Evolução da Geometria

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TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE VALLE DE BRAVO 
CARRERA: ARQUITECTURA 
MATERIA: GEOMETRIA DESCRIPTIVA
CATEDRATICO: ARQ. JOSE ALFREDO HERNANDEZ VAZQUEZ
ALUMNO: OLIVARES RAMIREZ RENE ESTEBAN 
INVESTIGACION DEL TEMARIO GEOMETRIA DESCRIPTIVA 
TURNO: VESPERTINO 
TEMARIO 
UNIDAD 1 
 TEMA: EVOLUCION DE LA GEOMETRIA DESCRIPTIVA Y SUS APLICACIONES ACTUALES 
1.1: EVOLUCION HISTORICA DE LA GEOMETRIA 
Para el surgimiento y desarrollo de la Geometría, como una disciplina matemática, fue necesario que se acumularan resultados de carácter empírico y que se desarrollara el comercio y la comunicación hasta que apareciera la necesidad de acumular todos aquellos resultados y métodos en teorías independientes, es decir, que existiera una relación dialéctica entre los factores internos y externos.
En la Geometría, como en las demás ciencias, se debe destacar el papel de la practica, la cual explica la naturaleza socio histórica del conocimiento y sus nexos con la realidad.
 La actividad matemática en general, y en particular la actividad geométrica, esta doblemente ligada a la realidad concreta: en el seno de esta se forman los primeros eslabones de la cadena de conceptos geométricos; y se retorna a la practica, a la postre, en las aplicaciones de estos a las demás ciencias y a la técnica.
La Geometría como ciencia a lo largo de todos estos siglos ha contribuido al desarrollo de la sociedad, pues los conocimientos geométricos se han aplicado en la obra constructiva y cultural de la humanidad, se pueden citar los ejemplos de las famosas construcciones de la antigüedad y del Renacimiento; ha influido en el desarrollo urbano alcanzado por las civilizaciones, resolviendo de esta forma problemas científicos y sociales. Se pueden citar diferentes periodos en el desarrollo de la Matemática, en particular, A. N. Kolmogorov, divide el desarrollo de la Matemática en cuatro periodos:
1. Surgimiento de la Matemática (hasta el siglo VI a.n.e.).
2. Matemática Elemental (desde el siglo VI a.n.e. hasta el XVI).
3. Matemática de las magnitudes variables (desde el siglo XVII hasta mediados del XIX).
4. Matemática Contemporánea (a partir de 1870 aproximadamente).
Probablemente, el primero que obtuvo un concepto claro sobre una Geometría distinta a la de Euclides fue Karl Friedrich Gauss (1777-1855), el más grande matemático del siglo XIX y quizás de todos los tiempos. Gauss estudio durante 40 años la teoría de las paralelas y después de muchas reflexiones formulo una nueva Geometría que llamo no euclidiana y comenzó su desarrollo.
Los documentos que permitieron una reconstrucción aproximada de las investigaciones gaussianas sobre la teoría de las paralelas son la correspondencia de Gauss con F. Bolyai, Olbers, Schumacher, Gerling, Taurinus y Bessel; dos pequeñas notas en Gottgelehrte Anzigen (1816-1822) y algunos apuntes encontrados entre sus cartas en 1831. Revisando las cartas de Gauss se pudo fijar como fecha de partida de sus meditaciones sobre la teoría de las paralelas el año 1792. El segundo periodo en el estudio de la teoría de las paralelas es después del 1813, ilustrado principalmente por algunas cartas dirigidas a Wachter en 1816, a Gerling en 1819, a Taurinus en 1824 y Schumacher en 1831 y por los apuntes encontrados en las cartas de Gauss.
Todos estos documentos muestran que a partir de aquí Gauss obtuvo algunos de los teoremas fundamentales de la nueva Geometría, que ´el llamo primero antieuclideana, después Geometría Astral y finalmente No-Euclidiana. Sin embargo, Gauss no dejo traslucida sus ideas por temor a no ser comprendido; solo a algunos amigos ´íntimos confió algo de sus investigaciones y cuando por necesidad se vio obligado a escribir a Taurinus en 1824, le ruega que guarde en silencio sobre las comunicaciones que le hace.
Pero además, el llamado “Príncipe de las Matemáticas” no publico sus resultados por temor a la critica del mundo matemático de aquella ´época y el golpe que una tal Geometría significaba para las concepciones filosóficas imperantes, el Kantismo, su creador Emmanuel Kant (1724-1804). Este filosofo, sostenía la doctrina de que la Geometría Euclidiana es inherente a la naturaleza del mundo físico. Así, mientras Plato decía que solo Dios hacia Geometría, Kant afirmaba que Dios hace Geometría de acuerdo a los Elementos de Euclides.
Efectivamente, Gauss evito las criticas y después de su muerte, solo encontraron en sus papeles fragmentos aislados, esbozos de las proposiciones primeras de la Geometría No-Euclidiana. Estos fragmentos figuran en el tomo VIII de sus obras; es suficiente revisarlos para constatar hasta que punto es insignificante esa herencia del matemático alemán con respecto a las obras de Lobatchevski (Kagan, 1984).
Similares resultados obtuvo Janos bolyai (1802-1860) en 1832 después de 10 años de trabajo. Janos estudio las consecuencias que se derivan de negar el V Postulado, suponiendo que no existe ninguna paralela o que existe más de una. La primera hipótesis se pudo rechazar fácilmente, como lo había sido la hipótesis del ´ángulo obtuso de Saccheri; fue la segunda hipótesis la que condujo a Bolyai a una nueva e interesante Geometría derivada del ´ángulo agudo de Saccheri. Sin embargo, los puntos de vista de Bolyai y Saccheri son distintos por completo: cuando Saccheri se hallaba convencido de que encontraría una contradicción si llegaba suficientemente lejos en su estudio, Bolyai sabia que estaba desarrollando una nueva Geometría.
Este matemático húngaro escribió, en 1832, en un apéndice de 26 paginas los resultados de sus investigaciones sobre la nueva Geometría, y que junto a su padre publicaron en el trabajo titulado “Tentamen” en dos tomos, de ahí que el nombre con el cual pasó a la historia fuera Appendix. Luego que Bolyai obtuvo la Geometría No-Euclidiana, su padre escribió a Gauss con el objetivo de que el ”Príncipe de las Maten áticas” diera su opinión con respecto al trabajo del hijo. Al conocer el trabajo del joven Bolyai, Gauss lo calificaría como”genio
geométrico de primera magnitud” pero le respondió a Farkas que no podía dictaminar dicho trabajo puesto que eso equivaldría a alabarse ´el mismo.
1.2 : APLICACIÓN DE LA GEOMETRIA EN LA EDIFICACION
La geometría descriptiva fue adquiriendo importancia ante la necesidad de unificar de manera universal la forma de describir y así mismo plasmar el modo creativo e imaginativo del arquitecto. Primero se narra la manera en que la geometría descriptiva fue surgiendo a través de la historia y haciendo mención de quienes lo hicieron posible. Posteriormente hablaremos de cómo fue logrando un lugar importante como ciencia y por tanto tomando un papel dentro de la enseñanza, haciendo mención de los usos y ventajas que dicha ciencia tiene dentro de la construcción.La geometría es la ciencia que permite medir la tierra. La geometría descriptiva, es una parte de las matemáticas que estudia los cuerpos en el espacio por medio de sus proyecciones. Los hechos demuestran que el uso de las proyecciones era conocido desde muy remotas épocas. Se tienen noticias sobre trazo de elementos a fines del siglo XVI en la obra de Filiberto de I’Orme y un poco después en la obra de Jousse titulada secretos de la arquitectura. Euclides en el siglo III a.C. y Gaspard Monge en el siglo XVIII hicieron la recopilación de las conceptos y procedimientos geométricos utilizados para la elaboración de obras, siendo Mongue quien los organizo en la forma como se conocen a la fecha, por lo que se le conoce como el creador de la geometría descriptiva. Sistematizo métodos auxiliares para facilitar la resolución de problemas que antiguamente eran difíciles de resolver, debido a que cada constructor utilizaba su propio método, y de manera empírica y aproximada.
Gaspard Mongue fue quien llevo los procedimientos gráficos empleados hasta el momento, a consideraciones geométricas más abstractas y a principiosmás simples. Logrando reducir esa serie de trazos complicados a sencillas combinaciones de líneas, creando así la geometría de scriptiva en sus dos aspectos: racional o especulativo y técnico práctico.
Es necesario dar cuenta de que esta nueva disciplina en sus dos grandes aspectos, especulativo y practico, permitiendo por una parte su elevación a la geometría moderna y por otro lado, se extienda y se difunda en el campo de la cultura general con un sentido de aplicación múltiple dándole utilidad en todas las actividades constructivas. Teniendo como instrumento el dibujo constructivo elemental, el cual adquiere autonomía debido a su lenguaje original y universal.
Después de Mongue hubo otros privilegiados talentos en esta rama como Hachette, Leroy, de la Cournerie, Gergonne, Chasles, Steiner, Staud, pero especialmente Poncelet, quien crea la “Geometría Proyectiva”. Geometría descriptiva en la escuela. A mediados del siglo XVIII se inicia la enseñanza de las proyecciones aplicadas a la fortificación, permitiendo así establecer verdaderos elementos para una nueva ciencia. Geometría descriptiva. Que es algo que no debemos perder de vista, pues la Geometría Descriptiva ha sido y es una materia que se ‘desenfoca’ con facilidad. De entrada parece bueno volver a recordar, como se ha señalado anteriormente, que su docencia se ha de concebir, como la del resto de las disciplinas gráficas, estrechamente ligada al desarrollo del proyecto, entendido como expresión representada de una arquitectura imaginada. De ahí se sigue que deberá estar engarzada dentro del proceso de ‘formación para la creación’ que debe procurar la carrera de arquitecto. Así como que su programa, objetivos y desarrollo tendrán lógicamente que entenderse en la línea del proceso de aprendizaje de la tarea proyectual, en la que cumple una misión propia e insustituible, estrechamente vinculada al dominio de las formas.
Frente a la Geometría Descriptiva ‘representativa’ de Taibo o la ‘constructiva’ de Hohemberg, como las califica Sánchez Gallego, me atrevería a plantear la necesidad de una orientación ‘imaginativa’ para la formación geométrica, con la que se busque, por encima de todo, desarrollar la capacidad de ‘moldear’ y controlar el espacio en la mente, orientada hacia la búsqueda y fruición de la ‘transparencia virtual’ planteada por Kepes, de ‘interpenetración sin anulación óptica’.
“Cuando se ven dos o más figuras superpuestas parcialmente, dirá él, de modo que cada una reivindica para sí la parte que les es común, nos encontramos frente a una contradicción de dimensiones espaciales. Para resolver esa contradicción es necesario admitir la existencia de una nueva cualidad óptica. Las figuras están dotadas de transparencia. Es decir están en condiciones de interpenetrarse sin anularse ópticamente. Pero la transparencia supone algo más que esta simple cualidad óptica; implica una ordenación espacial más amplia. La transparencia significa percibir simultáneamente diversos niveles espaciales”. Que, por lo que a las operaciones gráficas se refiere, es algo que se manifiesta y alcanza máximamente en el proceso de cálculo y representación de las sombras de la arquitectura. Como reflejo gráfico de lo que sucede en la realidad que representan, en la que “los rayos de luz que la cubren pueden interpenetrarse, la luz aumenta la luz, la sombra acentúa la sombra”.
Una consideración moderna de la Geometría Descriptiva no puede olvidar que la concepción de la arquitectura en razón de su contenido espacial es algo que pertenece precisamente a nuestro siglo; y aun dentro de él, en el plano teórico, a su segunda mitad. Por eso, ya que el espacio propiamente no se puede representar, sino sólo por medio de aquello que lo conforma y delimita, es necesario poner en ejercicio las cualidades intelectuales mediante las que podamos imaginar simultáneamente, y por tanto representar, de uno u otro modo, esas formas limitantes —reales o virtuales—, que nos permitirán ‘ver’ el espacio ‘en la mente’ (visión espacial). De esta definición preliminar surgen las líneas maestras que deberán orientar su contenido, así como los fines de la materia, perfilándose de modo claro los dos campos fundamentales en los que Geometría Descriptiva deberá contribuir a la preparación para el ejercicio de la creación arquitectónica.
UNIDAD 2: proyecciones en el espacio
2.1 formación del sistema de proyección ortogonal 
Proyección ortogonal se denomina al sistema de proyección en donde todos los rayos proyectantes son perpendiculares al plano de proyección. Consiste en representar cada uno de los lados del objeto por separado, para detallar y dimensionar debidamente. También es conocida como proyección Diédrica.Vista Ortogonal
Objeto
Líneas de proyección paralelas
Plano de Proyección
Observador
Para determinar las vistas ortogonales situamos un observador según las seis direcciones indicadas por las flechas, obtendríamos las seis vistas posibles de un objeto, en sus formas y dimensiones exactas.
Estas vistas reciben el nombre de: 
Vista A: Vista Frontal o Alzado
Vista B: Vista Superior o planta
Vista C: Vista derecha o lateral derecha
Vista D: Vista izquierda o lateral izquierda
Vista E: Vista inferior
Vista F: Vista posterior 
Sistemas de Proyección de vistas Ortogonales
En el campo del dibujo técnico existen dos sistemas que normalizan las disposiciones de las vistas ortogonales.
La diferencia estriba en que, mientras en el sistema Europeo, el objeto se encuentra entre el observador y el plano de proyección, en el sistema Americano, es el plano de proyección el que se encuentra entre el observador y el objeto
 EUROPEO Sistema ISO.(S. Europeo)
Sistema ASA.(S. Americano)
 AMERICANO
En la proyección ortogonal, existe una correspondencia obligada entre las diferentes vistas, se dibujan al mismo nivel de correspondencia. Así estarán relacionadas:
a) La vista Frontal, superior, la vista inferior y la vista posterior, coincidiendo en anchuras.
b) La vista Frontal, la vista lateral derecha, la vista lateral izquierda y la vista posterior, coincidiendo en alturas.
c) La superior, la vista lateral izquierda, la vista lateral derecha y la vista inferior, coincidiendo en profundidad.
2.2 ELEMENTOS BASICOS EN EL ESPACIO Y EN MONTEA
La recta nos muestra una dimensión ó una dirección y por esta razón, cobra importancia sus cualidades "relativas". Cuando decimos relativas nos referimos a posiciones o relaciones con algún elemento ubicado en el espacio. Dado su carácter unidimensional solo puede relacionarse el ángulo formado con otra línea o plano, por lo que existen posiciones relativas a lo Planos de Proyección o relativas a otras Rectas o Planos. Además la línea, sea o no recta, nos puede servir como eje y dirección.
POSICIONES RELATIVAS DE LAS RECTAS 
HORIZONTAL. 
Se presenta paralela al PPH y en posición oblicua a los planos PPV y PPF. Su proyección vertical es una recta paralela a LT ya que todos los puntos pertenecientes a ella tienen la misma cota. Jamás toca o intercepta al PPH (NO TIENE TRAZA HORIZ.). 
Cuando se analizan las coordenadas de sus puntos observamos que el valor COTA es una constante. DE PUNTA. 
Se presenta paralela al PPH y al PPF; por lo que es perpendicular al PPV. Su 
Proyección vertical se presenta como un punto. En cambio su proyección horizontal es una recta perpendicular a LT. Presenta la misma proyección que la Recta Horizontal en el PPF, y sólo tiene traza en el PPV (Jamás intercepta a los PPH y PPF). Al analizar las coordenadas de sus puntos observamos que los valores de COTA y MARGEN ó 
PROFUNDIDAD son constantes entre si. 
FRONTO-HORIZONTAL. 
En pocas palabras es una recta paralela a LT, por lo tanto es también paralela a PPH y PPV; siendo perpendicular a PPF. Las proyecciones horizontales y verticales se presentan como rectas paralelas a LT, y en el PPF su proyección es sólo un punto.Solamente puede interceptar PPP o PPF. FRONTAL. 
Es una recta paralela al plano vertical, pero presenta inclinación hacia el PPH y el PPF. Su proyección horizontal se presenta como una recta paralela a LT; la proyección de perfil aparenta una recta vertical. Jamás intercepta al PPV (NO TIENE TRAZA VERTICAL). El análisis de las coordenadas de sus puntos nos permite concluir que los valores de ALEJAMIENTO son una constante. VERTICAL. 
Básicamente es una recta perpendicular al PPH, por lo tanto paralela a los PPV y PPF. La proyección vertical y de perfil se presentan como rectas perpendiculares a LT, y en su proyección horizontal nada más es un 
Punto. El único plano que intercepta es al PPH (SOLO TIENE TRAZA 
HORIZONTAL). En el análisis de coordenadas vemos que los valores de 
ALEJAMIENTO son una constante, así como los valores de MARGEN ó 
PROFUNDIDAD. De PERFIL. 
Es toda recta paralela al PPF y oblicua a los PPV y PPH. Presenta sus 
Proyecciones horizontales y verticales como rectas perpendiculares a LT.hado que es una recta que presenta su verdadera magnitud (V.M.) en el PPF los ángulos respecto a los PPH y PPV se muestran aquí. A excepción de esta recta y la próxima a describir en todas las demás no es necesario recurrir al PPF, y este sólo se recomienda usarse como plano auxiliar, en especial cuando el elemento estudiado presenta paralelismo con éste. Cuando estudiamos las coordenadas de los puntos de la recta que nos ocupa observaremos que todos ellos tiene una constante: el MARGEN ó PROFUNDIDAD.
LA MONTEA ó FIGURA DESCRIPTIVA 
Se denomina figura descriptiva o montea a aquella representación bidimensional que representa los planos de proyección. En realidad no presenta una verdadera figura espacial, sino más bien se trata de un "desplegado" de los Planos de Proyección. Es un recurso para representar en papel, dibujo bidimensional, la figura volumétrica o espacial. 
Las proyecciones isométricas, ortogonales a 45 ó axonométricas (o incluso perspectivas) no son más que simulaciones de lo que vemos en realidad, y difícilmente podemos controlar en estos dibujos la escala, la proporción y verdaderas magnitudes de los objetos allí representados. En cambio la figura descriptiva si puede ser utilizada para obtener información con suficiente precisión que requiere la Ingeniería, y solamente puede ser sustituido en precisión y recursos de manipulación del dibujo por medio del uso de computadoras y poderosos programas ó "software" tipo CAD 3D. Por el momento no existen disponibles en el mercado programas CAD que le permitan a un usuario que no tenga los conocimientos básicos de Geometría Bi y Tridimensional para que pueda manipularlos. Por ejemplo el Auto CAD requiere de un alto conocimiento de geometría y mucho tiempo y esfuerzo para dominar lo básico del dibujo bidimensional. Por otra parte otro poderoso software, MicroStation, Vector Works y GeoCALC requieren conocimientos de trigonometría y topografía, incluso de geodesia. Todos los programas mencionados son para uso profesional en ingeniería y arquitectura, que se popularizan cada vez más, pero requieren mucho entrenamiento a pesar de lo que diga la publicidad en las revistas especializadas. 
 La Figura Descriptiva, como lo expresamos anteriormente, es un desplegado de varios planos ortogonales. Imaginemos que desarmamos una caja de cartón, desdoblando las diversas caras que la componen, a tal punto de que llegamos a obtener todas las caras en un solo plano. Si regresamos a la figura 2 vemos que el plano vertical y horizontal son perpendiculares entre si, que se encuentran unidos o interceptados por 
LT. Si ocupamos LT como eje y giramos hasta alcanzar la horizontalidad, el Vertical se confundirá con el plano Horizontal.
Por lo tanto todos aquellos elementos que se encuentren reflejados o no en el plano Vertical son "arrastrados" en este giro y se confundirán con el plano Horizontal. De esta manera tenemos PPH y PPV dibujados como un mismo plano. Si tomamos en cuenta también el plano PPF ó PPP este primero giraría, como lo hace una puerta, hasta ponerse a la par de PPV, y luego ambos se pliegan hacia PPH 
UNIDAD3: INTERSECCIONES
 3.1 VISIBILIDAD EN MONTEA 
El sistema usual de proyección es el cilíndrico recto llamado también ortogonal. 
Para servirnos de él suponemos el espacio geométrico definido en tres sentidos: alto, ancho y alejamiento mediante tres ejes rectos OX, OY, Oz. Perpendiculares entre sí que pasan por un punto común “O” llamado origen, Estos tres ejes determinan tres planos que forman entre sí ángulos rectos. Estos tres planos se reconocen con los siguientes nombres: Plano Vertical (PV) XOZ, Plano Horizontal (PH) XOY, Plano Lateral (PL) ZOY. La línea OX en que se unen el vertical y el horizontal se denomina LÍNEA DE TIERRA (LT). 
 La montea se representa en tres proyecciones o planos y prescinde del objeto en espacio y haciendo abstracción de él, extendemos los tres planos para verlos en dos dimensiones. 
 Conservamos el plano vertical en su lugar, en seguida separando el horizontal del lateral por la línea OY, hacemos girar el primero sobre OX y el segundo sobre OZ hasta hacerlos coplanares con el vertical, pudiendo entonces representarse los tres planos en uno solo. Se obtiene de esta manera la montea, que representa el espacio. 
 Así loa montea representa al objeto de estudio por sus proyecciones: vertical ubicada en plano vertical mediante alto y ancho, horizontal en el plano horizontal por ancho y alejamiento y lateral en el lateral por alejamiento y alto. La intersección de los dos planos se llama línea de tierra (LT)
3.2 INTERSECCION DE PLANOS POR RECTAS 
Figura 24
La intersección de dos planos α y β es una recta i, definida por dos puntos. Esta recta  puede ser propia o impropia en el caso de que los planos sean paralelos entre si.
Consideremos en el espacio dos planos oblicuos α yβ, dados por su línea de máxima pendiente, r’ y s’.Figura 24. La intersección del plano α con el plano del cuadro п será la traza α1. La intersección del plano β con el plano п será la traza β1. El punto 0, pertenecerá a los tres planos y por tanto será un punto de la intersección que se busca. Otro punto cualquiera se halla trazando dos horizontales de plano cualquiera.
Si los planos tienen la misma pendiente, el intervalo será el mismo. En este caso la intersección de los plano será la bisectriz del ángulo formado por las trazas del plano.
Figura 25
Para hallar la intersección en el plano, bastará con unir los puntos de intersección de dos de las horizontales de planos de la misma cota.  En la Figura 25 será la recta i’ que une los puntos de cota5 y 3.
1.2. Intersección de dos planos cuyas trazas son paralelas. Planos paralelos.
La línea de máxima pendiente será paralela en proyección. En la figura 26, tenemos los planosα y β en el espacio. Al abatirlos sobre el cuadro las l.m.p.  q’ y p’ quedaran paralelas, su intersección también será paralela a las horizontales de plano. Por lo tanto conociendo un solo punto es suficiente para obtener la intersección de dos planos.
Figura26
Para obtener el punto de intersección en el plano, basta con unir dos parejas de puntos homólogos, (igual cota). Por el punto de intersección de ambas rectas pasara la intersección de los planos P’ (2,71). Punto que como puede observarse pertenece a ambos planos. Figura 27.
Figura 27
Este ejercicio se puede resolver, por medio del abatimiento de los planos.
Se cortan ambos planos por otro γoperpendicular a las trazas. Seguidamente abatimos ambos planos Q’Po y T’Po. Hallamos los ángulos que forman con el cuadro α y β, el punto de intersección de las l.m.p. abatidas Po, nos dará la cota de la intersección, 2,71 cm. Figura 28.
Figura 28
Los planos pueden formar, aristas o goteras. Cuando forman arista, la graduación de la l.m.p, aumenta. Si forma gotera, disminuye. Figura 29.
3.2 INTERSECCION DE PLANOS
  Trabajaremos en el espacio. Consideremos dos planos cualquiera α y β. Figura 36.
	
	
	
            Cortemos estos dos planos por otros dos cualquiera, µ y δ. Seguidamentehallamos la intersección de los planos α, β, µ de tal forma que tendremos las rectas iαµ y iβµ,rectas que determinan un punto A común a los tres planos.
 
Repetimos la operación con los planos α.δ.β, Obteniendo el punto -B.
 
La unión de los puntos A y B, nos determinan la intersección de los planos α-β.
 
Para facilitar esta operación en el plano se toman como planos auxiliares µ-δ, los planos horizontal y vertical del sistema.
 
  INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS OBLICUOS CUALQUIERA
La intersección de las dos trazas horizontales α1 y β1  darán un punto de la intersección HΞH’. Y la unión de las trazas verticales α2 y β2 darán el punto VΞV”. Figura 37 a y b.
 
La recta intersección de ambos planos será la recta HV=i
 
    INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LÍNEA DE TIERRA.
 
Sus trazas serán paralelas a la línea de tierra. Se requiere de la tercera proyección para resolver el problema. Figura 38 a y b.
 
 
 
	
	
	
 RECTA INTERSECCIÓN DE UN PLANO OBLICUO CON OTRO PARALELO AL HORIZONTAL
 
Sea el plano oblicuo  α y el paralelo al horizontal μ. Figura 39 a y b.
La recta intersección  i de ambos planos tendrá la traza vertical  i” paralela  a la línea de tierra  coincidiendo con la traza vertical del plano μ2 y la horizontal  i’ paralela a la traza horizontal del plano α1.
 I NTERSECCIÓN DE UN PLANO PARALELO A L. T. CON OTRO QUE PASA PORLA  L. T.
 
1. Representaremos ambos planos en tercera proyección.
2. Hallamos el punto de intersección i”’ de ambos planos.
3. Pasamos dicho punto a primera  y segunda proyección i’ - i”. Figura 40 a y b.
  INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS PROYECTANTES CUALQUIERA
 
La intersección será una recta i(i’-i”)  perpendicular al plano horizontal.
Figura 41a y b.
 
 RECTA INTERSECCIÓN DE LOS PLANOS α Y β CUYAS TRAZAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO. (Figura 42)
1. 
	
	
	
2. 
Trazamos un plano cualquiera que corte a los dos dados, por ejemplo un plano paralelo al vertical de proyección µ.
 
2. Hallamos la intersección del plano µ con α y β, que nos determinan las rectas a(a’-a”) y b(b’-b”).
 
 3. El punto I (I’- I”), será común a la intersección de los tres planos, y por tanto será uno de los puntos que buscamos.
 Podemos comprobar el resultado prolongando las trazas horizontales de los planos.
 PUNTO INTERSECCIÓN DE TRES PLANOS. ( Figura 43).
 
 
El punto común a tres planos dados α, β, µ, vendrá dado    por la intersección de las rectas comunes a dichos planos.
 
1.- Hallaremos la intersección de los planos α y β, que nos determina las proyecciones a” y a’.
2.- Seguidamente hallamos la intersección de un plano cualquiera de los anteriores con el plano µ, resultando la recta b” –b’.
 El punto de intersección de la recta a’ y b’, a” y b”, será el punto de intersección I’- I”, buscado, común  a los tres planos.
 Podemos comprobar lo realizado hallando la tercera recta c.
  PUNTO INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO
 
La intersección del plano α con la recta r, se logrará  de la forma siguiente:1.- Se hace contener a la recta r en un plano cualquiera,  plano β.
2. Hallamos la intersección de β con α , I β α. Dicha intersección cortará a la recta en el punto I que será el punto buscado. Figura 44a y b.
En el plano operamos de la misma forma. Como plano auxiliar tomaremos uno que nos facilite la resolución de forma rápida, por ejemplo uno de los proyectantes de dicha recta β (β1- β2).
    PUNTO INTERSECCIÓN DE RECTA  r PERPENDICULAR AL
HORIZONTAL, CON UN PLANO OBLICUO φ. (Figura 45).
 
La recta vendrá dada por sus proyecciones r’-r”.
 
Por r’ haremos pasa un plano proyectante vertical δ1-δ2. Seguidamente determinaremos su intersección con φ1-φ2, punto I’-I”.
  PUNTO INTERSECCIÓN DE RECTA  r PARALELA  A LA LÍNEA DE TIERRA CON UN PLANO OBLICUO α. Figura 46
1.      Utilizamos un plano de perfil π (π1-π2.
2.      Hacemos contener a la recta r en un plano auxiliar paralelo a la línea de tierra  µ (µ1-µ2). La única condición es que pase por el punto A.
 3.      Hallamos la intersección de ambos planos, recta i (i’-i”). El punto I’-I”, será la solución.
UNIDAD 4 : PROCEDIMIENTOS AUXILIARES
4.1 CAMBIOS DE PLANOS 
El procedimiento de cambio de planos tiene como objetivo principal conocer las características reales del objeto que se observa. La característica principal en el cambio de planos es conocer la longitud real de la recta en cuestión.
Sea una recta cualquiera AB, hacerla horizontal para conocer su verdadera longitud.
1º Se hace cambio de horizontal (ch) con la línea de tierra paralela a la proyección vertical a’b’ de la recta dada 
2º Se determina nueva proyección horizontal a1 b1, llevando de la vertical por los puntos a’b’ que la determinan, proyectantes perpendiculares a la segunda línea de tierra y asignando a cada uno de ellos, el mismo alejamiento que tenían en la proyección horizontal inicial. Esta segunda línea de tierra se señala con dos guiones. La nueva recta horizontal aparece ahora en verdadera longitud.
Sea una recta cualquiera AB, hacerla frontal para conocer su verdadera longitud.
1º se hace cambio de vertical (c v ) con la línea de tierra paralela a la proyección horizontal ab de la recta dada 
2º Se determina nueva proyección vertical a’1 b’1, llevando de la horizontal por los puntos ab que la determinan, proyectantes perpendiculares a la segunda línea de tierra y asignando a cada uno de ellos, la misma altura que tenían en la proyección vertical inicial. Esta segunda línea de tierra se señala con dos guiones.
La nueva recta frontal aparece ahora en verdadera longitud.
Un cambio de plano consiste en considerar un nuevo plano de proyección para facilitar la lectura de la pieza. Las normas del sistema diédrico persisten por lo que las proyecciones nuevas de los elementos a representar siguen siendo ortogonales a los nuevos planos de proyección que se utilicen y el nuevo plano de proyección utilizado debe ser también ortogonal al plano de proyección horizontal o vertical o a su transformado. Por ejemplo, en la figura, si consideramos un nuevo plano vertical de proyección (en naranja) sobre el que proyectamos el objeto, obtenemos un detalle en verdadera forma del mismo. Al proyectar las líneas observamos que las cotas (las alturas a las que están los puntos del objeto) se mantienen.
El plano naranja es el nuevo plano de proyección vertical que para diferenciarlo del otro plano vertical, en la nueva línea de tierra o intersección con el horizontal se le marca un segmento más de cada lado. Un segundo cambio de plano supondrá sumar un segmento más a cada lado, etc.
El ejercicio anterior resuelto en sistema diédrico, tenemos una pieza cuyas vistas en planta y alzado no definen con precisión la curvatura de la superficie cilíndrica hueca. Para ello hacemos una nueva proyección, la equivalente a una vista a auxiliar, en la que el nuevo plano vertical es ortogonal al eje del cilindro hueco.
El nuevo plano vertical corta al horizontal según una nueva línea de tierra que contiene en sus extremos dos segmentos de cada lado, en vez de uno. La proyección sobre el nuevo plano es también ortogonal y las alturas de todos los detalles así como la altura de la pieza permanecen invariables. Podemos observar en el dibujo que un punto de la pieza A, tiene por proyección en alzado el punto A2, al proyectarlo sobre el nuevo plano vertical ese punto mantiene su misma altura o cota.
Tenemos un plano oblicuo de color rojo en el dibujo que interesa transformarlo en un plano de canto, que es aquel que tiene la traza horizontal perpendicular a la línea de tierra. Para que así sea el nuevo plano vertical debe tener su traza perpendicular a la traza horizontal del plano.
Este nuevo plano vertical de proyección PV2 corta al plano oblicuo según una nueva traza vertical i en la que un punto permanece invariable y es el que es común a los dos planos verticales y al plano dado. Por tanto al hacer el abatimiento la nueva traza del plano pasarán por este punto, y por la intersección de la traza del plano vertical nuevo PV2 y la traza horizontal del plano.
Aquí observamos el ejercicio anterior resuelto elsistema diédrico: la nueva traza del plano vertical que es la nueva línea de tierra perpendicular a la traza del plano beta dado. En la intersección de la nueva línea
de tierra con la anterior tenemos el punto M1, que unido al punto de intersección M2, punto de intersección de la traza vertical con el nuevo plano, tenemos la intersección de los dos planos hasta el plano dado. Esa longitud que llevamos perpendicular a la nueva línea de tierra a partir del punto M1, sirve para obtener el punto M’2. Este punto lo unimos con la intersección de la traza del plano y la nueva línea de tierra y tenemos la nueva traza vertical del plano.
Para transformar un plano oblicuo en un plano paralelo a la línea de tierra, basta con hacer una línea de tierra que sea paralela a la traza horizontal del plano. La nueva traza vertical del plano será paralela a la horizontal y su cota vendrá dada por la cota del punto de intersección del plano vertical con la traza vertical.
Transformación por cambio de plano de una recta oblicua en otra recta oblicua. Tenemos las proyecciones de una recta (en el dibujo de color rojo) y se trata de transformarla en otra cualquiera oblicua mediante un cambio de plano. Colocamos una nueva línea de tierra y tomamos las cotas de 2 puntos de la recta para la nueva proyección en alzado. Por los puntos de la recta en planta hacemos perpendiculares a la nueva línea de tierra y colocamos sus alturas obteniendo así la nueva recta transformada
Dado un plano oblicuo a, se trata de transformarlo en un plano proyectante vertical o de canto mediante un cambio de plano.
El Plano proyectante vertical o de canto es aquel que tiene la traza horizontal ta perpendicular a la nueva línea de tierra tb. Por lo tanto el plano de proyección vertical tendrá que pasar por esta recta manteniendo la cota del punto de intersección con la traza vertical de a, invariable.
A la izquierda el plano oblicuo a dado definido por sus trazas a1 a2.
A la derecha la ejecución del ejercicio, la nueva línea de tierra verde perpendicular a la traza horizontal del plano a1. Éste nuevo plano vertical corta al plano vertical anterior según la recta m, que intercepta a la traza vertical del plano a2, en el punto F. Si unimos el punto P -intersección de la nueva línea de tierra verde con la anterior azul- con F y giramos este segmento hasta que sea perpendicular a la nueva línea de tierra verde habremos trasladado la cota del punto F que permanece invariable.
La nueva traza del plano pasará por F’, su transformado por el giro y por el punto de intersección de la nueva línea de tierra y la traza horizontal del plano a1 que también permanece invariable.
4.2 ROTACIONES 
Definimos un eje de giro perpendicular a alguno de los planos de proyección. Todos los puntos de la recta describen arcos de circunferencia alrededor de este eje, cuyos planos son perpendiculares al eje de rotación. La proyección horizontal de un arco de circunferencia horizontal es otro arco en verdadera magnitud, y la proyección vertical del mismo es un segmento de recta horizontal. Si el arco de circunferencia es vertical estas proyecciones se invierten. 
Al girar un punto alrededor de un eje perpendicular al plano horizontal, el punto y su proyección horizontal trazan en su recorrido un arco de circunferencia. La distancia de la proyección vertical a la línea de tierra (cota) se mantiene, ya que el punto no varía de altura. En un giro se deben de indicar el eje, el ángulo (en el gráfico ángulo a) y el sentido del giro (en el gráfico en sentido de las agujas del reloj cuando a es positivo y contrario a las agujas del reloj cuando es negativo). 
Para obtener la verdadera magnitud del segmento de recta ab, tomo un eje perpendicular al plano proyectante horizontal que pase por uno de los extremos del segmento (punto b), y hago girar el otro hasta que la proyección quede paralela a la línea de tierra. 
Entonces trazo la nueva proyección y me quedará la verdadera magnitud del segmento. 
Dado que en el cambio de plano se mantiene fijo el elemento del espacio y se desplazan los planos de proyección, puede sustituirse uno de los planos de proyección por otro plano siempre que sea perpendicular al plano que permanece. 
Si se realiza un cambio de plano vertical, el nuevo plano será un plano proyectante vertical, sobre el que se obtendrá una nueva proyección vertical A’’1 del punto A del espacio. La proyección horizontal continua siendo la misma y por ese motivo también la cota del punto es la misma, o sea que las distancias de la proyecciones verticales, A’’ y A’’1, antes y después del cambio de plano son iguales a sus respectivas líneas de tierra. 
 Si un punto gira alrededor de una recta describe una circunferencia cuyo radio es la distancia del punto a la recta y está contenida en un plano perpendicular al eje de giro. 
Si se toma como eje de giro una recta vertical, la circunferencia de giro estará contenida en un plano horizontal y se proyectará sobre el plano horizontal de proyección en verdadera magnitud y en el En el segundo caso, cuando la recta r (r’, r’’) y el eje e (e’, e’’) son alabeados, se giran dos de sus puntos, A y B, el mismo ángulo, hasta las posiciones respectivas A1 y B1. Uniendo estos dos puntos se halla la recta girada r1plano vertical como un segmento, igual a su diámetro, coincidente con la traza del plano horizontal que la contiene. 
Se gira el punto A (A’, A’’) trazando un arco de circunferencia con centro en la proyección horizontal del eje e (e’, e’’), obteniéndose la nueva proyección horizontal del punto A’1, por dicha proyección se dibuja la perpendicular a la línea de tierra para obtener sobre la traza del plano la nueva proyección vertical A’’
. Giro de una recta alrededor de un eje 
 Pueden presentarse dos casos: a) la recta corta al eje, o sea que son coplanares, y b) la recta no corta al eje, entonces no son coplanares, sino rectas alabeadas. 
En el primer caso, cuando la recta r (r’, r’’) corta al eje e (e’, e’’), el punto de intersección P (P’, 
P’’) entre ambos permanece fijo. Se gira solamente un punto A hasta la posición A1 y se une con el punto de intersección P. De esta manera se obtiene la recta girada r1
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