Didáctica

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DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
Una mirada internacional, empírica y teórica
La disciplina científica didactique des mathématiques (DdM) nació en Francia 
a mediados de la década de 1970; por lo menos, así fue llamada definitiva-
mente después de varios años de experiencias realizadas por Guy Brous-
seau y otros pioneros. Desde su nacimiento, se desarrollaron varias teorías, 
y hoy es casi imposible poder decir que se conocen con precisión todas y 
cada una de estas. Pero hay un aspecto que las acomuna: los problemas 
que se estudian en la investigación en DdM tienen origen en el aula, en los 
espacios de aprendizaje.
En este libro, la DdM convoca a estudiosos apasionados e investigadores 
comprometidos en este campo común, aunque traten teorías diferentes y no 
necesariamente aquellas que permitieron su nacimiento y evolución. Colegas 
y estudiosos en este sector ilustran los temas en los cuales están centrando 
sus investigaciones actuales para ofrecer a investigadores expertos, jóvenes 
investigadores, estudiosos, docentes que enseñan DdM o matemática en las 
universidades y en las escuelas un instrumento con una visión amplia.
DIDÁCTICA DE LA 
MATEMÁTICA 
Una mirada internacional, 
empírica y teórica 
Autores
GUY BROUSSEAU
Fundador de la disciplina científica didáctica de la matemáti-
ca. Medalla Felix Klein, otorgada por la International Commi-
sion on Mathematical Instruction (ICMI). Matemático y PhD en 
Didáctica de la Matemática. Las universidades de Montreal, 
Ginebra, Chipre, Córdoba y Palermo le han otorgado el título 
de doctor honoris causa.
BRUNO D’AMORE
Matemático, pedagogo y filósofo de la Universidad de Bolo-
nia. Especialización en Matemática Elemental desde un punto 
de vista superior. PhD en Mathematics Education de la Uni-
versidad Filósofo Constantino de Nitra (Eslovaquia). Doctor 
honoris causa en Ciencias Sociales y Educación de la Univer-
sidad de Chipre.
MARTHA ISABEL FANDIÑO
Licenciada en Matemática de la Universidad Pedagógica Na-
cional; especialista en Educación Matemática de la Univer-
sidad Distrital Francisco José de Caldas; PhD en Educación 
Matemática de la Universidad Filósofo Constantino de Nitra 
(Eslovaquia).
RAYMOND DUVAL
Profesor emérito de la Universidad del Litoral. Director de es-
tudios de la Academia de Lila, Francia. Ha consolidado su 
trayectoria investigativa en el Instituto de Investigaciones en 
Educación Matemática (IREM, de Estrasburgo).
GIORGIO BOLONDI
Matemático de la Universidad de Bolonia; doctor en Mate-
mática de la Universidad de Niza. Experto en evaluaciones 
estandarizadas tipo Saber y Pisa.
ATHANASIOS GAGATSIS
Matemático de la Universidad Aristotélica de Tesalónica (Gre-
cia). PhD en Didáctica de la Matemática de la Universidad 
Louis Pasteur de Strasbourg (Francia). Vicerrector de la Uni-
versidad de Chipre.
RICARDO CANTORAL
Doctor en Ciencias; realizó su posdoctorado en la Université 
Paris 7 (Francia). Es jefe del Departamento de Matemática 
Educativa en el Centro de Investigación y de Estudios Avan-
zados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN) de 
México.
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Bruno D’Amore
 Martha Isabel Fandiño Pinilla 
Compiladores
VICENÇ FONT
Doctor en Filosofía y Ciencias de la Educación de la Universitat 
Autónoma de Barcelona. Coordinador del Máster de Formación 
de Profesorado de Secundaria de Matemáticas de la Universitat 
de Barcelona y del grupo de investigación Análisis Didáctico en 
Educación Matemática.
FERDINANDO ARZARELLO
Matemático de la Universidad de Torino, Italia. Máster en Lógica 
Matemática de la Universidad de Ámsterdam. Profesor del Depar-
tamento de Matemática Giuseppe Peano de la Universidad de Tu-
rín. Es presidente del comité ejecutivo del International Congress 
on Mathematical Education (ICME).
JUAN DÍAZ GODINO
Licenciado en matemática en la Universidad de Madrid. Docto-
rado en Estadística. Profesor de Didáctica de la Matemática en 
la Universidad de Granada (España). Coordinador del grupo de 
investigación Fundamentos Teóricos y Metodológicos de la Inves-
tigación en Didáctica de la Matemática.
SALVADOR LLINARES
Licenciado en Matemática de la Universidad de Valencia (España) 
y doctor en Filosofía y Ciencias de la Educación de la Universidad 
de Sevilla (España). Director del Departamento de Innovación y 
Formación Didáctica de la Facultad de Educación de la Universi-
dad de Alicante.
LUIS CARLOS ARBOLEDA
Licenciado en Matemática y Física de la Universidad del Valle (Co-
lombia). Doctorado en Historia de las Matemáticas y su Ense-
ñanza, Centro Alexander Koyré y Escuela de Altos Estudios en 
Ciencias Sociales, París. Postdoctorado en Historia de las Cien-
cias, Madrid. Profesor emérito de la Universidad del Valle.
JOHN ALEXANDER ALBA
Ingeniero químico de la Universidad Nacional de Colombia y ma-
gíster en Pedagogía, Universidad de La Sabana (Colombia). Se ha 
desempeñado como profesor de matemáticas en secundaria y 
en la Facultad de Ingeniería y la Escuela Internacional de Ciencias 
Económicas y Administrativas de la Universidad de La Sabana.
9 789581 203710
ISBN 978-958-12-0371-0
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https://core.ac.uk/display/323264909?utm_source=pdf&utm_medium=banner&utm_campaign=pdf-decoration-v1
DiDáctica De la
matemática
Una mirada internacional, 
empírica y teórica
Bruno D’Amore
Martha Isabel Fandiño Pinilla
Compiladores
Reservados todos los derechos
© Universidad de La Sabana,
 Facultad de Educación
© Guy Brousseau
© Bruno D’Amore
© Martha Isabel Fandiño
© Raymond Duval
© Giorgio Bolondi
© Athanasios Gagatsis
© Ricardo Cantoral
© Vicenç Font
© Ferdinando Arzarello
© Juan Díaz Godino
© Salvador Llinares
© Luis Carlos Arboleda
© John Alexander Alba
Primera edición - septiembre de 2015
EISBN: 978-958-12-0372-7
400 ejemplares
Impreso y hecho en Colombia
Universidad de La Sabana
Dirección de Publicaciones
Campus del Puente del Común, 
Km 7 Autopista Norte de Bogotá
Chía, Cundinamarca, Colombia
Tel. (57-1) 8615555 Ext. 45001
www.unisabana.edu.co
publicaciones@unisabana.edu.co
Dirección de Publicaciones 
Universidad de La Sabana
Coordinación editorial
Hernando García Burgos
Corrección de estilo 
Kilka Diseño Gráfico
Pauta de colección
Juan Pablo Rátiva González
Diagramación y montaje
Xpress Estudio Gráfico y Digital S.A.
Impresión
Hecho del depósito que exije la ley
Congreso Internacional Didáctica de la matemática. Una 
mirada epistemológica y empírica (2015 Sept. 9-11 : 
Santa Marta, Colombia), autor
 Didáctica de la matemática : una mirada internacional, 
empírica y teórica / Congreso Internacional ; compiladores 
Bruno D’Amore y Martha Isabel Fandiño Pinilla. – Chía: 
Universidad de La Sabana, 2015.
 286 p. ; 24 cm. (Colección Investigación)
 
 Incluye bibliografía
 
 EISBN: 978-958-12-0372-7
 1. Matemáticas – Enseñanza – Congresos, 
conferencias, etc. 2. Matemáticas – Historia – Congresos, 
conferencias, etc. 3. Filosofía de las matemáticas – 
Congresos, conferencias, etc. 4. Pedagogía – Congresos, 
conferencias, etc. I. D’Amore, Bruno, coordinador II. 
Fandiño Pinilla, Martha Isabel, coordinador III. Universidad 
de La Sabana (Colombia) IV. Tít.
 CDD 510.71 CO-ChULS
Los contenidos de este libro son los textos 
completos de las conferencias dadas por los 
conferencistas invitados al Congreso Inter-
nacional Didáctica de la Matemática. Una 
Mirada Epistemológica y Empírica, efectua-
do en Santa Marta (Colombia), del 9 al 11 de 
septiembre de 2015, organizado por Bruno 
D’Amore y Martha Isabel Fandiño Pinilla por 
petición de la Universidad de La Sabana.
7
Contenido
pág.
9 Prólogo
 Bruno D’Amore y Martha Isabel Fandiño Pinilla
13 Peregrinaciones en la didáctica de las matemáticas
 Guy Brousseau
29 Desarrollo de competencias profesionalesde profesores 
de matemáticas en ejercicio: una propuesta de formación 
desde la reflexión sobre la práctica
 John Alexander Alba
49 Objetividad matemática, historia y educación matemática
 Luis Carlos Arboleda
79 En la búsqueda de las raíces culturales y cognitivas de 
conceptos matemáticos
 Ferdinando Arzarello
109 Transformar la evaluación estandarizada en evaluación 
formativa
 Giorgio Bolondi
121 Socioepistemología de la variación y el cambio
 Ricardo Cantoral
133 Antecedentes ilustres de la paradoja cognitiva de Duval
 Bruno D’Amore
159 Cuestionamientos sobre la “elección” y utilización de 
teorías en Mathematics Education
 Raymond Duval
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183 Una fórmula para medir objetivamente la dificultad de los 
estudiantes en la comprensión de un texto matemático. 
Uso con fines evaluativos didácticos
 Martha Isabel Fandiño Pinilla
215 Competencias profesionales para el desarrollo y la 
evaluación de competencias matemáticas en alumnos 
de secundaria
 Vicenç Font
231 Explorando el rol de las figuras geométricas en el 
pensamiento geométrico
 Athanasios Gagatsis
249 Articulación de la indagación y trasmisión de 
conocimientos en la enseñanza y el aprendizaje 
de las matemáticas
 Juan Díaz Godino
271 El desarrollo de la competencia docente “mirar 
profesionalmente el aprendizaje de las matemáticas”. 
Algunas características en la formación inicial de 
profesores de matemáticas
 Salvador Llinares
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Prólogo
Se puede afirmar que la disciplina científica Didactique des Mathématiques 
(DdM) nació en Francia a mediados de la década de 1970; por lo menos, 
así fue llamada definitivamente después de varios años de experiencias rea-
lizadas por Guy Brousseau y otros pioneros. Fueron diversas las traduccio-
nes a diferentes idiomas y también numerosas las interpretaciones. Desde 
su nacimiento, que fue fundamental en la definición de investigación de 
todos nosotros, se desarrollaron varias teorías, tanto que hoy es casi impo-
sible poder decir que se conocen con precisión todas y cada una de estas.
Pero encontramos un aspecto que las acomuna, desde el exordio: los 
problemas que se estudian en la investigación en DdM tienen origen en el 
aula, en los espacios de aprendizaje; ya sea que en los diversos niveles esco-
lares se hable del aprendizaje de los estudiantes, de la presencia continua 
de la semiótica en el proceso de enseñanza-aprendizaje, del recurso a los 
software geométricos o a las tecnologías de información y comunicación 
(TIC), de formación de competencias, de formación de los docentes, de 
ambientes de situaciones oportunas para el aprendizaje, … Siempre el pro-
blema de partida es un problema de aula.
Las ramificaciones actuales de la DdM, sus polos de investigación, las 
modalidades de dicha disciplina (siempre más sofisticadas), la capacidad 
analítica de los investigadores de hoy parecen innumerables, al menos con 
respecto a los temas alrededor de los cuales vimos nacer la DdM.
Sin embargo, la disciplina es, debería ser, podría ser única; una dis-
ciplina científica, digna de este calificativo, codificada académicamente en 
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las diferentes sedes universitarias, en las diferentes revistas de investigación. 
Una vasta cantidad de investigadores y de docentes comparten las mismas 
ideas, las discuten, las contradicen, leen las mismas revistas, frecuentan los 
mismos congresos; en fin, existe una evidente y fuerte comunidad que de-
sarrolló un lenguaje y que lo comparte.
Paralelamente a la disciplina científica DdM, fluye, vive, prospera una 
especie de “instrumentario” de buenas prácticas, muchas veces sin funda-
mento científico, la creación de instrumentos por lo general ilusorios con 
los cuales los inventores prometen milagros; aún hoy encontramos centros 
de estudio de un cierto prestigio que ignoran la DdM como disciplina, 
desconocen su nacimiento, su evolución histórica, la confunden con un 
discutible sentido común que se desarrolla con la experiencia; confunden 
la DdM con la propensión a usar métodos y materiales que se presentan 
como panaceas. El hecho es que la palabra didáctica puede en todos los 
idiomas ser al mismo tiempo sustantivo y adjetivo, y esto no ayuda. Fre-
cuentando diversos países, varios centros de estudio, hemos constatado que 
medio siglo después del nacimiento de la disciplina científica DdM es ne-
cesario hacer el punto, reunimos a aquellos colegas que han sabido aportar 
a la investigación científica contribuciones notables.
Por esto, obstinada y afectuosamente insistimos con Guy Brousseau a 
fin de que nos hablara de los orígenes de nuestra ciencia, ya que no todos 
conocen las circunstancias que dieron origen a la DdM y esta puede ser 
una ocasión fantástica para conocerlos. En la base de todas las creaciones 
científicas o artísticas siempre hay un ser humano, en ocasiones un pre-
ciso ser humano; cuando los orígenes de estas creaciones se pierden en el 
tiempo, la identificación de este primer artífice se torna difícil o imposible. 
En ocasiones, el nacimiento de una teoría está ligado a luchas, a tomas de 
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posiciones, a capacidades analíticas o de intuiciones, en ocasiones se debe 
luchar a contracorriente. ¿Qué habría sucedido con la raíz de un número 
negativo si Rafael Bombelli no hubiera decidido aceptarlas como quantità 
silvestri (cantidades salvajes), introduciendo las unidades complejas più di 
meno y meno di meno (más de menos, menos de menos), que más tarde 
René Descartes las introduciría con la expresión números imaginarios? Hu-
biéramos pasado a descartar las raíces de los radicandos negativos conside-
rándolos objetos sin sentido. Debemos al coraje fantasioso e innovador de 
Bombelli la creación de los números imaginarios primero y de los números 
complejos después.
Es necesario tener una fantasía potente y estar dispuestos a luchar 
contra el establishment en la defensa de una propia idea, en la cual verda-
deramente se cree. ¿Qué habría sido de la DdM si Brousseau no hubiera 
decidido luchar contra la New Mathematics, contra el enfoque de las es-
tructuras algebraicas de los años setenta, contra aquellos que parecían ser 
en ese entonces los potentes dominadores de las propuestas innovadoras en 
el campo de la enseñanza de la matemática, Zoltan Dienes, Georges Papy, 
para mencionar ¿solo un par de ejemplos?
Queremos recordar que en aquellos tiempos nunca hubiéramos pen-
sado que los estudios sobre la enseñanza-aprendizaje de la matemática pu-
dieran un día constituir una disciplina científica objeto de enseñanza en la 
universidad, incluso en los departamentos de matemática; o que pudieran 
un día existir doctorados de investigación con este nombre. Si se hubiera 
continuado en la dirección de la moda de entonces, nunca habría nacido 
una disciplina científica, lo cual estaría agravado por el hecho de que todo 
esto se confundía con la pedagogía y con ciertos aspectos de la psicología. 
(En honor a la verdad, esta confusión prosigue aún hoy en algunos centros).
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Pero, después de la revolución surgida en Francia a partir de los años 
setenta, todo el mundo se organizó alrededor de este nuevo saber científico, 
al punto de tomarse la libertad de producir muchas y diversas teorías que 
tienen en común el interés por el estudio del aprendizaje de la matemática, 
aunque con innumerables facetas.
Si hoy estamos aquí, estudiosos apasionados e investigadores compro-
metidos en este campo común, es gracias al nacimiento de esta disciplina, la 
DdM, lo debemos recordar siempre, aunque cultivamos teorías diferentes y 
no necesariamente aquellas que permitieron su nacimiento, su evolución.
Hemos recurrido a losamigos y colegas investigadores en este sector 
de estudio, pidiéndoles ilustrar los temas en los cuales están centrando sus 
investigaciones actuales, para ofrecer a los investigadores expertos, a los 
jóvenes investigadores, a los estudiosos, a los colegas que enseñan DdM o 
matemática en las universidades y en las escuelas un instrumento con una 
visión amplia.
Esperamos que este esfuerzo sea apreciado por la comunidad. Los re-
latores posibles son centenares porque cada día son siempre más los inves-
tigadores válidos que se han comprometido en este campo. Pero debemos 
limitarnos, a nuestro pesar, a pocos nombres, dada la brevedad del encuen-
tro. Quizá si la experiencia previsora promovida por la Universidad de La 
Sabana continúa, podremos tener la ocasión de proponer otros investiga-
dores y proseguir en el análisis de puntos de investigación diversos entre sí.
Bruno D’Amore
Martha Isabel Fandiño Pinilla