes 
denominadores y las variables se encuentran en el numerador. 
 
 
Ejemplo 2: 
 
Resta de fracciones con diferente denominador y variables en el denominador. 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 
 
Antes de entrar a la mul?plicación algebraica es necesario recordar: 
 
 
LEYES DE LOS SIGNOS 
 
El uso de las leyes de signos, estas leyes nos dicen que al mul?plicar signos 
iguales nos da como resultado "posi?vo", si mul?plicamos signos diferentes el 
resultado es "nega?vo": 
 
 
 
LEY DE LOS EXPONENTES 
 
En el proceso de mul?plicar expresiones algebraicas se u?liza la ley de los 
exponentes, donde nos dice que al mul?plicar los términos, los exponentes de 
las mismas literales se suman. 
 
 
LEY DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN 
 
Esta ley nos dice que al mul?plicar la suma o resta de dos números por un 
tercero, esto se puede expresar como la mul?plicación del primer número por 
el tercero más o menos la mul?plicación del tercer número por el segundo, 
esto es: 
 
Sean a, b y c números cualesquiera, entonces: 
 
Ahora bien, el proceso de mul?plicación de fracciones algebraicas u?liza todas 
estas leyes antes descritas, además de que se basa en el mismo proceso de la 
mul?plicación de fracciones, donde la mul?plicación se hace directa, es decir, 
se mul?plica numerador por numerador y denominador por denominador. 
 
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS DE FRACCIONES 
 
La mul?plicación de monomios de fracciones es la más sencilla, sin embargo 
se hace uso de las leyes antes descritas. 
 
Ejemplo 1: 
 
 
Ejemplo 2: 
 
Este ejemplo muestra cómo se realiza la mul-plicación de monomios de fracciones cuando 
uno de ellos -ene signo nega-vo. 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE UN NOMONIO POR POLINOMIO DE FRACCIONES 
 
Para realizar la mul?plicación de monomio por polinomio es necesario aplicar 
la ley distribu?va, tomar en cuenta las leyes de los signos y la suma de 
exponentes de misma literal. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS DE FRACCIONES. 
 
Para mul?plicar polinomios de fracciones debemos seguir el mismo 
procedimiento de una fracción normal, pero en este caso debemos de aplicar 
la ley distribu?va para llevar a cabo el proceso, sin dejar pasar el uso de las 
leyes de signos y de la suma de exponentes de igual literal.