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Física II- Algunos conceptos de Física Moderna y Nuclear 
(Material muy resumido del capítulo 24 del libro “Física de los procesos biológicos” de 
Cussó, López y Villar, Ariel, Barcelona 2004) 
Los fotones tienen 
 Energía: E = h 
 Cantidad de movimiento (o momento lineal): p = h/E/c
Hipótesis de Bohr: las órbitas estacionarias en átomo de H son las que tienen cuantizado su 
momento angular, que sólo puede valer múltiplos enteros de ħ (ħ=h/2). 
L = nħ (n entero) 
Suponiendo órbitas circulares, recordando que L = pe Rn= me v Rn, y recordando el cálculo de 
la energía almacenada en el átomo de H (*), demostramos que en esos estados estacionarios 
las órbitas electrónicas tienen radios Rn: 
Rn = n
2 RB con n = 1, 2, 3….., y 02
2
0 05.0
4
anm
em
R
e
B 

 (radio de Bohr) 
Y la energía en esos estados estacionarios tiene valores discretos (niveles de energía): 
2
0
n
E
En  (tomando como 0 la energía de un e
- libre), con n= 1, 2, 3.... 
donde eV
R
e
E
B
6.13
8 0
2
0  
 La energía del estado fundamental (n=1) es -13.6 eV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Niveles de energía del 
átomo de Bohr. 
 2
Las transiciones del estado n1 a n2 , si n2>n1, se producirán absorbiendo fotones de energía 
h= En2 - En1. En la transición inversa, desde n2 a n1, se emitirán fotones de la misma energía. 
Notar que el modelo de Bohr no explica átomos de muchos e-, y tiene simplificaciones muy 
fuertes, como ser las órbitas electrónicas circulares. 
Para explicar la hipótesis de Bohr, De Broglie propuso comportamiento ondulatorio de los e-, 
con una longitud de onda  = h/pe , con lo cual pe = h/(expresión similar a la de un fotón). 
El carácter ondulatorio de los electrones se verificó al mostrar que los e- pueden ser 
difractados por una red cristalina. Por lo tanto, la dualidad onda- partícula también vale para 
partículas materiales y no solo para ondas electromagnéticas. Pero el aspecto ondulatorio de la 
materia solo se manifiesta para partículas muy pequeñas. 
Ejemplo: Calcular la longitud de onda de un electrón que se mueve a 5x104 m/s y compararla 
con la de una bala (m= 40 g) que se desplaza a la misma velocidad. ¿Podrá evidenciarse el 
comportamiento ondulatorio de la bala? 
 (*) NOTA: se pide en forma detallada calcular la energía total del e- en el átomo de H 
(problema de la guía de electrostática) y encontrar la expresión que relaciona la velocidad con 
el radio a partir de la 2da ley de Newton. 
Otra manera de llegar a la cuantificación de la energía: Partícula en una caja de 
potencial 
Ubicamos a una partícula dentro de una caja con paredes infinitamente altas (caja o “pozo” 
de potencial infinito). Como la partícula también debe comportarse como una onda, esa onda 
necesariamente debe ser estacionaria y tener nodos en las paredes de la caja. Eso lleva a que 
la partícula no pueda tener cualquier valor de energía, sino solo ciertos valores discretos. 
Supongamos una caja en 1 dimensión (movimiento confinado sólo según eje x). 
 
 
Para tener nodos en las paredes, debe cumplirse que el 
ancho del pozo (a) sea un número entero de semilongitudes 
de onda (recordar ondas estacionarias): a = n (/2), con n≥1. 
Entonces, las longitudes de onda de la partícula estarán 
cuantificadas: n = 2a/n. La cantidad de movimiento, 
también:
a
nhh
p
n
n 2


. (#) 
La energía de las partículas en la caja es sólo energía 
cinética (despreciamos el peso, y no hay energía potencial). 
Pero podemos escribir
m
p
mvEc
22
1 22  . Reemplazando 
con (#), obtenemos que las energías también están 
cuantificadas: 
2
22
8ma
hn
EEc n  
 3
La partícula podrá pasar de un nivel a otro absorbiendo o emitiendo un fotón cuya energía 
sea igual a la diferencia de energía entre dos niveles. Para dos niveles consecutivos n y n+1, 
será: 
       hn
ma
h
nnn
ma
h
nn
ma
h
EEE nnnn   128
12
8
1
8 2
2
22
2
2
22
2
2
11 
y esta será la energía del fotón que debe absorber la partícula para pasar del nivel n al n+1, o 
del fotón que debe emitir al decaer del nivel n+1 al n. 
NOTAR: 
1) al confinar la partícula (ubicarla en un lugar definido del espacio), su cantidad de 
movimiento y su energía quedan cuantificados (no pueden tener cualquier valor), y 
también las energías absorbidas o emitidas están cuantificadas. 
2) Como n≥1 (no puede valer cero), la partícula en la caja no puede tener energía cero. 
Hay una energía mínima que corresponde a n=1 y vale 
2
2
2
1 8
1
ma
h
E  . Como la 
energía es solo cinética, si la partícula no puede tener energía cinética cero significa 
que no puede estar en reposo en el interior de la caja. 
3) Los fotones absorbidos o emitidos deben cumplir la relación 
 

 chhn
ma
h
E nn   128 2
2
1 donde  es la longitud de onda del fotón 
absorbido o emitido. (¡OJO! No confundir la longitud de onda de la partícula con la 
del fotón.) 
 Si la partícula está confinada en una longitud menor (a se reduce), entonces los 
fotones absorbidos o emitidos en una transición tendrán energías mayores y 
longitudes de onda menores (“corrimiento al azul”). 
 Si la partícula está confinada en una longitud mayor (a crece), los fotones 
absorbidos o emitidos en una transición tendrán menores energías y mayores 
longitudes de onda (“corrimiento al rojo”). Ejemplo 1: cuando en una molécula 
orgánica se aumenta el número de dobles enlaces conjugados (donde los electrones 
 están delocalizados en una longitud a equivalente a la del total de dobles enlaces 
conjugados), los picos de absorbancia y de fluorescencia se corren al rojo. 
 Si la longitud de confinamiento se hace muy grande ( a ), entonces 
01  nnE y los valores de E tienden a ser continuos (los niveles se aproximan 
mucho). O sea, cuando la partícula no está confinada, puede tener cualquier valor 
de energía cinética (y por lo tanto, absorber o emitir fotones de cualquier energía). 
Sucede lo mismo si la masa de la partícula es muy grande. 
Ejemplo 2: comparar el orden de magnitud de las energías para un e- confinado en una 
distancia del orden del diámetro atómico (0.1 nm) con las de un protón confinado en 
un núcleo (diámetro del orden de 2x10-15 m), usando el modelo simple de caja de 
potencial. (me= 9.1x10
-31 kg, mp= 1.7x10
-27 kg) . Rta: tomando la transición 1 a 2, 
resulta Ee = 112 eV (radiación UV), Ep= 150 MeV (106 veces mayor, rayos ). 
 4
Obtuvimos que los fotones emitidos o absorbidos por los núcleos tendrán energías 
aproximadamente un millón de veces mayores que las de los fotones emitidos o 
absorbidos por transiciones electrónicas en los átomos. Esta relación es correcta, y la 
obtuvimos sólo analizando la longitud de confinamiento en cada caso. 
Ejemplo 3: ¿Cuál será la diferencia de energía entre los dos niveles más bajos para una 
pelota con una masa de 100 g moviéndose entre dos paredes separadas por 1 m? 
Rta: 21E = 1.6x10
-66 J = 10-47 eV! Valor imposible de medir. La separación entre 
niveles es prácticamente cero, o sea que en este caso no se evidencia la cuantificación 
de los niveles de energía, por ser una partícula macroscópica. 
 
Más sobre la dualidad onda-partícula 
Recordemos el experimento de la doble rendija de Young. (OJO: en la figura 24.13(b), pag. 
1200 de Cussó et al, está mal el esquema de intensidad) 
Pensando la luz en términos de onda, sabemos que la intensidad I es proporcional al cuadrado 
de la amplitud del campo eléctrico. Pero pensando en términos de fotones, I en cada punto 
puede considerarse como proporcional a la probabilidad de que un fotón impacte en ese punto 
de la pantalla. Entonces, podemos decir que la probabilidad de que un fotón esté en un 
lugar de la pantalla es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda asociada en 
ese punto. 
Si el experimento de la doble rendija se realiza con electrones (las rendijas de dimensiones 
adecuadas deben ser orden de 0.1 nm, como las distancias entreátomos de un cristal), se 
obtiene en la pantalla un diagrama de impactos similar al del caso de la luz. Esto confirma la 
dualidad onda- partícula también para partículas materiales. 
A nivel atómico y subatómico, una partícula no puede representarse por un punto 
geométrico, ni puede usarse la idea de “trayectoria”, ya que la partícula es una entidad 
repartida en el espacio. El movimiento se describe en forma probabilística, mediante una 
función de onda que caracteriza el estado de cada partícula. Esto indica que el modelo de 
Bohr es incorrecto. 
Correcciones al modelo de Bohr 
Los e- no se mueven en órbitas circulares con radio definido Rn, sino que sus estados 
estacionarios se caracterizan por una distribución de probabilidad en una dada región del 
espacio: orbitales atómicos (1s, 2s, 2px…., 3dxy,… etc. ) 
Un orbital atómico tiene bien definidos los valores de energía y/o momento angular, pero no 
tiene valores definidos de posición o velocidad del e- en ese orbital (sólo se puede conocer la 
probabilidad de que el e- esté en determinado lugar o tenga determinada velocidad) 
Función de onda y ecuación de Schroedinger 
El estado de una partícula se representa por una función de onda  (r,t) que es solución de 
una ecuación de onda llamada ecuación de Schroedinger (no damos su forma detallada). La 
 5
probabilidad de encontrar la partícula en una región infinitesimal del espacio dV en torno a 
un dado punto r en el instante t es: 
dVtrtrdP
2
),(),(
  donde 2),( tr es el módulo cuadrado de la función de onda. 
La probabilidad de encontrar a la partícula en un cierto volumen V es 
 
VV
dPtVP ),( dVtr
2
),(
 
Como la partícula debe estar necesariamente en algún lugar del espacio, la probabilidad de 
encontrarla cuando V es igual a 1, o sea que 1),( 2   dVtrV
 . Se dice que la función 
de onda está normalizada. 
Estados estacionarios: cuando las propiedades medibles de la partícula (energía o momento 
angular) permanecen constantes en el tiempo (p. ej. en el caso de los orbitales atómicos), 
decimos que tenemos estados estacionarios, dados por la función de onda )(r
 . Los estados 
estacionarios tienen la energía total bien definida y son soluciones de una versión más simple 
de la ecuación de onda: la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo. 
En una dimensión, esta ecuación tiene la forma: 
)()()(
)(
2 2
22
xExxU
x
x
m
 




 
que tiene soluciones de la forma nx sólo para valores discretos de energía En (n=1,2,3….). 
 
Efecto túnel 
Las partículas atómicas y subatómicas tienen una probabilidad no nula de atravesar barreras 
de potencial que clásicamente serían infranqueables. Esto constituye el efecto túnel. 
 
 
Si E< U0, una partícula con energía E 
que llega a la barrera desde la 
izquierda, clásicamente no pasa y 
rebota. Pero cuánticamente tiene una 
probabilidad P de pasar al otro lado. 
P es menor cuanto mayor es U0 – E. 
P es menor cuanto mayor es a (ancho 
de la barrera) 
 0P si  EU 0 
 6
Ejemplos en donde se evidencia el efecto túnel: 
 Desintegración radiactiva (emisión de partículas ) 
 Microscopio de efecto túnel: la barrera es la separación entre una punta muy fina y la 
superficie de un material. La probabilidad de que las cargas pasen entre la punta y el 
material depende de esa separación. La variación de la corriente eléctrica a medida que 
la punta se desplaza sobre la superficie permite “observar” los átomos. 
Relación de indeterminación (o de incertidumbre) de Heisenberg 
No podemos conocer con precisión y simultáneamente la posición y la velocidad (o la 
cantidad de movimiento p) de una partícula. Tendremos siempre una incerteza. Sólo podemos 
afirmar que la partícula está en una posición xx  y que tiene una cantidad de movimiento 
de módulo pp  . Para las incertezas se cumple siempre que 
2
.

 px Relación de incertidumbre de Heisenberg 
(a veces se enuncia con h en lugar de ћ, y a veces no aparece el 2 dividiendo, por lo que ésta 
debe considerarse una expresión aproximada). 
Significado: si aumenta la precisión con la que conocemos una de las variables (o sea, si 
disminuye su incerteza), se reduce a la vez la precisión con la que conocemos la otra (aumenta 
su incerteza). En particular, si una partícula tiene su cantidad de movimiento bien definida 
( 0p ) entonces su posición está totalmente indefinida ( )x por lo que puede estar en 
cualquier lugar del espacio. 
Ejemplo: en una onda electromagnética monocromática, los fotones tienen p bien definido 
(

h
p  ), o sea 0p , por lo que x (no conocemos en absoluto la posición de los 
fotones). 
El principio de incertidumbre también puede expresarse en función de la energía. La incerteza 
en la energía de un estado debe cumplir 
2
.

 tE , donde t es el tiempo que la partícula 
permanece en ese estado. Un estado metaestable (de vida muy larga, )t tendrá entonces 
0E , o sea, su energía estará muy bien definida. A la inversa, un estado de vida corta 
tendrá una energía mal definida. 
 7
El núcleo atómico 
Núcleos: formados por nucleones: protón (+) y neutrón (sin carga eléctrica). 
Núclidos o nucleidos: se llama así a las distintas especies nucleares. 
Números que caracterizan un núclido: 
 Z: número atómico. Da el número de protones. La carga de un núclido es Z.e. 
Z caracteriza cada elemento y determina las propiedades químicas. 
 N: número de neutrones 
 A: número másico. A= Z+N 
Cómo se especifica un núclido: AE , EAZ (Z puede o no estar). E es el símbolo del elemento 
correspondiente. Ejemplo: CoC 12126 
Isótopos: núclidos con igual Z pero distinto N, o sea distinto A. Corresponden al mismo 
elemento químico. 
Ejemplos: HyHHCyC 3211412 ,; 
Interacción nuclear fuerte: es la interacción que mantiene unidos a los núcleos 
Características: 
 Tiene muy corto alcance (su efecto se siente sólo para distancias ≤ 10-14 m) 
 Es atractiva 
 Es independiente de la carga (atracción n-n es similar a la p-p y a la n-p) 
Gráfico de energía potencial asociada a la interacción nuclear fuerte, en función de la 
distancia entre nucleones: 
 
 
Notar: interacción n-p tiene mínimo 
con menor energía potencial, o sea 
que es la más intensa. Además, 
entre n y p no hay repulsión 
electrostática, por lo que es 
favorable para una mayor cohesión 
nuclear tener N=Z. Pero esto vale 
sólo para núcleos livianos. Para 
núcleos con Z > 20 se hace 
importante la repulsión 
electrostática entre protones, por lo 
que se necesitan más neutrones para 
mantener la cohesión. 
 8
Gráfico de estabilidad de núclidos (gráfico de Segré) 
 
 
 
Radiactividad 
Los núclidos no estables se llaman radiactivos y sufren desintegraciones, produciendo 
alguna de estas emisiones: 
 Emisión : se emiten partículas , que son núcleos de 4He (2p+2n). La emiten 
núclidos pesados (de Z ≥84). Es poco penetrante. Al producirse una emisión , el 
núclido sufre los siguientes cambios: 
4
2
2



AA
NN
ZZ
 
 
Desintegraciones  
Desintegraciones  
Desintegraciones  
Ejemplo:  ThU 23490
238
92 
La zona de estabilidad 
es la marcada con 
cuadraditos negros 
(núclidos estables). 
Notar que para Z < 20, 
la estabilidad se logra 
con N=Z. Para tener 
estabilidad con Z >20, 
se necesita N>Z . 
Ejemplo: 16O tiene 
Z=8 y N=8, pero 208Pb 
tiene Z=82 y N=126. 
Ambos son núclidos 
estables. 
Todos los núclidos con 
Z>84 son inestables. 
Z (protones) 
N 
(neutrones) 
 9
 Emisión : hay dos tipos: 
se emiten electrones, por núclidos que están por encima de zona de estabilidad 
(tienen más neutrones que los necesarios para ser estables, ver gráfico de Segré). El 
proceso se describe considerando que 1 neutrón emite 1 electrón (e-) y se transforma 
en 1 protón:  epn ( : antineutrino, necesario para mantener la 
conservación de cantidad de movimiento. Es muy difícil de detectar). El núclido sufre 
los siguientes cambios (cambia Z,o sea que con esta emisión cambia el elemento 
químico!): 
AA
NN
ZZ



1
1
 
: se emiten positrones (antielectrones), por núclidos que están por debajo de zona de 
estabilidad (tienen menos neutrones que los necesarios para ser estables, ver gráfico de 
Segré). El proceso se describe considerando que 1 protón emite 1 positrón 
(antielectrón, e+) y se transforma en 1 neutrón:  enp (: neutrino, similar al 
antineutrino). El núclido sufre los siguientes cambios (cambia Z, o sea que cambia el 
elemento químico!): 
AA
NN
ZZ



1
1
 
 Emisión : se emiten fotones (radiación electromagnética) de alta energía (MeV), muy 
penetrantes. Esta emisión se produce por decaimiento de estados excitados de 
núclidos. No cambia el elemento químico. 
Semiperíodo o vida media 
La desintegración es un proceso aleatorio. No podemos saber cuándo se va a desintegrar cierto 
núcleo. Sólo sabemos la probabilidad por unidad de tiempo  de que un núcleo se 
desintegre. [] = s-1;  también se llama constante de desintegración 
Si a un tiempo t se tienen N(t) núcleos radiactivos, el cambio dN en un dado dt será 
proporcional a N(t): 
dN = -N(t)dt (el signo (-) se debe a que dN es negativo, ya que N disminuye). 
La solución tiene la forma: teNtN  0)( donde N0 es el número de núcleos a t =0. 
 
 
 
 
Ejemplo:  eNC 147
14
6 
Ejemplo:  eCN 136
13
7 
N
0
/2
N
0
N
tT
1/2
Definimos: semiperíodo o vida 
media T1/2 de un núclido : tiempo 
transcurrido para que la cantidad 
de núcleos presentes inicialmente 
(N0) se reduzca a la mitad. 
 
 10
 
 
 
 
 
 
 
Notar que este proceso está descripto por una cinética similar al de una reacción química de 
primer orden 
Actividad (A) 
Se define como el número de desintegraciones por unidad de tiempo. 
)(tA
dt
dN
A 

 (A>0) 
Unidad: [A] = desintegraciones/s, unidad también llamada Becquerel (Bq): 
 1Bq= 1 desintegración/s. (SI) 
También se usa el Curie (Ci): 1 Ci = 3.7x1010 desintegraciones / s. 
Derivando la expresión de N(t), tenemos: 
2/12/12/1
693.0
0
693.0
0
2/1
693.0
0
693.0
)()( T
t
T
t
T
t
eAeN
T
eN
dt
d
tA

 
 
donde hemos definido 0
2/1
0
693.0
N
T
A  (actividad a t=0) 
Notar: a menor vida media, mayor A0. 
Ejemplo 1: 1 g de Ra22688 puro tiene una actividad de 3.7x10
10 desint/s. ¿Cuánto vale la vida 
media para el Ra22688 ? 
Rta: 0
0
2/10
2/1
0
693.0693.0
N
A
TN
T
A  . Pero ¿cuánto vale N0? 
A varía en el 
tiempo en forma 
similar a N(t) 
Relación entre constante de desintegración y vida media 
Variación en el tiempo del número de núcleos 
Para t = T1/2, tenemos 
2/1
2/1
693.0
0
2/1
2/1
0
02/1
)(
693.0
693.0)
2
1
ln(
2
)(
T
t
T
eNtN
T
T
N
eNTtN









 
 11
Ra22688 tiene número atómico A=226, por lo que su peso atómico es 226 g/mol. En 1 g de 
Ra habrá un número de átomos 21
23
0 1065.2226
10023.6


N y éste será igual al número 
inicial de núcleos. Por lo tanto, 

  ss
T 1021
1102/1
1051065.2
107.3
693.0
1600 años 
Ejemplo 2: 1 g de 238U tiene una vida media de 4500 millones de años. ¿Cuánto vale su 
actividad a t=0? 
Rta: A0= 12300 desintegraciones/s = 12300 Bq 
 
Efectos biológicos de las radiaciones 
Los productos directos e indirectos de la desintegración radiactiva reciben el nombre genérico 
de “radiación ionizante”, por tener energía suficiente como para arrancar electrones de los 
átomos con los que colisionan, desplazar núcleos y romper enlaces químicos. Estos productos 
tienen diferente capacidad de penetración (ver figura). 
Los efectos de la radiación ionizante sobre los organismos pueden separarse en directos e 
indirectos. 
Efectos directos: ruptura o alteración de moléculas importantes (ADN, enzimas, componentes 
de la membrana celular o del núcleo) 
Efectos indirectos: generación de radicales libres y compuestos intermedios muy reactivos. 
 
 
 
(Notar que una hoja de papel o 
un guante son suficiente 
protección contra partículas , 
pero si se las ingiere, causarán 
mucho daño en las mucosas). 
 
 
 
 
 
 
 12
Cuantificación de los efectos de la radiación 
Cuantificación de la radiación absorbida: se define dosis física d como la energía por unidad 
de masa depositada por la radiación en un organismo. 
Unidades: [d] = Gray (Gy)= 1 J/kg 
Como no es lo mismo absorber 1 Gy de partículas  que 1 Gy de partículas , para cuantificar 
los daños biológicos debe tenerse en cuenta un factor de ponderación llamado eficiencia 
biológica relativa (EBR) o WR, que varía para cada tipo de radiación (ver tabla 24.5). 
Se define dosis equivalente o eficaz (D) como D= WR . d 
Unidades: pese a que WR es adimensional, D tiene unidades distintas de d. Si d está expresado 
en Gy, D queda expresado en Sievert (Sv). Submúltiplo: 1 miliSievert (mSv)=10-3 Sv 
El daño biológico es proporcional al valor de D. 
 
Ejemplo: si se recibe una dosis física d=0.01 Gy de radiación , la dosis equivalente (ver 
tabla) será 
D = WR. D = 1 x 0.01Gy = 0.01 Sv = 10 mSv. 
Pero si la dosis de 0.01 Gy es de partículas , la dosis equivalente es: 
D = WR. D = 20 x 0.01Gy = 0.2 Sv= 200 mSv. 
En promedio, una persona recibe una dosis equivalente del orden de 1 a 3 mSv por año de 
fuentes naturales (rayos cósmicos, radiactividad natural) y artificiales (radiografías- RX de 
pulmón equivale a 0.3 mSv). 
Una dosis instantánea de 5 a 6 Sv es mortal, pero esa misma dosis repartida en el tiempo y 
concentrada en una determinada región del organismo (radioterapia contra el cáncer) no es 
mortal. 
Otras unidades posibles: 
 para dosis física d: rad; 1 rad = 0.01 Gy = 10 mGy 
 para dosis equivalente D: rem; 1 rem = 0.01 Sv = 10 mSv 
A.M Gennaro, 2016