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INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL 
 
CÁLCULO INFINITESIMAL 
 
 
 
COMPLEMENTOS 6: SUPERFICIES CUÁDRICAS 
 
 
* Se denominan superficies cuádricas a todas aquellas superficies que pueden ser 
definidas mediante una ecuación de segundo orden. 
 
 Estas figuras responden a la siguiente expresión cuadrática general: 
 ( ) 0222222,, 222 =+++++++++= JzIyHxGyzFxzExyDzCyBxAzyxP 
 
siendo las más importantes el elipsoide, hiperboloide, paraboloide, los conos y los cilindros. 
 
* A continuación se exponen las citadas superficies acompañadas de sus respectivas 
ecuaciones referidas a su sistema de ejes: 
 
 
 
 
El elipsoide. 
 
 Un elipsoide es la superficie engendrada por una elipse de semiejes variables a y b que 
se mueve perpendicularmente al eje 2c de una segunda elipse, de forma que los extremos del eje 
2a se apoyan continuamente sobre la segunda elipse, y el eje 2b varía según una relación de 
semejanza establecida respecto del eje 2a. 
 
 
1
2
2
2
2
2
2 =++
c
z
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2/5
Hiperboloide de una hoja. 
 
 Es el cuerpo engendrado por una elipse que se mueve de forma paralela y semejante a 
sí misma, apoyando continuamente los extremos de sus ejes sobre las dos ramas de una 
hipérbola. 
 
1
2
2
2
2
2
2 =−+
c
z
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hiperboloide de dos hojas. 
 
 Si la elipse del cuerpo anterior se apoya únicamente en la parte interior de una rama 
de la hipérbola y posteriormente en la otra, entonces resulta el hiperboloide de dos hojas. 
 
 
1
2
2
2
2
2
2 −=−+
c
z
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3/5
Cono elíptico. 
 
 Un cono elíptico es el cuerpo engendrado por una recta que, pasando continuamente 
por un punto O, se apoya sobre dos elipses paralelas e iguales situadas simétricamente 
respecto de un plano que contiene al punto citado. 
 
 El cono, por consiguiente, está constituido por dos superficies iguales dispuestas de 
forma especular respecto de un plano que pasa por el punto O (vértice del cono). 
 
0
2
2
2
2
2
2 =−+
c
z
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paraboloide elíptico. 
 
 El paraboloide, análogamente a la parábola en las secciones cónicas, es una superficie 
sin centro que, en el caso general de ser elíptico, se define como: 
 
 Aquella superficie que engendra una elipse variable al moverse de forma perpendicular 
sobre el eje de una parábola, de forma que mantiene constantemente los vértices de uno de sus 
ejes sobre dicha curva. 
 
 
2
2
2
2
b
y
a
x
z += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4/5
Paraboloide hiperbólico. 
 
 Es la superficie engendrada por una hipérbola que, conservándose semejante a sí 
misma, se mueve a lo largo de una parábola directora. También puede definirse como la 
superficie generada por una parábola que, conservándose semejante a sí misma, se mueve a lo 
largo de una de las ramas de una hipérbola directora. 
 
2
2
2
2
b
y
a
x
z −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cilindros. 
 
 La ecuación general de las cuádricas puede representar también superficies cilíndricas, 
cuyas secciones correspondientes son curvas de segundo orden denominadas directrices del 
cilindro. 
 
 Según sea la curva directriz, el cilindro puede ser elíptico, hiperbólico o parabólico, 
definiéndose respectivamente como: 
 
 La superficie engendrada por una elipse, hipérbola o parábola que se mueve 
paralelamente a sí misma, manteniendo su centro o vértice sobre una recta perpendicular a su 
plano. 
 
– Cilindro elíptico: 
 
1
2
2
2
2 =+
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5/5
– Cilindro hiperbólico: 
 
1
2
2
2
2 =−
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– Cilindro parabólico: 
 
pxy 22 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Superficies cuádricas de revolución. 
 
 Las superficies vistas en los apartados anteriores adquieren especial importancia cuando resultan 
engendradas por rotación de una curva alrededor de un eje. En estos casos las ecuaciones reducidas se 
simplifican notablemente al ser iguales al menos dos de los parámetros que en ellas intervienen. Como 
tales, estas superficies se caracterizan por la existencia de un plano sobre el cual la sección producida por 
la figura es una circunferencia. 
 
 Dejando aparte los cilindros y conos de sección circular, destacamos las siguientes: 
 
* Elipsoide de revolución. Es la superficie engendrada por la rotación de una elipse alrededor de uno de 
sus ejes. En consecuencia, la ecuación reducida de esta figura podría ser, por ejemplo: 
 
1
2
2
2
22 =++
b
z
a
yx
 
 
* Hiperboloide de revolución. Es la superficie engendrada por rotación de una hipérbola alrededor de 
uno de sus ejes. Si el eje en cuestión es el eje imaginario, el hiperboloide será de una hoja, y si la 
rotación se produce en torno al eje focal o real, se obtiene el hiperboloide de dos hojas. 
 
* Paraboloide de revolución. Es la superficie engendrada por la rotación de una parábola alrededor de 
su propio eje. 
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