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1 ANALISIS ACUSTICO DEL INSTRUMENTO DE PERCUSION TAMBOR HEMBRA APLICADO A LA MICROFONERIA DEL MISMO. WILVER JOANY VIANA MANOSALVA ADRIANA PAOLA VICTORIA GONZALEZ UNIVERSIDAD SAN BUENAVENTURA FACULTAD DE INGENIERIA BOGOTÁ 2006 2 ANALISIS ACUSTICO DEL INSTRUMENTO DE PERCUSION TAMBOR HEMBRA APLICADO A LA MICROFONERIA DEL MISMO. WILVER J. VIANA MANOSALVA ADRIANA P. VICTORIA GONZALEZ Proyecto de Grado para optar por el titulo de Ingeniería de Sonido Asesor de Fondo LUIS JORGE HERRERA Físico Asesor de Forma ESPERANZA CAMARGO Ingeniera Electrónica UNIVERSIDAD SAN BUENAVENTURA FACULTAD DE INGENIERIA BOGOTÁ 2006 3 Nota de aceptación: ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ___________________________ Firma del presidente del jurado ___________________________ Firma del jurado ___________________________ Firma del jurado Bogotá, 2 de Mayo de 2006 4 AGRADECIMIENTOS Le agradecemos a Dios por brindarnos salud, sabiduría e inteligencia para culminar otra etapa más de nuestro proyecto de vida. A nuestros padres, Luís Miguel y Martha Cecilia, Carlos Arturo y Pepy por ser nuestro apoyo sincero en cada paso que damos en nuestras vidas. A nuestros hermanos Harvey y Carlos Andrés, que colaboraron de una u otra forma en la culminación de nuestra carrera como ingenieros. A nuestros familiares y amistades por su apoyo. También queremos agradecer a nuestros profesores que nos aportaron todo su conocimiento durante estos 5 años. A nuestros tutores Luís Jorge y Esperanza quienes con su perseverancia, tolerancia e inteligencia nos guiaron de la mejor manera para la realización y culminación de nuestro proyecto de grado. Ingeniero Mecánico Ricardo Ríos, por su colaboración en el desarrollo del método científico. Por otro lado queremos agradecer a Gustavo Pérez y a Luís Sarmiento, por brindarnos su apoyo y ayuda incondicional para la elaboración de este proyecto de principio a fin. 5 TABLA DE CONTENIDO Pág. INTRODUCCION 1 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 3 1.1 ANTECEDENTES 3 1.2 DESCRIPCION Y FORMULACION DEL PROBLEMA 3 1.3 JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACION 4 1.4 OBJETIVOS 5 1.4.1 GENERAL 5 1.4.2 ESPECIFICOS 5 1.5 ALCANCES Y LIMITACIONES DEL PROYECTO 5 1.5.1 ALCANCES 6 1.5.2 LIMITACIONES 6 2. MARCO DE REFERENCIA 6 2.1 MARCO CONCEPTUAL 6 1. El sonido 6 1.2 Fuente Sonora 7 1.2.1 Tipos de Fuente Sonora 7 1.3 Espectro Frecuencial 7 1.4 Modos Normales 8 1.5 Clasificación de los Instrumentos Musicales 9 1.6 El Micrófono 10 1.6.1 Tipos de Micrófono 10 1.7 El Método de los Elementos Finitos (FEM) 11 2.2 MARCO TEÓRICO 11 1. Instrumentos Membrafonos 11 2. Mediciones Acústicas 16 2.1 Presión Sonora 16 2.2 Nivel de Presión Sonora 17 2.3 Efecto de ruido de fondo 18 6 2.4 Patrón Polar 18 2.5 Factor de Directividad 18 2.6 Índice de Directividad 19 2.7 Respuesta al Impulso 19 2.7.1 Caso discreto 19 2.7.1.1 La función impulso unitario discreto 19 2.7.1.2 La respuesta a un impulso genérico 21 2.7.1.3 Convolución 22 2.7.2 Caso Continuo 24 2.7.2.1 La función impulso unitario continuo 24 2.7.2.2 Respuesta al impulso 26 2.7.2.3 Convolución 27 2.8 Micrófonos 28 2.8.1 Características de los Micrófonos 28 2.8.2 Características Direccionales 29 3. METODOLOGIA 30 3.1 ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN 30 3.2 LINEA DE INVESTIGACION DE USB / SUB-LINEA DE FALCULTAD/ CAMPO TEMATICO DEL PROGRAMA 30 3.3 HIPOTESIS 31 3.5 VARIABLES 32 3.5.1 VARIABLES INDEPENDIENTES 32 3.5.2 VARIABLES DEPENDIENTES 32 4. PRESENTACIÓN Y ÁNALISIS DE RESULTADOS 32 4.1 PROPIEDADES FISICAS DEL TAMBOR HEMBRA O ALEGRE 32 4.2 ANALISIS DEL TAMBOR HEMBRA POR MEDIO DEL MÉTODO EXPERIMENTAL 34 7 4.2.1 GENERADOR DE IMPACTO 34 4.2.2 PATRÓN POLAR, FACTOR DE DIRECTIVIDAD E INDICE DE DIRECTIVIDAD DEL TAMBOR HEMBRA 36 4.2.3 RESPUESTA AL IMPULSO 37 4.3 ANALISIS DEL TAMBOR HEMBRA POR MEDIO DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOS 38 4.4 MICROFONOS 39 5. DESARROLLO INGENIERIL 5.1 ANALISIS DE RESULTADOS DEL PATRÓN POLAR, FACTOR DE DIRECTIVIDAD E INDICE DE DIRECTIVIDAD DEL TAMBOR HEMBRA 40 5.2 ANALISIS POR EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS 44 5.3 ANALISIS DE LA RESPUESTA AL IMPULSO 44 5.4 ANALISIS DE LOS MICROFONOS 46 6. CONCLUSIONES 50 7. RECOMENDACIONES 51 BIBLIOGRAFIA 52 8 LISTA DE FIGURAS Pág. • Figura 1. Tambor hembra legítimo de San jacinto. 25 • Figura 2. Tambor hembra interpretado por un nativo. 26 • Figura 3. Función impulso unitario discreto. 31 • Figura 4. Sistema dinámico discreto estimulado con el impulso unitario. 31 • Figura 5. Relación entre la respuesta al impulso y la función de transferencia caso discreto. 31 • Figura 6. Respuesta al impulso caso discreto. 32 • Figura 6.1. Respuesta al impulso caso discreto retardado. 32 • Figura 6.2. Respuesta al impulso caso discreto genérica. 32 • Figura 7. Descomposición de una señal discreta. 34 • Figura 8. Función delta de dirac. 35 • Figura 9. Función impulso unitario continuo. 35 • Figura 10. Área bajo la curva f(t)d∆. 36 • Figura 11. Sistema dinámico continuo estimulado con el impulso unitario. 37 • Figura 12. Relación entre la respuesta al impulso y la función de transferencia caso continuo. 38 • Figura 13. Patrones de directividad. 40 • Figura 14. Método experimental de la densidad. 44 • Figura 15. Diseño del generador de impacto y base del tambor. 46 9 LISTA DE GRÁFICAS Pág. • Gráfica 1. Tambor hembra utilizado en la medición. 45 • Gráfica 2. Posición 1 del micrófono para respuesta al impulso. 49 • Gráfica 3. Posición 2 del micrófono para respuesta al impulso. 49 • Gráfica 4. Enmallado del tambor. 56 • Gráfica 5. Presión ejercida sobre la parte superior del tambor. 56 • Gráfica 6. Deformación del parche. 57 • Gráfica 7. Concentración de energía. 57 • Gráfica 8. Respuesta al impulso parte inferior del tambor. 58 • Gráfica 9. Respuesta al impulso parte superior del tambor. 59 • Gráfica 10. Curva de respuesta de frecuencia SHURE SM57. 66 • Grafica 11, Registro Sonoro del tambor hembra con el micrófono SM57. 66 • Gráfica 12, Ubicación de los micrófonos. 67 • Gráfica 13, Análisis Frecuencial del registro sonoro del tambor hembra con el micrófono Shure beta52. 68 • Gráfica 14, Análisis Frecuencial del registro sonoro del tambor hembra con el micrófono AKG C3000. 68 10 INTRODUCCION Podemos definir un instrumento como cualquier objeto que es utilizado para algún fin por el ser humano. La clave de esto radica en que la propiedad del instrumento no es una característica propia del objeto sino que es brindada por el ser humano al conferirle un uso funcional. Si la música es el arte de organizar sonido, con el fin de expresar estados de ánimos, se puede decir que un instrumento musical es cualquier objetoque sea utilizado por el ser humano para producir sonidos en el marco de una creación musical. El tambor hembra o “alegre” es un instrumento de percusión que proporciona la línea rítmica básica en la interpretación en los diferentes ritmos tradicionales colombianos como lo son la cumbia, el bullerengue, la puya, entre otros. Hoy en día, cantautores y productores buscan la mejor calidad de sonido en la captura de los instrumentos musicales. Es por esto que se debe estudiar la física de los instrumentos musicales que equivaldría entonces al estudio de las propiedades acústicas de los mismos. Existen diferentes métodos de medición para encontrar los parámetros acústicos básicos no solo de instrumentos musicales sino también de paneles, estructuras dobles o simples, altavoces, micrófonos, entre otros. Uno de estos métodos conocidos de tipo científico es el llamado método de elementos finitos (FEM) que permite simular los procesos acústicos y 11 vibratorios reales por medio de un ordenador. La idea principal de este método consiste en discretizar el medio continuo, dividiéndolo en elementos 2D ó 3D por medio de una malla. Otro método es el experimental que permite hallar de manera ingenieril el pratón polar, el índice de directividad de la fuente y la respuesta al impulso. Esta investigación se centra en el análisis acústico del instrumento de percusión tambor hembra o “alegre” por medio del método de elementos finitos modelado con software y por el método experimental, en donde se encontrarán los parámetros acústicos del instrumento, como el punto de mayor concentración de energía, la frecuencia fundamental, los armónicos, la directividad de la fuente y la respuesta al impulso, para así ser aplicado a la microfonería del instrumento, obteniendo una excelente calidad en la captura del mismo. 12 13 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 2.1 ANTECEDENTES Ingenieros de sonido, acústicos y electrónicos dedicados a la investigación en el campo de la acústica, han realizado experimental, científica y metódicamente investigaciones sobre instrumentos musicales como Ángelo Farina en su publicación de Mayo de 1995 “Realization of 'virtual' musical instruments: measurements of the Impulse Response of violins using MLS technique” que da respuesta al comportamiento acústico de instrumentos de cuerda, en este caso, el violín. Así mismo, se ha utilizado el método de elementos finitos para el diseño de los instrumentos musicales, el mismo Ángelo Farina aplica en su publicación de 1991, “Análisis acústico de una cavidad tridimensional con elementos finitos”, el método FEM para una cavidad tridimensional. En la Universidad de SAN BUENAVENTURA sede Bogotá se han realizado estudios acústicos sobre instrumentos musicales como el proyecto de grado del 2005 de Sonia Mireya Mayorga Rueda y Rubén Camilo Pachon Ricon “Análisis Acústico y grabación de instrumentos musicales de fabricantes y luthiers Colombianos” donde se encontraron parámetros acústicos de los instrumentos musicales, por otro lado se encuentra el proyecto de grado realizado por Luis Fernando Hermida Cadena en el 2005 “Análisis Modal de la caja de la guitarra acústica variando sus dimensiones” en donde utiliza el método de elementos finitos para conocer el comportamiento de la guitarra. 1.2 DESCRIPCION Y FORMULACION DEL PROBLEMA Hoy en día existe una gran demanda de la calidad en la captura de los instrumentos dentro del campo de la producción musical. Ingenieros, productores y cantantes buscan obtener la mejor calidad de sonido de los instrumentos que son utilizados en la grabación de los mismos. Las 14 producciones musicales actuales aplican subjetivamente la microfonería de los instrumentos musicales, debido a la falta de información científica de las propiedades acústicas de los mismos. Es por esto que es importante que los ingenieros de sonido tengan un conocimiento científico sobre el comportamiento acústico de los instrumentos musicales, en este caso del tambor hembra, el cual sería aplicado a la microfoneria del instrumento, obteniendo una calidad de captura óptima, para así, satisfacer las necesidades de productores, cantantes e ingenieros. Los instrumentos de percusión son de mayor importancia dentro de una composición musical, ya que, llevan el ritmo o beat de la canción. Es por esto que hoy en día se busca un buen registro a lo hora de la grabación. ¿Cuáles son los parámetros acústicos del tambor hembra o “alegre” que se deben tener en cuenta para su registro, mediante la posición del micrófono adecuado? 1.3 JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACION Debido a que los campos de investigación del programa de Ingeniería de Sonido se pueden complementar entre sí, como el campo de la acústica con el campo de producción musical, se encuentra interesante ver cómo el análisis acústico de un instrumento musical es aplicado en la microfoneria del mismo, para obtener una excelente calidad de sonido en la captura del instrumento. Actualmente en Colombia, no se han realizado investigaciones científicas sobre instrumentos musicales autóctonos de la costa caribe colombiana. En la universidad de SAN BUENAVENTURA sede Bogotá, existen investigaciones sobre el comportamiento acústico y respuesta modal de instrumentos musicales como la guitarra, pero no de instrumentos autóctonos de la costa caribe Colombiana como el instrumento de 15 percusión tambor hembra o alegre. Es por esto que se quiere llevar a cabo este proyecto con el fin de dejar una información útil y completa acerca de la manera como se debe colocar un micrófono en la captura de un instrumento de percusión teniendo en cuenta, las características acústicas del mismo. Todo lo anterior con el fin de dar un valor agregado a los conocimientos adquiridos en la carrera, mediante el complemento entre la acústica y la producción musical, que para la universidad representa una investigación profundizada que aportará a futuros profesionales una fuente precisa de información con rigor científico. 1.4 OBJETIVOS 1.4.1 GENERAL Realizar el Análisis Acústico del instrumento de percusión Tambor Hembra o “Alegre” para ser aplicado a la microfoneria del mismo. 1.4.2 ESPECIFICOS � Analizar las propiedades físicas del instrumento de percusión tambor hembra. � Realizar el análisis acústico del instrumento de percusión tambor hembra por medio del método de elementos finitos. � Analizar los resultados obtenidos en la medición experimental del patrón polar, factor de directividad, índice de directividad y respuesta al impulso del instrumento de percusión tambor alegre o hembra. � Identificar el micrófono adecuado para la microfoneria del instrumento. 16 � Comparar el registro sonoro del instrumento desarrollado en la investigación respecto al registro sonoro del mismo que se tiene actualmente. 1.5 ALCANCES Y LIMITACIONES DEL PROYECTO. 1.5.1 ALCANCES Con esta investigación se pretende dar a conocer herramientas de análisis numérico para aplicarlas en el campo de la acústica y la producción musical, como el método de elementos finitos, el cual permite simular procesos acústicos y vibratorios, otra herramienta para ser aplicada es la experimental, que permite conocer el patrón de polar, el índice de directividad, frecuencia fundamental y respuesta al impulso. Además, ingenieros de sonido y estudiantes que se dediquen al campo de la producción musical, tendrán un conocimiento científico sobre los instrumentos de percusión que deberán grabar, en donde encontrarán razones ingenieriles al porque de la localización de un micrófono frente a un instrumento. 1.5.2 LIMITACIONES • Económico • Equipo y tiempo de procesamiento 2.MARCO DE REFERENCIA 2.1 MARCO CONCEPTUAL 1. El sonido El sonido se produce como consecuencia de las compresiones y expansiones de un medio elástico, o sea de las vibraciones que se generan en él. 17 El sonido son ondas mecánicas, pues precisan de un medio (aire, agua, cuerpo sólido), que trasmita la perturbación. Es, el propio medio, el que produce y propicia la propagación de estas ondas, con su compresión y expansión. Para que este medio, pueda comprimirse y expandirse es un requisito fundamental que se trate de un medio elástico. Un cuerpo rígido no permite que las vibraciones se transmitan. Sin medio elástico, no habría sonido, pues las ondas sonoras no se propagan en el vacío. Por otro lado, la presión de las partículas que transportan la onda se produce en la misma dirección de propagación de la onda. Por tanto, las ondas sonoras son ondas longitudinales. Las ondas sonoras se desplazan en tres direcciones y sus frentes de onda son esferas radiales que salen desde el foco de la perturbación en todas las direcciones. Por esto, son ondas tridimensionales o esféricas. La frecuencia de una onda sonora es el número de pulsaciones (ciclos) que tiene por unidad de tiempo (segundo). La unidad correspondiente a un ciclo por segundo es el hertzio (Hz). 2.2 Fuente Sonora Una fuente emite energía, donde esta energía son perturbaciones que viajan en el medio y producen las llamadas ondas sonoras, que inciden sobre el oído humano y causan una sensación descrita del sonido. 1.2.1 Tipos de Fuente Sonora - Fuente Puntual: Esta aproximación matemática asume que la fuente sonora es un punto en el espacio. Solo es válido cuando la distancia de la fuente al oyente es mucho mayor que el tamaño físico de la fuente. - Fuente Lineal: Asume que la fuente, a pesar de ser cilíndrica, no es finita. Tiene un límite y esto, en ciertos ángulos, cambia el patrón de radiación. 18 - Fuente Omnidireccional: Radia energía uniforme en todas las direcciones (factor de directividad Q=1). El hecho de que la radiación sea uniforme implica que, a una distancia cualquiera de la fuente, el nivel de presión sonora SPL será el mismo, con independencia de la dirección de propagación considerada. Es la llamada propagación esférica. Para que una fuente sonora radie de forma omnidireccional es necesario que sus dimensiones sean pequeñas respecto a la longitud de onda del sonido emitido y que el receptor esté alejado de la misma. 1.3 Espectro Frecuencial La gran mayoría de los sonidos que percibimos no constan únicamente de una sola frecuencia, sino que están constituidos por múltiples frecuencias superpuestas. Incluso cada uno de los sonidos generados por un instrumento musical están formados por más de una frecuencia. Se puede conocer qué frecuencias componen un sonido observando el denominado espectro frecuencial (o simplemente espectro) del mismo, entendiendo por tal representación gráfica de las frecuencias que lo integran junto con su correspondiente nivel de presión sonora. 1.4 Modos Normales El modo de excitación de los osciladores influye en la intensidad y en la duración de los sonidos. Pero también influye en la resultante tímbrica del sonido, ya sea por el modo mismo de excitación como por el punto en el cual se realiza la excitación o las características del objeto con el cual se la realiza. Modos normales en membranas y placas. Se podría estudiar la membrana rectangular como la combinación de varias cuerdas paralelas y perpendiculares. Los modos de oscilación resultan de la combinación de los modos de oscilación de las cuerdas. Las membranas circulares no producen series armónicas. Se producen 19 nodos radiales y circulares. Las figuras que identifican los diferentes modos de oscilación fueron estudiadas por Chladni. De manera similar a las cuerdas, la frecuencia más grave de la onda de una membrana en oscilación será directamente proporcional a la tensión a la que está sometida e inversamente proporcional a su radio y a densidad de superficie de la misma. Tímbricamente dependerá fundamentalmente del material con el cual está construida la membrana, pero también del punto en el cual sea excitada y el tipo de baqueta que se use para excitarla. 1.5 Clasificación de los Instrumentos Musicales Esto ha sido objeto de múltiples interpretaciones, ellas se han basado en consideraciones acústicas, según su distribución en la orquesta, según la fusión que cumplen los instrumentos, y también se ha tomado en cuenta la relación con su cultura, de acuerdos a esto podemos clasificarlos de a cuerdo a su timbre en: • INSTRUMENTOS CORDÓFONOS: En estos instrumentos el sonido se produce por la pulsación de cuerdas en tensión, por ejemplo: el arpa, el laúd y la citara. • INSTRUMENTOS AERÓFONOS: Son los instrumentos que producen sonido por la vibración de una columna de aire, podríamos asegurar que es una familia muy numerosa, por ejemplo: la zampoña, la trompeta, etc. • INSTRUMENTOS ELECTROFONOS: Son aquellos instrumentos que el sonido se genera mediante circuitos eléctricos, estos tienen la particularidad de enviar a un altavoz las vibraciones producidas. El altavoz vibra y a su vez amplifica los sonidos para que puedan escucharse, por ejemplo: la guitarra electrónica, el bajo, sintetizador, etc. • INSTRUMENTOS MEMBRANÓFONOS: Son aquellos instrumentos que producen sonido por las vibraciones de una membrana de 20 parche o de cuero, es necesario pegarles o golpearles en algunos casos para generar el sonido, estos se utilizan con más fines rítmicos que melódicos, por ejemplo: el tambor, la caja, el kultrun, los timbales, etc. • INSTRUMENTOS IDEOFONOS: Su sonido se produce por la vibración del cuero entero. Existe una gran variedad de instrumentos ideófonos que se utilizan como acompañamiento, por ejemplo: la pandereta, el triangulo, el xilófono, la campana, etc. 1.6 El Micrófono Un micrófono es un elemento capaz de captar ondas sonoras convirtiendo la potencia acústica en eléctrica de similares características ondulatorias. Para ello se necesita la combinación escalonada de dos tipos de transductores. El primero de ellos consiste en una fina lámina, denominada diafragma. Su misión es transformar las variaciones de presión en vibraciones mecánicas, es por tanto un transductor mecano acústico. El segundo transforma las vibraciones mecánicas recibidas en magnitudes eléctricas, es por tanto un transductor electromecánico. El conjunto de los dos transductores puede considerarse como uno electroacústico. 1.6.1 Tipos de Micrófono � Micrófono de Carbón: Se trata de un dispositivo de presión, que depende de las variaciones de la resistencia de contacto entre granos de carbón que se comprimen o expanden bajo la acción de la presión sonora. Se halla compuesto por una cápsula metálica, llamada botón, rellena de gránulos de carbón, usualmente antracita, y cubierta por un diafragma de aluminio. � Micrófono Dinámico o de Bobina Móvil: Los micrófonos dinámicos funcionan bajo el principio de generar una tensión de salida mediante inducción electromagnética. Las ondas sonoras golpean un diafragma soportado en una bobina de cable fino. La bobina se encuentra 21 suspendida en un campo magnético permanente. Cuando las ondas sonoras golpean el diafragma este hace vibrar la bobina en el campo magnético. El resultado es una pequeña corriente eléctrica generada por la fricción, esta corriente tendrá que ser después amplificada miles de veces. � Micrófono de Condensador: Los micrófonos de condensador funcionan bajo el principio de un condensador eléctrico o capacitor. Un diafragma de metal ultra delgado es fuertemente estirado sobre una pieza plana de metal o cerámica. En la mayoría de los micrófonos de condensador una fuente de poder proveeuna carga eléctrica entre ambos elementos. � Micrófonos Piezoeléctrico: Consiste en un pequeño micrófono de condensador montado, boca abajo, sobre un panel de reflexión o superficie límite. El diafragma del micrófono se coloca en lo que se denomina zona de presión, sobre la superficie, lugar donde las ondas directas y reflejadas se combinan en fase, dentro del rango audible. 1.7 El Método de los Elementos Finitos (FEM) El Método de los Elementos Finitos (FEM) permite simular los procesos acústicos y vibratorios reales por medio de un ordenador. La idea principal de estos métodos consiste en discretizar el medio continuo, dividiéndolo en elementos 2D o 3D por medio de una malla. El campo acústico (o vibratorio) se calcula en los nodos de la malla (puntos comunes entre los elementos). Para ello el complicado sistema de ecuaciones diferenciales exactas en derivadas parciales, que gobierna el sonido y las vibraciones, se sustituye por un sistema de ecuaciones algebraicas, mucho más rápido de resolver. El método de los elementos finitos es una de las más importantes técnicas de simulación y seguramente la más utilizada en las aplicaciones industriales. Las aplicaciones prácticas de la mecánica del sólido deformante pueden agruparse en dos grandes familias: la de los problemas asociados con sistemas discretos y la de los problemas asociados a sistemas continuos: en los primeros sistemas a analizar están divididos de forma natural, en 22 elementos claramente definidos, en el caso, por ejemplo, del análisis de la estructura de un edificio en la que cada viga constituye una entidad aislada bien definida. En los segundos el sistema no puede ser dividido en forma natural en unidades simples, por lo que su análisis resulta mucho más complejo. El método de elementos finitos (M.E.F.) puede ser entendido como una generalización de estructuras al análisis de sistemas continuos. El principio del método consiste en la reducción del problema con infinitos grados de libertad, en un problema finito en el que intervenga un número finito de variables asociadas a ciertos puntos característicos (modos). Así pues en el M.E.F. supone que el comportamiento mecánico de cada parte o elemento, en los que se subdivide queda definido por un número finito de parámetros (grados de libertad) asociados a los puntos que en dicho momento se une al resto de los elementos de su entorno (modos). Para definir el comportamiento en el interior de cada elemento se supone que dentro del mismo, todo queda perfectamente definido a partir de lo que sucede en los modos a través de una adecuada función de interpolación. Como puede apreciarse, en el método de los elementos finitos son casi esenciales los conceptos de "discretización" o acción de transformar la realidad de la naturaleza continua en un modelo discreto aproximado y de "interpolación", o acción de aproximar los valores de una función a partir de su conocimiento en un número discreto de puntos. Por lo tanto el M.E.F. es un método aproximado desde múltiples perspectivas. a) Discretización. b) Interpolación. c) Utilización de métodos numéricos. Esta presentación aproximada de la realidad en forma de un modelo numérico permite la resolución del problema. Los diversos coeficientes del 23 modelo son automáticamente calculados por el ordenador a partir de la geometría y propiedades físicas de cada elemento. Sin embargo queda en manos del usuario decir hasta que punto la discretizacion utilizada en el modelo representa adecuadamente el modelo de la estructura. La discretizacion correcta depende de diversos factores como son el tipo de información que se desea extraer del modelo o tipo de solicitación aplicada. Actualmente el método de los elementos finitos ha sido generalizado hasta constituir un potente método de cálculo numérico, capas de resolver cualquier problema de la física formulable como un sistema de ecuaciones, abarcando los problemas de la mecánica de fluidos, de la transferencia de calor, del magnetismo, entre otros. 2.2 MARCO TEÓRICO 1. Instrumentos Membrafonos Un instrumento musical es un sistema. Un sistema está compuesto por una estructura y un principio de organización, que es lo que brinda identidad al sistema. En el caso de los instrumentos musicales el sistema está compuesto al menos por un oscilador. Muchos instrumentos musicales disponen también de un resonador. Es importante identificar la fuerza que excita el oscilador y, particularmente, la forma en que se lo excita. Si lo importante de un instrumento musical es que puede producir un sonido entonces el estudio desde el punto de vista acústico de un instrumento musical debe centrarse en la forma en que se produce dicho sonido. Y más ampliamente en la incidencia de cada una de las componentes del sistema (oscilador, eventual resonador y forma de excitación) sobre los parámetros del sonido, como frecuencia fundamental, intensidad, duración, timbre, forma de onda. 24 Los instrumentos de membrana son los que producen el sonido debido a la vibración de una membrana tensa. Pueden ser percutidos con la mano o con baqueta, frotados y soplados El modo de oscilación de la tambora hembra consiste en membranas. Se podría estudiar la membrana rectangular como la combinación de varias cuerdas paralelas y perpendiculares. Los modos de oscilación resultan de la combinación de los modos de oscilación de las cuerdas. Las membranas circulares no producen series armónicas. Se producen nodos radiales y circulares. Las figuras que identifican los diferentes modos de oscilación fueron estudiadas por Chladni. Figuras de Chladni, nodos de una membrana. De manera similar a las cuerdas, la frecuencia más grave de la onda de una membrana en oscilación será directamente proporcional a la tensión a la que está sometida e inversamente proporcional a su radio y a densidad de superficie de la misma. Tímbricamente dependerá fundamentalmente del material con el cual está construida la membrana, pero también del punto en el cual sea excitada y el tipo de baqueta que se use para excitarla. 25 El valor del campo en cualquier punto se obtiene a partir de los nodos interpolando con unas sencillas funciones de forma. Con suficiente densidad de la malla siempre se podrá llegar a la precisión deseada. Con este método es posible calcular los modos propios de vibración de objetos con una geometría muy complicada, obteniendo las respuestas del sistema en tiempo y en frecuencia, que en conjunto constituyen la base de conocimiento acústico y vibratorio del objeto analizado. El tambor alegre o hembra pertenece a los instrumentos auténticos y ancestrales de nuestra amada Colombia. Se utiliza para interpretar los diferentes ritmos como la cumbia, el bullerengue, la puya, etc. El tambor hembra es ligeramente cónico con un parche que cubre la abertura superior del casco. El extremo inferior se deja abierto. El casco está hecho de un tronco de banco (Gyrocarpus Americanus Jacq. Hernandiaceas). En orden de preferencia, el parche (tapa), se corta de la piel de becerro nonato, del vientre de un caimán grande o de piel de venado o de cabra. Después de haber preparado el cuero que se va a usar para el parche se afeita y se recorta al tamaño necesario. El parche se asegura en su sitio con dos aros. Ambos aros son hechos usualmente de un bejuco fuerte (enredadera o trepadora). Se amarra hilo alrededor del lugar donde los dos extremos se sobreponen con el fin de mantenerlos en su sitio. En los tambores usados en San Jacinto, los aros contrarios se hacen con alambre de cobre pesado en vez de bejucos (Fig. 1). 26 Figura 1, Tambor Hembra legitimo de San Jacinto. El parche se humedece y se coloca sobre la abertura en la parte alta del casco. El arocontrario se coloca sobre el parche y se desliza un paco hacia abajo sobre el casco. La porción exterior de la piel que forma el parche se enrolla hacia arriba sobre el aro de piel y el aro contrario se le coloca por encima. El aro contrario sostiene así el aro de piel y el parche en su sitio con la porción de piel que sobresale volteada hacia arriba detrás del aro contrario. La piel, entonces, se ribetea a unos 6 centímetros por encima del aro de arriba. La circunferencia del tambor se rodea con una cincha de 18 a 20 centímetros abajo del aro de piel o aproximadamente un tercio de distancia abajo del borde del casco. La cincha se hace de dos o tres cuerdas de cabuya, un lazo o cuerda fuerte hecho de pita o fibra de fique. La cabuya se compra, no se hace localmente. En Palenque la cincha se hace con dos o más bejucos entrelazados con un bejuco muy fino. Hay dos métodos empleados comúnmente para conectar la cincha con el aro contrario, pero en ambos se usa la cabuya. En el primer método un trozo largo de cuerda une la cincha con el aro contrario en forma de 27 zigzag, primero dando vuelta sobre el uno y luego sobre el otro (Fig. 1). En el segundo método, se cortan piezas separadas de cabuya y después de pasarlas por encima del aro y de la cercha, sus extremos se amarran para formar anillos extendidos verticales. Luego se insertan "cuñas" de madera en la cincha de distancia entre los puntos de las "V" formadas por el zigzag del lazo o a la mitad de la distancia entre las conexiones verticales hechas por la cuerda o el alambre. Las cuñas se golpean hacia abajo entre la cincha y el cuerpo del tambor con una piedra o un martillo y el parche queda así ajustado y templado. Mientras esta sentado el ejecutante sostiene el tambor entre sus piernas y lo apoya sobre el piso o la tierra (Fig. 2). Cuando se toca de pie o andando, el tambor se mantiene en su sitio con cabestrillo de lazo que se pasa por encima del hombro. Los extremos del cabestrillo se amarran al cincho y al aro contrario. El tambor mayor se toca con las manos. Usualmente el parche se golpea con la palma de la mano abierta, menos frecuentemente con la mano en forma ligeramente ahuecada y ocasionalmente solo con los dedos extendidos. Figura 2, Tambor Hembra interpretado por un nativo de San Jacinto. 28 Hay dos áreas en las cuales se golpea comúnmente el parche, cerca del borde frente al ejecutante yen el centro. El termino "canto" se usa para referirse a la primera área. Si estas dos áreas se tocaran con golpes de igual fuerza, tendrían mayor resonancia las producidas golpeando en el canto. Sin embargo, un golpe acentuado y agudo tocando en el centro del parche produce un sonido más bien metálico crujiente, con gran poder de atracción. Otro tipo de tono puede producir un sonido suave, recortado, armónico golpeando el puro borde del parche, con toques de refilón de los dedos solamente. Cuando el ejecutante esta sentado, el extremo abierto del tambor queda tapado por el piso o la tierra donde se coloca. Esto produce alguna resonancia inferior a la lograda cuando se toca de pies o caminando. El ejecutante que toca sentado aprovecha esta situación y varia su producción tonal levantando ocasionalmente el tambor del piso o la tierra y produciendo así mayor resonancia. Esto se logra asegurando el caparazón o casco con las piernas y levantando los pies sobre las puntas. Las dos posiciones y las dos calidades tonales producidas se mencionan con las palabras "tapado" y "destapado". La característica principal de este tambor de una membrana radica en el método usado para producir tensión sobre el parche, con cuñas de madera hundidas en el cincho que se conecta en una u otra forma con el aro contrario. 2. Mediciones Acústicas 2.1 Presión Sonora Se define la presión sonora como la variación de presión producida en un punto como consecuencia del paso de una onda sonora que se propaga a través del medio. Es decir, p’. Como el valor medio en el tiempo de la presión sonora normalmente es nulo, para cuantificar la amplitud de la 29 variación se utiliza la presión eficaz (Prms), que es la raíz cuadrada del valor cuadrático medio de la presión sonora: En el caso de ondas sinusoidales, se tiene: Siendo p’o el valor máximo, o amplitud, de la presión sonora. Las variaciones de presión más pequeñas que son audibles por el ser humano tienen un valor eficaz de aproximadamente 2x10−4µbar (2x10−5 Pa). Para una presión media eficaz mayor de 200µbar (20 Pa) aparecen efectos dolorosos en el oído humano. 2.2 Nivel de Presión Sonora El hecho de que la relación entre la presión sonora del sonido más intenso (cuando la sensación de sonido pasa a ser de dolor auditivo) y la del sonido más débil sea de alrededor de 1.000.000 ha llevado a adoptar una escala comprimida denominada escala logarítmica. Llamando Pref (presión de referencia a la presión de un tono apenas audible (es decir 20 mPa) y P a la presión sonora, podemos definir el nivel de presión sonora (NPS) Lp como: ) Pr (20 ef PLogLp = Donde Log significa el logaritmo decimal (en base 10). La unidad utilizada para expresar el nivel de presión sonora es el decibel, abreviado dB. El nivel de presión sonora de los sonidos audibles varía entre 0 dB y 120 dB. Los sonidos de más de 120 dB pueden causar daños auditivos inmediatos e irreversibles, además de ser bastante dolorosos para la mayoría de las personas. 30 2.3 Efecto de ruido de fondo El nivel de presión sonora producido por una fuente debe medirse en ocasiones en un lugar donde es imposible eliminar por completo el ruido de fondo. Idealmente , la medición debería determinar solamente el sonido directo de la fuente, sin contribución apreciable del ruido ambiente, si se desprecia el ruido ambiente en la posición de la fuente el error es admisible si su nivel es por lo menos 8dB menor que el nivel de presión sonora producido por la fuente. 2.4 Patrón Polar El patrón polar hace referencia a la representación gráfica del cubrimiento de una fuente sonora en frecuencias varias. 2.5 Factor de Directividad Las fuentes sonoras, bien sea por su propia naturaleza o por su situación en el espacio, no radian la misma cantidad de energía en todas las direcciones. En general la radiación se puede concentrar en una cierta dirección o direcciones y se aparta del patrón de radiación esférico u omnidireccional. Se define como factor de directividad de una fuente en una determinada dirección al cociente entre la energía (intensidad de energía sonora) realmente radiada en esa dirección y la que radiaría (para una misma potencia total) si la fuente fuese omnidireccional. Se designa por la letra Q y no tiene dimensiones: donde Ir es la intensidad de energía en esa dirección y Io es la intensidad que se radiaría para el caso de radiación isótropa. Calculo del factor de directividad para una fuente sonora arbitraria. Primero elegimos una superficie esférica alrededor de la fuente sonora (A), luego dividimos esta superficie esférica en superficies pequeñas donde la intensidad sonora sea uniforme (∆Ai). Medimos todas las 31 intensidades sonoras (Ii) en cada una de las superficies pequeñas. A continuación calculamos la potencia total radiada multiplicando las intensidades calculadas por las superficies y sumando (W = ∑i Ii ∆Ai). A continuación calculamos la intensidad que radiaría la fuente esférica homogénea (I0 = W/A). Finalmente calcularíamos los factores de directividad en esas direcciones (Qi = Ii/I0). 2.6 Índice de Directividad Unidad de dirección angular de la radiación sonora de una fuente, se presenta en nivel dB más alto o más bajo que si el sonido fuese producido por una fuente esférica, lo cual el índice de directividad es 10 veces el logaritmo debase 10 del factor de directividad. 2.7 Respuesta al Impulso La respuesta al impulso logra una caracterización, de un sistema dinámico lineal invariante en el tiempo, en situación de reposo, en el dominio del tiempo t o k, mediante el estudio del comportamiento del sistema cuando se estimula con una señal especial: el impulso unitario. 2.7.1 Caso discreto 2.7.1.1 La función impulso unitario discreto Dado un sistema como el de la figura 3 la respuesta al impulso es la respuesta del sistema cuando la entrada es el impulso unitario , con condiciones iniciales nulas. La respuesta al impulso suele denotarse por h(k), y su transformada por Z por H(z). La función (figura 3) se define como: 32 Figura 3, Función Impulso Unitario Discreto. Una de las características importantes de la función es que su transformada Z es 1, tal como se muestra a continuación: Supóngase un sistema discreto con condiciones iniciales nulas, con función de transferencia F(z), que se excita con el impulso unitario (figura 4). La respuesta del sistema, en el dominio de la frecuencia será el producto de la entrada por la función de transferencia: Figura 4, Sistema dinámico discreto estimulado con el impulso unitario. Este hecho pone de manifiesto la relación que existe entre la respuesta al impulso y la función de transferencia (figura 5): la función de transferencia es la transformada Z de la respuesta al impulso. Figura 5, Relación entre la respuesta al impulso y la función de transferencia. Caso discreto. 33 2.7.1.2 La respuesta a un impulso genérico Supóngase un sistema discreto lineal, que es excitado con la función impulso , y cuya salida es la respuesta al impulso h(k), tal el de la figura 6. Figura 6, Respuesta al impulso caso discreto Si ese mismo sistema se excita con la función impulso, pero retrasada en 1, la salida debe ser la misma respuesta al impulso retrasada en 1, como se muestra en la figura 6.1 ya que se supone que el sistema es invariante en el tiempo. Figura 6.1, Respuesta al impulso discreto retrasado Por otra parte, debido a que el sistema es lineal, al multiplicar la entrada por un escalar la salida se multiplicará por el mismo escalar ; por lo tanto, si el sistema recibe como entrada la señal impulso , la salida será (figura 6.2). Figura 6.2, Respuesta al impulso discreto genérica 34 2.7.1.3 Convolución Una señal discreta cualquiera x(k) es un conjunto de valores en el tiempo, que puede representarse como la suma de infinitos impulsos individuales Yi , tal como se muestra en la figura 7. Además, cada uno de los pulsos individuales U’i, puede representarse como un impulso aplicado en el instante de tiempo i, cuya amplitud es justamente x(i). Dicho de otra forma, cualquier señal puede escribirse como: Debido a que el sistema es lineal, podemos aplicar el principio de superposición, y obtener la respuesta del sistema y(k) cuando la entrada es x(k) como la suma debida a cada uno de los impulsos U’i, (suponiendo condiciones iniciales nulas). Estas respuestas son de la forma que se muestra en la figura 6.2, y por tanto la respuesta y(k) será de la forma: Esta última sumatoria corresponde a la convolución discreta de las señales x(k) y h(k), representada por el operador *. El resultado anterior no debe sorprender, ya que al aplicar transformada Z a cada lado de la igualdad se tiene: 35 Y la transformada Z de la respuesta al impulso resulta ser la función de transferencia del sistema, tal como se había mostrado en la figura 4. … ... Figura 7, Descomposición de una señal discreta 2.7.2 Caso Continuo 2.7.2.1 La función impulso unitario continuo Para obtener con sistemas continuos un resultado similar el mostrado para sistemas discretos en la sección 2.7.1 es necesario contar con una función continua cuyas propiedades sean análogas a las de la función impulso discreto; es decir, se necesita una función cuya transformada de Laplace sea 1. Dicha función es la función impulso o delta de Dirac, generalmente representado por . Para presentar la función , primero consideramos la función , cuya gráfica se muestra en la figura 8. 36 Figura 8, Función d∆ Nótese que el área bajo la gráfica de la función es 1, independientemente del valor de ∆, es decir, Se define la función delta de Dirac como la función que resulta al disminuir ∆ progresivamente, hasta llevarlo al límite en que tiende a cero: Esta función, cuya gráfica se muestra en la figura 8, conserva la propiedad según la cual el área bajo la gráfica es 1. Además, si calculamos el área bajo la gráfica desde -∞ hasta un valor t el resultado es la función escalón unitario µ(t). Figura 9, Función Impulso Unitario Continuo 37 Por otra parte, consideremos el producto de la función desplazada en el tiempo, con una función f(t) cualquiera, y calculemos el área bajo la gráfica de ese producto (ver figura 9). Para valores de ∆ suficientemente pequeños, el área puede hacerse equivalente a la de un rectángulo de base ∆ y altura , por lo tanto, El límite puede introducirse en la integral, con lo que se obtiene, 1/∆ Figura 10, Área bajo la curva f(t)d∆ Es posible demostrar que la transformada de Laplace del impulso es 1, es decir que, Para ello, puede aplicarse directamente el resultado de la ecuación de la respuesta al impulso o considerar la propiedad de la transformada de Laplace según la cual, 38 Obsérvese que la transformada de Laplace de µ(t), que es 1/s puede escribirse como, Por lo tanto, 2.7.2.2 Respuesta al impulso Dado un sistema continuo, la respuesta al impulso es la respuesta del sistema cuando la entrada es el impulso unitario , con condiciones iniciales nulas. La respuesta al impulso suele denotarse por h(t), y su transformada de Laplace por H(s). Si el sistema continuo tiene una función de transferencia F(s), (figura 9), la respuesta del sistema, en el dominio de la frecuencia s será el producto de la entrada por la función de transferencia: Figura 11, Sistema dinámico continuo estimulado con el impulso unitario. Este hecho pone de manifiesto la relación que existe entre la respuesta al impulso y la función de transferencia (figura 11). La función de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso. 39 Figura 12, Relación entre la respuesta al impulso y la función de transferencia. Caso Continuo. De manera semejante al caso discreto (ver sección 2.7.1), puede argumentarse que debido a que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la respuesta del sistema a una señal impulso genérica será . 2.7.2.3 Convolución La ecuación del figura 8, muestra que una señal cualquiera x(t) puede representarse como la convolución continúa entre x(t) y identificada con el operador * (se han intercambiado las variables t y T, lo que no altera el resultado): La integral es la suma de infinitos términos (términos infinitesimales), y por tanto podemos emplear el principio de superposición para obtener la respuesta del sistema y(t) cuando la entrada es x(t) como la suma debida a cada uno de los términos infinitesimales (suponiendo condiciones iniciales nulas), es decir: Al igual que en al caso discreto, la respuesta del sistema a una entrada cualquiera x(t) se puede obtener como la convolución continúa de esa entrada con la respuesta al impulso. 40 Este resultado concuerda con una afirmación previa, ya que al aplicar transformada de Laplace a cada lado de la igualdad se tiene: Y la transformada de Laplace de la respuesta al impulso resulta ser la función de transferencia del sistema, tal como se ha mostradoen la figura 12. 2.8 Micrófonos 2.8.1 Características de los Micrófonos Independientemente del mecanismo particular con el que funciona, un micrófono puede caracterizarse por varios aspectos relacionados con su respuesta a las ondas sonoras. Los más importantes de estos aspectos son: rango dinámico y respuesta en frecuencia. Rango Dinámico: rango de niveles sonoros en los que la señal eléctrica que produce el micrófono es suficientemente alta para ser utilizada. Está relacionado con la amplitud de la onda sonora que llega al micrófono. Es difícil construir micrófonos con un rango dinámico amplio; por un lado, deben responder a señales sonoras fuertes sin estropearse, y, por otro lado, deben responder correctamente a señales de una intensidad sonora muy baja. Respuesta en Frecuencia: se caracteriza por la intensidad de la señal eléctrica producida por un micrófono, para una amplitud determinada de la presión de la onda sonora, a diferentes frecuencias. La respuesta ideal sería una gráfica completamente plana. En el caso real, para frecuencias bajas, está limitada por las frecuencias altas, decrece rápidamente cuando la longitud de onda de las ondas sonoras es menor que el tamaño del diafragma. 41 2.8.2 Características direccionales La respuesta direccional de un micrófono, también denominada directividad, es el cociente entre su sensibilidad en una dirección cualquiera y su sensibilidad máxima. Micrófonos de presión: son omnidireccionales, es decir tienen una respuesta similar para todas las direcciones del espacio. Micrófonos de gradiente: presentan respuestas de tipo direccional (en 8). Su máxima sensibilidad se presenta entre 0 y 180 grados. Micrófonos de presión y gradiente: por combinación se obtienen diagramas polares intermedios (cardiodes, hipercardiodes y supercardiodes). Micrófonos de interferencia: muy direccionales concebidos para enfocar un sonido determinado, consiguiendo eliminar todos los que se producen en su entorno. En la figura 13, se muestran los patrones directividad típicos de los micrófonos. Figura 13, Patrones de Directividad 42 3. METODOLOGIA 3.1 ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN El enfoque de esta investigación es empírico-analítico cuyo interés es el técnico orientado a la interpretación del mundo material, ya que se tendrá una información completa y útil sobre el comportamiento acústico del instrumento de percusión tambor hembra o “alegre” y su aplicabilidad en la microfonería de los mismos. 3.2 LINEA DE INVESTIGACION DE USB / SUB-LINEA DE FALCULTAD/ CAMPO TEMATICO DEL PROGRAMA. Las líneas de investigación de este proyecto son la Tecnologías actuales y sociedad, ya que se elaborará una investigación ingenieril, sobre el comportamiento acústico del tambor hembra para ser aplicado a la microfonería de los mismos, aportando al avance de los instrumentos autóctonos colombianos utilizados en la música típica del país. La sub- línea es el procesamiento de señal digital y análoga, debido a que la señal será procesada para obtener el comportamiento acústico del tambor hembra; La investigación se desarrolla en el campo de la acústica y la producción y grabación, ya que se obtendrán las características físicas y acústicas del tambor hembra para ser aplicado a la microfonería del mismo capturando la mejor calidad de sonido del instrumento. 3.3 HIPOTESIS Por medio de un análisis acústico se encontrarán las propiedades acústicas del tambor hembra como la mayor concentración de energía, el patrón polar, el índice de directividad, el factor de directividad, la respuesta al impulso y la frecuencia fundamental, para ser aplicado en la 43 microfonía del instrumento a la hora de la grabación, hallando la posición adecuada para la captura del mismo. 3.5 VARIABLES 3.5.1 VARIABLES INDEPENDIENTES • Tiempo de cálculo o procesamiento • Elaboración del instrumento • Geometría del instrumento 3.5.2 VARIABLES DEPENDIENTES • Precisión del método por el tiempo de procesamiento • Parámetros acústicos del instrumento • Tipo de micrófonos para el registro del instrumento 44 4. PRESENTACIÓN Y ÁNALISIS DE RESULTADOS 4.1 PROPIEDADES FISICAS DEL TAMBOR HEMBRA O ALEGRE El tambor hembra es ligeramente cónico con un parche que cubre la abertura superior del casco y el extremo inferior se deja abierto, para luego cerrarlo con un parche. El casco está hecho de un tronco de banco (Gyrocarpus Americanus Jacq. Hernandiaceas). Las propiedades principales de la madera son resistencia, dureza, rigidez y densidad. Ésta última suele indicar propiedades mecánicas puesto que cuanto más densa es la madera, más fuerte y dura es. La resistencia depende de lo seca que esté la madera y de la dirección en la que esté cortada con respecto a la veta1, en el caso del tambor la resistencia es alta. La dureza y la rigidez se refiere a la capacidad que tiene la madera para soportar ser penetrado y la firmeza de la misma, para el tambor la dureza es bastante, ya que la capa es gruesa y no puede ser penetrado fácilmente, así como su firmeza es alta porque no se puede deflectar por su grosor y densidad. La densidad de la madera banco es de 900kg/m³. El parche (tapa), esta compuesta por la piel de becerro novato, del vientre de un caimán grande y de piel de venado o de cabra, ésta es afeitada y disecada para obtener una textura liza y de poca densidad. Por ser un material que proviene de un animal es complejo obtener su densidad neta. Es por esto que se aplicó la formula de la densidad mediante un método experimental. V m =ρ El método experimental es el siguiente: se toma un pedazo del parche y se pesa, luego se utiliza una probeta que se llena con agua a 500ml, donde se introduce la muestra del material. Al estar el material dentro de 1 Capa interna de la madera 45 la probeta el nivel aumentará y se restan los mililitros que aumentaron a los que se tenían inicialmente. De esta manera y aplicando la formula anterior, se encuentra que la densidad del material es 0.3gr/cm³, (ver fig. 14). Figura 14, Método experimental de la densidad. El parche se moja para obtener la flexibilidad requerida para ser puesto sobre el casco de madera y tensado con una cuerda o cabuya, la cual le da la afinación al instrumento. Por otro lado, se debe tener en cuenta que el sonido del tambor cambia dependiendo de la temperatura y la presión, ya que el parche se calienta a temperaturas y presiones altas, es por esto que en la zona caribe el tambor tendrá un sonido más cálido, sin cambiar la respuesta al impulso y su patrón polar. El tambor hembra utilizado en la medición se muestra en la gráfica 1 y sus medidas son las siguientes: • Diámetro del parche: 33cm • Diámetro del casco inferior: 19cm • Altura: 68cm • Espero de la madera: 5cm • Peso del tambor 7kg. Material 500ml 46 Gráfica 1, Tambor Hembra utilizado en la medición. 4.2 ANALISIS DEL TAMBOR HEMBRA POR MEDIO DEL MÉTODO EXPERIMENTAL 4.2.1 GENERADOR DE IMPACTO Para el análisis acústico del tambor alegre por el método experimental se utiliza un generador de impacto para la excitación del instrumento. De esta manera se obtendrá una intensidad energética del golpe constante, aproximada a la intensidad ejercida por el intérprete. Este generador de impacto consiste en una estructura metálica, con dimensiones de 110cm de alto y 80cm de ancho, acoplándose a las medidas del tambor a utilizar. En el centro de la estructura tiene una separación para la ubicación del elástico, el cual posee una bola de caucho en el centro que excita al instrumento con un golpe. Por otro lado se realiza una basemetálica de 50cm de alto con un diámetro de 46cm en donde se coloca el tambor. Esta medición experimental requiere que la estructura del generador de impacto y la base del instrumento tenga un material antivibratorio, para asi 47 eliminar todo tipo de ruido proveniente de las estructuras a la hora del impacto. En la figura 15, se muestra el diseño del generador de impacto y la base del tambor. Figura 15. Diseño del generador de impacto y base del tambor. Este generador de impacto en el eje X tiene una altura hacia el parche del tambor de 14cm, luego para la excitación del mismo se hace una elongación de 14cm del caucho, para así obtener un impulso energético del instrumento y poder tomar una muestra para el análisis de la respuesta al impulso y realizar la medición que registre y grafique en una circunferencia de 360º, capturado con un medidor de presión sonora “SPL”, configurado en lineal, impulsivo y bandas de octava, a una distancia del tambor de 1m y a una altura del piso de 84cm. De esta forma se haya el factor de directividad, índice de directividad, y la gráfica del patrón polar. 48 4.2.2 PATRÓN POLAR, FACTOR DE DIRECTIVIDAD E INDICE DE DIRECTIVIDAD DEL TAMBOR HEMBRA. Para obtener las características acústicas del instrumento, se utiliza como se menciona anteriormente el generador de impacto. Para realizar la gráfica del patrón polar se excita con el generador de impacto al instrumento y se toma una muestra energética punto a punto de una circunferencia de 360 grados, con el medidor de presión sonora, que es ubicado a 1m de distancia del punto medio del tambor y a 84cm de altura con respecto al suelo. De esta manera se obtienen los niveles de presión sonora para cada banda de frecuencia cada 10 grados. El factor de directividad indica el factor de radiación de una fuente sonora, ya bien sea 1 para una fuente omnidireccional o 0 para una fuente direccional. Para conocer el factor de directividad del tambor hembra se toman los datos obtenidos en la medición y se aplica la siguiente formula2: 2 2 prom P P Q = Donde 2P es presión al cuadrado y 2 promP es el promedio de la presión al cuadrado. Los datos obtenidos en la medición son niveles de presión sonora y se pasan a energía con la siguiente formula: )10/(2 10 dB refPEnergía = . El Índice de directividad representa la unidad de dirección angular de la radiación sonora de una fuente y se haya aplicando la siguiente formula3: )log(10 QDI = 2 Acústica, Leo L. Beranek, radiación del sonido pág. 1 3 Acústica, Leo L. Beranek, radiación del sonido pág. 113. 49 4.2.3 RESPUESTA AL IMPULSO La respuesta al impulso es otra de las características acústicas del tambor hembra que se debe conocer, ya que este indica el comportamiento frecuencial del instrumento, como la frecuencia fundamental y los armónicos que componen al mismo. Esta medición se lleva a cabo de la siguiente manera, el tambor hembra se ubica en posición de medición al aire libre para no alterar su comportamiento con reflexiones, luego se toma un micrófono y un computador en donde se graba el impacto con un software especializado para la captura de la fuente. Teniendo en cuenta las características físicas del instrumento, se realizan dos registros de impacto, uno en la parte superior (parche) (ver, gráfica 2) y otro en la parte inferior (boca del tambor), ubicando el micrófono en 0 grados a una distancia del piso de 86cm, como se muestra en la gráfica 3. El Instrumental utilizado para esta medición fue el siguiente: • Micrófono ECM8000 Beringher. • Portátil. • Consola Beringher. • Software especializado. • Interfase de audio. • Cables. • Trípode. 50 Gráfica 2, Posición 1 del Micrófono para la respuesta al impulso. Gráfica 3, Posición 2 del Micrófono para la respuesta al impulso. 4.3 ANALISIS DEL TAMBOR HEMBRA POR MEDIO DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOS. Para realizar el análisis del tambor hembra por el método de elementos finitos se realiza la simulación por el software ANSYS Workbench, como primera instancia se debe modelar el tambor para el proceso que se requiere, en formato IGES, para así simular el comportamiento energético del tambor hembra por medio de la presión obteniendo el mayor punto de concentración de energía. 51 El dibujo para este proyecto se realiza en el software ANSYS de la siguiente manera: >>Preprocessor >> Modeling>> create>> keypoints>> on working plane, se introducen las coordenadas específicas del dibujo en el plano XY. 0, 0 Teniendo el modelo del instrumento se define el tipo de análisis en este caso, es estructural Quad de 8 nodos luego se le dan las características físicas del mismo y se le agregan las constantes reales, como el módulo de Young ( 2 10 07.0 m N ), la relación de poisson ( v3.0≈ ) y la densidad ( 3900 m kg ), es importante darle las propiedades de los materiales del instrumento, de esta manera se procede a enmallar el modelo, teniendo la malla se le dan las condiciones iniciales y la presión que se obtuvo del análisis experimental, para así obtener los resultados de la simulación, en donde se encontrará el mayor punto de concentración de energía representado por colores. 4.4 MICROFONOS El comportamiento y las características propias de los micrófonos es conocer su sensibilidad de voltaje, sensibilidad de potencia, la respuesta en frecuencia, la impedancia y la directividad que especifica el nivel de sensibilidad obtenido para cada ángulo de incidencia de las ondas sonoras, para así determinar su comportamiento y aplicación respecto a los resultados específicos, desarrollado por el método experimental y modelado por elementos finitos. 0, 33 -67.63, 7 -67.63, 26 52 Se analizan los micrófonos disponibles en la Universidad San Buenaventura, sede Bogotá, con el fin de conocer los patrones polares y el comportamiento en frecuencia de cada uno de ellos, para luego ser comparado con los resultados obtenidos en el método experimental y científico realizado al tambor hembra. Este análisis se realiza tomando las especificaciones de cada uno de los micrófonos, donde se encuentran datos y gráficas del comportamiento y funcionamiento del mismo, que determina su calidad y aplicación a los diferentes instrumentos. Los datos a tener en cuenta para el análisis son la curva de respuesta de frecuencia y la directividad del micrófono. La curva de respuesta de frecuencia se refiere al rango de frecuencias dentro del cual un micrófono responde sin distorsión a las ondas de sonido. La directividad se representa gráficamente mediante un patrón de directividad que especifica el nivel de sensibilidad obtenido para cada ángulo de incidencia de las ondas sonoras. En la siguiente tabla se muestran los micrófonos utilizados para el análisis. MARCA REFERENCIA Shure - SM57 - SM58 Shure - Beta 56 - Beta 52 - Beta87A AKG - D112 - C3000 - D880 Beringher - B2pro 53 5. DESARROLLO INGENIERIL 5.1 ANALISIS DE RESULTADOS DEL PATRÓN POLAR, FACTOR DE DIRECTIVIDAD E INDICE DE DIRECTIVIDAD DEL TAMBOR HEMBRA. La directividad del tambor hembra se representa gráficamente mediante un patrón de directividad que especifica el nivel energético obtenido en cada ángulo de incidencia para cada frecuencia del impulso generado. En la frecuencia de 64hz el tambor hembra se comporta de manera omnidireccional, ya que la energía radiada punto a punto es similar en todos los ángulos formando una circunferencia de 360º. Observando la gráfica anterior se dice que en los grados 270 y 180 existe una variación de energía debido a la radiación del instrumento por la resonancia enla parte inferior del mismo. 64Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 Q=P^2/Pprom^2 54 En la frecuencia de 125Hz el tambor hembra tiene un comportamiento omnidireccional, ya que tiene niveles de energía similares en todos sus ángulos. Luego cada 20 grados partiendo de los ejes de referencia se encuentran niveles altos de energía, es decir tiene mayor incidencia en ese ángulo. 125Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160170 180 190200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340350 Q=P̂ 2/Pprom^2 250Hz 0 0.5 1 1.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160170 180 190200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340350 Q=P̂ 2/Pprom^2 55 La frecuencia fundamental del instrumento se encuentra en 250Hz. El patrón polar del tambor en 250Hz se comporta de manera omnidireccional como en la frecuencia de 125Hz, ya que el tambor responde con mayor nivel de presión sonora a bajas frecuencias. Teniendo en cuenta la gráfica del factor de directividad en 500Hz, se dice que a medida que aumenta la frecuencia, el tambor hembra tiende a comportarse unidireccionalmente, porque la cavidad resonadora del instrumento genera bajas frecuencias. 500Hz 0 0,5 1 1,5 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160170 180 190200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340350 Q=P^2/Pprom^2 56 En frecuencias altas como 1KHz y 2Khz el comportamiento energético es similar variando solo el ángulo de incidencia, donde el instrumento se comporta unidireccionalmente. Como resultado del análisis del patrón polar, factor de directividad e índice de directividad, se tiene que el comportamiento del tambor hembra en bajas frecuencias es omnidireccional, debido a la resonancia que existe en la parte inferior del mismo, lo cual hace que se genere una radiación energética de igual nivel en todas las direcciones y en altas frecuencias es unidireccional, ya que el mayor nivel energético en estas frecuencias se encuentra a 20 grados del eje de referencia. 5.2 ANALISIS POR EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS Ya creado el modelo del tambor hembra en el software ANSYS se crea la malla teniendo en cuenta el área del modelo como se ve en la gráfica 4., se hace un análisis energético tipo nodal solution y se define la presión a ejercer en la parte superior del tambor (ver gráfica 5), finalmente se observa la deformación en el eje X del plano (ver gráfica 6) y la mayor concentración de energía del mismo (ver gráfica 7). El análisis desarrollado en este caso asume simetría alrededor del eje longitudinal. 1KHz 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160170 180 190200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340350 Q=P̂ 2/Pprom^2 2KHz 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 10 2030 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150160170 180 190200210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330340350 Q=P̂ 2/Pprom^2 57 Gráfica 4. Enmallado del tambor hembra. Gráfica 5. Presión ejercida sobre la parte superior del tambor hembra. 58 Gráfica 6. Deformación del parche. Gráfica 7. Concentración de energía. Como se puede observar en la gráfica 7 el color rojo hace referencia al punto máximo de energía que se encuentra en la parte inferior del tambor obteniendo el mínimo en la parte superior. A la salida del tambor hembra 59 se observa una distribución energética uniforme, lo cual implica un SPL constante, indicando que el micrófono puede ubicarse en cualquier punto sobre la superficie inferior. 5.3 ANALISIS DE LA RESPUESTA AL IMPULSO Se realizaron dos registros los cuales son analizados respectivamente para comparar el comportamiento frecuencial del tambor en la parte superior e inferior del mismo. El siguiente análisis es del registro tomado de la parte inferior del tambor. Gráfica 8, Respuesta al Impulso parte inferior del tambor. Como se puede observar en la gráfica 8, los puntos de mayor nivel de presión sonora se encuentran en las frecuencias de 75Hz, 256Hz y 369Hz. Los armónicos del instrumento representados en la gráfica, están en 369Hz y 650Hz por encima de la frecuencia fundamental. A partir de los 500Hz hasta 1KHz el nivel de presión sonora se mantiene constante, y luego hay un decaimiento de presión sonora en 1.5KHz en adelante. La cavidad de aire en la parte inferior hace que este instrumento 369Hz 256Hz 75Hz 650Hz 60 se comporte como resonador y por lo tanto este responda a frecuencias bajas. Registro del impulso en la parte superior del tambor. Gráfica 9, Respuesta al impulso parte superior del tambor. Al visualizar la gráfica 9, la frecuencia con mayor nivel de presión sonora es de 262Hz con un nivel de 95dB y a partir de esta se toman los armónicos. Se puede observar que los armónicos se generan en frecuencias más altas con respecto a la gráfica anterior, obteniendo sonidos agudos en la parte superior del tambor. Comparando los espectros de las dos gráficas, se dice que la frecuencia fundamental del tambor hembra es 250Hz. El tambor hembra se comporta de forma similar a partir de la frecuencia fundamental en adelante, ya sea, en la parte superior e inferior, y hay una variación de niveles en frecuencias menores a la fundamental, debido al resonador que tiene el tambor en la parte inferior, así como también, las reflexiones que se generan con la ubicación de éste respecto al piso cuando es interpretado. 655Hz 420Hz 262Hz 61 5.4 ANALISIS DE LOS MICROFONOS A partir de los resultados del análisis acústico del tambor hembra realizado anteriormente, se considera que estos son los micrófonos mas adecuados partiendo de sus características y especificaciones, para la microfoneria y grabación del instrumento. Los micrófonos seleccionados según las características acústicas del instrumento fueron: • AKG D112 Por ser este un micrófono cardiode o unidireccional y tener una respuesta excelente entre las frecuencias 50Hz y 300Hz se considera óptimo para la captura del sonido del instrumento en la parte inferior del mismo, ya que este responde a las misma frecuencia. Patrón Polar Cardiode Rango de Frecuencia 20Hz a 17Khz Sensibilidad 1,8mV/Pa (-75dBV) Nivel de ruido equivalente 73dB -A Impedancia 210ohms 62 • SHURE Beta52 Este micrófono tiene un comportamiento eficiente en bajas frecuencias soportando niveles altos de presión sonora. Es ideal para ser ubicado en la parte resonadora del tambor hembra sin tener interferencia alguna en la captura o registro. No se tiene en cuenta el realce que hay en altas frecuencias porque el micrófono será ubicado en la parte inferior del tambor donde sobresalen las frecuencias bajas. Su patrón polar supercardiode facilita la captura del sonido procedente de la cavidad resonadora. Curva de Respuesta de Frecuencia Patrón Polar 63 Patrón Polar Supercardiode Rango de Frecuencia 20Hz a 10Khz Impedancia 150 ohms 64 • AKG C 3000B Este micrófono posee un patrón polar cardiode o unidireccional, óptimo para ubicarlo en la parte superior o parche del tambor, ya que el instrumento en esta parte emite frecuencias altas. El comportamiento frecuencial del micrófono es lineal para frecuencias bajas y en altas tieneuna variación de 1KHz en adelante, esto hace que la captura del instrumento tenga una respuesta en altas frecuencias, dándole brillo. Patrón Polar Cardiode Rango de Frecuencia 20Hz a 20Khz Sensibilidad 25mV/Pa (-32dBV) Nivel de ruido equivalente 14dB -A Impedancia 20ohms 65 • SHURE Beta 56 El patrón polar de este micrófono es supercardiode, responde con un realce en frecuencias bajas y medias a medida que se le acerque a la fuente. Debido a que posee un diafragma pequeño y responde a las frecuencias tanto bajas como medias, es óptimo para ser ubicado en la parte superior del tambor haciendo un registro de excelente calidad. Patrón Polar Supercardiode Rango de Frecuencia 50Hz a 16Khz Impedancia 150 ohms Curva de Respuesta de Frecuencia Patrón Polar 66 5.4 COMPARACIÓN DEL REGISTRO SONORO DEL TAMBOR HEMBRA. El tambor hembra es un instrumento rítmico de la música de tambores. Por esta razón se debe tener un registro sonoro de alta calidad del mismo, es por esto que el comportamiento y posicionamiento de un micrófono respecto a un instrumento es la clave de una buena grabación. 67 Hoy en día el registro sonoro de este instrumento pierde fuerza en frecuencias bajas, ya que se utiliza un micrófono Shure SM57 ubicado en la parte superior del instrumento, donde este tiene un comportamiento en la curva de respuesta de frecuencia lineal de 200Hz a 3KHz y un realce de 3Khz a 15Khz (Ver gráfica 10), de esta manera el registro sonoro del tambor hembra no es el más adecuado ingenierilmente, debido a que el micrófono utilizado tiene poca similitud en frecuencia respecto a los resultados obtenidos del tambor hembra. Gráfica 10, Curva de respuesta de frecuencia Shure SM57. Grafica 11, Registro Sonoro del tambor hembra con el micrófono SM57. 250Hz 68 Teniendo en cuenta los resultados del comportamiento acústico del tambor hembra y el análisis de los micrófonos obtenidos en esta investigación, se realiza un registro sonoro del instrumento utilizando dos micrófonos ubicados, uno en la parte inferior que responda en el rango frecuencial del tambor hembra, registrando eficientemente un sonido cálido y dulce en bajas frecuencias, y otro ubicado en la parte superior con respuesta en frecuencia más amplia, para capturar las frecuencias medias altas del mismo y balancear los sobretonos de las frecuencias bajas de todo el rango dinámico del instrumento (Ver gráficas 13 y 14). Gráfica 12, Ubicación de los micrófonos. 69 Gráfica 13, Análisis Frecuencial del registro sonoro del tambor hembra con el micrófono Shure beta52. Gráfica 14, Análisis Frecuencial del registro sonoro del tambor hembra con el micrófono AKG C3000. Se puede observar en el análisis frecuencial de los registros sonoros de los micrófonos con su respectiva ubicación, uno arriba y otro abajo, que existe una compensación en frecuencias creando una respuesta del instrumento casi lineal, es por esto que se debe microfonear el tambor de esta manera. Realce en Frecuencias Bajas Realce en Frecuencias Medias Bajas 70 6. CONCLUSIONES • El tambor hembra por sus características físicas y acústicas responde a un rango de frecuencias de 64Hz a 2KHz aproximadamente, es por esto que el tambor hembra es el instrumento rítmico de la música de tambores. • El comportamiento energético en frecuencias del tambor hembra es omnidireccional en bajas frecuencias, por la resonancia de la cavidad de aire en la parte inferior y unidireccional en altas frecuencias, ya que la energía en estas radia en un ángulo especifico. • Se encontró que la frecuencia fundamental del tambor hembra esta en 250Hz y su primer armónico media octava por encima de esta y el segundo armónico media octava por encima del primero. • Al realizar el método de elementos finitos en el tambor hembra se puede observar que al aplicarle una presión x en un nodo del instrumento en la parte superior, éste tendrá una deformación estructural obteniendo la zona de mayor concentración de energía en el tambor. • Se pudo observar que el mayor punto de energía se concentra en la parte inferior del tambor al aplicarle una presión en la parte superior, esta es la razón por la cual la microfoneria para conseguir la captación de un sonido más bajo de los tambores, es ubicar un micrófono en esta parte. • Para la microfoneria del tambor hembra se debe utilizar 2 micrófonos, uno se ubica en la parte superior con un ángulo de 20 grados aproximadamente, a una distancia de 20cm del parche. El segundo se ubica en la parte inferior e interior del mismo con el fin de capturar las bajas frecuencias. • Se debe utilizar un micrófono en la parte inferior que tenga un realce en bajas frecuencias en la curva de respuesta de frecuencia (Shure Beta52, AKG D112 y el PZM) y otro en la parte superior con respuesta 71 en frecuencia más amplia (AKG C3000 y Shure Beta56) para captar las frecuencias medias altas del instrumento y balancear los sobretonos de las frecuencias bajas. 72 7. RECOMENDACIONES • Para realizar la medición del patrón polar por el método experimental se recomienda utilizar una cámara anecoica para obtener mayor exactitud en los resultados, ya que se encontraron las siguientes dificultades, variación de temperatura, ruidos incidentes por maquinaria, personas y transportes. • Se recomienda realizar la medición por el método experimental del patrón polar, no solo en la parte superior sino analizarlo en la parte inferior del mismo. • Se aconseja rediseñar el generador de impacto para reducir al máximo el márgen de error en los resultados. • Para la aplicación del método de elementos finitos se recomienda trabajar con el software ANSYS workbench en 3D. 73 BIBLIOGRAFIA • Neville H. Fletcher, Thomas D. Rossing, The Physics of Musical Instruments, Second Edition, Springer-Verlag, New York (1998). • Carrión Isbert Antoni, Diseño Acústico de Espacios Arquitectónicos, Edición UPC, S.L., Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C. V., 2001. • Kinsler, Fundamentals of Acoustics, • Mellado Ramírez José Damián, Introducción a los Conceptos Fundamentales en Acústica, PDF. • Beltrán Francisco, Teoría General del Método de los Elementos Finitos, Departamento de Mecánica Estructural y Construcciones Industriales - ETS Ingenieros Industriales Madrid, 1998, PDF. • Nazif Demoli and Ivan Demoli, Measuring Surface Vibrations of Musical Instruments Using an Inexpensive Digital Holography Device, Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers, Agosto 2 de 2005, PDF. • Apuntes de acústica Musical, Instrumentos Musicales, Daniel Maggiolo, www.eumus.edu.uy/docentes/maggiolo/acuapu/index.html • Acústica, Grupo de Investigación ADDA, www.diac.upm.es/adda. • Revista Cenit, Curso Práctico luces y sonido, Felipe Gonzalez G., CEKIT S.A, 1993, Pereira – Colombia. • Leo L. Beranek, Acústica, Editorial hispano americana S.A., Buenos Aires. • Hermida Cadena, Luis Fernando, Analisis Modal de la caja de la guitarra acústica variando sus dimensiones, 2005, Universidad de San Buenaventura, Bogotá D.C. • Mayorga Rueda, Sonia Mireya, Pachon Rincón, Rubén Camilo, Análisis Acústico grabación de instrumentos musicales de fabricantes y luthiers colombianos, 2005, Universidad de San Buenaventura. 74 75 Anexo 1. 4. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES MES FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO SEMANA 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ACTIVIDADES Recolección de Información Obtener las características
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