Macroeconomía II: Ejercícios Resueltos

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Cristian Colther Marino 
 
Macroeconomía II 
Ejercicios propuestos y resueltos 2 ed. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Serie de Textos Académicos 
Instituto de Economía 
 
 
 
Página en blanco 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios resueltos de 
Macroeconomía II 
 
 
 
Cristian M. Colther Marino 
Instituto de Economía 
Universidad Austral de Chile 
 
Sergio Rojas Hoppe 
Instituto de Economía 
Universidad Austral de Chile 
 
 
 
 
 
 
 
 
Serie de Textos Académicos 
Instituto de Economía 
Universidad Austral de Chile 
 
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Derechos Reservados 
Ó 2023 Cristian Colther Marino, Sergio Rojas Hoppe. 
Instituto de Economía 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
Los Laureles nº35 interior, Campus Isla Teja, Valdivia-Chile 
Universidad Austral de Chile 
 
Primera Edición 2018 
Ejercicios Resueltos de Macroeconomía II, 1era. edición 
Mondaca, C.M.; Rojas, S. 
 
El texto de esta publicación es responsabilidad de sus autores. Reservados todos los derechos. Ni todo el 
libro, ni parte de él puede ser reproducido, archivado o transmitido en forma alguna o mediante algún 
sistema de foto reproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso del editor. 
 
Para citar: 
Colther,C. & Rojas, S. (2022), Ejercicios Resueltos de Macroeconomía II 2ed., Serie de textos académicos 
del Instituto de Economía, Universidad Austral de Chile, Valdivia, Chile. 
 
ISSN (edición digital) 978-956-393-426-7 
Derechos reservados 
ÓCopyright 2023 
Depósito Legal: xxxxxxx 
 
 
 
 
 
 
LOS AUTORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cristian Mauricio Colther Marino es Ingeniero Civil 
Industrial e Ingeniero Acústico, Magister en Economía y 
Gestión Regional, Master en Ingeniería, y Doctor en 
Economía por la Universidad de Valladolid. Nacido en 
Arica, es actualmente académico del Instituto de 
Economía de la Universidad Austral de Chile, e imparte 
las cátedras de Macroeconomía y Econometría en 
pregrado, y Políticas Públicas en postgrado. Su 
experiencia profesional está vinculada con asesorías en 
temas de Economía Regional, Fomento Productivo y 
Planificación Regional. 
Sergio Rojas Hoppe es Ingeniero Comercial, Magister en 
Economía y Gestión Regional. Nacido en Valdivia, es 
actualmente académico del Instituto de Economía de la 
Universidad Austral de Chile, e imparte las cátedras de 
Introducción a la Economía y Microeconomía en 
pregrado, y nivelación y actualización en tópicos de 
Economía en postgrado. Su experiencia profesional está 
vinculada con asesorías en temas de Análisis Espacial y 
Ordenamiento Territorial, Estructura de Costos y 
Optimización de Procesos Productivos. 
 
 
Índice 
 
 
1	 Función de producción agregada ............................................................... 1	
1.1	 Resumen conceptual .................................................................................... 1	
1.2	 Ejercicios resueltos ....................................................................................... 2	
2	 Modelo de Solow-Swan ............................................................................ 29	
2.1	 Resumen conceptual .................................................................................. 29	
2.2	 Ejercicios resueltos ..................................................................................... 30	
3	 El ciclo económico .................................................................................... 47	
3.1	 Resumen conceptual .................................................................................. 47	
3.2	 Ejercicios resueltos ..................................................................................... 48	
4	 Modelo IS-LM ............................................................................................ 54	
4.1	 Resumen conceptual .................................................................................. 54	
4.2	 Ejercicios resueltos ..................................................................................... 56	
5	 Referencias ................................................................................................ 86	
 
 
 
 
Presentación 
 
 
El presente texto tiene por objetivo poner a disposición de los estudiantes de un texto actualizado 
relacionado con problemas de Macroeconomía II, en donde se presupone que los estudiantes están 
familiarizados con aspectos básicos de la Economía, Matemática y Macroeconomía básica. 
En el texto se ha procurado entregar un breve resumen conceptual y de formulas útiles, para luego 
desarrollar problemas en orden creciente de dificultad. Además, se ha intentado contextualizar los 
problemas a la realidad económica de Chile, utilizando datos reales obtenidos del Banco Central en la 
mayoría de los casos, o de estudios realizados por investigadores nacionales expertos en el área. 
El documento está dividido en cuatro sesiones que engloban temas relevantes de la asignatura: La Función 
de Producción Agregada, el modelo de Solow, el Ciclo Económico, y el modelo IS-LM. 
Los autores desean agradecer los comentarios de los alumnos y colegas que conocieron una versión inicial 
del texto y ayudaron a detectar errores u omisiones que dificultaban la comprensión o resolución de los 
problemas, esperando que estos fueran resueltos en su totalidad; sin embargo, se agradece comunicar 
cualquier error detectado a sus autores. 
 
 
Valdivia, marzo de 2023
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
1 
 
1 FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN AGREGADA 
1.1 Resumen conceptual 
La función de producción agregada (FPA) es una función teórica que relaciona la producción de una 
economía con los factores que se entienden como relevantes para explicar su comportamiento: la 
productividad total de los factores productivos (A), el capital (K) y el trabajo (L). A estos factores se les 
denomina factores productivos, y su relación funcional es según la ecuación (1). 
 (1 
La constante define como se distribuye la renta según los factores productivos, dando cuenta si la 
economía es intensiva en el factor capital o en el factor trabajo, y su valor está entre 0 y 1, representando el 
grado de uso de ese factor. 
La FPA supone que la economía tiene rendimientos constantes de escala, es decir, que el producto crecerá 
en la misma cuantía que los factores productivos ponderados por la productividad y la distribución de la 
renta. 
 
 
Y = A ⋅Kα ⋅L(1−α )
α
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
2 
1.2 Ejercicios resueltos 
1) Demuestre que la función de producción de Cobb-Douglas tiene rendimientos constantes de escala. 
Sol.: 
 
Por lo tanto la función tiene rendimientos constantes de escala. 
2) Demuestre que el producto marginal del capital es proporcional a la productividad media del capital, es 
decir, 
 
Sol.: Para resolver primero debemos obtener el producto marginal del capital que en este caso es el 
siguiente: 
 
 
Luego podemos expresar este resultado en términos del producto de la siguiente forma: 
 
Y = F(K ,L) = AKαL(1−α )
F(zK , zL) = A zK( )α (zL) 1−α( )
= A ⋅ zα ⋅Kα ⋅ z 1−α( ) ⋅L 1−α( )
= A ⋅ z α+1−α( ) ⋅Kα ⋅L 1−α( )
= z ⋅AKαL 1−α( )
= zF(K ,L) = zY
PMK =α Y
K
PMK =αAL(1−α )K α−1( )
=αAL(1−α )KαK −1
=αYK −1
= αY
K
PMK = dY
dK
= d
dK
F(K ,L)
= d
dK
AKαL(1−α )( )
= AL(1−α ) d
dK
Kα( )
= AL(1−α )αK α−1( )
=αAL(1−α )K α−1( )
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
3 
Con lo cual queda demostrado. 
3) Demuestre que la función de producción de Cobb-Douglas con tiene rendimientos constantes 
de escala. 
Sol.: En este caso si consideramos una función de Cobb-Douglas y reemplazamos el valor de alfa se tiene 
lo siguiente. 
 
Luego se puede demostrar que esta función que es parte de la familia de funciones de Cobb-Douglas, pues 
tiene rendimientos constantes de escala, de la siguiente forma, 
 
Por lotanto la función tiene rendimientos constantes de escala. 
 
4) Demuestre que el producto marginal del trabajo es proporcional a la productividad media del trabajo, 
es decir, 
 
Sol.: Para resolver primero debemos obtener el producto marginal del trabajo que en este caso es el 
siguiente: 
 
α = 0,7
Y = F(K ,L) = AKαL(1−α )
Si α = 0,7 ⇒Y = AK 0,7L0,3
F(zK , zL) = A zK( )0,7 (zL)0,3
= A ⋅ z0,7 ⋅K 0,7 ⋅ z0,3 ⋅L0,3
= A ⋅ z 0,7+0,3( ) ⋅K 0,7 ⋅L0,3
= z ⋅AK 0,7L0,3
= zF(K ,L) = zY
PML =
1−α( )Y
L
PML = dY
dL
= d
dL
F(K ,L)
= d
dL
AKαL(1−α )( )
= AKα d
dL
L(1−α )( )
= AKα dL(1−α )
dL
= AKα 1−α( )L 1−α−1( )
= 1−α( )AKαL −α( )
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
4 
Luego podemos expresar este resultado en términos del producto de la siguiente forma: 
 
Con lo cual queda demostrado. 
 
5) Demuestre que la razón de sustitución de los factores productivos en una función de Cobb-Douglas es 
constante. 
 
 
Sol.: Calculando las productividades marginales para cada uno de los factores 
 , 
Reemplazando en la expresión y simplificando 
 
 
PML = 1−α( )AKαL −α( )
= 1−α( )AKαL −α+1−1( )
= 1−α( )AKαL 1−α−1( )
= 1−α( )AKαL 1−α( )L−1
= 1−α( )YL−1
=
1−α( )Y
L
 
σ = PMK ⋅K
PML ⋅ L
= α
1−α
 PMK = A ⋅α ⋅K (α−1)L(1−α )
 PML = A ⋅Kα 1−α( )L(1−α−1) = A ⋅Kα 1−α( )L(−α )
 
σ = PMK ⋅K
PML ⋅ L
= A ⋅α ⋅K (α−1)L(1−α ) ⋅K
A ⋅Kα 1−α( )L(−α ) ⋅ L
= A ⋅α ⋅K (α−1)L(1−α )
A ⋅Kα−1 1−α( )L(1−α )
= α
1−α
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
5 
6) Estados Unidos en el año 2009 produjo $12.881 miles de millones de dólares de PIB, además invirtió 
$40.084 miles de millones de dólares y destinó 244 miles de millones de horas de trabajo. Por otra parte, 
la tasa de interés nominal del mercado financiero fue de un 5% y el precio del salario medio fue de $12 
dólares la hora. 
Si la economía de Estados Unidos se puede modelar mediante una función de Cobb-Douglas con , 
determine: 
a) ¿En cuanto crecería la economía de Estados Unidos si se impulsara un aumento del 10% de las 
horas trabajadas?. 
b) ¿En cuanto crecería la economía de Estados Unidos si se impulsara un aumento del 25% de las 
inversión destinada a formación bruta de capital fijo (FBCF)?. 
c) ¿En cuanto crecería la economía de Estados Unidos si se impulsara un aumento del 2% de la 
productividad total de los factores de producción mediante un programa de innovación industrial 
que tiene un coste de 4,5% del PIB?. 
d) ¿Cuál de las medidas anteriores es más eficaz en cuanto a lograr un mayor crecimiento de la 
economía de Estados Unidos?. 
e) ¿Cuál de las medidas anteriores es eficiente en cuanto a lograr un mayor crecimiento de la 
economía de Estados Unidos a un menor coste?. 
f) ¿Cuál de las medidas es la más rápida de implementar? 
g) ¿Cuál de las medidas es la más perdurable en el tiempo?. 
 
Sol.: a) Identificando los indicadores macroeconómicos del problema. 
Y= 12.881 
K=40.084 
L=244 
r=5% 
w=12 
 
Usando el modelo de producción agregada y la función de Cobb-Douglas, 
 
Determinando la constante A, 
 α = 1
3
 α = 1
3
 Y = AKα L1−α( )
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
6 
 
en este caso un aumento del 10% de las horas trabajadas, implica , luego reemplazando en la 
función de producción agregada, 
 
En este caso el incremento de la economía es 
 
lográndose un aumento del 6,4 % de la economía. 
b) un aumento del 25% de K implicaría 
 
En este caso el incremento sería de 
 
con un aumento de 7,9 % de la economía. 
c) un aumento del 2% de A implica 
luego reemplazando en la función de producción agregada, 
 
Con lo cual el incremento sería 
 
que representa un 2,0 % de crecimiento de la economía. 
 
A = Y
Kα L1−α( ) =
12.881
40.084( )1/3
244( )2/3
= 12.881
34,2 ⋅39,1
≅ 9,63
 L ' = 268,4
 
Y ' = 9,63⋅K1/3L'2/3
= 9,63⋅40.0841/3268,42/3
= 9,63⋅34,2 ⋅41,6 = 13.701
 
%ΔY = ΔY
Y
= 13.701−12.881
12.881
≅ 0,064
 K ' = 40.084+10.021= 50.105
 
Y ' = 9,63⋅K '1/3L2/3
= 9,63⋅50.1051/32442/3
= 9,63⋅36,9 ⋅39,1= 13.894
 
%ΔY = ΔY
Y
= 13.894−12.881
12.881
≅ 0,079
 A' = 9,63⋅1,02 ≅ 9,82
 
Y ' = A' ⋅K1/3L2/3
= 9,82 ⋅40.0841/32442/3
= 9,82 ⋅34,2 ⋅39,1= 13.132
 
%ΔY = ΔY
Y
= 13.132−12.881
12.881
≅ 0,02
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
7 
d) en el sentido de la eficacia, la segunda es la más eficaz, pues logra el mayor porcentaje de incremento. 
e) Considerando la eficiencia medida a través de los costes involucrados en su aplicación, se tiene que 
i) Un aumento del trabajo del 10% implica un aumento de 24,4 millones de miles de horas de 
trabajo con un coste de 292,8 miles de millones de dólares. 
ii) Un aumento del 25 del capital invertido es igual a 10.021 miles de millones de dólares. 
iii) Un aumento de A implica un coste de 579,6 miles de millones de dólares. 
De las tres medidas las más eficiente es la primera. 
f) la más rápida de implementar es el aumento de capital, si es que existe dinero disponible en la economía. 
g) la más perdurable de las medidas es un aumento de la productividad total de los factores, que afecta el 
crecimiento de la economía en el largo plazo. 
 
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
8 
7) Chile presenta los siguientes indicadores macroeconómicos para el año 2012: PIB : $274 (miles de 
millones de dólares), r : 4,75% tasa interés al capital, L : 14,7 (miles de millones de horas trabajadas). 
Utilice la función de Cobb-Douglas con un y la ecuación de continuidad para: 
a) Determinar el valor de equilibrio del salario (w). 
b) Determinar el valor del capital invertido (K) en la economía. 
c) Graficar la situación de los mercados de capital y trabajo. 
d) Verificar que se cumple que 
Sol.: 
a) en este caso se debe utilizar la productividad marginal del trabajo expresada como valor medio de la 
renta por unidad de trabajo, y que es igual al salario. 
 
b) usando la expresión 
 
 
c) Representando estos valores en un modelo explicativo, se tendría 
 
Fig. 1 Equilibrios mercado monetario y mercado del trabajo 
 
 α = 1
3 Y = r ⋅K + w ⋅ L
 Y = r ⋅K + w ⋅ L
 
PML = 1−α( )Y
L
= w
w = 2
3
⋅ 274
14,7
= 12,4
 Y = r ⋅K + w ⋅ L
K 
r 
K=1.930,5 
R=4,75% 
L 
w 
L=14,7 
w=12,4 
 
Y = r ⋅K + w ⋅ L
274 = 0,0475⋅K +12,4 ⋅14,7
⇒ K = 274−182,3
0,0475
= 1.930,5
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
9 
d) Reemplazando en 
 
8) Demuestre que la razón de sustitución de los factores productivos en una función de Cobb-Douglas es 
constante. 
 
Sol.: 
Calculando las productividades marginales para cada uno de los factores 
 , 
 
Reemplazando en la expresión 
 
9) Estados Unidos en el año 2009 produjo $12.881 miles de millones de dólares de PIB, además invirtió 
$40.084 miles de millones de dólares y destinó 244 miles de millones de horas de trabajo. Por otra parte, 
la tasa de interés nominal del mercado financiero fue de un 6% y el precio del salario medio fue de $10 
dólares la hora. 
Si la economía de Estados Unidos se puede modelar mediante una función de Cobb-Douglas con , 
determine: 
a) ¿En cuanto crecería la economía de Estados Unidos si se impulsara un aumento del 5% de las horas 
trabajadas?. 
b) ¿En cuanto crecería la economía de Estados Unidos si se impulsara un aumento del 15% de las 
inversión destinada a formación bruta de capital fijo (FBCF)?. 
c) ¿En cuanto crecería la economía de Estados Unidos si se impulsara un aumento del 2% de la 
productividad total de los factores de producción mediante un programa de innovación industrial 
que tiene un coste de 4,5% del PIB?. 
d) ¿Cuál de las medidas anteriores es más eficaz en cuanto a lograr un mayor crecimiento de la 
economía de Estados Unidos?. 
 Y = r ⋅K + w ⋅ L
 Y = 0,0475⋅1.930,5K +12,4 ⋅14,7 ≅ 274
 
σ = PML ⋅ L
PMK ⋅K
= 1−α
α
 PMK = A ⋅α⋅K (α−1)L(1−α )
 PML = A ⋅Kα 1−α( )L(1−α−1) = A ⋅Kα 1−α( )L(−α )
 
σ = PML ⋅ L
PMK ⋅K
=
A ⋅Kα 1−α( )L(−α ) ⋅ L
A ⋅α ⋅K (α−1)L(1−α ) ⋅K
=
A ⋅Kα−1 1−α( )L(1−α )
A ⋅α ⋅K (α−1)L(1−α )
= 1−α
α
 α = 1
3
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
10 
e) ¿Cuál de las medidas anteriores es eficiente en cuanto a lograr un mayor crecimiento de la 
economía de Estados Unidos a un menor coste?. 
f) ¿Cuál de las medidas es la más rápida de implementar? 
g) ¿Cuál de las medidas es la más perdurable en el tiempo?. 
 
Sol.: 
a) Identificando los indicadores macroeconómicos del problema. 
Y = 12.881 
K = 40.084 
L = 244 
r = 6% 
w = 10 
 
Usando el modelo de producción agregada y la función de Cobb-Douglas, 
Determinando la constante A, 
 
en este caso un aumento del 5% de las horas trabajadas, implica , luego reemplazando en la 
función de producción agregada, 
 
que representa la producción del año 2010 en miles de millones de dólares. 
En este caso el incremento de la economía es 
 
Un aumento del 3 % de la economía. 
 α = 1
3
 Y = AKα L1−α( )
 
A = Y
Kα L1−α( ) =
12.881
40.084( )1/3
244( )2/3
= 12.881
34,2 ⋅39,1
! 9,63
 L ' = 256,2
 
Y ' = 9,63⋅K1/3L '2/3
= 9,63⋅40.0841/3256,22/3
= 9,63⋅34,2 ⋅40,3≅ 13.273
 
%ΔY = ΔY
Y
= 13.273−12.881
12.881
≅ 0,03
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
11 
b) un aumento del 15% de K implicaría 
 
que representa el nivel de capital para el año 2010 en miles de millones de dólares. 
En este caso el incremento de la economía es 
 
Un aumento del 5 % de la economía. 
c) un aumento del 2% de A implica , luego reemplazando en la función de 
producción agregada, 
 
que representa el nivel de producción de la economía para el año 2010 en miles de millones de 
dólares. 
En este caso el incremento de la economía es 
 
Un aumento del 2,0 % anual de la economía. 
d) en el sentido de la eficacia la segunda es la más eficaz en cuanto a aumentar el crecimiento económico. 
e) es más eficientes la de menor coste, 
-Un aumento del trabajo del 5% implica un aumento de 12,2 millones de miles de horas de 
trabajo con un coste de 122 miles de millones de dólares. 
-Un aumento del 15 del capital invertido es igual a 6.013 miles de millones de dólares. 
-Un aumento de A implica un coste de 579,6 miles de millones de dólares. 
De las tres medidas las más económica es la primera. 
f) La más rápida de implementar es el aumento de capital, si es que existe dinero disponible en la 
economía. 
g) la más perdurable de las medidas es un aumento de la productividad total de los factores, que afecta el 
crecimiento de la economía en el largo plazo. 
 K ' = 40.084+ 6.013= 46.097
 
Y ' = 9,63⋅K '1/3 L2/3
= 9,63⋅46.0971/32442/3
= 9,63⋅35,9 ⋅39,1= 13.518
 
%ΔY = ΔY
Y
= 13.518−12.881
12.881
≅ 0,05
 A' = 9,63⋅1,02 ≅ 9,82
 
Y ' = A'⋅K1/3L2/3
= 9,82 ⋅40.0841/32442/3
= 9,82 ⋅34,2 ⋅39,1= 13.132
 
%ΔY = ΔY
Y
= 13.132−12.881
12.881
≅ 0,02
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
12 
10) Chile presentó los siguientes indicadores macroeconómicos para el año 2012: PIB : $274 (miles de 
millones de dólares), r : 4,75% tasa interés al capital, L : 14,7 (miles de millones de horas trabajadas) 
Utilice la función de Cobb-Douglas con un y la ecuación de continuidad para: 
a) Determinar el valor de equilibrio del salario (w). 
b) Determinar el valor del capital invertido (K) en la economía. 
c) Graficar la situación de los mercados de capital y trabajo. 
d) Verificar que se cumple que 
Sol.: a) en este caso se debe utilizar la productividad marginal del trabajo expresada como valor medio de 
la renta por unidad de trabajo, y que es igual al salario. 
 
que representa el salario medio anual en dólares por hora. 
b) usando la expresión 
 
que representa el nivel de capital alcanzado en la economía en miles de millones de dólares. 
 
 α = 0.4 Y = r ⋅K + w ⋅ L
 Y = r ⋅K + w ⋅ L
 
PML = 1−α( )Y
L
= w
w = 0,6 ⋅ 274
14,7
= 11,2
 Y = r ⋅K + w ⋅ L
 
Y = r ⋅K + w ⋅ L
274 = 0,0475⋅K +11,2 ⋅14,7
⇒ K = 274−164,6
0,0475
≅ 2.303
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
13 
c) Representando estos valores en un modelo explicativo, se tendría 
 
 
Fig. 2 Equilibrio mercado del trabajo y monetario. 
d) Reemplazando en 
 
que representa el nivel de producción de la economía en miles de millones de dólares. 
 
11) Chile presentó los siguientes indicadores macroeconómicos para el año 2012: PIB : $274 (miles de 
millones de dólares), r : 4,75% tasa interés al capital, L : 14,7 (miles de millones de horas trabajadas). 
Utilice la función de Cobb-Douglas con un y la ecuación de continuidad para: 
a) Determinar el valor de equilibrio del salario (w). 
b) Determinar el valor del capital invertido (K) en la economía. 
c) Graficar la situación de los mercados de capital y trabajo. 
d) Verificar que se cumple que 
Sol.: a) en este caso se debe utilizar la productividad marginal del trabajo expresada como valor medio de 
la renta por unidad de trabajo, y que es igual al salario. 
 
que representa el salario medio anual en dólares por hora. 
b) usando la expresión 
L 
w 
L=14,7 
w=11,2 
L 
r 
K=2.303 
r=4,75% 
 Y = r ⋅K + w ⋅ L
 Y = 0,0475⋅2.303+11,2 ⋅14,7 ≅ 274
 α = 0,35 Y = r ⋅K + w ⋅ L
 Y = r ⋅K + w ⋅ L
 
PML = 1−α( )Y
L
= w
w = 0,65⋅ 274
14,7
= 12,1
 Y = r ⋅K + w ⋅ L
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
14 
 
que representa el nivel de capital alcanzado en la economía en miles de millones de dólares. 
c) Representando estos valores en un modelo explicativo, se tendría 
 
 
Fig. 3. Equilibrio mercado del trabajo y mercado monetario 
d) Reemplazando en 
 
que representa el nivel de producción de la economía para el año 2012 en miles de millones de dólares. 
 
 
 
Y = r ⋅K + w ⋅ L
274 = 0,0475⋅K +12,1⋅14,7
⇒ K = 274−178
0,0475
≅ 2.021
L 
w 
L=14,7 
w=12,1 
L 
r 
K=2.021 
r=4,75% 
 Y = r ⋅K + w ⋅ L
 Y = 0,0475⋅2.021+12,1⋅14,7 ≅ 274
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
15 
12) Considere la función de producción agregada de Cobb-Douglas en su forma neutral de Harrod 
. Determine: 
a) La productividad marginal del capital. 
b) La productividad marginal del trabajo. 
c) Demuestre que la razón de sustitución de los factores productivos para esta función es constante. Es decir, 
se cumple la siguiente expresión, 
 
 
Sol.: 
a) 
b) 
c) 
 
por tanto queda demostrado. 
 
 Y = Kα ⋅ A ⋅ L( )(1−α )
 
σ = PMK ⋅K
PML ⋅ L
= α
1−α
 
PMK = ∂Y
∂K
= A ⋅ L( )(1−α )
⋅α ⋅Kα−1 =α A(1−α ) L
K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1−α( )
 
PML = ∂Y
∂L
= Kα ⋅ A 1−α( ) ⋅ 1−α( ) ⋅ L( )(1−α−1)
= A 1−α( ) ⋅ 1−α( ) ⋅ K
L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
 
σ = PMK ⋅K
PML ⋅ L
=
α A(1−α ) L
K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1−α( )
⋅K
A 1−α( ) ⋅ 1−α( ) ⋅ K
L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
⋅ L
=
α L
K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1−α( )
1−α( ) ⋅ K
L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
⋅ L
K
=
α L
K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1−α( )
1−α( ) ⋅ L
K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−α
⋅ L
K
=
α L
K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1−α( )
1−α( ) ⋅ L
K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1−α( )
≡ α
1−α( )
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
16 
13) Estados Unidos tiene para el año 2015 un 7% de tasa de interés al capital, 244 miles de millones de 
horas trabajadas, un factor de productividad de 9,65, la constante de participación de los factores es 0,33. 
Determine: 
a) El nivel de capital de equilibrio de la economía. 
b) El salario de equilibrio de la economía 
c) El PIB generado en el equilibrio. 
d) Si para el año 2016 se estima que la productividad de los factores crecerá un 2%, el capital 
aumentará un 5% y el trabajo aumentará un 3%. Determine el porcentaje de crecimiento del PIB 
para el 2016. 
 
Sol.: 
a) Los datos entregados en el problema: 
r = 0,07 
L = 244, 
A = 9,65 
a = 0,33 
Recordando la función deproducción y la productividades marginales de los factores: 
 ; ; . 
En este caso podemos despejar la función en función de la productividad marginal del capital, 
 (1) 
 (2) 
Reemplazando (1) en (2) y los valores propuestos 
 Y = A ⋅Kα ⋅ L1−α( )
 
PMK = αY
K
= r
 
PML = (1−α )Y
L
= w
 
Y = A ⋅Kα ⋅ L1−α( ) → Kα = Y
A ⋅ L1−α( )
 
αY
K
= r → Y = r ⋅K
α
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
17 
 
El capital de equilibrio es de 73.931 miles de millones de dólares. 
 
b) utilizando la PML y la función de producción, 
 
En este caso, el salario de equilibrio es de 42,6 dólares por hora. 
 
 
Kα =
r ⋅K
α
A ⋅ L1−α( ) ⇒
Kα
K
=
r
α
A ⋅ L1−α( )
K 1−α( ) = A ⋅ L1−α( )
r
α
⇒ K = A ⋅ L1−α( )
r
α
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
1−α( )
= 9,65⋅244 0,67( )
0,07
0,33
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
0,67( )
= 384
0,21
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
0,67( )
≅ 73.931
 
w = (1−α )Y
L
= (1−α )A ⋅Kα ⋅ L1−α( )
L
= (1−α )A ⋅Kα ⋅ L1−α−1( )
= (1−α )A ⋅Kα ⋅ L−α
= (1−α )A ⋅ K
L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
= 0,67 ⋅9,65⋅ 73.931
244
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0,33
= 6,47 ⋅6,59 = 42,6
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
18 
14) Considere la función de producción agregada de Cobb-Douglas en su forma neutral de Solow 
. 
a) Demuestre que tiene rendimientos constantes de escala 
b) Demuestre que la productividad marginal del capital aumenta, si aumenta el factor de 
productividad. 
Sol.: 
a) Para demostrar que la función presenta rendimientos constantes de escala, se debe cumplir que 
 
en nuestro caso 
 
b) para esto debemos primero calcular la productividad marginal de capital, 
 
En este caso, la productividad marginal de capital aumenta si A lo hace. 
 
 Y = A ⋅K( )α ⋅ L1−α( )
 F(zK , zL) = zF(K , L)
 
F(zK , zL) = A ⋅ zK( )α ⋅ zL( ) 1−α( )
= zα AK( )α z 1−α( )L1−α( )
= z α+1−α( ) AK( )α L1−α( )
= zF(K , L)
 
PMK ≡ ∂Y
∂K
=αL1−α( ) A ⋅K( )α−1
A ==α Aα L
K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1−α( )
=α Aα L
K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1−α( )
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
19 
15) Estados Unidos tuvo para el año 2015 un tasa de interés del 5% al capital, 244 miles de millones de 
horas trabajadas, un factor de productividad de 9,5, la constante de participación de los factores es 0,33. 
Determine: 
a) El nivel de capital de equilibrio de la economía. 
b) El salario de equilibrio de la economía 
c) El PIB generado en el equilibrio. 
d) Si para el año 2016 se estima que la productividad de los factores crecerá un 2%, el capital 
aumentará un 5% y el trabajo aumentará un 3%. Determine el porcentaje de crecimiento del PIB 
para el 2016. 
 
Sol.: 
a) Los datos entregados en el problema: 
r = 0,05 
L = 244, 
A = 9,5 
a = 0,33 
Recordando la función de producción y la productividades marginales de los factores: 
 ; ; . 
En este caso podemos despejar la función en función de la productividad marginal del capital, 
 (1) 
 (2) 
Reemplazando (1) en (2) y los valores propuestos 
 Y = A ⋅Kα ⋅ L1−α( )
 
PMK = αY
K
= r
 
PML = (1−α )Y
L
= w
 
Y = A ⋅Kα ⋅ L1−α( ) → Kα = Y
A ⋅ L1−α( )
 
αY
K
= r → Y = r ⋅K
α
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
20 
 
El capital de equilibrio es de 119.321 miles de millones de dólares. 
b) utilizando la PML y la función de producción, 
 
En este caso, el salario de equilibrio es de 49,1 dólares por hora. 
c) 
En este caso, el PIB de equilibrio es de 17.889 miles de millones de dólares. 
 
d) usando la ecuación función de producción agregada en su versión de tasas. 
 
es decir, la economía crecerá un 5,7% anual. 
 
 
 
Kα =
r ⋅K
α
A ⋅ L1−α( ) ⇒
Kα
K
=
r
α
A ⋅ L1−α( )
K 1−α( ) = A ⋅ L1−α( )
r
α
⇒ K = A ⋅ L1−α( )
r
α
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
1−α( )
= 9,5⋅244 0,67( )
0,05
0,33
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
0,67( )
= 378
0,15
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
0,67( )
≅ 119.321
 
w = (1−α )Y
L
= (1−α )A ⋅Kα ⋅ L1−α( )
L
= (1−α )A ⋅Kα ⋅ L1−α−1( )
= (1−α )A ⋅Kα ⋅ L−α
= (1−α )A ⋅ K
L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
= 0,67 ⋅9,5⋅ 119.321
244
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0,33
≅ 6,37 ⋅7,72 = 49,1
 Y = A ⋅Kα ⋅ L1−α( ) = 9,5⋅119.3210,33 ⋅2440,67 ≅ 17.889
 
%ΔY = %ΔA+α%ΔK + (1−α )%ΔL
= 2% + 0,33⋅5% + 0,67 ⋅3%
≅ 5,7
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
21 
16) Considere la función de producción agregada de Cobb-Douglas propuesta por Harrod-Domar. 
 
Determine: 
a) la productividad marginal del capital, 
b) la productividad marginal del trabajo, 
c) la razón de sustitución de los factores productivos. 
 
Sol.: 
a) 
 
b) 
c) 
 
ó 
 
 
 
Y = Kα ⋅ eH L( )(1−α )
 
PMK = ∂Y
∂K
= eH L( )(1−α ) ∂ Kα( )
∂K
= eH L( )(1−α )
⋅αKα−1 = αY
K
 
PML = ∂Y
∂L
= Kα eH( )(1−α ) ∂ L(1−α )( )
∂L
= Kα eH( )(1−α )
(1−α )L(1−α−1) = Kα eH( )(1−α )
(1−α )L(−α ) =
1−α( )Y
L
 
PMK ⋅K
PML ⋅ L
=
eH L( )(1−α )
⋅αKα−1 ⋅K
Kα eH( )(1−α )
(1−α )L(−α ) ⋅ L
=
eH L( )(1−α )
⋅αKα−1+1
Kα eH( )(1−α )
(1−α )L(−α+1)
=
eH( )(1−α )
L( )(1−α )
⋅α Kα
Kα eH( )(1−α )
L(−α+1) (1−α )
= α
1−α
 
PMK ⋅K
PML ⋅ L
=
αY
K
K
1−α( )Y
L
L
= αY
1−α( )Y = α
1−α( )
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
22 
17) Considere la función de producción agregada de Cobb-Douglas en su forma neutral de Solow 
 
a) Demuestre que tiene rendimientos constantes de escala 
b) Demuestre que la productividad marginal del capital presenta rendimientos decrecientes de 
escala. 
Sol.: 
a) Para demostrar que la función presenta rendimientos constantes de escala, se debe cumplir que 
 
en nuestro caso 
 
b) la productividad marginal de capital es 
 
luego debemos analizar la segunda derivada para ver si es creciente o decreciente. 
 
0< <1 
 Y = A ⋅K( )α ⋅ L1−α( )
 F(zK , zL) = zF(K , L)
 
F(zK , zL) = A ⋅ zK( )α ⋅ zL( ) 1−α( )
= zα AK( )α z 1−α( )L1−α( )
= z α+1−α( ) AK( )α L1−α( )
= zF(K , L)
 
PMK ≡ ∂Y
∂K
=αL1−α( ) A ⋅K( )α−1
A = AαL1−α( ) A ⋅K( )α−1
 
∂PMK
∂K
=α AL(1−α ) α −1( ) A ⋅K( )α−1−1
A
=α α −1( )A2 A ⋅K( )α−2
L1−α
=α α −1( )A2 A ⋅K( )α A ⋅K( )−2
L1−α
=α α −1( )A2 A ⋅K( )α
A ⋅K( )2 L1−α
=α α −1( ) A ⋅K( )α L1−α
K( )2
=α α −1( ) Y
K( )2 < 0
α ⇒α −1< 0
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
23 
18) La siguiente tabla muestra datos macroeconómicos de Chile para el período 2011-2013. 
Años PIB 
(miles de millones) 
K 
(miles de millones) 
L 
(Millones de horas trabajadas) 
2011 103.963 234.157 192 
2012 109.558 252.137 197 
2013 114.022 268.660 203 
Si a = 0,52 
a) Calcule la PTF promedio de Chile. 
b) Calcule el PIB potencial para el año 2014, si se estima que el capital crecerá un 4% y el trabajo un 
2%. 
c) ¿Cuál sería la tasa de crecimiento esperado para el 2014? 
d) El PIB real de Chile para el 2014 fue de 117.000. Qué valor de output gap presenta Chile para ese 
año? 
Sol.: a) para calcular la PTF se utiliza la función de producción de Cobb-Douglas calculando A en forma 
residual para cada año, y expresando todas las variables en la misma unidad de medida, en este caso en 
millones. 
 
 
b) Para resolver esta situación consideramos una función de Cobb-Douglas 
 
que representa la producción potencial de la economía para el año 2014 en miles de millones de dólares. 
c) para el 2014 la tasa de crecimiento anual esperada en la economía sería: 
(118.001-114.022)/114.022=3,35%. 
d) la tasa real de crecimiento fue de (117.000-114.022)/114.022 = 2,61%. Luego el output gap sería de 
GAP = 3,35%-2,61% = 0,74%. 
 
 
F K , L( ) ≡ Y = AKα L1−α( ) ⇒ A = Y
Kα L1−α( )
 
A2011 =
103.963
234.1570,521920,48 ! 13,4
A2012 =
109.558
252.1370,521970,48 ! 13,5
A2013 =
114.022
268.6600,522030,48 ! 13,4
Aprom = 13,43
 
Y potencial
2014 = ApromK2014
α L2014
1−α( ) = 13,43⋅ 279.406( )0,52
207,1( )0,48
≅ 118.001
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
24 
19) Considere la función de producción agregadade Cobb-Douglas propuesta por Harrod-Domar (20 pts.) 
 
Determine: 
a) la productividad marginal del capital, 
b) la productividad marginal del trabajo, 
c) la razón de sustitución de los factores productivos. 
 
Sol.: 
a) 
 
b) 
c) 
 
ó 
 
 
 
Y = Kα ⋅ eH L( )(1−α )
 
PMK = ∂Y
∂K
= eH L( )(1−α ) ∂ Kα( )
∂K
= eH L( )(1−α )
⋅αKα−1 = αY
K
 
PML = ∂Y
∂L
= Kα eH( )(1−α ) ∂ L(1−α )( )
∂L
= Kα eH( )(1−α )
(1−α )L(1−α−1) = Kα eH( )(1−α )
(1−α )L(−α ) =
1−α( )Y
L
 
PMK ⋅K
PML ⋅ L
=
eH L( )(1−α )
⋅αKα−1 ⋅K
Kα eH( )(1−α )
(1−α )L(−α ) ⋅ L
=
eH L( )(1−α )
⋅αKα−1+1
Kα eH( )(1−α )
(1−α )L(−α+1)
=
eH( )(1−α )
L( )(1−α )
⋅α Kα
Kα eH( )(1−α )
L(−α+1) (1−α )
= α
1−α
 
PMK ⋅K
PML ⋅ L
=
αY
K
K
1−α( )Y
L
L
= αY
1−α( )Y = α
1−α( )
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
25 
20) Considere la función de producción agregada de Cobb-Douglas 
 
a) Demuestre que tiene rendimientos constantes de escala 
b) Demuestre que la productividad marginal del trabajo presenta rendimientos decrecientes de 
escala. 
Sol.: 
a) Para demostrar que la función presenta rendimientos constantes de escala, se debe cumplir que 
 
en nuestro caso 
 
b) la productividad marginal del trabajo es 
 
Luego debemos analizar la segunda derivada para ver si es creciente o decreciente. 
 
0< <1 
Luego la expresión es siempre negativa, es decir la productividad marginal es decreciente. 
 
 Y = A ⋅K( )α ⋅ L1−α( )
 F(zK , zL) = zF(K , L)
 
F(zK , zL) = A ⋅ zK( )α ⋅ zL( ) 1−α( )
= zα AK( )α z 1−α( )L1−α( )
= z α+1−α( ) AK( )α L1−α( )
= zF(K , L)
 
PML ≡ ∂Y
∂L
= 1−α( )L1−α−1( ) A ⋅K( )α
= 1−α( )L −α( ) A ⋅K( )α
= 1−α( ) A ⋅K
L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
 
∂PML
∂L
= 1−α( )α A ⋅K
L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α−1
⋅− 1
L2
= 1−α( )α L
A ⋅K
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1−α
⋅− 1
L2 < 0
α ⇒ 0 <1−α
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
26 
21) Estados Unidos presenta los siguientes indicadores macroeconómicos para el 2016, un tasa de interés 
al capital del 5%, 244 miles de millones de horas trabajadas y un factor de productividad de 8.2. 
Además se ha determinado que la constante de participación de los factores es 0,32. 
Determine: 
a) El nivel de capital de equilibrio de la economía. 
b) El salario y PIB de equilibrio de la economía 
c) Si para el año 2017 se estima que la productividad de los factores crecerá un 1%, el capital aumentará 
un 4% y el trabajo aumentará un 2%. Determine el porcentaje de crecimiento del PIB para el 2017. 
 
Sol: 
a) Los datos entregados en el problema: 
r = 0,05 
L = 244, 
A = 8,2 
a = 0,32 
Recordando la función de producción y la productividades marginales de los factores: 
 ; ; . 
En este caso podemos despejar la función en función de la productividad marginal del capital, 
 (1) 
 (2) 
Reemplazando (1) en (2) y los valores propuestos 
 
 Y = A ⋅Kα ⋅ L1−α( )
 
PMK = αY
K
= r
 
PML = (1−α )Y
L
= w
 
Y = A ⋅Kα ⋅ L1−α( ) → Kα = Y
A ⋅ L1−α( )
 
αY
K
= r → Y = r ⋅K
α
 
Kα =
r ⋅K
α
A ⋅ L1−α( ) ⇒
Kα
K
=
r
α
A ⋅ L1−α( )
K 1−α( ) = A ⋅ L1−α( )
r
α
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
27 
 
El capital de equilibrio es de 79.878 miles de millones de dólares. 
b) utilizando la PML y la función de producción, 
 
En este caso, el salario de equilibrio es de 35,8 dólares por hora. 
El PIB de equilibrio, 
En este caso, el PIB de equilibrio es de 12.976 miles de millones de dólares. 
 
c) usando la ecuación función de producción agregada en su versión de tasas. 
 
es decir, la economía crecerá un 3,64% anual. 
 
 
 
⇒ K = A ⋅ L1−α( )
r
α
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
1−α( )
= 8,2 ⋅244 0,68( )
0,05
0,32
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
0,68( )
= 344,53
0,156
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
0,68( )
≅ 345
0,16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
0,68( )
≅ 79.878
 
w = (1−α )Y
L
= (1−α )A ⋅Kα ⋅ L1−α( )
L
= (1−α )A ⋅Kα ⋅ L1−α−1( )
= (1−α )A ⋅Kα ⋅ L−α
= (1−α )A ⋅ K
L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
= 0,68 ⋅8,2 ⋅ 79.878
244
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0,32
≅ 5,6 ⋅6,4 = 35,8
 Y = A ⋅Kα ⋅ L1−α( ) = 8,2 ⋅84.0800,32 ⋅2440,68 ≅ 12.976
 
%ΔY = %ΔA+α%ΔK + (1−α )%ΔL
= 1% + 0,32 ⋅4% + 0,68 ⋅2% ≅ 3,64
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
 Función de Producción Agregada 
28 
22) La siguiente tabla muestra los datos macroeconómicos de Chile para el período 2012-2014. 
Años PIB 
(miles de millones) 
K 
(miles de millones) 
L 
(Millones de horas trabajadas) 
2012 109.558 252.137 197 
2013 114.022 268.660 203 
2014 103.963 234.157 192 
Si a = 0,50 
a) Calcule la PTF promedio de Chile. 
b) Calcule el PIB potencial para el año 2015, si se estima que el capital y el trabajo decrecerán un 
2% respectivamente. 
c) ¿Cuál sería la tasa de crecimiento esperado para el 2015? 
 
Sol.: 
a) para calcular la PTF se utiliza la función de producción de Cobb-Douglas calculando A en forma residual 
para cada año, y expresando todas las variables en la misma unidad de medida, en este caso en millones. 
 
 
b) Para resolver esta situación consideramos una función de Cobb-Douglas. Una disminución del 2% del K 
y L implica K=229.474 y L= 188,2 
 
que representa el PIB potencial del año 2015 en miles de millones de dólares. 
c) para el 2015 la tasa de crecimiento anual esperada en la economía sería (101.716-103.963)/ 103.963=-
2,2%. Es decir un decaimiento de 2,2%. 
 
F K , L( ) ≡ Y = AKα L1−α( ) ⇒ A = Y
Kα L1−α( )
 
A2012 =
109.558
252.1370,501970,50 ! 15,5
A2013 =
114.022
268.6600,502030,50 ! 15,4
A2014 =
103.963
234.1570,501920,50 ! 15,5
Aprom = 15,5
 
Y potencial
2015 = Aprom ⋅K2015
α ⋅ L2015
1−α( )
= 15,5⋅ 229.474( )0,50
188,2( )0,50
≅ 15,5⋅479 ⋅13,7 ≅ 101.716
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
29 
2 MODELO DE SOLOW-SWAN 
2.1 Resumen conceptual 
El modelo fue propuesto por Robert Solow y Trevor Swan en 19561, que modela el crecimiento económico 
en el largo plazo. Este modelo relaciona el crecimiento del producto con el ahorro de la población y el 
crecimiento de la población, ambos factores determinantes del stock de capital y del nivel de renta per 
cápita alcanzado en el largo plazo en una economía. 
Para modelar la economía utiliza una función de producción agregada tipo Cobb-Douglas, e introduce un 
término que explica cómo varía el capital en el tiempo. Para esto el modelo considera la demanda de bienes 
y la función de consumo, además el consumo depende del nivel de ahorro (s) de la nación y su nivel de 
renta per cápita (y). 
 
 
Además la variación del stock de capital depende de la inversión contemporánea (i) y la depreciación (
:factor de depreciación del capital) experimentada en el período. 
 
Asumiendo que todo lo que se ahorra se invierte, permite representar la variación del capital en términos 
del nivel de ahorro y crecimiento del capital 
 
En el estado estacionario, asumiento que no se acumula capital, se puede ver que el capital estacionario es 
igual a 
 
Donde k* es el capital en el estado estacionario. Además, Solow demostró que cuando el factor de 
depresiación es igual a la productividad marginal del capital por unidad de trabajador, se maximiza el 
consumo, conocida como la regla de oro. 
 
1 Solow, Robert M. (February 1956). "A contribution to the theory of economic growth". Quarterly Journal of Economics. 70 (1): 
65–94. doi:10.2307/1884513. 
Swan, Trevor W. (November 1956). "Economic growth and capital accumulation". Economic Record. 32 (2): 334–361. 
doi:10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x. 
y = c + i
c = (1− s)y
δ
Δk = i −δ k
Δk = skα −δ k
skα −δ k = 0
⇒ k* = s
δ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
1−α( )
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
30 
2.2 Ejercicios resueltos 
23) En la regla de oro del estado estacionario, el producto marginal del capital neto de depreciación es 
igual a la tasa de crecimiento de la población. Demuéstrelo, considerando una función de producción de 
Cobb-Douglas simplificada. 
Sol.: 
El consumoes una variable que depende del ingreso real y del nivel de inversión 
 (1) 
pero recordando la expresión de Solow, en el estado estacionario se tiene que 
 
al reemplazar en (1) tenemos 
 
y recordando la función de producción simplificada, , se tiene que el consumo es de la 
forma, 
 
En este caso se tiene el consumo en el estado estacionario. 
b) Maximizar el consumo y encuentre la productividad marginal de k. (PMGk) 
Ahora podemos maximizar este consumo, es decir, 
 
En este caso, 
 
y recordando que la expresión , entonces se tiene que 
 
c = y − i
 
Δk = 0⇒ 0 = s ⋅ f (k)− (δ + n)k
s ⋅ f (k)
i
!"# = (δ + n)k
i = (δ + n)k
c* = y − (δ + n)k*
c* = f (k*)− (δ + n)k*
f (k) = k*( )α
c* = k*( )α − (δ + n)k*
dc*
dt
= 0
dc*
dk
=αkα−1 − δ + n( ) = 0
⇒αkα−1 = δ + n( )
αkα−1 = PMgk
PMgk −δ = n
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
31 
24) Chile y Perú son consideradas como las economías más activas esta última década a nivel 
latinoamericano. El comportamiento macroeconómico de ambos es muy estable y ambos han sufrido un 
descenso en su tasa de crecimiento de su población en las últimas décadas, Chile con una tasa de 
crecimiento de la población de un 0,97% anual y Perú con un 1,11%. 
 
 
Fig. 4. Tasa de crecimiento poblacional y de Ahorro, Chile y Perú. 
Por otra parte, sus tasas de ahorro como porcentaje del PIB en estas última década ha ido en aumento, 
siendo de un 28% para Chile y 29,4% en Perú. 
Analice el crecimiento de estas economías usando el modelo de Solow y considerando una función de 
producción con y un para ambos países para indicar que la planta industrial de 
ambas naciones no difiere significativamente. También considere que sus capitales se deprecian a una 
misma tasa de δ=4% . Finalmente considere que ambas economías tienen el mismo nivel de crecimiento 
inicial, igual a un 2%. 
a) Obtener la función de producción simplificada (k minúscula). 
b) Determinar el ingreso per cápita en estado estacionario para ambas economías. 
c) Determine el nivel de consumo en el estado estacionario de ambas economías 
d) Determinar las sendas de crecimiento sostenido de Chile y Perú. ¿Se observa convergencia o 
divergencia en los países bajo estudio?, ¿Qué sugerencias de política económica pueden hacerse 
si existe divergencia entre los países? 
Sol.: 
a) Obtener la función de producción simplificada (k minúscula). 
 
 
Y = KαL(1−α ) α = 0,3
f (k)
f (k)
Y = KαL 1−α( ) / 1L
Y
L
= Kα L 1−α( )
L
y = KαL(1−α−1)
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
32 
 
b) Determinar el ingreso per cápita en estado estacionario para ambas economías. 
Recordando el modelo de Solow general, y reemplazando valores para 
cada uno de los países. 
En el caso de Chile, , en el estado estacionario, se tiene que 
, es decir que se puede despejar el valor de k que compensa los efectos de la depreciación y el 
crecimiento de la población, 
 
Luego el ingreso per cápita se puede obtener de la función de producción, 
 unidades monetarias. 
En el caso de Perú, , en el estado estacionario, se tiene que 
, es decir que se puede despejar el valor de k que compensa los efectos de la depreciación y el 
crecimiento de la población, 
= KαL(−α )
= K
L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
= kα
→ y = kα
Δk = s ⋅ f (k)− δ + n + g( )k
Δk = 0,28 ⋅ k0,3 − 0,04 + 0,097 + 0( )k
Δk = 0
 
Δk = 0,28 ⋅ k0,3 − 0,04 + 0,0097 + 0( )k
⇒ 0 = 0,28 ⋅ k0,3 − 0,04 + 0,0097 + 0( )k
0 = 0,28 ⋅ k0,3 − 0,0497k
0,0497k = 0,28 ⋅ k0,3
k
k0,3 =
0,28
0,0497
= 5,63
k1−0,3 = 5,63
k0,7 = 5,63 / ln(…) aplicando logaritmo
0,7 ln(k) = ln(5,63)
ln(k) = ln(5,63)
0,7
/ e(…) aplicando exponencial
k = e
ln(5,63)
0,7 = e
1,7
0,7 = e2,43 = 11,4
y = f (k) = k0,3 = 11,40,3 ≈ 2,1
Δk = 0,294 ⋅ k0,3 − 0,04 + 0,0111+ 0( )k
Δk = 0
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
33 
 
Luego el ingreso per cápita se puede obtener de la función de producción, 
 unidades monetarias. 
c) Determine el nivel de consumo en el estado estacionario de ambas economías 
En este caso se debe recordar que el consumo tiene la siguiente forma , luego 
en el caso de Chile tenemos que el consumo es igual a unidades monetarias, 
y para Perú, 
d) Determinar las sendas de crecimiento sostenido de Chile y Perú. 
 
Fig. 5. Estado estacionario del capital para Chile y Perú. 
 
Δk = 0,294 ⋅ k0,3 − 0,04 + 0,0111+ 0( )k
⇒ 0 = 0,294 ⋅ k0,3 − 0,04 + 0,0111+ 0( )k
0 = 0,294 ⋅ k0,3 − 0,0511k
0,0511k = 0,294 ⋅ k0,3
k
k0,3 =
0,294
0,0511
= 5,75
k1−0,3 = 5,75
k0,7 = 5,75 / ln(…) aplicando logaritmo
0,7 ln(k) = ln(5,75)
ln(k) = ln(5,75)
0,7
/ e(…) aplicando exponencial
k = e
ln(5,75)
0,7 ≅ e
1,8
0,7 = e2,57 = 13,1
y = f (k) = k0,3 = 13,10,3 ≈ 2,2
c = (1− s) f (k) = (1− s)kα
c = (1− 0,28) ⋅2,1= 1,5
c = (1− 0,295) ⋅2,2 = 1,6
150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
k
Tiempo
Chile
Perú
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
34 
¿Se observa convergencia o divergencia en los países bajo estudio?, En este caso se observa que los países 
divergen, es decir, no hay convergencia en el largo plazo. ¿Qué sugerencias de política económica pueden 
hacerse si existe divergencia entre los países?. En este caso, se debiera aumentar la tasa de ahorro en Chile 
para que logre el nivel de crecimiento de Perú. 
 
25) Chile y Bolivia presentan los siguientes indicadores macroeconómicos, 
Chile Bolivia 
A = 1; a = 1/3; k0 = 1; n = 1,6%; g = 1%; d 
= 5%; s = 20% 
A = 1; a = 1/3; k0 = 1; n = 2%; g = 1%; d = 
5%; s = 28% 
Determine mediante el modelo de Solow-Swan: 
a) Los valores en estado estacionario del capital, renta y consumo. 
b) Grafique la situación de acumulación de capital de ambos países. 
c) ¿Que debe suceder para que la situación en el largo plazo de ambos países sea la misma?. 
 
Sol.: a) Para determinar el capital, renta y consumo en el estado estacionario debemos utilizar la ecuación 
de Solow-Swan de acumulación de capital. 
 
y reemplazando valores para cada uno de los países. 
Chile Bolivia 
 
, en el caso de estado estacionario, se debe 
cumplir que , 
 
, en el caso de estado estacionario, se debe 
cumplir que , 
Δk = s ⋅ f (k)− δ + n + g( )k
Δk = 0,20 ⋅ k1/3 − 0,05 + 0,016 + 0,01( )k
Δk = 0
Δk = 0,28 ⋅ k1/3 − 0,05 + 0,02 + 0,01( )k
Δk = 0
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
35 
 
El ingreso per cápita, 
 unidades 
monetarias. 
El ingreso per cápita, 
 unidades 
monetarias. 
el nivel de consumo en el estado estacionario de 
ambas economías 
 
luego en el caso de Chile tenemos que el consumo 
es igual a unidades 
monetarias 
en el caso de Perú, 
 
b) La fig. 6 muestra los niveles de capital acumulado en el largo plazo para ambos países. 
 
Fig. 6. Estado estacionario del capital para Chile y Perú. 
 
⇒ 0 = 0,20 ⋅ k1/3 − 0,05 + 0,016 + 0,01( )k
= 0,20 ⋅ k1/3 − 0,076k
⇒ k
k1/3
= 0,20
0,076
 2,6
k1−1/3 = 2,6
k2/3 = 2,6 / ln(…)
2
3
ln(k) = ln(2,6)
ln(k) = 3
2
ln(2,6) / e(…)
k = e1,5⋅ln(2,6) = e1,43  4,2 
⇒ 0 = 0,28 ⋅ k1/3 − 0,05 + 0,02 + 0,01( )k
= 0,28 ⋅ k1/3 − 0,08k
⇒ k
k1/3
= 0,28
0,08
 3,5
k1−1/3 = 3,5
k2/3 = 3,5 / ln(…)
2
3
ln(k) = ln(3,5)
ln(k) = 3
2
ln(3,5) / e(…)
k = e1,5⋅ln(3,5) = e1,9  6,7
y = f (k) = k1/3 = 4,21/3 ≈1,6 y = f (k) = k1/3 = 6,71/3 ≈1,9
c = (1− s) f (k)
= (1− s)kα
c = (1− 0,2) ⋅1,6 = 1,3
c = (1− 0,28) ⋅1,9 = 1,4
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
36 
c) Para que exista convergencia puede ocurrir dos situaciones, Que la tasa de ahorro de Chile aumente o 
que la tasa de ahorro de Perú disminuya, y que la tasa de crecimiento de la población disminuya en Perú 
o aumente en Chile. 
 
26) Demuestre que en el estado estacionario (growth steady state), el producto per cápita es de la siguiente 
forma 
 
Sol.: 
En este caso utilizamos la ecuación de acumulación de Solow 
 
aplicando la condición de estado estacionario, , 
 
evaluandoen la función de producción 
 
 
 
 
y* = s ⋅ A
n+δ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
1−α
Δk = s ⋅ f (k)− δ + n( )k
Δk = 0
⇒ 0 = s ⋅ f (k)− δ + n( )k
s ⋅ f (k) = δ + n( )k
s ⋅A ⋅ kα = δ + n( )k
k
kα
= As
δ + n( )
k1−α = As
δ + n( )
⇒ k = sA
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
1−α
 
y = f (k) = sA
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
1−α
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
α
= sA
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
α
1−α
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
37 
27) Chile y Argentina presentan los siguientes indicadores macroeconómicos, 
Chile Argentina 
A = 1; a = 0,35; k0 = 1; n = 1,6%; g = 1%; 
d = 5%; s = 20% 
A = 1; a = 0,35; k0 = 1; n = 2%; g = 1%; 
d = 7%; s = 25% 
Determine mediante el modelo de Solow-Swan: 
a) Los valores en estado estacionario del capital, renta y consumo. 
b) Grafique la situación de acumulación de capital de ambos países. 
c) ¿Que debe suceder para que la situación en el largo plazo de ambos países sea la misma?. 
 
Sol.: 
a) Para determinar el capital, renta y consumo en el estado estacionario debemos utilizar la ecuación de 
Solow-Swan de acumulación de capital. 
 
y reemplazando valores para cada uno de los países. 
Chile Argentina 
 
, en el caso de estado estacionario, se debe cumplir 
que , 
 
 
, en el caso de estado estacionario, se debe cumplir 
que , 
 
 
Δk = s ⋅ f (k)− δ + n + g( )k
Δk = 0,20 ⋅ k0,35 − 0,05 + 0,016 + 0,01( )k
Δk = 0
 
⇒ 0 = 0,20 ⋅ k0,35 − 0,05 + 0,016 + 0,01( )k
= 0,20 ⋅ k0,35 − 0,076k
⇒ k
k0,35 = 0,20
0,076
! 2,6
k1−0,35 = 2,6
k0,65 = 2,6 / ln(…) aplicando logaritmo
0,65 ⋅ ln(k) = ln(2,6)
ln(k) = ln(2,6)
0,65
/ e(…) aplicando exponencial
k = e1,47 ! 4,35
Δk = 0,25 ⋅ k0,35 − 0,07 + 0,02 + 0,01( )k
Δk = 0
 
⇒ 0 = 0,25 ⋅ k0,35 − 0,07 + 0,02 + 0,01( )k
= 0,25 ⋅ k0,35 − 0,1k
⇒ k
k0,35 = 0,25
0,1
! 2,5
k1−0,35 = 2,5
k0,65 = 2,5 / ln(…) aplicando logaritmo
0,65 ⋅ ln(k) = ln(2,5)
ln(k) = ln(2,5)
0,65
/ e(…) aplicando exponencial
⇒ k = e1,41 ! 4,10
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
38 
El ingreso per cápita, 
 unidades 
monetarias. 
El ingreso per cápita, 
 unidades 
monetarias. 
el nivel de consumo en el estado estacionario de 
ambas economías 
 
luego en el caso de Chile tenemos que el 
consumo es igual a 
unidades monetarias 
en el caso de Argentina, 
 
 
 
b) La fig. 7 muestra el capital en el estado estacionario para ambos países. 
 
Fig. 7. Estado estacionario del capital para Chile y Argentina. 
 
c) Para que exista convergencia puede ocurrir dos situaciones. Que la tasa de ahorro de Chile aumente, ó 
que la tasa de crecimiento de la población y depreciación disminuya en Argentina. 
 
y = f (k) = k0,35 = 4,350,35 ≈1,67 y = f (k) = k0,35 = 4,100,35 ≈1,64
c = (1− s) f (k)
= (1− s)kα
c = (1− 0,2) ⋅1,67 = 1,34
c = (1− 0,25) ⋅1,64 = 1,23
150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5
0
1
2
3
4
Tiempo
k
Chile
Perú
Argentina
Chile
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
39 
28) Demuestre que en el estado estacionario del modelo de Solow-Swan el producto per cápita es de la 
siguiente forma 
 
 
Sol.: En este caso utilizamos la ecuación de acumulación de Solow-Swan 
 
aplicando la condición de estado estacionario, , 
 
evaluando en la función de producción 
 
 
 
y* = s ⋅ A
n+δ + g
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
1−α
Δk = s ⋅ f (k)− δ + n + g( )k
Δk = 0
⇒ 0 = s ⋅ f (k)− δ + n + g( )k
s ⋅ f (k) = δ + n + g( )k
s ⋅A ⋅ kα = δ + n + g( )k
k
kα
= As
δ + n + g( )
k1−α = As
δ + n + g( )
⇒ k = sA
δ + n + g( )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
1−α
 
y = f (k) = sA
δ + n+ g( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
1−α
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
α
= sA
δ + n+ g( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
α
1−α
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
40 
29) Chile presenta los siguientes indicadores macroeconómicos para un determinado año, 
Chile 
A=1; a=0,52 ; n=1,6%; d=5%; s=20% 
Utilizando el modelo de Solow resuelva las siguientes cuestiones, 
a) Si el valor de capital fuese de 5. Grafique las funciones de renta, depreciación y ahorro, 
identificando el nivel de consumo e inversión alcanzado en la economía con este capital. 
b) Determine los valores en el estado estacionario de la renta y el consumo de la economía. 
 
Sol.: a) 
 
Fig. 8. Modelo de Solow para el problema 7). 
b) Para determinar el capital, renta y consumo en el estado estacionario debemos utilizar la ecuación de 
Solow-Swan de acumulación de capital. 
 Δk = s ⋅ f (k)− δ + n( )k
Inversión 
Consumo 
(d+n)k 
sf(k) 
f(k) 
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
41 
y reemplazando los valores 
 
, en el caso de estado estacionario, se debe cumplir que , 
 
El ingreso per cápita, unidades monetarias. 
El nivel de consumo en el estado estacionario de ambas economías 
 
luego tenemos que el consumo es igual a unidades monetarias. 
 
Δk = 0,20 ⋅ k0,52 − 0,05 + 0,016( )k
Δk = 0
⇒ 0 = s ⋅ kα − δ + n( )k
s ⋅ kα = δ + n( )k
⇒ k
kα
= s
δ + n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
k1−α = s
δ + n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ / ...( )
1
1−α
k = s
δ + n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
1−α
k = 0,2
0,05 + 0,016
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
1−0,52
= 3.03( )
1
0,48 = 10.1
y = f (k) = k0,52 = 10.10,52 ≈ 3.33
c = (1− s) f (k)
= (1− s)kα
c = (1− 0,2) ⋅3,33= 2.66
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
42 
30) Demuestre que en el estado estacionario (growth steady state) del modelo de Solow, el consumo esta 
expresado de la siguiente forma, para una función de producción de Cobb-Douglas con A=1. 
 
Sol.: 
En este caso utilizamos la ecuación de acumulación de Solow 
 
aplicando la condición de estado estacionario, , 
 
evaluando en la función de producción 
 
El consumo se define como 
Con lo que finalmente tenemos, 
 
 
 
c* = 1− s( ) ⋅ s
n+δ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
1−α
Δk = s ⋅ f (k)− δ + n( )k
Δk = 0
⇒ 0 = s ⋅ f (k)− δ + n( )k
s ⋅ f (k) = δ + n( )k
s ⋅ kα = δ + n( )k
k
kα
= s
δ + n( )
k1−α = s
δ + n( )
⇒ k* = s
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
1−α
 
y* = f (k) = s
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
1−α
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
α
= s
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
α
1−α
c = (1− s) f (k)
c* = (1− s) s
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
α
1−α
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
43 
31) Demuestre que en el estado estacionario (growth steady state) del modelo de Solow, la inversión esta 
expresada de la siguiente forma, para una función de producción de Cobb-Douglas con A=1. 
 
Sol. : 
En este caso utilizamos la ecuación de acumulación de Solow 
 
aplicando la condición de estado estacionario, , 
 
evaluando en la función de producción 
 
El consumo se define como 
Con lo que finalmente tenemos, 
 
 
 
i* = s ⋅ s
n+δ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
1−α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Δk = s ⋅ f (k)− δ + n( )k
Δk = 0
⇒ 0 = s ⋅ f (k)− δ + n( )k
s ⋅ f (k) = δ + n( )k
s ⋅ kα = δ + n( )k
k
kα
= s
δ + n( )
k1−α = s
δ + n( )
⇒ k* = s
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
1−α
 
y* = f (k) = s
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
1−α
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
α
= s
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
α
1−α
i = s ⋅ f (k)
i* = s ⋅ s
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
α
1−α
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
44 
32) Chile y Perú presentan los siguientes indicadores macroeconómicos para el año 2016, 
Chile Perú 
A = 1; a = 0,5; k0 = 1; n = 1,6%; g = 1,5%; 
 d = 5%; s = 20% 
A = 1; a = 0,48; k0 = 1; n = 2%; g = 1,7%; 
d = 5%; s = 28% 
Determine mediante el modelo de Solow-Swan: 
a) Los valores en estado estacionario del capital, renta y consumo. 
b) ¿Qué valor de ahorro debe tener el país de menor crecimiento para que ambos presenten una 
convergencia hacia un mismo nivel estacionario?. 
 
Sol.: 
a) Para determinar el capital, renta y consumo en el estado estacionario debemos utilizar la ecuación de 
Solow-Swan de acumulación de capital. 
 
y reemplazando valores para cada uno de los países. 
Chile Perú 
 
, en el caso de estado estacionario, se debe 
cumplir que , 
 
 
, en el caso de estado estacionario, se debe cumplir 
que , 
 
Δk =s ⋅ f (k)− δ + n( )k
Δk = 0,20 ⋅ k0,5 − 0,05 + 0,016( )k
Δk = 0
 
⇒ 0 = 0,20 ⋅ k0,5 − 0,05 + 0,016( )k
= 0,20 ⋅ k0,5 − 0,066k
⇒ k
k0,5 = 0,20
0,066
! 3,03
k0,5 = 3,03
k0,5 = 3,03 / ln(…) aplicando logaritmo
0,5 ln(k) = ln(3,03)
ln(k) = 2 ln(3,03) / e(…) aplicando exponencial
k = e2⋅ln(3,03) = e2,22 ! 9,2
Δk = 0,28 ⋅ k0,48 − 0,05 + 0,02( )k
Δk = 0
 
⇒ 0 = 0,28 ⋅ k0,48 − 0,05 + 0,02( )k
= 0,28 ⋅ k0,48 − 0,07k
⇒ k
k0,48 = 0,28
0,07
! 4
k0,52 = 4
k0,52 = 4 / ln(…) aplicando logaritmo
0,52 ln(k) = ln(4)
ln(k) = 1
0,52
ln(4) / e(…) aplicando exponencial
k = e1,92⋅ln(4 ) = e2,66 ! 14,3
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
45 
El ingreso per cápita, 
 unidades 
monetarias. 
El ingreso per cápita, 
 unidades 
monetarias. 
el nivel de consumo en el estado estacionario de 
ambas economías 
 
luego en el caso de Chile tenemos que el 
consumo es igual a 
unidades monetarias 
en el caso de Perú, 
 
 
b) Para que exista convergencia puede ocurrir dos situaciones, Que la tasa de ahorro de Chile aumente o 
que la tasa de ahorro de Perú disminuya, y que la tasa de crecimiento de la población disminuya en Perú 
o aumente en Chile. 
 
y = f (k) = k0,5 = 9,20,5 ≈ 3,0 y = f (k) = k0,48 = 14,30,48 ≈ 3,6
c = (1− s) f (k)
= (1− s)kα
c = (1− 0,2) ⋅3,0 = 2,4
c = (1− 0,28) ⋅3,6 = 2,6
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo de Solow-Swan 
46 
33) Demuestre que en el estado estacionario (growth steady state), el producto per cápita se puede expresar 
de la siguiente forma , 
 
Sol.: 
En este caso utilizamos la ecuación de acumulación de Solow 
 
aplicando la condición de estado estacionario, , y que 
 
evaluando en la función de producción 
 
 
 
 
y* = s ⋅ A
n+δ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
α
1−α
Δk = s ⋅ f (k)− δ + n( )k
Δk = 0 f (k) = A ⋅ kα
⇒ 0 = s ⋅ f (k)− δ + n( )k
s ⋅ f (k) = δ + n( )k
s ⋅A ⋅ kα = δ + n( )k
k
kα
= s ⋅A
δ + n( )
k1−α = s ⋅A
δ + n( )
⇒ k* = s ⋅A
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
1−α
 
y* = f (k) = s ⋅ A
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
1−α
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
α
= s ⋅ A
δ + n( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
α
1−α
 
y*=f(k)= s×A
d+n( )
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
1
1-a
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
a
=
s×A
d+n( )
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
a
1-a
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
El ciclo económico 
47 
 
3 EL CICLO ECONÓMICO 
3.1 Resumen conceptual 
La definición clásica de Burns y Mitchell (1946) es la siguiente: Los ciclos económicos (business cycle) son 
un tipo de fluctuación en la actividad económica agregada de las naciones de forma recurrente, pero no 
periódica. 
El ciclo está compuesto de a lo menos dos fases, una de contracción de la economía, en donde el conjunto 
de la economía sufre un decaimiento importante de sus actividades y cambia la tendencia de crecimiento 
de la economía y su tasa de crecimiento. Esta fase es conocida comúnmente como crisis económica o 
recesión. Luego le sucede la fase de expansión de la economía en donde inicialmente se recupera el estado 
inicial de crecimiento previo a la contracción, para luego comenzar una dinámica de crecimiento por sobre 
lo habitual, o mayor que la tendencia de largo plazo que se puede observar en la economía; esta situación 
ocurre hasta que comienza un período de contracción de la economía. 
Los puntos que definen los momentos en los cuales cambia la dinámica de crecimiento de la economía se 
conocen como puntos de giro (turning point) y definen el comienzo de un período de recesión (peak) y el 
comienzo de un período de expansión (trough). 
El ciclo económico se dice que es un fenómeno no observable directamente, y por lo tanto se ha 
desarrollado diversas metodologías para poder analizar su comportamiento. En la siguiente figura se 
representan en forma esquemática ambas fases. 
 
 
Fig. 9. Fases del ciclo económico. 
Tiempo 
Nivel 
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
El ciclo económico 
48 
3.2 Ejercicios resueltos 
34) En la siguiente tabla se muestran el fechado del ciclo económico de Estados Unidos para el período 
1980-2010. La frecuencia de los datos es mensual y fueron obtenidos del NBER. 
Peak month Trough month Duration, 
peak to 
trough 
Duration, 
trough to 
peak 
Duration, 
peak to 
peak 
Duration, 
trough to 
trough 
January 1980 July 1980 6 58 74 64 
July 1981 November 1982 16 12 18 28 
July 1990 March 1991 8 92 108 100 
March 2001 November 2001 8 120 128 128 
December 2007 June 2009 18 73 81 91 
 
Determine para el caso de Estados Unidos: 
a) La duración de la fase de contracción 
b) La duración de la fase de expansión 
c) La duración del ciclo económico (en sus dos versiones) 
Sol.: a) Para determinar la fase de contracción se debe calcular el promedio de duración de las 
contracciones de la economía de Estados Unidos. 
Peak month Trough month Duration, peak to trough 
January 1980 July 1980 6 
July 1981 November 1982 16 
July 1990 March 1991 8 
March 2001 November 2001 8 
December 2007 June 2009 18 
 Contracción promedio 11,2 
La fase de contracción en promedio dura 11,2 meses. 
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
El ciclo económico 
49 
b) Para determinar la fase de contracción se debe calcular el promedio de duración de los períodos de 
expansion de la economía de Estados Unidos. 
Peak month Trough month Duration, trough to peak 
January 1980 July 1980 58 
July 1981 November 1982 12 
July 1990 March 1991 92 
March 2001 November 2001 120 
December 2007 June 2009 73 
 Expansión promedio 71 
La fase de expansión dura en promedio 71 meses. 
 
c) Para determinar la duración del ciclo se debe calcular el promedio de los períodos de peak a peak o de 
trough a trough de la economía de Estados Unidos. 
Peak month Trough month Duration, peak to peak Duration, trough to trough 
January 1980 July 1980 74 64 
July 1981 November 1982 18 28 
July 1990 March 1991 108 100 
March 2001 November 2001 128 128 
December 2007 June 2009 81 91 
 Ciclo promedio 81,8 82,2 
 
El ciclo económico de Estados Unidos tiene una duración en promedio de 81,8 meses medido desde sus 
valores peak a peak, y de 82,2 medido desde sus valores trough a trough. 
 
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
El ciclo económico 
50 
35) En la siguiente figura se puede ver el crecimiento del PIB anual de un país en los últimos 10 años. 
 
Fig. 10. PIB del problema 36). 
Determine: 
a) Los puntos de giro del ciclo económico. 
b) La duración de la fase de contracción, fase de expansión y del ciclo económico 
c) El crecimiento del PIB en el periodo de expansión y el valor de contracción de la economía en el 
período de contracción. 
Sol.: a) 
 
Fig. 11. Determinación de las fases del ciclo económico problema 36). 
Años 
Bil
lon
es
 de
 pe
so
s 
 
Contracción 
Expansión 
Años 
Bil
lon
es
 de
 pe
so
s 
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
El ciclo económico 
51 
En este caso los puntos de giro se encuentra ubicados en las siguientes coordenadas, peak: (3,4); (6,6); 
trough: (4,3); (7,4). 
 
b) La duración de la fase de contracción (áreas grises) se determina por el promedio de duración de cada 
uno de los períodos de recesión, ambos de un año de duración, con lo cual la fase dura un año. La fase de 
expansión sólo presenta un período de expansión, y dura dos años. Finalmente el ciclo se compone de la 
suma de la fase de contracción y de la expansión, con lo cual en nuestro caso dura 3 años. 
 
c) Las variaciones del producto se obtienen considerando los valores del PIB en los puntos de giro, en 
nuestro caso el incremento del PIB en el período de expansión fue el siguiente, (6-3)/3=1, o sea un 100% 
de incremento. En el caso de la fase de contracción el valor para cada uno de los períodos, (3-4)/4=-0,25 y 
(4-6)/6=-0,58 es decir que la economía sufrío unos decaimientos del -25% y -58% respectivamente. 
 
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
El ciclo económico 
52 
36) En la siguiente figura se puede ver el crecimiento del PIB anual de un país en los últimos 10años. 
 
Fig. 12. Comportamiento del PIB problema 37). 
Determine : 
a) Los puntos de giro del ciclo económico. 
b) La duración de la fase de contracción 
c) La duración de la fase de expansión 
d) La duración del ciclo económico 
e) La tasa de crecimiento del PIB en el periodo de expansión 
f) La tasa de decaimiento del PIB en el período de recesión. 
Sol.: a) Se pueden identificar tres períodos de recesión preliminares. Sin embargo, si aplicamos la regla de 
O’kun respecto de la duración mínima de un período de recesión (2 trimestres), sólo dos períodos cumplen 
con este criterio. 
 
Fig. 13. Determinación de las fases del ciclo económico problema 37). 
100 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Trimestres
PIB
 e
n 
u.
m
.
100 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Trimestres
PI
B 
en
 u
.m
.
Recesión RecesiónExpansión
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
El ciclo económico 
53 
Los puntos de giro en coordenadas (x,y) y según sea peak o trough: 
 Peaks: (2,5) ; (7,6) 
Trough: (4,2); (9,4) 
b) Los períodos de recesión son 
Periodos recesión Peak Trough Duración (trimestres) 
1 (2,5) (4,2) 2 
2 (7,6) (9,4) 2 
En ambos períodos identificados es de 2 trimestres. 
c) Se puede identificar sólo un período 
Periodo expansión Trough Peak Duración (trimestres) 
1 (4,2) (7,6) 3 
 
d) La contabilidad del ciclo se puede calcular considerando la distancia entre Peaks o entre Trough, 
Periodo expansión Peak Peak Duración (trimestres) 
1 (2,5) (7,6) 5 
Periodo expansión Trough Trough Duración (trimestres) 
2 (4,2) (9,4) 5 
En ambos caso la distancia es de 5 trimestres. 
e) En este caso se debe considerar el PIB mínimo y máximo del período 
(6-2)/2*100=(4/2)*100=200% 
 
f) En este caso se debe calcular el decrecimiento en ambos períodos y estimar un promedio, 
(2-5)/5*100=(-3/5)*100=-60% 
(4-6)/6*100=(-2/6)*100=-33,3%
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
54 
 
4 MODELO IS-LM 
4.1 Resumen conceptual 
El modelo IS-LM siglas que significan IS “Investment and Saving equilibrium” (equilibrio entre inversión y 
ahorro) mientras que LM responde a las siglas de “Liquidity preference and Money supply equilibrium” 
(equilibrio entre liquidez y el suministro del dinero). Es una síntesis propuesta por John Hicks en 1937 y 
popularizado por Alvin Hansen. Busca representar el comportamiento de equilibrio del mercado de Bienes 
con el mercado Monetario. 
El mercado de bienes determina el nivel de renta mientras que el mercado monetario determina el tipo de 
interés. Ambos mercados interactúan y se influyen mutuamente ya que el nivel de renta determinará la 
demanda de dinero (y por tanto el precio del dinero o tipo de interés) y el tipo de interés influirá en la 
demanda de inversión (y por tanto en la renta y la producción real). 
 
 
 
Fig. 14. Curvas IS y LM. 
 
La curva IS muestra las situaciones de equilibrio entre inversión y ahorro para los diferentes valores de renta 
(Y) y tipo de interés (r), en donde una disminución (aumento) del tipo de interés hace aumentar (disminuir) 
la inversión, lo que conlleva un aumento (descenso) de producción. La curva LM muestra las situaciones de 
equilibrio entre la oferta y la demanda en el mercado monetario, y cuanto mayor es el nivel de producción 
y renta, mayor es la demanda de dinero; y cuanto mayor es la demanda de dinero, mayor tiende a ser el 
tipo de interés. 
LM 
IS 
e 
r 
r* 
Y Y* 
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
55 
El punto “e” en el que se cruzan las curvas IS y LM muestra la posición del equilibrio simultáneo en ambos 
mercados, en donde se determina un nivel de renta de equilibrio dada una tasa de interés. La situación de 
equilibrio puede verse alterada por variables distintas al tipo de interés que pueden provocar 
desplazamientos de las curvas. Los aumentos en la demanda efectiva (de consumo, de inversión, de gastos 
públicos o del sector exterior) provocan desplazamientos hacia la derecha de la curva IS y por tanto un 
nuevo punto de equilibrio a un nivel de renta y tipo de interés superior. Asimismo, los aumentos en la 
oferta de dinero, caídas en el nivel general de precios, disminuciones en la demanda de dinero, etc, 
provocan desplazamientos hacia la derecha de la curva LM y por tanto un nuevo equilibrio con mayor 
producto y menor tipo de interés. 
Este modelo permite evaluar la eficacia de la política fiscal (que afecta principalmente a la curva IS) y de la 
política monetaria (que afecta principalmente a la curva LM). 
 
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
56 
4.2 Ejercicios resueltos 
37) Considere la siguiente economía modelada de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
 
resuelva las siguientes cuestiones: 
a) Obtenga la curva IS, 
b) Obtenga la curva LM, 
c) Determine el punto de equilibrio en el corto plazo y grafique sus resultados. 
 
Sol.: 
a) La curva IS: 
 
b) La curva LM: 
 C = c1 + c2 ⋅Yd
 I = a − b ⋅r
 G = G0
 t = t0
 TF = TF0
 Ld = d ⋅Y − e ⋅r
 
M
P
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= M0
 
Y = C + I +G
= c1 + c2Yd + a − b ⋅r +G
= c1 + c2(Y − t0 ⋅Y +TF0 )+ a − b ⋅r +G0
= c1 + c2Y − c2t0Y + c2TF0 + a − b ⋅r +G0
⇒ Y − c2Y + c2t0Y = c1 + c2TF0 + a − b ⋅r +G0
Y 1− c2 + c2t0( ) = c1 + c2TF0 + a +G0( )− b ⋅r
⇒ Y =
c1 + c2TF0 + a +G0( )
1− c2 + c2t0( ) − b
1− c2 + c2t0( ) ⋅r
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
57 
 
 
c) El punto de equilibrio se determina cuando IS=LM 
 
reemplazando en la curva LM 
 
 
 
M
P
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= Ld
⇒ M0 = d ⋅Y − e ⋅r
Y =
M0
d
+ e
d
⋅r
 
c1 + c2TF0 + a +G0( )
1− c2 + c2t0( ) − b
1− c2 + c2t0( ) ⋅r =
M0
d
+ e
d
⋅r
⇒ e
d
⋅r + b
1− c2 + c2t0( ) ⋅r =
c1 + c2TF0 + a +G0( )
1− c2 + c2t0( ) −
M0
d
⇒ r e
d
+ b
1− c2 + c2t0( )
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
c1 + c2TF0 + a +G0( )d − M0 1− c2 + c2t0( )
1− c2 + c2t0( )d
⇒ r
e 1− c2 + c2t0( ) + bd
d 1− c2 + c2t0( )
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
c1 + c2TF0 + a +G0( )d − M0 1− c2 + c2t0( )
1− c2 + c2t0( )d
⇒ re =
c1 + c2TF0 + a +G0( )d − M0 1− c2 + c2t0( )
1− c2 + c2t0( )d
e 1− c2 + c2t0( ) + bd
d 1− c2 + c2t0( )
=
c1 + c2TF0 + a +G0( )d − M0 1− c2 + c2t0( )
e 1− c2 + c2t0( ) + bd
 
Y =
M0
d
+ e
d
⋅r
⇒Ye =
M0
d
+ e
d
⋅re
Ye =
M0
d
+ e
d
⋅
c1 + c2TF0 + a +G0( )d − M0 1− c2 + c2t0( )
e 1− c2 + c2t0( ) + bd
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
58 
Graficando el resultado 
 
Fig. 15. Curvas IS-LM del problema 37. 
 
38) Considere la siguiente economía modelada de la siguiente forma: 
 
 
, 
 
 
Determine: 
a) Describa brevemente las características particulares de esta economía. 
b) Obtenga la curva IS. 
c) Obtenga la curva LM. 
d) Grafique el modelo IS-LM y determine el punto de equilibrio de esta economía. 
 
Sol.: a) En este caso se describe una economía con las siguientes características: 
• Con una PMgC del 60% y un consumo residual de 400 u.m. 
• Una inversión influenciada por un nivel de ahorro del 20%. 
• Una política fiscal que sólo considera como instrumento el gasto público y no aplica una 
estructura impositiva, o aplica impuestos. 
Y 
r 
Ye 
re 
LM IS 
 C = 400+ 0,6 ⋅Y
 I = 100+ 0,2 ⋅Y −1000 ⋅r
 G = 450 T = 0
 L
d = 1000+ 0,4 ⋅Y −10.000 ⋅r
 
M
P
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1.500
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
59 
b) Se debe recordar el gasto planificado en el corto plazo, para reconstruir la demanda agregada en la 
economía, que es de la forma, 
 (*) 
Reemplazando en (*), tenemos, 
 , simplificando la expresión y sumando 
términos semejantes, 
 
Luego simplificamos Y, 
 
 curva IS 
c) Ahora consideramos el mercado del dinero en equilibrio, recordando la ecuación, 
 (**) 
reemplazamos en (**) 
 
 , curva LM 
 
d) Para obtener el punto de equilibrio se debe cumplir que , reemplazando, tenemos 
 
 Y = C + I +G
 Y = 400+ 0,6 ⋅Y +100+ 0,2 ⋅Y −1000 ⋅r + 450
 
Y = (400+100+ 450)+ (0,6 ⋅0,2) ⋅Y −1000 ⋅r
Y = 950+ 0,8⋅Y −1000 ⋅r
 
Y − 0,8 ⋅Y = 950−1000 ⋅r
Y (1− 0,8) = 950−1000 ⋅r
0,2 ⋅Y = 950−1000 ⋅r / 1
0,2
Y = 950
0,2 − 1000
0,2 r
 Y = 4.750−5000 ⋅r
 
M
P
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= Ld (r,Y )
 
1.500 = 1000+ 0,4 ⋅Y −10.000 ⋅r
0,4 ⋅Y = 1.500−1000+10.000 ⋅r
0,4 ⋅Y = 500+10.000 ⋅r / 1
0,4
Y = 500
0,4 +
10.000
0,4 ⋅r
 Y = 1.250+ 25.000 ⋅r
 IS = LM
 
4.750−5.000 ⋅r = Y = 1.250+ 25.000 ⋅r
4.750−1.250 = 25.000 ⋅r +5.000 ⋅r
3.500 = 30.000 ⋅r
⇒ r1 =
3.500
30.000
≅ 0,117
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
60 
En este caso la tasa de interés de equilibrio es de 11,7%. Para encontrar el ingreso real de equilibrio se 
reemplaza este valor en cualquiera de las dos curvas del sistema IS-LM. 
 
Es decir el ingreso real de equilibrio de esta economía es de 4.165 u.m. Resumiendo, el punto de equilibrio 
de esta economía es (0,117; 4.165). 
 
Fig. 16. Curva IS-LM problema 38. 
 
39) Suponga que para la economía anterior, el Gobierno de turno decide aumentar su gasto en un 10%, 
para estimular la economía. Determine 
a) La nueva posición de equilibrio de la economía. 
b) El incremento porcentual de la tasa de interés y en el salario real. 
c) ¿Qué impacto tiene esta medida en la economía, resulta positiva la medida? 
 
Sol: 
En este caso se tiene que el gobierno de turno aumenta en un 10% el gasto, esto equivale a 
. Reemplazando este valor en el sistema anterior, tenemos, 
 , simplificando la expresión y sumando términos 
semejantes, 
 
Luego simplificamos Y, 
 Y1 = 4.750−5.000 ⋅0,117 ≅ 4.165
Y 
r 
Ye=4,165 
re=0,117 
LM IS 
 G = 450+ 45= 495
 Y = 400+ 0,6 ⋅Y +100+ 0,2 ⋅Y −1000 ⋅r + 495
 
Y = (400+100+ 495)+ (0,6+ 0,2) ⋅Y −1000 ⋅r
Y = 995+ 0,8 ⋅Y −1000 ⋅r
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
61 
 
 curva IS, 
en el mercado del dinero nada ha cambiado, luego utilizamos la curva del punto 2.1., 
 , curva LM 
En el equilibrio , 
 
El ingreso real seria igual a . 
 
b) Determine el incremento porcentual de la tasa de interés y en el salario real. 
En este caso, 
 0,06, es decir un incremento del 6% en la tasa de interés. 
 
, es decir un incremento del 4,6% en el ingreso nacional. 
 
c) ¿Qué impacto tiene esta medida en la economía, resulta positiva la medida? 
En este caso la medida se debería evaluar como positiva en la medida que la tasa de interés aumento 0,7 
puntos, y esto implicó una expansión de la economía de un 4,6%. 
 
 
Y − 0,8 ⋅Y = 995−1000 ⋅r
Y (1− 0,8) = 995−1000 ⋅r
0,2 ⋅Y = 995−1000 ⋅r / 1
0,2
Y = 995
0,2 − 1000
0,2 r
 Y = 4.975−5.000 ⋅r
 Y = 1.250+ 25.000 ⋅r
 IS = LM
 
4.975−5.000 ⋅r = 1.250+ 25.000 ⋅r
4.975−1.250 = 25.000 ⋅r +5.000 ⋅r
3.725= 30.000 ⋅r
⇒ r2 =
3.725
30.000
≅ 0,124
 Y2 = 4.975−5.000 ⋅0,124 ≅ 4.355
 
Δr =
r2 − r1
r1
= 0,124− 0,117
0,117
≅
 
ΔY =
Y2 −Y1
Y1
= 4.355− 4.165
4.165
≅ 0,046
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
62 
40) Considere la siguiente economía modelada de la siguiente forma: 
 
 
, 
 
 
a) Describa brevemente las características particulares de esta economía. 
b) Obtenga la curva IS. 
c) Obtenga la curva LM. 
d) Grafique el modelo IS-LM y determine el punto de equilibrio de esta economía. 
 
Sol.: 
a) En este caso se describe una economía con las siguientes características: 
• Con una PMgC del 50% y un consumo residual de 400 u.m. 
• Una inversión influenciada por un nivel de ahorro del 20%. 
• Una política fiscal que sólo considera como instrumento el gasto público y no aplica una 
estructura impositiva, o aplica impuestos. 
b) Se debe recordar el gasto planificado en el corto plazo, para reconstruir la demanda agregada en la 
economía, que es de la forma, 
 (*) 
Reemplazando en (*), tenemos, 
 , simplificando la expresión y sumando términos 
semejantes, 
 
Luego simplificamos Y, 
 C = 500+ 0,5⋅Y
 I = 100+ 0,2 ⋅Y −1000 ⋅r
 G = 450 T = 0
 L
d = 1000+ 0,4 ⋅Y −10.000 ⋅r
 
M
P
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1.500
 Y = C + I +G
 Y = 500+ 0,5⋅Y +100+ 0,2 ⋅Y −1000 ⋅r + 450
 
Y = (500+100+ 450)+ (0,5+ 0,2) ⋅Y −1000 ⋅r
Y = 1.050+ 0,7 ⋅Y −1000 ⋅r
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
63 
 
 curva IS 
 
c) Para obtener la curva LM consideramos el mercado del dinero en equilibrio, recordando la ecuación, 
 (**) 
reemplazamos en (**) 
 
 
 
 
 , curva LM 
 
d) Para obtener el punto de equilibrio se debe cumplir que , reemplazando, tenemos 
 
En este caso la tasa de interés de equilibrio es de 7,9%. Para encontrar el ingreso real de equilibrio se 
reemplaza este valor en cualquiera de las dos curvas del sistema IS-LM. 
 
Es decir el ingreso real de equilibrio de esta economía es de 3.237 u.m. Resumiendo, el punto de equilibrio 
de esta economía es (0,079; 3.237). 
 
 
 
Y − 0,7 ⋅Y = 1.050−1.000 ⋅r
Y (1− 0,7) = 1.050−1.000 ⋅r
0,3⋅Y = 1.050−1.000 ⋅r / 1
0,3
Y = 1.050
0,3 − 1.000
0,3 r
 Y = 3.500− 3.333⋅r
 
M
P
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= Ld (r,Y )
 Y = 1.250+ 25.000 ⋅r
 IS = LM
 
3.500− 3.333⋅r = Y = 1.250+ 25.000 ⋅r
3.500−1.250 = 25.000 ⋅r + 3.333⋅r
2.250 = 28.333⋅r
⇒ r1 =
2.250
28.333
≅ 0,079
 Y1 = 3.500− 3.333⋅0,079 ≅ 3.237
 
1.500 = 1000+ 0,4 ⋅Y −10.000 ⋅r
0,4 ⋅Y = 1.500−1000+10.000 ⋅r
0,4 ⋅Y = 500+10.000 ⋅r / 1
0,4
Y = 500
0,4 +
10.000
0,4 ⋅r
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
64 
 
Fig. 17. Curvas IS-LM problema 40. 
 
Y 
r 
Ye=3.237 
re=0,079 
LM IS 
Y 
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Modelo IS-LM 
65 
41) Suponga que para la economía anterior, el Gobierno de turno decide controlar la tasa de interés para 
que sea de un 10%. 
a) ¿Cuánto debe gastar para lograr ese objetivo en la economía?. Determine el gasto que permite lograr la 
tasa de interés objetivo. 
b) Determine el incremento porcentual del gasto y en el salario real. 
c) ¿Qué impacto tiene esta medida en la economía, resulta positiva la medida? 
 
Sol.: 
a) En este caso se tiene que el gobierno de turno desea en la economía una tasa de interés de 10%. 
Reemplazando este valor en el sistema anterior, tenemos, 
 , simplificando la expresión y sumando términos 
semejantes, 
 
Luego simplificamos Y, 
 
 curva IS 
En el mercado del dinero nada ha cambiado, luego utilizamos la curva LM del problema anterior, 
 , curva LM y en el equilibrio , 
 
 pero la tasa se quiere sea igual al 10%, por lo tanto tenemos: 
 Y = 500+ 0,5⋅Y +100+ 0,2 ⋅Y −1000 ⋅r +G
 
Y = (500+100)+ (0,5+ 0,2) ⋅Y −1000 ⋅r +G
Y = 600+ 0,7 ⋅Y −1000 ⋅r +G
 
Y − 0,7 ⋅Y = 600−1000 ⋅r +G
Y (1− 0,7) = 600−1000 ⋅r
0,3⋅Y = 600−1000 ⋅r +G / 1
0,3
Y = 600
0,3 − 1000
0,3 r + G
0,3
Y = 2.000− 3.333⋅r + G
0,3
 Y = 1.250+ 25.000 ⋅r IS = LM
 
2.000− 3.333⋅r + G
0,3
= 1.250+ 25.000 ⋅r
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
66 
 
luego el ingreso real es Y=1.250+25.000*0,10=1.250+2.500=3.750. 
b) Determine el incremento porcentual del gasto y en el salario real. 
En este caso, 
 
es decir un incremento del 38,9% en el gasto público. 
 
, 
es decir un aumento del salario real del 15,8%. 
c) ¿Qué impacto tiene esta medida en la economía, resulta positiva la medida? 
En este caso la medida se debería evaluar como positiva en la medida que la meta de una tasa de interés 
de 10%, es decir un aumento de 2,1% significa en esta economía un aumento del producto de un 15,8%, 
con un aumento del gasto del 38,9%. 
 
 
2.000− 3.333⋅0,10+ G
0,3
= 1.250+ 25.000 ⋅0,10
1.667 + G
0,3
= 1.250+ 2.500
G
0,3
= 1.250+ 2.500−1.667
⇒ G2 = 0,3⋅2.083≅ 625
 
ΔG =
G2 −G1
G1
= 625− 450
450
≅ 0,389
 
ΔY =
Y2 −Y1
Y1
= 3.750− 3.237
3.237
≅ 0,158
Ejercicios resueltos de Macroeconomía II 
Modelo IS-LM 
67 
42) Considere la siguiente economía modelada de la siguiente forma: 
 
 
, 
 
 
a) Describa brevemente las características particulares de esta economía. 
b) Obtenga la curva IS. 
c) Obtenga la curva LM. 
d) Grafique el modelo IS-LM y determine el punto de equilibrio de esta economía. 
 
Sol.: