Ejercicios_Topografia_de_Obras

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UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA 
FACULTAD DE INGENIERIA 
DEPARTAMENTO DE GEOMENSURA Y GEOMATICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE TOPOGRAFIA DE OBRAS I 
Luis Fernández San Martin 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS I UNIDAD 
 
 
1.- Reducir a la forma normal la ecuaciones siguientes y hallar p y. 
 
a) 3x-4y-6=0 
b) x+y+8=0 
c)12x-5y=0 
d) 4y-7=0 
e) x+5=0 
 
 
2.-Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (4.-2) y 
distan 2 unidades del origen. 
 
 La forma normal de mx-y-(4m+2)=0 es mx-y-(4m+2) = 0 
 +-(m2 +1) 
 
 Luego, p = 4m + 2 = 2, o bien, (4m+2)2=4(m2+1). 
 +-(m2 +1) 
Resolviendo, m=0,-4 
 3 
 
Las ecuaciones pedidas son y+2=0, e y+2=-4 (x-4), o bien , 4x+3y-10=0 
 3 
3.- Hallar las ecuaciones de las paralelas a la recta 12x-5y-15=0 que 
disten de ella 4 unidades. 
 
 Sea P’(x,y) un punto genérico cualquiera de la recta pedida. Entonces, 
 
 12x’-5y’-15=+-4 
 13 
 Simplificando y suprimiendo las primas, las ecuaciones pedidas son 
 
 12x-5y-67=0 y 12x-5y+37=0 
 
4.- Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta 4x+y-1=0 que 
pase por el punto de intersección de 2x-5y+3=0 y x-3y-7=0. 
 
La pendiente de la recta 4x+y-1=0 es -4.Luego la pendiente de la recta pedida 
es 1/4. 
La ecuación del haz de las rectas que pasa por el punto de intersección de 
 
2x-5y+3=0 y x-3y-7=0 es 2x-5y+3+k(x-3y-7)=0, 
 
o bien, (2+k)x-(5+3k)y+(3-7k)=0 (1) 
 
La pendiente de cada una de las rectas del haz es 2+k/ 5+3k y la pendiente de 
la recta pedida es 1/4. 
 
 Por tanto 2+k = 1 , donde , k=-3 
 5+3k 4 
 
Sustituyendo este valor de k = -3 en (1) resulta la ecuación pedida, x-4y-24=0 
 
5.-Hallar la ecuación de las rectas que pasan por los puntos: 
a) (2,-3) y (4,2) sol. 5x-2y-16=0 
b) (-4,1) y (3,-5) sol. 6x+7y+17=0 
c) (7,0) y (0,4) sol. 4x+7y-28=0 
d) (0,0) y (5,-3) sol. 3x+5y=0 
 
 
 
6.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-2,3) y radio r=4. 
 
 (x+2)2+(y-3)2=16, o bien,x2+y2+4x-6y=3 
 
7.-Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia 
x2+y2-3x+5y-14=0 
 
a) sumando y restando los términos adecuados para completar los 
cuadrados, 
b) aplicando la formula general. 
 
8.-Hallar el valor de k para que la ecuación x2+y2-8x+10y+k=0 
represente una circunferencia de radio 7. 
 
9.-Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5,-2) y que pasa 
por el punto (-1,5) 
 
10.-Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto(-4,2) y 
que sea tangente a la recta 3x+4y-16=0. 
 
11.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por el punto (-
2,1) y sea tangente a la recta 3x-2y-6=0 en el punto (4,3). 
 
Como la circunferencia debe pasar por los puntos (-2,1)y (4,3), su centro estará 
situado sobre la mediatriz del segmento que determinan. Por otra parte, 
también debe pertenecer a la perpendicular a la recta 3x-2y-6=0 en el 
punto(4,3). 
 
12.-Hallar las ecuaciones de la circunferencia que pasen por los 
puntos A(1,2), B(3,4) y sean tangentes a la recta 3x+y-3=0 
 
13.-Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 que sea tangente 
a la recta 3x+4y-16=0 en el punto (4,1). 
 
14.-Hallar las ecuaciones de las dos circunferencias tangentes a las 
rectas 3x-4y+1=0 y 4x+3y-7=0 y que pasan por el punto (2,3) 
 
15.-Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 
x+y+4=0 y 7x-y+4=0 y que tenga su centro en la recta 4x+3y-2=0. 
 
16.-Hallar el lugar geométrico de los puntos (x’,y’) cuya suma de los 
cuadrados de sus distancias a las rectas 5x+12y-4=0 y 12x-5y+10=0 
sea igual a 5. 
 
 
 
EJERCICOS II-III-IV-V-VI UNIDAD 
 
 
17.- Que es y qué significa la sigla TMDA 
 
El TMDA, es un indicador de volumen de transito, que representa el promedio 
aritmético de los volúmenes diarios para todos los días del año, en una sección 
dada de la vía. Este indicador es utilizado tanto para le creación de un nuevo 
proyecto vial, como para determinar un nivel de deterioro de la vía. 
 
18.- Explique el desarrollo general de un proyecto vial 
 
Paso 1. Diseño del eje del camino, sobre plano digital o análogo. 
Paso 2. Obtener coordenadas de los vértices del proyecto. 
Paso 3. Replanteo en terreno de los vértices o puntos principales. 
Paso 4. Obtener cotas de los vértices. 
Paso 5. Dibujar planta, perfil longitudinal y proyectar. 
Paso 6. Afinación del trazado obviando vértices innecesarios según las 
condiciones de terreno. 
Paso 7. Solucionar gráficamente diseñando las curvas correspondientes, según 
velocidades de diseño obtener datos para el cálculo en tabla de Manual de 
Carreteras. 
Paso 8. Replanteo de estacado del eje y cuerdas de curvas horizontales, 
identificando principio de curva y fin de curva. 
Paso 9. Obtener cotas tanto del estacado del eje para confección del perfil 
longitudinal, como para el perfil transversal. 
Paso 10. Diseño definitivo de perfil longitudinal y transversal, para la 
determinación de rasantes, curvas verticales y perfiles tipos. 
Paso 11. Replanteo de estacas, dejando estas a cota de proyecto. 
Paso 12. Señalizar kilometrajes a un costado del camino. 
Paso 13. Materialización de PR (con coordenadas y cotas) cada 500 metros o 
menos, a lo largo del proyecto. 
 
19.- En la siguiente figura identifique talud, calzada, berma, pista 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20.- ¿Cuando una curva horizontal es a la izquierda o a la derecha? 
 
  : Ángulo de deflexión, formado por las dos rectas tangentes. 
Si  < 200  curva a la izquierda 
Si  > 200  curva a la derecha 
 
 
21.- Grafique en planta y perfil: 
 
Una calzada con dos pistas en el mismo sentido; dos calzadas bidireccionales 
(dos pistas por cada calzada en distinto sentido). 
 
Una calzada con dos pistas en mismo sentido Dos calzadas 
bidireccionales 
 
 
 
 
 
 
 
Calzada 
Pista 
Berma 
Talud 
22.- Que son los puntos de paso forzoso 
 
Los puntos de paso forzoso son aquellos por donde el proyecto debe pasar 
obligatoriamente como ser ciudades importantes, lugares turísticos, etc. 
 
 
23.- Indique cual es el ángulo de deflexión máximo de una curva 
circular. 
 
Un medio del ángulo del vértice = 1/2 w 
 
 
24.- Que es la pendiente relativa de borde. 
 
Es la inclinación respecto de la horizontal que se produce en la vía que crece o 
decrece según el avance de una curva horizontal y que depende directamente 
del peralte y ancho de la vía en cada punto. 
 
Es la diferencia de nivel expresada en % desde que el camino se empieza a 
mover hasta lograr el peralte máximo, por el borde externo del camino. 
 
Es la pendiente que tiene el borde del camino en la transición, producto de 
pasar de bombeo al peralte máximo. 
 
25.- Calcule las cotas del eje y bordes de los siguientes kilometrajes: 
1299,549; 1329,549; 1520,549; 1623.888. 
 
Datos: 
Ángulo del vértice: 32,2562 centesimal 
Radio: 500 mts. 
Pendiente relativa de borde: 0,35% 
Peralte: 8% 
Bombeo: 3% 
Ancho de la pista: 3,5 mts. 
Numero de pistas: 1 
Kilometraje del vértice: 1500 metros 
Cota en el eje del PC: 221,321 
Pendiente uniforme del eje del camino en sentido de avance de 1,5% 
Curva a la derecha. 
 
Parámetros de la curva circular 
 
Tangente: T = R * Tg (W/2)= 500 * Tg (32,2562/2)= 129,451mts. 
Desarrollo: D = ( PI * R * W)/(200)= (PI * 500 * 32,2562)/200 = 253,339 mts. 
 
Largos de transición 
 
L= n x a (P+B)/% = 1 * 3,5 * (8% + 3%)/0,35% = 110 mts. 
L1= n x a (0.7P+B)/ %= 1 * 3,5 * (5.6% + 3%)/0,35% = 86 mts. 
L2= n x a x B/ % = 1 * 3.5 * 3% / 0,35% = 30 mts. 
L3= n x a ( 2B )/%= 1 * 3,5 * 6 / 0,35% = 60 mts. 
 
Kilometrajes 
 
Km PC = Km V – T = 1500 – 129,451 = 1370,549 
Km PT = Km PC – L1 = 1370,549 – 86 = 1284,549 
Km b=0 = Km PT + L2 = 1284, 549 + 30 = 1314,549 
Km p=b = Km PT + L3 = 1284,549 + 60= 1344, 549 
Km FC = Km PC + D = 1370,549 + 253,339 = 1623, 888 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculo de cotas de los Km en el eje del camino. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Km 1299,549= cota PC – dfn= 221,321- 1.5*71/100 = 220,256 mts. 
Km 1329,549= cota PC – dfn= 221,321- 1.5*41/100 = 220,706 mts. 
Km 1520,549= cota PC + dfn= 221,321+ 1.5*150/100 = 223,571 mts. 
Km FC= cota PC + dfn= 221,321+ 1.5*253,339/100 = 225,121 mts. 
 
 
 
Calculo de cotas de los Km en los bordes. 
Km 1299,549 
 
Como el Km se encuentra entre PT y p=b se utilizara la formula 
P’ = ( 2 * b * X’ ) / L3 para determinar el bombeo correspondiente. 
La distancia X’ es tomada desde el PT al Km. 
 
P’ = (2 * 3 * (1299,549 - 1284,549))/ 60 = 1.5% 
 
Borde derecho = cota eje – dfn = 220,256 – 3%*3,5 /100 = 220,151 mts 
Borde izquierdo = 220,256 - 1.5%*3,5/100 = 220,204 mts 
 
Km 1329,549 
 
P’ = (2 * 3 * (1329,549 - 1284,549))/ 60 = 4.5% 
 
Como este Km se encuentra entre b=0 y p=b, se deberá restar al P’ el b. esto 
es: 
4.5% - 3% = 1.5%, siendo este el bombeo para el ala izquierda del Km. 
 
Borde Derecho = cota eje – dfn = 220,706 – 3%*3,5 /100 = 220,601 mts 
Borde izquierdo = 220,706 + 1.5%*3,5/100 = 220,759 mts 
 
Km 1520,549 
 
Como este Km se encuentra dentro de la curva corresponderá entonces el 
100% del peralte. (Km 1520,549 – Km PT > L) 
 
Borde Derecho = 223,571 – 8%*3,5 /100 = 223,291 mts 
Borde izquierdo = 223,571 + 8%*3,5/100 = 223,851 mts 
 
 
Km 1623, 888 
 
 Situación similar al caso anterior, con la diferencia que en este caso en el FC se 
desarrolla el 70% del peralte. 
 
Borde Derecho = 225,121 – 5,6%*3,5 /100 = 224,925 mts 
Borde izquierdo = 225,121 + 5,6%*3,5/100 = 225,317 mts 
 
 
 
 
 
 
 
26.- En la siguiente figura indique su correspondiente a bombeo, 
peralte igual cero, peralte igual bombeo, 70% peralte, peralte 
máximo 
 
 
 
 
 
 
 
 Pmax 70% P P=b P=0 b 
 
 
 
 
27.- El vértice de una curva circular se encuentra en la intersección de 
2 rectas que pasan por los puntos p1, p2, p3, p4. Calcular las 
coordenadas del vértice, PC y FC. 
 
Por no poder instalarse en PC o FC, se opto por replantear la curva desde el 
vértice calando al PC, obtener los respectivos ángulos y distancias. 
 
 
DATOS 
PUNTO NORTE ESTE 
P1 1000 1000 
P2 1000 2000 
P3 2000 2000 
P4 3000 1000 
 
Tangente = 70 mts 
Estacado del eje cada 20 metros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de la recta 
 
 Y-Y1/X-X1 = Y1-Y2/X1-X2 
 
Sea L1 la recta que pasa por los puntos p1 y p3 
 
Y-1000/X-1000 = 1000-2000/1000-2000 
Y-1000/X-1000= 1 
Y-1000 = X-1000 
Y = X-1000+1000 
Y=X 
 
Sea L2 la recta que pasa por los puntos p2 y p4 
 
Y-2000/X-1000 = 2000-1000/1000-3000 
Y-2000/X-1000 = -1000/2000 = -1/2 
Y-2000 = -1/2 * (X-1000) 
Y = -X/2 + 500 + 2000 
Y = -X/2 +2500 
 
L1: Y=X 
L2: Y=-X/2 +2500 
 
IGUALANDO L1 Y L2 QUEDA 
 
X = -X/2 +2500 
X + X/2 = 2500 
(2X + X)/2 = 2500 
2X + X = 5000 
3X=5000 
X=5000/3 = 1666.666667 
Y = 1666.666667 
 
Por lo tanto las coordenadas del vértice son: 
 
V = (1666.667; 1666.667) 
 
Calculo de azimut mediante coordenadas 
 
AZIMUT V – P1 = 250 
AZIMUT V – P2 = 170.4833 
 
Calculo de coordenadas PC y FC 
 
Utilizando azimut y tangente se calcula las coordenadas 
 
PC (1617.170; 1617.170) 
FC (1604.057; 1697.972) 
 
Calculo de parámetros de la curva 
 
W = 200 – [(AZ V-P1) – (AZ V-P2)] 
W = 200 – (250 – 170.4833) 
W = 120.4833 
 
T = R * Tg (W/2) => R = T / Tg(W/2) 
R = 50.453 
D = (PI x R x W)/200 
D = 95.485 
 
Calculo de ángulos de deflexión, azimut y coordenadas 
 
Ang. de deflexión = Cm * 1Recto = 31.83 * Cm 
 PI * R 
 
Semicuerda c/2 = R x Sen (W/2) = R x Sen (Ang. Deflexión) 
 
 
AZIMUT CUERDA = AZ PC-V + ANG. DEFLEXION 
AZ PC-V = 50.0000 
 
 
CUERDA DISTANCIA ANG. DEF C AZIMUT NORTE ESTE 
C1 20 12.6181 19.869 62.6181 1628.178 1633.711 
C2 40 25.2362 38.961 75.2362 1631.946 1653.22 
C3 60 37.8542 56.526 87.8542 1627.889 1672.67 
C4 80 50.4723 71.878 100.4723 1616.637 1689.046 
FC 95.485 60.2416 81.859 110.2416 1604.058 1697.972 
 
 
 
Calculo de ángulo de deflexión y distancias para el replanteo de las 
cuerdas desde el vértice. Se obtiene por diferencia de coordenadas, 
entre las coordenadas del vértice y las coordenadas del estacado. 
 
CUERDA ANG. DEFLEXION IZQ DISTANCIA 
C1 4.9204 50.671 
C2 26.4769 37.234 
C3 59.777 39.240 
C4 76.7773 54.807 
FC 79.5171 69.999 
 
 
 
28.- Calcule las cotas del eje y bordes de los siguientes kilometrajes: 
1299,549; 1329,549; 1520,549; 1623.888. 
Datos: 
Ángulo de deflexión: 232,2562 centesimal 
Radio: 500 mts. 
Pendiente relativa de borde: 0,35% 
Peralte: 8% 
Bombeo: 3% 
Ancho de la pista: 3,5 mts. 
Numero de pistas: 1 
Kilometraje del vértice: 1500 metros 
Cota en el eje del PC: 221,321 
Gradiente uniforme del eje del camino en sentido de avance de 1,5% 
 
Parámetros de la curva circular 
Tangente: T = R * Tg (W/2)= 500 * Tg (32,2562/2)= 129,451mts. 
Desarrollo: D = ( PI * R * W)/(200)= (PI * 500 * 32,2562)/200 = 253,339 mts. 
 
Largos de transición 
L= n x a (P+B)/% = 1 * 3,5 * (8% + 3%)/0,35% = 110 mts. 
L1= n x a (0.7P+B)/ %= 1 * 3,5 * (5.6% + 3%)/0,35% = 86 mts. 
L2= n x a x B/ % = 1 * 3.5 * 3% / 0,35% = 30 mts. 
L3= n x a ( 2B )/%= 1 * 3,5 * 6 / 0,35% = 60 mts. 
 
Kilometrajes 
Km PC = Km V – T = 1500 – 129,451 = 1370,549 
Km PT = Km PC – L1 = 1370,549 – 86 = 1284,549 
Km b=0 = Km PT + L2 = 1284, 549 + 30 = 1314,549 
Km p=b = Km PT + L3 = 1284,549 + 60 = 1344, 549 
Km FC = Km PC + D = 1370,549 + 253,339 = 1623, 888 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculo de cotas de los Km en el eje del camino. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cota Km 1299,549: cota PC + dfn= 221,321+ 1.5*71/100 = 222,386 mts. 
Cota Km 1329,549: cota PC + dfn= 221,321+ 1.5*41/100 = 221,936 mts. 
Cota Km 1520,549: cota PC - dfn= 221,321- 1.5*150/100 = 219,071 mts. 
Cota Km FC: cota PC - dfn= 221,321- 1.5*253,339/100 = 217,521 mts. 
 
Calculo de cotas de los Km en los bordes. 
 
Km 1299,549 
 
Como el Km se encuentra entre PT y p=b se utilizara la formula 
P’ = ( 2 * b * X’ ) / L3 para determinar el bombeo correspondiente. 
La distancia X’ es tomada desde el PT al Km. 
 
P’ = ( 2 * b * X’ ) / d = (2 * 3 * (1299,549 - 1284,549))/ 60 = 1.5% 
 
Borde Derecho = cota eje – dfn = 222,386 – 3%*3,5 /100 = 222,281 mts 
Borde izquierdo = 222,386 – 1.5%*3,5/100 = 222,334 mts 
 
Km 1329,549 
 
P’ = (2 * 3 * (1329,549 - 1284,549))/ 60 = 4.5% 
 
Como este Km se encuentra entre b=0 y p=b, se deberá restar al P’ el b. esto 
es: 
4.5% - 3% = 1.5%, siendo este el bombeo para el ala izquierda del Km. 
 
Borde Derecho = cota eje – dfn = 221,936 – 3%*3,5 /100 = 221,831 mts 
 
Borde izquierdo = 221,936 + 1.5%*3,5/100 = 221,989 mts 
 
Km 1520,549 
 
Como este Km se encuentra dentro de la curva corresponderá entonces el 
100% del peralte. (Km 1520,549 – Km PT > L) 
 
Borde Derecho = 219,071 – 8%*3,5 /100 = 218,791 mts 
Borde izquierdo = 219,071 + 8%*3,5/100 = 219,351 mts 
 
Km 1623, 888 
 
 Situación similar al caso anterior, con la diferencia que en este caso en el FC se 
desarrolla el 70% del peralte. 
 
Borde Derecho = 217,521 – 5,6%*3,5 /100 = 217,325 mts 
Borde izquierdo = 217,521 + 5,6%*3,5/100 = 217,717 mts 
 
 
29.- La intersección de dos rectas que pasan por los puntos P1P3 y 
P2P4 definen las coordenadas del vértice de una curva circular a la 
derecha. Las coordenadas de estos puntos son: 
 
Punto Norte Este 
P1 176,032 30,203 
P2 138,798 506,574 
P3 502,019 355,408 
P4 553,548 6,223 
 
Se sabe que el radio de la curva es de 142,504 metros, el kilometraje del fin de 
curva es de 1205,370 metros, peralte de 6%, bombeo de 2.5%, pendiente 
relativa de borde de 0.35%, ancho de la vía 3,5 metros. 
 
Calcular: 
 
a) Kilometrajes PT, PC, FT. 
b) Ángulos de deflexión, considerando que se replanteara por el borde 
derecho de la curva. cuerdas cada 30 metros. 
 
 
Desarrollo 
 
Sea L1, la recta que pasa por los puntos P1 y P3; y L2 la recta que pasa por los 
puntos P2 y P4.La ecuación que define una recta que pasa por dos puntos es: 
 
Y-Y1 = Y1-Y2 
X-X1 X1-X2 
 
Para L1: 
 
Y – 176,032 / X – 30,203 = 176,032 – 502,019 / 30,203 – 355,408 
 
Y – 176,032 / X – 30,203 = 1,002404637 
 
Y = 1,002404637X – 30,27562725 + 176,032 
 
L1: Y = 1,0024004637X + 145,7563728 
 
Para L2: 
 
Y – 138,798 / X – 506,574 = 138,798 – 553,548 / 506,574 – 6,223 
 
Y – 138,798 / X – 506,574 = -0,8289180995 
 
Y = -0,8289180995X +419,9083573 + 138,798 
 
L2: Y = -0,8289180995X X + 558,7063573 
 
Igualando ambas ecuaciones: 
 
1,0024004637X + 145,7563728 = -0,8289180995X X + 558,7063573 
1,831318563X = 412,9499845 
 
X = 225,4932554 
Y = 371,7909166 
 
 
Por lo tanto las coordenadas del vértice son: 
N = 371,791 
E = 225,493 
 
Calculo del ángulo del vértice, tangente y desarrollo. 
El ángulo del vértice se obtiene por la diferencia de azimutes. 
Azimut P1P3 = 49,9235 
Azimut P4P2 = 144,0622 
 
W = 144,0622 – 49,9235 = 94,1387 
T = R * Tg (W/2) = 129,953 metros. 
D = (  * R * W)/(200) = 210,725 metros. 
 
Calculo de largos de transición. 
 
L = n x a (P+B)/ % = 85 metros 
L1 = n x a (0.7P+B)/ % = 67 metros 
L2 = n x a x B/ % = 25 metros 
L3 = n x a (2B)/ % = 50 metros 
a) Kilometrajes 
 
Km FT = Km FC + L1 = 1205,370 + 67 = 1272,37 metros 
Km PC = Km FC – D = 1205,370 – 210,725 = 994,645 metros 
Km PT = Km PC – L1 = 994,645 – 67 = 927,645 metros 
 
b) Ángulos de deflexión 
 
 
Ang. de deflexión = Cm * 1Recto = 31.83 * Cm 
  * R R 
 
Desarrollo del borde derecho de la curva, se debe considerar el radio menos el 
ancho de la vía. 
 
 D = (  * (R- a) * W)/(200) = 205,549 metros. 
 
Cuerda acumulada Angulo de deflexión 
30 6,8698 
60 13,7396 
90 20,6094 
120 27,4792 
150 34,3489 
180 41,2188 
205,549 47,0694 
 
 
30.- El kilometraje del vértice de una curva horizontal es de 5321,70 
metros y el kilometraje del FC es de 5391.7 metros. Se sabe además 
que el valor de la semi cuerda es de 50 metros. Determine el valor de 
la tangente, radio y desarrollo de la curva. 
 
Formulas 
Tangente T = R x Tg (W/2) 
Semi cuerda c/2 = R x Sen (W/2) 
Desarrollo D = (  x R x W)/(200) 
 
Tangente: T = Km FC – Km V = 5321,7 – 5391,7 = 70 metros 
Semi cuerda: c/2 = 50 
 
Despejando la funcion seno de la formula de la tangente: 
 
70 = R* (Sen w/2/Cos w/2)=> Sen W/2 = (70 * Cos W/2) / R 
 
Y reemplezando en la formula de la semi cuerda: 
 
50 = R*(70 * Cos W/2)/R => Cos W/2 = 50 
 
Aplicando la funcion inversa: W/2 = 49.3503  W = 98.7007 
T = 70 
W = 98.7007 
R = 71.478 
D = 110.818 
 
 
31.- Con los siguientes datos correspondientes a una curva circular 
determine las cotas de los bordes en los kilometrajes 1100, 1120, 
1140, 1150: 
 
Angulo de deflexión: 176,3820 grados centesimales. Radio: 250 mts. 
Ancho vía: 3.5 mts peralte: 5% bombeo: 2% 
Pendiente relativa de borde: 0.35% km. del vértice: 1200 
Cota pc = 100 
 
w = ángulo del vértice = 200 – 176.3820 = 23,6180 grados centesimales 
(Curva a la izquierda) 
 
Tangente: T= R*Tg (w/2) = 46.913 
Desarrollo: D = (PI * R * w) /200 = 92.748 
 
Largos de transición 
 
L = n x a (p+b)/ %= 70 
L1 = n x a (0.7p+b)/ % = 55 
L2 = n x a x b / %= 20 
L3 = n x a ( 2b )/ %= 40 
 
Kilometrajes 
 
km pc = km v – t = 1153.087 
km fc = km pc + d = 1245.835 
km pt = km pc – l1 = 1098.087 
km p=0 = km pt + l2 = 1118.087 
km p=b = km pt + l3 = 1138.087 
km ft = km fc + l1 = 1300.835 
 
 
 
Cotas 
km 1100 – 1120: p’ = ( 2 * b * x’ ) / L3 
 
1100: x’ = km - km pt = 1100 – 1098.087 = 1.913 mts 
p’ = 0.1913 => b’ = 2-0.1913 = 1.8087% 
cota borde derecho: 100 - 1.8087% * 3.5/100 = 99.937 
cota borde izquierdo: 100- 2% *3.5 /100 = 99.930 
 
1120: x’ = km - km pt = 1120 – 1098.087 = 21.913 mts 
p’ = 2.1913 => b = 2 - 2.1913 = 0.1913% 
cota borde derecho: 100 + 0.1913*3.5/100 = 100.007 
cota borde izquierdo: 99.930 
 
km 1140 – 1150: p’’ = [ (x’’ * ( p+ b )) – (b* L ) ] / L 
 
1140: x’’ = km - km pt = 1140 – 1098.087 = 41.913 mts 
p’’ = 2.1913 => b = 2.1913 
cota borde derecho: 100 + 2.1913 * 3.5/100 = 100.077 
cota borde izquierdo: 100- 2.1913*3.5/100= 99.923 
 
1150: x’’ = km - km pt = 1150 – 1098.087 = 51.913 mts 
p’ = 3.1913 => b = 3.1913 
cota borde derecho: 100 + 3.1913*3.5/100 = 100.112 
cota borde izquierdo: 100 – 3.1913* 
 
32.- Indique cual es el ángulo de deflexión máximo de una clotoide. 
 
Un tercio de tau = 1/3 tau 
 
33.- que es el largo de transición 
 
Es la distancia donde se produce el cambio gradual desde bombeo a peralte. 
 
34.- Cuando un enlace clotoidal es asimétrico 
 
Cuando el parámetro (A) de la clotoide de entrada es distinto al de la clotoide 
de salida. 
 
35.- Cual es el objetivo del diagrama de peralte y bombeo. 
 
Este diagrama permite visualizar las variaciones de peralte y bombeo de cada 
uno de los lados de la vía. Para una determinada velocidad de diseño, están 
establecidas normas que permiten obtener los parámetros mínimos o máximos 
de peralte y otras aplicaciones. 
36.- En un enlace clotoidal asimétrico, como se denomina el punto de 
intersección donde la curva circular y la clotoide tienen el mismo 
radio. 
 
Principio de curva 
 
37.- En un enlace clotoidal, que porcentaje de peralte se tiene en el 
principio de la curva circular. 
 
100% del peralte 
 
38.- Cuando un enlace clotoidal es simétrico 
 
Cuando el parámetro (A) que lo define es único 
 
39.- Calcule los Kilometrajes de PK, PC, FC y FK. 
 
Datos: 
 
 Clotoide entrada Clotoide salida 
Angulo del vértice 32 32 
Radio 1000 1500 
desarrollo 200 150 
 
 
Kilometraje del vértice: 100+250 
 
No corresponde realizar cálculos ya que el radio debe ser el mismo para el 
enlace clotoidal. 
 
 
40.- Calcule los ángulos de deflexión de una curva circular con enlace 
clotoidal asimétrico. Cuerdas cada 30 metros. 
 
Datos: 
 Clotoide entrada Clotoide salida 
Angulo del vértice 32 32 
Radio 1000 1000 
desarrollo 180 150 
 
 
Calculo de tau en grados centesimales 
 
Clotoide en entrada: p1 = 31.831 L / R = 5,7300 centesimal 
Parámetro: A1 = 424,264 
 
Clotoide de salida: p2 = 31.831 L / R = 4,7750 centesimal 
Parámetro: A2= 387,298 
 
Calculo del ángulo del vértice de la curva circular 
 
W’ = W - p1-p2 = 32 – 5.73 – 4.775 = 21,495 
 
D = (  * R * W’)/(200) = 337,643 metros. 
 
 
Calculo de deflexiones clotoide de entrada 
 
 
Angulo de deflexión =  = 63.66* Cm / 6A2 
 
Cuerda acumulada Angulo de deflexión 
30 0,0531 
60 0,2122 
90 0,4775 
120 0,8488 
150 1,3263 
180 1,9098 
 
 
Calculo de deflexiones curva circular 
 
Ang. de deflexión = Cm * 1Recto = 31.83 * Cm 
  * R R 
 
 
Cuerda acumulada Angulo de deflexión 
30 0,9549 
60 1,9099 
90 2,8648 
120 3,8197 
150 4,7746 
180 5.7295 
210 6.6845 
240 7.6394 
270 8.5944 
300 9.5493 
330 10.5042 
337,643 10.7475 
 
 
 
 
 
Calculo de deflexiones clotoide de salida 
 
Angulo de deflexión =  = 63.66* Cm / 6A2 
 
Cuerda acumulada Angulo de deflexión 
30 0,0637 
60 0,2546 
90 0,5729 
120 1,0186 
150 1,5915 
 
41.- Que es una clotoide 
 
La CLOTOIDE es una curva espiral, utilizada para proporcionar una transición 
gradual de la curvatura en curvas horizontales 
 
 
42.- Las posibilidades de aplicación de la Clotoide 
 
La curva de transición es un arco de clotoide desde el radio (unión a una recta) 
hasta el radio del arco circular siguiente. 
 
La clotoide de vértice representa la transición entre dos rectas de direcciones 
distintas. Se compone de dos ramas de clotoide con el mismo radio de 
curvatura y tangente común en su punto de contacto. 
 
La curva de inflexión es una curva en S, que une dos círculos de curvaturas 
opuestas, sin segmento rectilíneo intermedio. Consta de dos ramas de 
clotoide, cuyo punto de origen es común, siendo en él el radio infinito para 
ambas y la tangente común. 
 
La ovoide es una sucesión círculo – clotoide – círculo, siendo del mismo sentido 
la curvaturade las tres curvas. El arco de clotoide intermedio tiene, en los 
puntos de contacto con los círculos, tangentes comunes y radios iguales 
respectivamente. 
 
 La serie de clotoides es una sucesión de arcos de clotoide en los que 
siendo distintos los parámetros de cada uno, las curvaturas están dirigidas y 
son crecientes en el mismo sentido, con tangentes comunes y la misma 
curvatura, para cada dos arcos sucesivos, en su punto de contacto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
43.- Grafique dos curvas verticales cóncavas y 2 convexas. 
 
Cóncavas 
 
 
 
Convexas 
 
 
 
 
44.- En que plano topográfico se diseña la curva horizontal y la curva 
vertical. 
 
Diseño curva horizontal plano planta 
Diseño curva vertical plano perfil longitudinal 
 
45.- Que información se obtiene del perfil transversal en proyectos de 
caminos. 
 
Cota proyecto de eje y bordes 
Cubicación de corte o relleno 
 
 
46.- Explique y grafique la forma de colocar estacas y la respectiva 
cota de proyecto. 
 
- Se obtiene la cota de rasante del perfil transversal 
- Se estaca bordes y eje camino 
- Se arrastra cota al sector de interes 
- Se obtiene lectura a realizar a cabeza de estaca, para ello a la cota 
instrumental se le restara la cota de rasante. 
- Se subirá o bajara la estaca hasta conseguir la lectura deseada. 
47.- Que requisito se debe cumplir para que exista curva vertical. 
 
Para que exista curva vertical se debe cumplir que la pendiente de entrada 
menos la de salida debe ser mayor a 0.5% 
 
  = I i1 – i2 I > 0.005 (0,5%) 
 
 
48.- Que sucede en la curva horizontal cuando se le inserta una 
clotoide. 
 
Se produce un retranqueo, es decir el radio de la clotoide sera el radio de la 
circular más un delta r. 
 
 Se desplazan PC y FC. 
 Se obtiene un nuevo w 
 El desarrollo disminuye. 
 
49.- Como se replantean los bordes de una curva. 
 
Se puede obtener un nuevo desarrollo para borde interior y exterior, para 
interior el radio disminuye el ancho de camino, para borde exterior el radio 
aumenta el ancho de camino. 
 
50.- Calcule las cotas del eje y bordes de una curva vertical cuyos 
parámetros son: 
 
T = 90 mts 
K = 6000 
i1 = 4.5 % 
i2 = -6.3 % 
COTA PC = 100 mts 
BOMBEO = 2.5 % 
ANCHO CAMINO 3.5 mts 
  = I i1 – i2 I = I 4.5 – (-6.3) I = 10.8% POR LO TANTO SI EXISTE CURVA 
VERTICAL 
 
Calculo de cotas 
COTA PC = 100 
COTA V = 100 + DFN = 100 + (4.5% * 90)/100 = 104.05 
COTA FC = COTA V – DFN = 104.05 – (6.3%*90)/100 = 98.38 
 
 
 
 
 
Cotas eje segun proyecto 
 
CUERDA DISTANCIA DFN COTA 
PC 0 0 100 
C1 20 0.9 100.9 
C2 40 1.8 101.8 
C3 60 2.7 102.7 
C4 80 3.6 103.6 
V 90 4.05 104.05 
C5 80 -0.63 103.42 
C6 60 -1.89 102.16 
C7 40 -3.15 100.9 
C8 20 -4.41 99.64 
FC 0 -5.67 98.38 
 
 
Cotas eje corregidas 
Y = X2/2K 
C. CORR = COTA - Y 
 
CUERDA X X^2 Y COTA C. CORR 
PC 0 0 0 100 100 
C1 20 400 0.033 100.9 100.867 
C2 40 1600 0.133 101.8 101.667 
C3 60 3600 0.300 102.7 102.400 
C4 80 6400 0.533 103.6 103.067 
V 90 8100 0.675 104.05 103.375 
C5 80 6400 0.533 103.42 102.887 
C6 60 3600 0.300 102.16 101.860 
C7 40 1600 0.133 100.9 100.767 
C8 20 400 0.033 99.64 99.607 
FC 0 0 0 98.38 98.38 
 
Calculo cotas borde 
CUERDA C. EJE DFN C.B.D. C.B.I. 
PC 100 0.0875 99.9125 99.9125 
C1 100.867 0.0875 100.7795 100.7795 
C2 101.667 0.0875 101.5795 101.5795 
C3 102.400 0.0875 102.3125 102.3125 
C4 103.067 0.0875 102.9795 102.9795 
V 103.375 0.0875 103.2875 103.2875 
C5 102.887 0.0875 102.7995 102.7995 
C6 101.860 0.0875 101.7725 101.7725 
C7 100.767 0.0875 100.6795 100.6795 
C8 99.607 0.0875 99.5195 99.5195 
FC 98.38 0.0875 98.2925 98.2925 
51.- Calcule y corrija las cotas de una curva vertical, en los siguientes 
kilometrajes: 
 
 
Kilometraje Cota terreno 
100+41,71 100,018 
100+60,63 99,900 
100+93,44 99,752 
100+137,22 98,854 
100+157,79 98,593 
 
Datos: 
Gradiente de entrada: 2,5% 
Pendiente de salida: 5,8% 
Tangente: 75 mts. 
Km V: 100+111,18 
Cota vértice: 97,203  = I 2,5 – 5,8 I = 3,3% > 0.005 (0,5%) entonces corresponde curva vertical. 
 
2T = K => K = 2T/ = 150/0.033 = 4545,455 mts 
 
 
Calculo de kilometrajes 
Km PC= Km V – T = 100+111,18 – 75 = 100+ 36,18 
Km FC = Km V + T = 100+111,18 + 75 = 100+186,18 
 
 
Calculo de cotas corregidas 
 
En esta operación se utilizara la formula Y = X2/2K, donde la distancia X es la 
obtenida de restar el Km con el PC o FC, según corresponde. 
 
Kilometraje Cota X X2 Y Cota 
Corregida 
100+41,71 100,018 5,53 30,581 0,003 100,015 
100+60,63 99,900 24,45 597,803 0,066 99,834 
100+93,44 99,752 57,26 3278,7076 0,360 99,391 
100+137,22 98,854 48,96 2397,082 0,263 98,590 
100+157,79 98,593 28,39 805,992 0,089 98,504 
 
 
Y = X2/2K 
 
 
 
 
52.- Con los siguientes datos confeccionar un diagrama de curva 
peralte y bombeo: 
 
PARAMETRO CURVA 1 CURVA 2 
A 223 215 
R 210 320 
P 8% 4% 
B 25 2% 
 
Vd=70 km/hr 
Ancho pista = 3.5 metros 
Distancia entre FC1 y PC2 = 60 metros. 
 
53.- Se solicita replantear una curva circular cuyo vértice se encuentra 
en el Km 100+215, dicha curva tiene un enlace clotoidal cuyos 
parámetros son: 
 
Angulo del vértice: 23,80 grados centesimales. 
Tau 1: 0.01125 radianes 
L1: 22,5 
A2: 200 
B: 25 
P: 6% 
Vd: 70 km/hr 
Pendiente relativa: 0.35% 
 
Producto de la topografía del terreno se diseño una curva vertical cuyo vértice 
se encuentra en el km 100+379,587, los parámetros de la curva son 
K: 6000 
2T: 180 
Pendiente entrada: 2.5% 
Pendiente salida: 1.3% 
 
Calcular los kilometrajes de Pk, PC, FC, Fk, y de los PC y FC de la curva vertical. 
Confeccionar diagrama de curva. 
Indicar que tipo de curva vertical es. 
Calcular las cotas de bordes y eje de los kilometrajes: 100+289,857; 
100+379,587; 100+469,587. 
 
Cota del PC de la curva vertical= 100 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
54.- Con los siguientes datos correspondientes a dos perfiles 
transversales, calcular la superficie y volumen entre ellos. 
 
Perfil transversal 1 
Distancia Cota terreno Cota rasante 
0.00 eje 102.40 102.252 
3.5 izquierda 102.54 102.252 
6.0 izquierda 102.60 102.253 
3.6 derecha 102.33 102.498 
6.0 derecha 102.43 102.672 
 
Perfil transversal 2 
Distancia Cota terreno Cota rasante 
0.00 eje 102.80 102.566 
3.5 izquierda 102.95 102.878 
6.0 izquierda 103.10 103.10 
3.6 derecha 102.53 102.256 
6.0 derecha 102.30 102.198 
 
Distancia entre perfiles 20 metros. 
Usar fórmula de cálculo de superficie por coordenadas. 
 
55.- Calcule las cotas de las secciones trasnversales que se 
materializan en terreno de acuerdo a los datos entregados en los 
siguientes elementos: PC1, PC2, FC2. 
 
Parámetro Curva 1 Curva 2 
Angulo de deflexión 240 235 
Radio 210 260 
peralte 5% 4% 
 
Vd: 70 km/hr. 
Ancho camino: 3.5 metros. 
Bombeo: 2% 
 
La pendiente longitudinal es del 2% a partir del principio de transición de la 
curva 1 y una cota de 100 metros en el PC1. La separación entre curvas es de 
40 metros. 
 
56.- Calcule los kilometrajes para Pk, PC, FC, Fk 
 
Parámetro Enlace 1 Enlace 2 
Angulo del vértice 32 32 
Radio 1000 1000 
desarrollo 200 150 
 
Kilometraje del vértice: 100+365.8 
 
57.- Calcule todos los parámetros de la clotoide y curva circular. 
 
R:150 metros 
A: 90 
Angulo del vértice: 32 grados centesimales. 
 
 
58.- Calcule todos los parámetros de las clotoide utilizando los 
siguientes datos: 
 
A1: 140 
A2: 160 
R: 500 
Angulo del vértice: 36,9070 grados centeceimales. 
 
59.- Para el diseño de un camino, en el kilometro 6000 se encuentra 
un vértice cuyo ángulo de vértice es 25,60 grados centesimales. Para 
los datos que se entregan determinar L, R, Tl, Tc, Km PC, Km FC, Km 
PK, Km FK. 
 
Xclot: 95,676 
Tau: 10,08856 grados centesimales. 
 
60.- Replantear curva circular cuyo vértice se encuentra en el 
kilometro 100+215, el cual tiene un enlace clotoidal. 
 
Datos 
Angulo del vértice: 23,80 grados centesimales. 
Tau1: 0.01125 radianes 
L1: 22,5 
A2: 200 
B: 2% 
P: 6% 
Pendiente relativa: 0,35% 
Cuerdas: 10 metros. 
 
 
 
El vértice de una curva circular a la derecha, se encuentra en la 
intersección de dos rectas que pasan por los puntos P1P3 yP2P4. Las 
coordenadas de estos puntos son: (4,0 puntos) 
 
PUNTO NORTE ESTE 
P1 7378463,191 357087,336 
P2 7378474,796 357803,509 
P3 7378057,821 357810,266 
P4 7378046,215 357094,094 
Calcular las cotas del eje y de los bordes de los siguientes 
kilometrajes 1+218,128; 1+300,128; 1+387,908 
Datos: n=1, a=3.5, P=6%, b=2%, pendiente relativa = 0.35%, 
Km PC = 1+250,128, Cota PC = 150 mts. 
Se sabe que las coordenadas del principio de transición son 
7378192,249; 357335,819 y que la distancia desde el PT al PC es de 
62 metros. 
El proyecto tiene una gradiente de entrada uniforme del 1% hasta el 
FC, pasando luego a una pendiente del 2%. 
 
 
CALCULO DE LAS COORDENADAS DEL VERTICE 
 
Ecuación de la recta 
 Y-Y1/X-X1 = Y1-Y2/X1-X2 
 
Sea L1 la recta que pasa por P1P3 
 
Y-7378463.191/X-357087.336 = 7378463.191–7378057.821/ 357087.336 –
357810.266 
Y-7378463.191/X-357087.336 = -405.37 / 722.93 = -0.5607320211 
Y-7378463.191 = -0.5607320211* (X-357087.336) 
Y = (-0.5607320211* (X-357087.336)) + 7378463.191 
Y= -0.5607320211X + 200230.3036 + 7378463.191 
Y = -0.5607320211X + 7578693.495 (L1) 
 
Sea L2 la recta que pasa por P2P4 
 
Y-7378474.796/X-357803.509 = 7378474.796-7378046.215/357803.509-
357094.094 
Y-7378474.796/X-357803.509= 428.581/709.415 = 0.6041329828 
Y-7378474.796= 0.6041329828* X-357803.509 
Y=(0.6041329828* X-357803.509)+ 7378474.796 
Y=0.6041329828X – 216160.9011 + 7378474.796 
Y = 0.6041329828X + 7162313.895 (L2) 
 
IGUALANDO L1 Y L2 QUEDA 
-0.5607320211X + 7578693.495 = 0.6041329828X + 7162313.895 
0.5607320211X - 0.6041329828X = 7162313.895 - 7578693.495 
-1.164865004X = -416379.6 
X = 357448.801 
Y = 7378260.506 
 
Por lo tanto las coordenadas del vértice son: 
 
V = (7378260.506, 357448.801) 
 
 
CALCULO DEL ÁNGULO DEL VÉRTICE 
 
AZIMUT V – P2 = 65.4028 
AZIMUT V – P3 = 132.5342 
 
W = AZIMUT V – P3 - AZIMUT V – P2 
W = 67.1314 grados centecimales 
 
 
CALCULO DE LA TANGENTE 
 
T = DH PT V – L1 
DH PT V = 132 – 62 = 70 
 
CALCULO DE LOS PARÁMETROS DE LA CURVA 
 
T = 70 mts 
W= 67.1314 
R = T / Tg (W/2) = 120.228 mts 
D = (PIx R x W)/(200) = 126.780 mts 
 
CALCULO DE LOS LARGOS DE TRANSICIÓN 
L = n x a (P+B) /Δ = 80 mts 
L1 = n x a (0.7P+B) /Δ = 62 mts 
L2 = n x a x B /Δ = 20 mts 
L3 = n x a ( 2B ) /Δ = 40 mts 
 
CALCULO DE KILOMETRAJES 
Km PC = 1+250,128 
Km FC = Km PC + D = 1250,128 + 127,780 = 1376.908 
Km PT = Km PC – L1 = 1250.128 – 62 = 1188.128 
Km b=0 = Km PT + L2 = 1188.128 + 20 = 1208.128 tangente de entrada 
Km P=b = Km PT + L3 = 1188.128 + 40 = 1228.128 tangente de entrada 
Km FT = Km FC + L1 = 1377.908 + 62 = 1438.908 
Km b=0 = Km FT - L2 = 1439.908 - 20 = 1418.908 tangente de salida 
Km P=b = Km FT - L3 = 1439.908 + 40 = 1398.908 tangente de salida 
 
DIAGRAMA DE CURVA 
 
 
 
 
CALCULO DE LAS COTAS 
Cota PC = 150 mts 
Cota PT= cota PC + dfn = 150 + (1%*62)/100 = 150,62 
Cota FC = cota PC - dfn = 150 - (1%*127,78)/100 = 148,722 
Cota FT= cota FC + dfn = 148,722 + (2%*62)/100 = 149,962 
Cota Km 1218,128 = Cota FT – dfn = 150,620 - (1%*30)/100 = 150,32 
Cota Km 1300,128 = Cota PC – dfn = 150 - (1%*50)/100 = 149,5 
Cota Km 1387,908 = Cota FC + dfn = 150,620 + (2%*)/100 = 148,942 
 
Calculo de cotas en el Km 1218,128 
Como el Km se encuentra entre PT y p=b se utilizara la formula P’ = ( 2 * b * 
X’ ) / para determinar el bombeo correspondiente. La distancia X’ es tomada 
desde el PT al Km. La distancia d es igual a la distancia en que p=b. 
 
P’ = ( 2 * b * X’ ) / d = (2 * 2 * (1218,128 – 1188,128))/ 40 = 3% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular la diferencia de nivel al P’ se le resta el b 
 
Borde izquierdo = cota eje + dfn = 150,32 + 1%*3,5 /100 = 150,355 mts 
Borde Derecho = 150 ,32– 2%*3,5/100 = 150,25 mts 
 
Calculo de cotas en el Km 1300.128 
Como este Km se encuentra dentro de la curva corresponderá entonces el 
100% del peralte. 
 
Borde izquierdo = 149,5 + 6%*3,5 /100 = 149,71 mts 
Borde Derecho = 150 - 6%*3,5/100 = 149.29 mts 
 
Calculo de cotas en el Km 1387.908 
Como este Km se encuentra entre el FC y el P=b se utiliza la formula siguiente 
 
P’’ = [ (x’’ * ( P+ b )) – (b* L ) ] / L 
Siendo x’’ la distancia a la cual se desea conocer el peralte. Esta va desde el FT 
en dirección del FC. 
 
x’’ = kmFT - km 1387.908 = 1439.908 – 1387.908 = 52 mts 
P’’ = [ (52 * ( 6+ 2 )) – (2* 80 ) ] / 80 = 3.2% 
Cota borde izquierdo: 148,942 + 3.2* 3.5/100 = 149,065 
Cota borde derecho: 148,942- 3.2*3.5/100=148,820 
61.- Calcule y corrija las cotas de proyecto (rasante) de una curva 
vertical, en los siguientes kilometrajes: (2,0 puntos) 
 
Kilometraje Cota terreno 
100+41,71 100,018 
100+60,63 99,900 
100+93,44 99,752 
100+137,22 98,854 
100+157,79 98,593 
 
Datos: 
 
Gradiente de entrada: 2,5% 
Pendiente de salida: 5,8% 
Km PC = 100+36,18 mts. 
Km V= 100+111,18 
Cota rasante vértice: 97,203 
  = I -2,5 – 5,8 I = 8,3% > 0.005 (0,5%) entonces corresponde curva 
vertical. 
 
T= Km V – Km PC = 111,18 – 36,18 = 75  2T = 150 mts. 
2T = K => K = 2T/ = 150/0,083 =1807,229 mts 
 
 
Calculo de kilometrajes 
Km FC = Km V + T = 100+111,18 + 75 = 100+186,18 
 
 
Calculo de cotas corregidas 
 
Primero se calculan las cotas de rasante en los respectivos kilometrajes. Luego 
se determina la corrección utilizando la formula Y = X²/2K, donde la distancia X 
es la obtenida de restar el Km con el PC o FC, según corresponde. 
 
 
 
 Kilometraje Cota 
terreno 
DH Dif. Nivel Cota 
Rasante 
PC 100+36,18 75 1,875 99,078 
 100+41,71 100,018 69,47 1,737 98,940 
 100+60,63 99,900 50,55 1,264 98,467 
 100+93,44 99,752 17,74 0.444 97,647 
V 100+111,18 97,203 0 0 97,203 
 100+137,22 98,854 26,04 1,510 98,713 
 100+157,79 98,593 46,61 2,703 99,906 
FC 100+186,18 75 4,35 101,556 
 Kilometraje Cota 
Rasante 
X X² Y Cota 
Corregida 
PC 100+36,18 99,078 0 0 
 100+41,71 98,940 5,53 30,5809 0,008 98,948 
 100+60,63 98,467 24,45 597,8025 0,165 98,632 
 100+93,44 97,647 57,26 3278,7076 0,907 98,554 
V 100+111,18 97,203 75 5625 1,556 2,698 
 100+137,22 98,713 48,96 2397,0816 0,663 99,376 
 100+157,79 99,906 28,39 805,9921 0,223 100,129 
FC 100+186,18 101,556 0 0 
 
 
62.- Calcular y corregir las cotas de una curva vertical cuyos datos 
son: 
 
 
 
K = 6000 
i1 = -4,5 % 
i2 = 6,3 % 
COTA RASANTE PC = 104 mts 
BOMBEO = 2,5 % 
ANCHO CAMINO 3,5 mts 
  = I i1 – i2 I = I -4,5 – 6,3 I = 10,8% POR LO TANTO EXISTE CURVA 
VERTICAL 
 
Calculo de cotas de rasante (0,7 puntos) 
Cota PC = 104 
Cota P7 = Cota PC - DFN = 104 - (4,5% * 15)/100 = 103,325 
Cota P8 = Cota PC - DFN = 104 - (4,5% * 28)/100 = 102,74 
Cota V = Cota PC - DFN = 104 + (4,5% * 31)/100 = 102,605 
Cota P9 = Cota V + DFN = 102.605 + (6,3% * 15)/100 = 103,55 
Cota FC = Cota V + DFN = 102.605 + (6,3%*31)/100 = 104,558 
 
 
Cotas eje corregidas 
Y = X2/2K 
C. CORR = COTA RASANTE + Y 
 
 
CUERDA X X^2 Y COTA 
RASANTE 
COTA 
CORREGIDA 
PC 0 0 0 104 104 
P7 15 225 0.01875 103.325 103.344 
P8 28 784 0.06533 102.74 102.805 
V 31 961 0.08008 102.605 102.685 
P9 16 256 0.02133 103.55 103.571 
FC 0 0 0 104.558 104.558 
 
 
 
63.- Las coordenadas de PC, V y FC, de una curva circular son: 
 
 
PUNTO NORTE ESTE 
PC 7378294,742 357387,745 
V 7378260.506 357448.801 
FC 7378296,703 357508,716 
 
 
 
 
a) Calcular: ángulo del vértice, tangente, radio, desarrollo. 
 
CALCULO DEL ÁNGULO DEL VÉRTICE: 
w = (AZIMUT V PC – 200) - AZIMUT V FC 
AZIMUT V PC = 332,5341 
AZIMUT V FC = 65,4024 
w = 67,1317 grados centecimales 
 
CALCULO DE LA TANGENTE: T = DH V PC = DH V FC =70 mts 
CALCULO DEL RADIO: R = T / Tg (w/2) = 120,227 mts 
CALCULO DEL DESARROLLO: D = (PI * R * w)/(200) = 126,779 mts 
 
b) Calcular las cotas del eje y de los bordes de los siguientes 
kilometrajes 1218,128; 1300,128; 1387,908. Datos: n=1; a=3,5; 
P=6%; b=2%; pendiente relativa = 0,35%; kilometraje PC 
1250,128; Cota eje PC 150 metros. 
 
CALCULO DE LOS LARGOS DE TRANSICIÓN 
L = n x a (P+B) /Δ = 80 mts 
L1 = n x a (0,7P+B) /Δ = 62 mts 
L2 = n x a x B (L2) /Δ = 20 mts 
L3 = n x a ( 2B ) /Δ = 40 mts 
 
CALCULO DE KILOMETRAJESKm PC = 1250,128 
Km FC = Km PC + D = 1250,128 + 126,779 = 1376,907 
Km PT = Km PC – L1 = 1250.128 – 62 = 1188,128 
Km b=0 = Km PT + L2 = 1188.128 + 20 = 1208,128 tangente de entrada 
Km P=b = Km PT + L3 = 1188.128 + 40 = 1228,128 tangente de entrada 
Km FT = Km FC + L1 = 1376.907 + 62 = 1438,907 
Km b=0 = Km FT - L2 = 1438.907 - 20 = 1418,907 tangente de salida 
Km P=b = Km FT - L3 = 1439.908 - 40 = 1398,907 tangente de salida 
 
 
 
 
CALCULO DE LAS COTAS 
Cota PC = 150 mts 
 
Calculo de cotas en el Km 1218.128 
Como el Km se encuentra entre PT y p=b se utilizara la formula P’ = ( 2 * b * 
X’ ) / d para determinar el bombeo correspondiente. La distancia X’ es tomada 
desde el PT al Km. La distancia d es igual a la distancia en que p=b. 
 
P’ = ( 2 * b * X’ ) / d = (2 * 2 * (1218,128 – 1188.128))/ 40 = 3% 
 
 
 
 
 
Para calcular la diferencia de nivel al P’ se le resta el b. 
 
Borde Derecho = cota eje + dfn = 150 + 1%*3,5 /100 = 150.035 mts 
Borde izquierdo = 150 – 2%*3,5/100 = 149.93 mts 
 
 
Calculo de cotas en el Km 1300.128 
Como este Km se encuentra dentro de la curva corresponderá entonces el 
100% del peralte. 
 
Borde Derecho = 150 + 6%*3,5 /100 = 150.21 mts 
Borde izquierdo = 150 - 6%*3,5/100 = 149.79 mts 
 
 
Calculo de cotas en el Km 1387.908 
Como este Km se encuentra entre el FC y el P=b se utiliza la formula siguiente 
 
P’’ = [ (x’’ * ( P+ b )) – (b* L ) ] / L 
Siendo x’’ la distancia a la cual se desea conocer el peralte. Esta va desde el FT 
en dirección del FC. 
 
x’’ = kmFT - km 1387.908 = 1438.907 – 1387.908 = 50,999 mts 
P’’ = [ (50,999 * ( 6 + 2 )) – (2 * 80 ) ] / 80 = 3,09% 
Cota borde derecho: 150 + 3,09* 3,5/100 = 150,109 
Cota borde izquierdo: 100 - 3,09*3,5/100= 149,892 
 
 
64.- Las coordenadas del vértice de una curva circular son N: 
7378260,506; E: 357448,801. Las coordenadas de un punto en la 
alineación recta de entrada que se encuentra en el kilometraje 
100+122,5 son N: 7378185,367; E: 357640,059. El rumbo desde el 
vértice al FC es de S . La bisectriz es de 8,915 metros. 
Calcular: 
a) Los parámetros de la curva (ángulo del vértice, tangente, radio y 
desarrollo) 
 
Angulo del vértice 
AZIMUT desde el vértice al punto: Az= 123,8314 
Angulo del vértice: w= 200 - Az VFC – Az Vp = 200 – 273.7966 – 123.8314 = 
50,0348 
 
T, R y D 
Despejando Radio de la bisectriz: S= (R*Sec(w/2)) – R  R = S / (Sec(w/2)-1) 
= 108,041 
 
T = R * Tg (W/2) = 44,787 
D = (PIx R x W)/(200) = 84,914 
 
b) Los largos de transición y kilometrajes de PC, FC, PT, FT, b=0, b=P 
(para tangente de entrada y tangente de salida) Datos: n=1; a=3.5; 
P=6%; b=2%; pendiente relativa = 0.35%; 
 
Largos de transición 
L = n x a (P+B) /Δ = 80 mts 
L1 = n x a (0.7P+B) /Δ = 62 mts 
L2 = n x a x B (L2) /Δ = 20 mts 
L3 = n x a ( 2B ) /Δ = 40 mts 
 
Calculo de kilometrajes 
Km punto = 100+122,5 
Distancia V-punto = 205,488 
Km PC = Km punto + (distancia Vpunto – T)= 122,5 + (205,488 – 44,787) = 
283,201 
Km FC = Km PC + D = 283,201 + 84,914 = 368,115 
Km PT = Km PC – L1 = 283,201 – 62 = 221,201 
Km b=0 = Km PT + L2 = 221,201 + 20 = 241,201 tangente de entrada 
Km P=b = Km PT + L3 = 221,201 + 40 = 261,201 tangente de entrada 
Km FT = Km FC + L1 = 368,115 + 62 = 430,115 
Km b=0 = Km FT - L2 = 430,115 - 20 = 410,115 tangente de salida 
Km P=b = Km FT - L3 = 430,115 - 40 = 390,115 tangente de salida 
 
 
 
 
 
 
c) Calcular las cotas del eje y de los bordes de los siguientes 
kilometrajes 100+ 271,310; 100+389,001. Cota en el borde izquierdo 
del FT de 125,93 metros. El proyecto tiene una gradiente uniforme del 
1.5% en el sentido de avance. 
 
Calculo de cotas en el Km 100+271,310 
 
Cota eje FT= cota borde izquierdo + Dfn = 125,93 + (2%* 3.5/100) = 126,000 
 
Como este Km se encuentra entre el b=P y el PC se utiliza la formula siguiente 
 
P’’ = [ (x’’ * ( P+ b )) – (b* L ) ] / L 
Siendo x’’ la distancia a la cual se desea conocer el peralte. Esta va desde el PT 
en dirección del PC. 
 
x’’ = km - km PT = 271,310 – 221,201 = 50,109 mts 
P’’ = [ (50,109 * ( 6+ 2 )) – (2* 80 ) ] / 80 = 3.01% 
Cota eje km= Cota eje FT + Dfn= 126,000 + (1.5*158,805/100)= 128,382 
Cota borde izquierdo= Cota eje - Dfn = 128,382 - (3,01* 3.5/100) = 128,277 
Cota borde derecho= cota eje + Dfn = 128,382 + (2.11*3.5/100) = 128,487 
 
 
Calculo de cotas en el Km 100+389,001 
Este Km se encuentra entre el b=P y FC, por lo tanto la distancia x’’ a la cual 
se desea conocer el peralte, va desde FT en dirección del FC. 
 
P’’ = [ (x’’ * ( P+ b )) – (b* L ) ] / L 
x’’ = km FT - km= 430,115 – 389,001 = 41,114 mts 
P’’ = [ (41,114 * ( 6+ 2 )) – (2* 80 ) ] / 80 =2,11% 
 
Cota eje km= Cota eje FT + Dfn= 126,000 - (1.5*41,114/100)= 126,617 
Cota borde izquierdo= Cota eje - Dfn = 126,617 - (2.11* 3.5/100) = 126,543 
Cota borde derecho= cota eje + Dfn = 126,617 + (2.11*3.5/100) = 126,691 
 
 
 
65.- Las coordenadas del vértice de una curva circular son N-
7.378.260,506; E-357.448,801. Las coordenadas de un punto, en la 
alineación recta de salida que se encuentra en el kilometraje 1122,5 
son N-7.378.185,367; E-357.640,059. El rumbo desde el PC al vértice 
es de S . La ordenada media es de 0,321 metros. 
Calcular: 
Recomendación: para efectos de cálculos de ángulos considere todos 
los decimales. 
a) Los parámetros de la curva (ángulo de deflexión, tangente, radio y 
desarrollo) 
Angulo de deflexión 
Rbo V-punto = S- 68,55176317° - E = S- 68° 33’ 6.35’’ - E 
Rbo V-pc = N- 66° 25’ 0.59’’ – O 
 
Angulo del vértice: 
w = Rbo Vpc - Rbo Vpunto = 66,41683056° - 68,55176317° = 2,134933333°= 
2° 8’ 5.76’’ 
 
 Angulo de deflexión = 180° - w = 177,8650667° = 177° 51’ 54,24 
 
T, R y D 
Despejando Radio de la ordenada media: M= R - (R*Cos(w/2))  R = M / (1 - 
Cos(w/2)) = 1849,627 
 
T = R * Tg (W/2) = 34,464 
D = (PIx R x W)/(200) = 68,920 
 
b) Los largos de transición y kilometrajes de PC, FC, PT, FT, b=0, b=P 
(para tangente de entrada y tangente de salida) Datos: n=1; a=3.5; 
P=7%; b=2.5%; pendiente relativa = 0.35%; 
 
Largos de transición 
L = n x a (P+B) /Δ = 95 mts 
L1 = n x a (0.7P+B) /Δ = 74 mts 
L2 = n x a x B/Δ = 25 mts 
L3 = n x a (2B ) /Δ = 50 mts 
 
Calculo de kilometrajes 
Km punto = 1122,5 
Distancia V-punto = 205,488 
Km FC = Km punto - (distancia Vpunto – T)= 951,476 
Km PC = Km FC - D = 882,556 
Km PT = Km PC – L1 = 808,556 
Km b=0 = Km PT + L2 = 833,556 tangente de entrada 
Km P=b = Km PT + L3 = 858,556 tangente de entrada 
Km FT = Km FC + L1 = 1025,476 
Km b=0 = Km FT - L2 = 1000,476 tangente de salida 
Km P=b = Km FT - L3 = 975,476 tangente de salida 
 
 
 
 
 
 
c) Calcular las cotas del eje y de los bordes de los siguientes 
kilometrajes 809,356; 883,000; 970,215. Sabiendo que la cota en el 
borde derecho del km 1122,5 es de 125,93 metros. La alineación recta 
de entrada tiene una pendiente del 1.5% en el sentido de avance 
hasta el PC, pasando luego a una gradiente del 2%. 
 
Calculo de cotas en el Km 809,356 
Cota eje km 1122,5 = cota borde + dfn = 125,93 + (2,5%*3,5/100) = 126,018 
Cota eje Pc = cota eje km 1122,5 + dfn = 126,018 + (2%*239,944/100) = 
130,817 
Cota eje km 809,356 = cota eje PC - dfn = 130,817 - (1.5%*73,2/100) = 
129,719 
 
Como el km se encuentra en PT y b=0, se utiliza la formula siguiente: P’ = ( 2 
* b * X’ ) / L3, donde X’ es la distancia desde el PT al km. 
 
P’ = (2 * 2.5% * 0,8) / 50 = 0,08%  b’= 2.5 – 0.08 = 2,42% 
Cota borde izquierdo = cota eje km – dfn = 129,719 - (2,42%*3,5/100) = 
129,634 
Cota borde derecho = cota eje km – dfn = 129,719 – (2,5%*3,5/100) = 
129,632 
 
Calculo de cotas en el Km 883,000 
 
Cota eje km 883,000 = Cota PC – dfn = 130,817 – (2%*0,444/100) = 130,808 
 
Este Km se encuentra entre el PC y el 100% del peralte, por lo tanto la 
distancia x’’ a la cual se desea conocer el peralte, va desde PT en dirección del 
PC. 
 
P’’ = [ (x’’ * ( P+ b )) – (b* L ) ] / L = [ (74,444* ( 7+ 2,5 )) – (2,5* 95 ) ] / 
95 =4,944% 
 
Cota borde izquierdo= Cota eje - Dfn = 130,808 + (4,944* 3.5/100) = 130,981 
Cotaborde derecho= cota eje + Dfn = 130,808 - (4,944*3.5/100) = 130,635 
 
Calculo de cotas en el Km 970,215 
 
Cota eje km 970,215 = cota PC – dfn = 130,817 – (2%*87,659/100) = 129,064 
 
Como este Km se encuentra entre el b=P y el CC se utiliza la formula siguiente 
 
P’’ = [ (x’’ * ( P+ b )) – (b* L ) ] / L = P’’ = [ ( 55,261 * ( 7+ 2,5 )) – (2,5* 95 
) ] / 95 = 3,026% 
 
Cota borde izquierdo = cota eje - Dfn = 129,064 + (3.026* 3.5/100) = 129,170 
Cota borde derecho= cota eje + Dfn = 129,064 - (3.026*3.5/100) = 128,958 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICOS VIII-IX-X UNIDAD 
 
66.- Que son los planos de emplazamiento 
Los planos de emplazamiento son aquellos destinados a mostrar la ubicación de 
las obras que define el proyecto en relación con su entorno. Para ello se 
requiere de un levantamiento preliminar del sector donde se realizara el 
proyecto, este plano se denomina por lo general plano de entrada, sobre el cual 
se diseñara el proyecto. 
 
67.- En obras urbanas, a que se referencian los ejes y cotas del 
proyecto 
Para obras en zonas urbanas, por lo general los ejes son referenciados a líneas 
de soleras existentes. Es por ello la importancia de definir bien la toma de 
puntos. Para la asignación de cotas los niveles son referenciados a la cota de 
anillo de cámaras de alcantarillado existentes en el sector. De no existir, se 
considera como referencia cero metros el nivel inferior de la solera o eje de 
calle. 
 
68.- Que es el plano as-built y cuál es su función 
 
El plano as-built corresponde al plano producto del levantamiento una vez 
terminada la obra en construcción. Su función es determinar cómo quedo la 
obra o para el estado de pagos según avance 
 
69.- Indique el proceso a seguir para la construcción de un edificio. 
 
 emplazar la obra 
 materialización de pr 
 materialización de ejes 
 colocación de niveletas 
 tizado para excavaciones 
 control de fondo excavación 
 control emplantillado 
 marcación de ejes sobre emplantillado 
 control de moldajes y enfierradura 
 colocación termino concreto 
 materialización de ejes para el sobre cimiento 
 colocación de troneras para el traslado de ejes 
 
 
 
 
70.- Indique que significan los siguientes términos 
 acondicionamiento del terreno: es el escarpe requerido para el retiro de 
material inadecuado existente en la superficie del terreno de trabajo. 
 excavación masiva: es aquella que involucra volúmenes de gran 
magnitud. 
 excavación estructural: es aquella destinada a fundaciones de equipo, 
edificios o estructuras y por lo general es de poca magnitud. 
 demolición: es aquella destinada a demoler radieres existentes 
 
71.- Nombre y describa las etapas de un proyecto 
Tratándose de cualquier proyecto de ingenieria, ya sea particular o privado éste 
contempla tres etapas que son: 
 
1. Estudio previo: es la recopilación de datos que permite definir las 
diferentes soluciones a un problema. 
2. Ante proyecto: es el estudio de diversas soluciones a un problema, 
concretando la solución. 
3. Proyecto: es la exposición y desarrollo completo de la solución a un 
problema de Ingeniería que permite su construcción total, segura y 
duradera. 
 
72.- Nombre los tipos de planos que intervienen en una obra 
Planos de emplazamiento, Planos de planta, Alzados y secciones, Plano de 
detalles 
 
73.- Indique que significan las siguientes nomenclaturas: 
 
TC : tope concreto 
C/C : centro a centro 
PA : perno de anclaje 
REF : referencia 
P EXP : perno de expansión 
OP : opuesto 
VAR : variable 
INS : inserto 
H.A. : hormigón armado 
NT : nivel de terreno 
NPF : nivel de piso de fundación 
NPT : nivel de piso terminado 
TA : tope acero 
N.I.P.B. : nivel inferior placa base 
TIP : típico, tipo 
SIC : salvo indicación contraria 
DET. : detalle 
T.I.P.B. : tope inferior placa base 
74.- Que son las cimentaciones, cual es su función y que tipos existen. 
 
Las cimentaciones son la parte principal de la obra, estas tienen la función de 
soportar la estructura, edificación, etc., y de transmitir las cargas ejercidas por 
estas. 
 
Dependiendo de la ubicación y de las características de los estratos resistentes 
de suelos, las cimentaciones se clasifican en cimentaciones superficiales y 
cimentaciones profundas. 
 
Entre las cimentaciones superficiales destacan los plintos aislados, las zapatas 
corridas, las zapatas combinadas, las vigas de cimentación y las losas de 
cimentación. 
 
Entre las cimentaciones profundas se suelen utilizar los pilotes prefabricados 
hincados, los pilotes fundidos en sitio y los caissons 
 
75.- Indique que significan las siguientes nomenclaturas 
 
x : fierros de x unidades de diámetro 
@y : separación de y unidades por cada fierro 
AP : armadura principal 
C/C : centro a centro 
CANT. : cantidad 
ESC. : escala 
e x@y : estribos de x diámetro separados cada y unidades 
INF : inferior 
NIC : nivel inferior de concreto 
NPF : nivel de piso de fundación 
NPT : nivel de piso terminado 
PEND. : pendiente 
SUP : superior 
VAR : variable 
 
76.-Indique que significan las siguientes nomenclaturas y simbologías 
 
V 301, 25/50 Fe: Fe’ = 2  12; E  8 @ 20 
Viga ubicada en el tercer piso, de 25 cm de ancho por 50 de alto, armada con 2 
barras de 12 mm abajo y 2 barras de 12 mm de diámetro arriba, con estribos 
de diámetro 8 mm separados cada 20 cm. 
 
 
P 102 40/40; 4  10; E  8 @ 20 
Se trata de um pilar de 40 por 40 cm, com 4 barras de 10 mm de diámetro y 
estribos de 8 mm de diámetro separadas cada 20 cm. 
 
CAD 20/60; 4  12; E  8 @ 25 
Cadena de 20 por 60 cm, con 4 barras de 12 mm de diámetro y estribos de 8 
mm de diámetro separadas cada 254 cm. 
 
 
 
 
 
Losa ubicada en el 2 piso de 14 cm de espesor. 
Armadura principal con barras de 10 mm de 
diámetro separadas cada 15 cm, con una armadura 
secundaria de 8 mm de diámetro separadas cada 
20 cm. 
 
 
 
Centro línea correa 
 
 
Detalle 1 ubicado en el mismo plano 
 
 
 
Corte c ubicado en el mismo plano. Típico 
 
 
 
77.- Para que se utilizan las zapatas corridas 
 
Se las utilizan para cimentar muros o elementos longitudinales continuos de 
distintos materiales como hormigón o mampostería 
 
 
 
 
1 
2 
3 
78.- Que es el emplantillado y cuál es su función 
 
El emplantillado es un tipo de hormigón pobre que se coloca en el fondo de la 
excavación, el cual sirve para evitar la contaminación de las fundaciones ya sea 
por la humedad, terrenos con presencia de sal, etc., y es la base para la 
fundación. 
 
 
79.- Que son los moldajes y cuál es su función 
 
Los moldajes, denominados también encofrados, son utilizados tanto en 
fundaciones como en muros, lozas, etc. Son de madera o metálicos y su 
colocación sigue del montaje de la enfierradura. Su función es contener el 
hormigón. 
 
 
80.- Que son las troneras, para que se utilizan y como se colocan 
 
Para trasladar los ejes de un piso a otro se utilizaran troneras, las cuales son 
aberturas realizadas en las esquinas de la losa. Estas aberturas son realizadas 
antes del hormigonado y tapadas con pluma bis. Ya seco el hormigon se 
procede a destapar las troneras, se lanza la plomada por esta abertura, 
haciendo intersección con el eje, luego de ello se marcara en el piso de la losa. 
 
81.- Indique el procedimiento a seguir para la colocación de pernos de 
anclaje 
 
Antes de realizar la excavación, se marcan los puntos donde serán ubicados los 
pernos a través de alineaciones externas ya sea con estacas o niveletas. 
 Realizada la excavación y ubicada la enfierradura sobre el emplantillado, se 
fijaran los pernos de anclaje. 
 Posteriormente se realizara el control vertical y horizontal manteniendo 
distancias y alturas según proyecto. 
 El control horizontal constara en mediciones echas al eje del perno, midiendo 
distancias de tope o al eje, posteriormente se medirán las diagonales entre 
pernos. 
 El control vertical (cota) se realizara a la cabeza del perno,se verificara 
además la verticalidad de este mediante niveles de mano y escuadras. 
 Posteriormente se colocara el encofrado, luego de ello se recomienda volver 
a chequear los pernos. 
 Si todo se encuentra según proyecto se dará la orden para hormigonar. 
 Al hormigonar, simultáneamente se realizan nivelaciones sucesivas para los 
pernos hasta llegar al tope de concreto 
 Finalizado el hormigonado se volverá a chequear el sistema, si existen 
desplazamientos menores (1 a 3 mm) se corregirá inmediatamente. 
 Si son ubicadas varias fundaciones, se chequea que todos los pernos de 
anclaje se encuentren alineados y a nivel, de modo que sean corregidos los 
pernos que tengan algún desface con respecto a una orientación específica. 
 
 
 
82.- Que es y cuál es la función de las placas bases 
 
Son elementos metálicos, que tienen la función de recibir la columna o pilar, 
que ira sobre la fundación. Estas deben quedar totalmente horizontales para 
asegurar que el pilar o columna quede totalmente vertical. 
 
 
83.- Indique que significan las siguientes nomenclaturas y 
simbologías. 
 
 
1: elevación 99.965 metros tope de concreto radier 
 
 
 
 
 
 
2: centro línea correa 
 
 
 
 
 
 
3: corte c ubicado en el mismo plano. Típico 
 
 
 
 
 
 
4: polietileno espesor 0.4 mm típico 
 
 
 
 
 
 
 
5: detalle 1 ubicado en el mismo plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
6: fundación típica para pilares tipo pedestal 1, 2 y 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
7: proyección perno de anclaje de 90 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8: ejes proyecto 3 y b 
 
 
 
 
 
 
 
 
9: fierros de de diámetro 10 cm separadas cada 200 mm. Con un largo de 280 
mm. Típico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10: diámetro 210 
 
 
 
 
 
 
 
 
84.- Determine las coordenadas de los pedestales indicados en el 
plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pedestal azimut dist np ep nt et 
1 67.5º 2.534 0.969 2.341 905.019 952.841 
2 112.5º -0.969 2.341 903.08 952.841 
3 157.5º -2.341 0.969 901.709 951.469 
4 202.5º -2.341 -0.969 901.709 949.530 
5 247.5º -0.969 -2.341 903.080 948.159 
6 292.5º 0.969 -2.341 905.019 948.159 
7 337.5º 2.341 -0.969 906.391 949.530 
8 22.5º 2.341 0.969 906.391 951.469 
 
Distancia = radio externo 
Diametro externo = 5068 mm = 5.068 mts => radio externo = 2.534 
 
El azimut será obtenido de los ángulos entre pedestal y pedestal. 
 
Pedestales 9 – 10 – 11 – 12 
 
Pedestal Norte Este Norte Este 
9 904.05 + 2.45 950.5 +2.45 906.5 952.95 
10 904.05-2.45 950.50+2.45 901.6 952.95 
11 904.05-2.45 950.5-2.45 901.6 948.05 
12 904.05+2.45 950.5-2.45 906.5 948.05 
 
 
 
85.- Determine las distancias de control al eje de las fundaciones 
indicadas en el plano, a partir de ejes auxiliares topográficos. 
 
Eje aux 1 a 1750 mm al oeste del eje 3a 
Eje aux 2 a 800 mm al sur de centro línea fundación 
 
 
 
 
Fundación Control N-S Control E-O 
1 1175 2415 
2 1175 4735 
3 2775 4735 
4 2775 2415 
5 640 1035 
6 640 2465 
7 1960 2465 
8 1960 1035 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86.- Calcule las lecturas de control al fondo de excavación de las 
fundaciones 1-2-3-4. Se sabe que la cota instrumental es de 101.245. 
Entre el fondo de excavación de las fundaciones 4-3 y 1-2 existe una 
gradiente del 2.5 %. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CFE f4-f1 = 100.120 – 0.87 – 0.05 = 99.200 
 
dfn = 2.5 * 7.15 / 100 = 0.179 mts 
 
CFE f3-f2 = 99.200 – 0.179 = 99.021 
Lectura control = cota instrumental – cfe 
 
Lectura f4-f1 = 101.245 – 99.200 = 2.045 mts 
Lectura f2-f3 = 101.245 – 99.021 = 2.224 mts 
 
87.- En un control de pernos de anclaje que operación se realiza 
primero control planimétrico o control altimétrico 
 
Primero control planimétrico y luego control altimétrico 
 
 
88.- Que se debe hacer para dar la partida a los enfierradores 
 
Marcar los ejes sobre el emplantillado con un tizador 
 
 
89.- Controles a realizar en una fundación antes de hormigonar 
 
 si se requiere se controlaran las dimensiones del moldaje, largo, ancho, 
alto, y diagonales. 
 se marcara el centro del moldaje a través de un clavo o marca de lápiz 
en la parte superior, de tal manera de hacerlo coincidir con el eje de 
proyecto. 
 se controlara que tanto el moldaje como la enfierradura queden a eje de 
proyecto. 
 se marcara en el moldaje el nivel de tope de concreto, para ello se 
utilizara el nivel de ingeniero materializando dicho nivel en el encofrado, 
para posteriormente delimitar este nivel con el uso de junquillos. 
 se deberá controlar que el recubrimiento sea el indicado en plano. 
 
 
 
90.- Calcule las cotas de los puntos indicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91.- Calcular las distancias de control de los pernos de anclaje de los 
pedestales 6, 7, 8 y 9, a partir de los ejes topográficos ubicados a 
1500 mm al Norte del eje C y a 1300 mm al Oeste del eje 6A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
92.- Explique y grafique 3 métodos de control de verticalidad 
 
Método 1: 
Se marca en la columna en forma vertical cada cierto metraje, 
dependiendo de las dimensiones de la columna, por lo general cada un metro. 
Posteriormente se colocara el flexometro o regla en forma horizontal en cada 
una de estas marcas y se procederá a leer con el hilo reticular vertical. La 
primera lectura realizada en la base del elemento se utilizara como de control, 
luego para obtener las desviaciones se restara la lectura de control a cada uno 
de las lecturas realizada, obteniendo con ello la inclinación de la columna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método 2: Se hará calaje en la parte superior del elemento a controlar, 
posteriormente se realizara el recorrido del instrumento en forma vertical hasta 
llegar a la base del mismo, si el hilo del retículo permanece en la línea de la 
estructura, no hay problemas de verticalidad. Caso contrario, si existe 
desplazamiento se colocara el flexometro en forma perpendicular para obtener 
el desplazamiento del eje de la columna 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método 3: Este método es recomendado cuando se requiere el control de 
silos. 
 
Se comprueba realizando una alineación vertical en dos orientaciones de 
modo que estas determinan la alineación completa del silo. Se instalara el 
taquímetro a una distancia suficiente para la toma de datos. Se calara con el 
hilo vertical del retículo al punto tangente a la curva en la parte superior del 
silo, bajando posteriormente el objetivo hasta la base y obteniendo la lectura en 
el flexometro, se materializara un nuevo punto para realizar el control en el otro 
eje 
 
 
 
 
Método 4: Se realiza a través de 4 puntos que forman entre si un cuadrado y 
se verifica la alineación comprobando en cada punto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
93.- Que es el Posicionamiento relativo de columnas respecto plano 
de proyecto 
 
Para trabajos donde se requiere chequear la verticalidad de columnas, es 
importante el presentar la información de la manera correcta. Esto es, mediante 
perfiles y plantas, en los cuales se indican las desplazamientos en milímetros, 
del eje real respecto del teórico. 
 
94.- Tolerancia máxima para una columna de 35 metros. 
 
1 o 2 mm por metro de altura, ósea 35 mm o 70 mm 
 
 
95.- De un control topográfico realizado a las columnas de un puente 
grúa se obtuvo la siguiente información: 
 
Lecturas tope columna a partir de eje auxiliar 
 
Columna Lectura arriba Lectura abajo 
1d 910 915 
2d 900 900 
3d 915 899 
4d 895 897 
5d 890 905 
6d 901 895 
7d 891 890 
8d 891 910 
9d 906 890 
10d 905 900 
11d 901 915 
 
Por no poder realizar una cuadratura, se tomo la distancia de tope entre 
columnas 
 
Columna Lectura arriba Lectura abajo 
1d – 1c 18225 18230 
2d – 2c 18215 18235 
3d – 3c 18207 18205 
4d – 4c 18218 18195 
5d -5c 18195 18193 
6d – 6c 18191 18210 
7d – 7c 18205 18225 
8d – 8c 18200 18190 
9d – 9c 18203 18197 
10d – 10c 18200 18207 
11d – 11c 18196 18201 
Eje auxiliar topográfico a 900 mm paralelo a las columnas 2 y 10 al Oeste del 
eje D. 
Distancia teóricaentre eje de columnas 18600 mm. 
Columnas tipo H de 400x200 mm. 
 
Con la información proporcionada determine la magnitud de los 
desplazamientos, orientación y diseñe además los perfiles 
 
 
 
 
 
Desplazamientos al mm control E-O eje D 
 
Columna Lectura arriba Lectura abajo 
1d 10 E 15 E 
2d 0 0 
3d 15 E 1 O 
4d 5 O 3 O 
5d 10 O 5 E 
6d 1 E 5 O 
7d 9 O 10 O 
8d 9 O 10 E 
9d 6 E 10 O 
10d 5 E 0 
11d 1 E 15 E 
 
 
 
 
Desplazamientos al mm control E-O eje C 
 
Distancia teórica entre tope de columnas= 18600 – 400 = 18200 mm 
 
 
Columna Lectura arriba Lectura abajo 
 1c 15 O 15 O 
 2c 15 O 35 O 
3c 8 E 4 O 
4c 21 O 2 E 
5c 5 O 12 E 
6c 10 E 15 O 
7c 14 O 35 O 
8c 9 O 20 E 
9c 3 E 7 O 
10c 5 E 7 O 
11c 5 E 14 E 
 
 
 
 
 
 
 
96.- Confeccione las plantas respectivas según los perfiles 
entregados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Inferior medio superior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
97.- Confeccione las plantas respectivas según los perfiles 
entregados. 
 
 
 
 
98.- Se necesita determinar el volumen de material que ha quedado 
adherido a las paredes de un convertidor, para ello se realizo un 
control topográfico en los extremos del mismo, los resultados 
obtenidos son 
 
Posición Cota inicio 
convertidor 
Cota termino 
convertidor 
0 102,30 102,16 
90 102,29 102,21 
180 102,15 102,22 
270 102,25 102,31 
 
 
 
 
Diámetro exterior: 5 mts. Largo convertidor: 11 mts Ancho ladrillo: 
0.15 mts 
Cota en el centro del convertidor: 100 mts 
 
Cubicación por perfiles 
 
Cota diámetro exterior = cota centro + radio exterior = 100 + 2.5 = 102.5 mts 
Cota diámetro interior = cota diámetro exterior – ancho ladrillo = 102.5 – 0.15 
= 102.35 
 
Perímetro= 2*PI*R = .15.707 
Entonces la distancia entre puntos será 15.707 / 4 = 3.927 metros 
 
 
 
Sup 1 = 1.61 m² 
 
 
 
 
 
Sup 2 = 1.963 m² 
 
Volumen = (Sup 1 +Sup 2)* largo convertidor / 2 =19.652 m³ 
99.- Calcular las distancias de control de los pedestales 1 al 11 del 
plano planta general fundaciones, a partir de los ejes auxiliares 
ubicados a 4730 milímetros al Este del centro línea Presecador 
S4702B y a 2581 al Sur del eje G. 
 
Pedestal Al Oeste del eje Al Este del eje Al Norte del eje Al Sur del eje 
1 6270 17419 
2 12910 17419 
3 22730 3419 
4 22730 2581 
5 22730 8581 
6 22730 20581 
7 17590 38581 
8 3550 38581 
9 6270 38581 
10 1730 25806 
11 4270 19806 
 
100.- Confeccione las plantas respectivas según los perfiles 
entregados. 
 
 
 
 
 INFERIOR MEDIO SUPERIOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
101.- Obtener posición relativa (perfiles y plantas) de los pilares del 
croquis adjunto. Los datos obtenidos fueron a partir de una 
cuadratura generada a partir de un eje auxiliar topográfico AD, 
paralelo a los pilares P6P1 a 310 milímetros; y un eje auxiliar 
topográfico AB paralelo a los pilares P6P4 a 275 milímetros. Lecturas 
de control realizadas a tope de pilares. Tanto las dimensiones como 
las lecturas están en milímetros. 
 
Control N-S 
 Desde eje AD Desde eje EF Desde eje BC 
Distancia P6 P1 P5 P2 P4 P3 
0 310 310 115 116 124 123 
3000 311 309 117 114 123 125 
3001 362 358 168 152 176 172 
5000 372 346 169 153 174 171 
 
Control E-O 
 Desde eje AB Desde eje CD 
Distancia P6 P5 P4 P3 P2 P1 
0 275 274 275 38 36 37 
3000 276 273 270 36 37 38 
3001 324 321 312 84 83 85 
5000 327 342 317 83 84 86 
 
Control N-S 
Lectura de control desde eje AD = 310 y 360 
Lectura de control desde eje EF = 310+100+6000-100-6190= 120 y 170 
Lectura de control desde eje BC = 310+100+6000+7000+100 – 6190-7445= 
125 y 175 
 
 Desde eje AD Desde eje EF Desde eje BC 
Distancia P6 P1 P5 P2 P4 P3 
0 0 0 5 S 4 S 1 N 2 N 
3000 1 N 1 S 3 S 6 S 2 N 0 
3001 2 N 2 S 2 S 18 S 1 S 3 N 
5000 12 N 14 S 1 S 17 S 1 N 4 N 
Control E-O 
Lectura de control desde eje AB = 275 y 325 
Lectura de control desde eje CD = 37 y 87 
 
 
 Desde eje AB Desde eje CD 
Distancia P6 P5 P4 P3 P2 P1 
0 0 1 E 0 1 E 1 O 0 
3000 1 O 2 E 5 E 1 O 0 1 E 
3001 1 E 4 E 13 E 3 O 4 O 2 O 
5000 2 O 17 O 8 E 4 O 3 O 1 O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Control E-O Control N-S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Planta a los 0,000 metros Planta a los 3,000 metros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Planta a los 3,001 metros Planta a los 5,000 metros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102.- Calcular las lecturas a realizar para controlar las cotas de los pernos de anclaje. Considere que el nivel esta 
instalado a cota instrumental. La proyección de los pernos de anclaje es de 50 milímetros. Dimensiones en 
centímetros. 
 
 
p1=p2 = p3= p4 = 2706,27 – (2705 + 0,03 + 0,570 + 0,05) = 0,620 2705.65 
p5 = p6 = 2706,27 – (2705 + 0,03 + 0,250 + 0,05) = 0,940 2705.33 
p7 = p8 = 2706,27 – (2705 + 0,03 + 0,620 + 0,250 + 0,05) = 0,320 2709.95 
 
103.- Indicar las diferencias y orientación del control de verticalidad realizada a los pilares 
PD6, PD7, PD8 y PD9. Con estos datos confeccionar las vistas de planta y perfil. Los pilares 
son de 800x700 mm (largo x ancho) y de una altura de 3000 mm. 
 
 
 
Los datos entregados corresponden a una cuadratura interna obtenida desde un eje 
auxiliar topográfico a 900 mm al Oeste de los pilares 6 y 7 (eje A-D) y a 500 mm al Norte 
de los pilares 6 y 9 (eje AB). Se realizaron controles a los 0, 1000, 2000 y 3000 mm. 
 
Control Norte - Sur 
 Instalado en A calando B Instalado en D calando a C 
 PD6 PD9 PD7 PD8 
0 501 500 620 621 
1000 500 503 621 619 
2000 501 500 622 618 
3000 502 505 623 620 
 
Control Este - Oeste 
 Instalado en A calando D Instalado en B calando a C 
 PD6 PD7 PD9 PD8 
0 900 900 301 299 
1000 902 897 303 298 
2000 903 898 302 300 
3000 899 902 305 302 
 
 
 
Desarrollo Vistas Perfil 
 
Control N-S 
 
Distancias entre eje A3 y D1 = 225+6000+775+5225+775 =13000 
Distancia entre topes internos = 13000 – 700 = 12300 
Distancia de control desde eje AB = 500 
Distancia de control desde eje DC = 12300 – 500 – 11180 = 620 
 
 
Control Norte - Sur 
 Instalado en A calando B Instalado en D calando a C 
 PD6 PD9 PD7 PD8 
0 1 S 0 0 1 N 
1000 0 3 S 1 N 1 S 
2000 1 S 0 2 N 2 S 
3000 2 S 5 S 3 N 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Control E-O 
 
Distancias entre eje 5A y 6A = 2860+3140 = 6000 
Distancia entre topes internos = 6000 – 800 = 5200 
Distancia de control desde eje AD = 900 
Distancia de control desde eje BC = 5200 – 900 - 4000 = 300 
 
Control Este - Oeste 
 Instalado en A calando D Instalado en B calando a C 
 PD6 PD7 PD9 PD8 
0 0 0 1 O 1 E 
1000 2 E 3 O 3 O 2 E 
2000 3 E 2 O 2 O 0 
3000 1 O 2 E 5 O 2 O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
104.- De un control de horizontabilidad realizado a las placas bases de 4 pilares, se 
obtuvieron las lecturas en cuatro puntos. Determine las diferencias en mm. Cota 
PR en metros, lecturas en milímetro. (2,0 puntos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se considera como punto de referencia cero, el de mayor cota. 
 
 
Punto Lectura atras Lectura 
intermedia 
Lectura 
adelante 
Cota Dif en mm 
PR 227,0 100,000 
L1 1,5 100,2255 1,3 
L2 0,3 100,2267 0,1 
L3 1,6 100,2254 1,4 
L4 1,4 100,2256 1,2 
PC1 245,1 12,8 100,2142 
L5 235,0 100,2243 2,5 
L6 235,0 100,2243 1,3 
L7 233,7 100,2256 1,2 
L8 233,1 100,2262 0,6 
L9 234,1 100,2252 1,6 
L10 232,6 100,2267 0,1 
L11 232,5 100,2268 0 
PC2 12,0 164,8 100,2945 
L12 81,1 100,2254 1,4 
L13 81,6 100,2249 1,9 
L14 81,6 100,2249 1,9 
L15 82,0100,2245 2,3 
L16 80,2 100,2263 0,5 
PR 306,5 100,000 
 
105.- Indicar las diferencias y orientación del control de verticalidad realizado a 
los pilares (ver plano adjunto). 
Los datos entregados, fueron obtenidos desde un eje auxiliar topográfico a 900 
mm al Oeste del eje A y a 500 mm al Sur del eje 1. Se realizaron controles a los 0, 
1500 y 3000 mm. Como no fue posible realizar cuadratura, se tomaron las 
distancias de tope entre pilares. 
Los pilares son de tipo H de 800x700 mm (largo x ancho), 30 mm de espesor y 
de una altura de 3000 mm. Distancia teórica entre los ejes A-B de 4500 mm, 
distancia teórica entre los ejes 1-2 y 2-3 de 2700 mm. Con estos datos 
confeccionar las vistas de planta y perfil respectivas. (4,0 puntos) 
 
Control desde eje auxiliar al Sur del eje 1 
 1-A 1-B 
0 500 500 
1500 500 503 
3000 501 500 
 
Distancia a tope de pilares 
 Por eje A Por eje B 
 1-2 2-3 1-2 2-3 
0 2670 2674 2669 2670 
1500 2675 2675 2671 2674 
3000 2676 2670 2672 2674 
 
 
 
Control desde eje auxiliar al Oeste del eje A 
 A-1 A-2 A-3 
0 900 896 899 
1500 902 897 897 
3000 903 898 898 
 
Distancia a tope de pilares 
 A-1 B-1 A-2 B-2 A-3 B-3 
0 3700 3702 3699 
1500 3705 3703 3700 
3000 3706 3700 3668 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultados 
Control N-S. Control desde eje auxiliar al Sur del eje 1. 
 
Pilares 1A y 1B 
Distancia de control 500 mm. 
 Pilar 1-A Pilar 1-B 
0 0 0 
1500 0 3N 
3000 1N 0 
 
Pilares 2A, 3A, 2B y 3B. 
Distancia de control teórica entre ejes 1-2 y 2-3: 2700 – espesor = 2670 mm 
 Por eje A Por eje B 
 Pilar 2-
A 
Pilar 3-A Pilar 2-B Pilar 3-B 
0 0 4S 1N 1N 
1500 5S 10S 2N 2S 
3000 5S 5S 2S 6S 
 
 
 
Control E-O. Control desde eje auxiliar al Oeste del eje A. 
 
 
Pilares A1, A2 y A3 
Distancia de control 900 mm. 
 A-1 A-2 A-3 
0 0 4 O 1 O 
1500 2 E 3 O 3 O 
3000 3 E 2 O 2 O 
 
Pilares B1, B2 y B3. 
Distancia de control teórica entre ejes AB: 4500 – largo = 3700 mm 
 B-1 B-2 B-3 
0 0 6 O 0 
1500 3 O 6 O 3 O 
3000 3 O 2 O 30 E 
 
 
 
 
Perfil N-S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perfil E-O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Planta a los 0 mm 
 
 
Planta a los 1500 mm 
 
 
 
 
 
Planta a los 3000 mm