Cálculos Matemáticos

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTIN 
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA 
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL 
 
 
TEMA: 
Labotario III 
ESTUDIANTE: 
ALARCON FERNANDEZ, LICER LININKER 
CURSO: 
ANALISIS MATEMATICO II 
MORALES-PERÚ 
2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.− 
∫ 5𝑥
2
1
𝑑𝑥 
5𝑥2
2
|
2
1
 
5(2)2
2
−
5(1)2
2
= −
𝟏𝟓
𝟐
 
2.− 
∫ (2𝑥 − 3)
1
−3
𝑑𝑥 
𝑥2 − 3𝑥 |
1
−3
 
(1)2 − 3(1) − [(−3)2 − 3(−3)] = −𝟐𝟎 
4.− 
∫ 𝑥3 + 3𝑥2 − 3𝑥 − 6
5
−1
𝑑𝑥 
𝑥4
4
+ 𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 |
5
−1
 
(5)4
4
+ (5)3 − (5)2 − 6(5) − [
(−1)4
4
+ (−1)3 − (−1)2 − 6(−1)] = 𝟐𝟐𝟐 
 3. − 
 ∫ 𝑥2 + 4𝑥 + 5
4
1
𝑑𝑥 
𝑥3
3
+ 2𝑥2 + 5𝑥 |
4
1
 
(4)3
3
+ 2(4)2 + 5(4) − [
(1)3
3
+ 2(1)2 + 5(1)] = 𝟔𝟔 
 6.− 
∫ 2𝑥 + 4
6
0
𝑑𝑥 
𝑥2 + 4𝑥 |
6
0
 
(6)2 + 4(6) − [(0)2 + 4(0)] = 60 − 0 = 𝟔𝟎 
5.− 
∫ 𝑥
1
3 − 𝑥−
1
3
8
1
𝑑𝑥 
3𝑥
4
3
4
−
3𝑥
2
3
2
|
8
1
 
3(8)
4
3
4
−
3(8)
2
3
2
− [
3(1)
4
3
4
−
3(1)
2
3
2
] = 
𝟐𝟏
𝟒
 
 
𝐼. −𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9. − 
∫ (𝑥 + 1)√𝑥 + 3
1
−2
𝑑𝑥 
𝑥 + 3 = 𝑢 → 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 
∫ (𝑡 − 2)(𝑡)
1
2
1
0
𝑑𝑥 
∫ 𝑡
3
2 − 2𝑡
1
2
1
0
𝑑𝑥 
∫ 𝑡
3
2
1
−2
− 2∫ 𝑡
1
2
1
−2
 
2𝑡
5
2
5
−
4𝑡
3
2
3
 
2(𝑥 + 3)
5
2
5
−
4(𝑥 + 3)
3
2
3
|
1
−2
 
2((1) + 3)
5
2
5
−
4((1) + 3)
3
2
3
− [
2((−2) + 3)
5
2
5
−
4((−2) + 3)
3
2
3
] =
𝟏𝟐𝟒√𝟐
𝟓
−
𝟓𝟔
𝟑
 
 7. − 
 ∫ 3𝑥√4 − 𝑥2
0
−2
𝑑𝑥 
−
3
2
∫ √𝑢
0
−2
𝑑𝑢 
−𝑢
3
2 → −(4 − 𝑥2)
3
2 
−(4 − 𝑥2)
3
2 |
0
−2
 
−(4 − (0)2)
3
2 − [−(4 − (−2)2)
3
2] = −𝟖 
 8. − 
 ∫
𝑥3 + 1
𝑥 + 1
1
0
𝑑𝑥 
∫
(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)
𝑥 + 1
1
0
𝑑𝑥 
∫ (𝑥2 − 𝑥 + 1)
1
0
𝑑𝑥 
𝑥3
3
−
𝑥2
2
+ 𝑥 |
1
0
 
(1)3
3
−
(1)2
2
+ (1) − [
(0)3
3
−
(0)2
2
+ (0)] =
5
6
− 0 =
𝟓
𝟔
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11. − 
∫
𝑥 + 1
𝑥 + 6
4
−2
𝑑𝑥 
𝑥 + 6 = 𝑢 → 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 
∫
𝑢 − 5
𝑢
4
−2
𝑑𝑢 
∫
𝑢
𝑢
4
−2
𝑑𝑢 − ∫
5
𝑢
4
2
𝑑𝑢 
𝑢 − 5ln (|𝑢|) 
𝑥 + 6 − 5ln (|𝑥 + 6|) |
4
−2
 
(4) + 6 − 5 ln(|(4) + 6|) − [(−2) + 6 − 5ln (|(−2) + 6|))] = 6 + 5ln (
2
5
) = 6 + 5ln (
2
5
) 
13.− 
∫ 𝑥 sin𝑥
𝜋
−𝜋
𝑑𝑥 
2∫ 𝑥𝑆𝑒𝑛𝑥. 𝑑𝑥
𝜋
0
 
2(−𝐶𝑜𝑠𝑥. 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥) |
𝜋
0
 
2(−𝐶𝑜𝑠(𝜋). (𝜋) + 𝑆𝑒𝑛(𝜋)) − [2(−𝐶𝑜𝑠(0). (0) + 𝑆𝑒𝑛(0))] = 2𝜋 − 0 = 2𝜋 
 
 
 
10.− 
∫ √𝑥
1
0
√2 − 𝑥𝑑𝑥 
(𝑥 − 1)√−(𝑥 − 2)𝑥 + arcsin(𝑥 − 1)
2
|
1
0
 
(𝑥 − 1)√−(𝑥 − 2)𝑥 + arcsin(𝑥 − 1)
2
− [
(𝑥 − 1)√−(𝑥 − 2)𝑥 + arcsin(𝑥 − 1)
2
] =
𝝅
𝟒
 
12.− 
∫
cos 𝑥
√sin𝑥
𝜋
2⁄
0
𝑑𝑥 
𝑢 = sin 𝑥 → cos 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑢−
1
2
𝜋
2⁄
0
𝑑𝑢 
2𝑢−
1
2 
2 sin 𝑥−
1
2 |
𝜋
2⁄
0
 
2 sin (
𝜋
2
)
−
1
2
− [2 sin(0)−
1
2] = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15.− 
∫ 𝑒𝑥 sin(𝑒𝑥)
2
𝑙𝑛𝜋
𝑑𝑥 
−cos(𝑒𝑥) |
2
𝑙𝑛𝜋
 
−𝑐𝑜𝑠(𝑒2) − (−𝑐𝑜𝑠(𝑒𝑙𝑛𝜋)) = −𝒄𝒐𝒔(𝒆𝟐) − 𝟏 
 
 14. − 
∫ 𝑒𝑥 sin(𝑒𝑥)
2
𝑙𝑛𝜋
𝑑𝑥 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑣 = 𝑒3𝑥𝑑𝑥, 𝑑𝑢 = (
1
4
) cos(4𝑥) 𝑑𝑥, 𝑣 =
1
3𝑒3𝑥
 
∫ 𝑒3𝑥 . 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥
𝜋
4
0
=
1
3
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑒3𝑥 −
1
12
∫ 𝑒3𝑥. cos(4𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
4
0
 
∫ 𝑒3𝑥 . 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥
𝜋
4
0
=
1
3
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑒3𝑥 −
1
12
[
1
3
cos(4𝑥) 𝑒3𝑥 −
1
12
∫ 𝑒3𝑥. 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥
𝜋
4
0
] 
145
144
∫ 𝑒3𝑥. 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
4
0
𝑒3𝑥(12𝑠𝑒𝑛(4𝑥) − cos(4𝑥))
36
 
∫ 𝑒3𝑥 . 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
4
0
4𝑒3𝑥(12𝑠𝑒𝑛(4𝑥) − cos(4𝑥))
145
 
4𝑒3𝑥(12𝑠𝑒𝑛(4𝑥) − cos(4𝑥))
145
 ]
0
𝜋
4
= (
𝑒3
𝜋
4(12(0) − (−1))
145
) −
𝑒3.(0)(12(0) − (cos(0)))
145
 
4𝑒3𝑥(12𝑠𝑒𝑛(4𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(4𝑥))
145
 ]
0
𝜋
4
= (
𝒆𝟑
𝝅
𝟒
𝟏𝟒𝟓
) +
𝟏
𝟏𝟒𝟓
=
𝟏
𝟏𝟒𝟓
(𝒆𝟑
𝝅
𝟒 + 𝟏) 
 
 
𝑰𝑰. 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒂𝒔: 
𝟏) ∫
𝒅𝒙
√𝟐 − 𝒙𝟐
√𝟐
𝟎
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
∫
𝑑𝑥
√2 − 𝑥2
√2−𝜀
0
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
√2𝑥
2
)]
0
√2−𝜀
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
√2(√2 − 𝜀)
2
) − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
√2(0)
2
)⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
2 − √2𝜀
2
) − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0)⌋ 
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(1) − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0)z 
𝑳𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆 𝒂 𝟎. 
 
𝟐) ∫
𝒙𝒅𝒙
√𝟏𝟔 − 𝒙𝟐
𝟒
𝟎
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
∫
𝑥𝑑𝑥
√16 − 𝑥2
4−𝜀
0
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
−√16 − 𝑥2]
0
4−𝜀
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊−√16 − (4 − 𝜀)2 − (−√16 − (0)2)⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊−√16 − 16 + 8𝜀 + 𝜀2 + √16⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊−√8𝜀 + 𝜀2 + 4⌋ 
−√8(0) + (0)2 + 4 
𝟒 
𝑳𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆 𝒂 𝟒. 
 
𝑓(𝑥) =
1
√2 − 𝑥2
 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜 𝑒𝑛 [0, √2) 
∫
𝑑𝑥
√2 − 𝑥2
 
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
√2
) 
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
√2𝑥
2
) + 𝐶 
𝑓(𝑥) =
1
√16 − 𝑥2
 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜 𝑒𝑛 [0, 4) 
∫
𝑥𝑑𝑥
√16 − 𝑥2
 
−√𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 + 𝑪 
 
𝟑) ∫
𝒅𝒙
(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟑)
𝟐
𝟎
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
1−𝜀
0⏟ 
(𝐴)
+
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
2
1+𝜀⏟ 
(𝐵)
 
 
𝑷𝒂𝒓𝒂 (𝑨) 𝒇(𝒙) 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒐 𝒆𝒏 [𝟎,−𝟏) 
𝐴 =
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
1−𝜀
0
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
1
2
(−𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝑙𝑛|𝑥 − 3|)]
0
1−𝜀
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊
1
2
(−𝑙𝑛|(1 − 𝜀) − 1| + 𝑙𝑛|(1 − 𝜀) − 3|) −
1
2
(−𝑙𝑛|(0) − 1| + 𝑙𝑛|(0) − 3|)⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊
1
2
(−𝑙𝑛|−𝜀| + 𝑙𝑛|−2 − 𝜀|) −
1
2
(−𝑙𝑛|−1| + 𝑙𝑛|−3|)⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊
1
2
(−𝑙𝑛|−𝜀| + 𝑙𝑛|−2 − 𝜀| + 𝑙𝑛|−1| − 𝑙𝑛|−3|)⌋ 
1
2
(−𝑙𝑛|0| + 𝑙𝑛|−2| + 𝑙𝑛|−1| − 𝑙𝑛|−3|)⏟ 
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
 
𝑰𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐 
𝑳𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆. 
 
𝟒) ∫
𝒅𝒙
𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓
+∞
−∞
 
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
0
−∞
+∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
+∞
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
0
𝑡⏟ 
(𝐴)
+
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
𝑡
0⏟ 
(𝐵)
 
 
𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 (𝑨) 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
0
𝑡
 
 
𝑓(𝑥) =
1
(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟑)
; 𝑒𝑛 𝑥 = 1 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜. 
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
 
𝟏
𝟐
(−𝒍𝒏|𝒙 − 𝟏| + 𝒍𝒏|𝒙 − 𝟑|) + 𝑪 
 
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜. 
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
 
𝟏
𝟒
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝒙 +
𝟏
𝟐
) + 𝑪 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥 +
1
2
)]
𝑡
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
⌊
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ((0) +
1
2
) −
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ((𝑡) +
1
2
)⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
⌊
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
2
) −
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡 +
1
2
)⌋ 
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
2
) −
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−∞) 
𝐴 =
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
2
) +
𝜋
8
 
𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
 
𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 (𝑩) 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
𝑡
0
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥 +
1
2
)]
0
𝑡
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
⌊
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ((𝑡) +
1
2
) −
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ((0) +
1
2
)⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → +∞
⌊
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡 +
1
2
) −
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
2
)⌋ 
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) −
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
2
) 
𝐵 =
𝜋
8
−
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
2
) 
𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
𝑯𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 (𝑨) + (𝑩) 
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
2
) +
𝜋
8
+
𝜋
8
−
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
2
) 
2𝜋
8
 
𝝅
𝟒
 
𝑳𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆 𝒂 
𝝅
𝟒
 
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
 
𝟏
𝟒
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝒙 +
𝟏
𝟐
) + 𝑪 
 
𝟓) ∫
𝒅𝒙
𝟒𝒙𝟐 + 𝟏
+∞
−∞
 
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 1
0
−∞
+∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 1
+∞
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 1
0
𝑡⏟ 
(𝐴)
+
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 1
𝑡
0⏟ 
(𝐵)
 
 
𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 (𝑨) 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 1
0
𝑡
 
 
𝑙𝑖𝑚𝑡 → −∞
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝑥)]
𝑡
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
⌊
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2(0)) −
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2(𝑡))⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
⌊
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0) −
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝑡)⌋ 
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0) −
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−∞) 
𝐴 =
𝜋
2
 
𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
 
𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 (𝑩) 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 1
𝑡
0
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝑥)]
0
𝑡
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
⌊
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2(𝑡)) −
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2(0))⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
⌊
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝑡) −
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0)⌋ 
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) −
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0) 
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜. 
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 1
 
𝟏
𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝟐𝒙) + 𝑪 
 
∫
𝑑𝑥
4𝑥2 + 1
 
𝟏
𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝟐𝒙) + 𝑪 
 
𝐵 =
𝜋
2
 
𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
𝑯𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 (𝑨) + (𝑩) 
𝜋
2
+
𝜋
2
 
2𝜋
2
 
𝝅 
𝑳𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆 𝒂 𝝅. 
 
 
𝟔) ∫
𝒅𝒙
𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝝅
𝟐⁄
𝟎
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
∫
𝑑𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝜋
2⁄ −𝜀
0
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
2
1 − 𝑡𝑔 (
𝑥
2)
]
0
𝜋
2⁄ −𝜀
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊
 
 
 
 
2
1 − 𝑡𝑔 (
(𝜋 2⁄ − 𝜀)
2 )
−
2
1 − 𝑡𝑔 (
(0)
2 )
⌋
 
 
 
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊
2
1 − 𝑡𝑔 (
𝜋 − 2𝜀
4 )
−
2
1 − 𝑡𝑔(0)
⌋ 
2
1 − 𝑡𝑔 (
𝜋
4)
−
2
1 − 𝑡𝑔(0)
 
2
0
− 2 
∞ → 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐 
𝑳𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆. 
 
𝑓(𝑥) =
1
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜 𝑒𝑛 [0, 𝜋 2⁄ ) 
∫
𝑑𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
 
𝟐
𝟏 − 𝒕𝒈(
𝒙
𝟐
)
+ 𝑪 
 
 
𝟕) ∫
𝒅𝒙
𝒙𝟑
𝟐
−𝟐
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
∫
𝑑𝑥
𝑥3
0−𝜀
−2⏟ 
(𝐴)
+
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
∫
𝑑𝑥
𝑥3
2
0+𝜀⏟ 
(𝐵)
 
 
𝑷𝒂𝒓𝒂 (𝑨) 𝒇(𝒙) 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒐 𝒆𝒏 [−𝟐, 𝟎) 
𝐴 =
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
∫
𝑑𝑥
𝑥3
0−𝜀
−2
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
−
1
2𝑥2
]
−2
−𝜀
 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊−
1
2(−𝜀)2
− (−
1
2(−2)2
)⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝜀 → 0
⌊−
1
2𝜀2
+
1
8
⌋ 
−
1
2(0)2
+
1
8
 
−
1
0
+
1
8
 
𝑰𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐 
𝑳𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆. 
 
𝟖) ∫
𝒅𝒙
𝒙𝒍𝒏𝟐𝒙
∞
𝒆
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → ∞
∫
𝑑𝑥
𝑥𝑙𝑛2𝑥
𝑡
𝑒
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → ∞
−
1
𝑙𝑛|𝑥|
]
𝑒
𝑡
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → ∞
⌊(−
1
𝑙𝑛|𝑡|
) − (−
1
𝑙𝑛|𝑒|
)⌋ 
𝑓(𝑥) =
1
𝒙𝟑
; 𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜. 
∫
𝑑𝑥
𝑥3
 
−
𝟏
𝟐𝒙𝟐
+ 𝑪 
 
∫
𝑑𝑥
𝑥𝑙𝑛2𝑥
 
−
1
𝑙𝑛|𝑥|
+ 𝐶 
(−
1
𝑙𝑛|∞|
) − (−
1
𝑙𝑛|𝑒|
) 
−
1
∞
+ 1 
𝟏 
𝑳𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆 𝒂 𝟏. 
 
𝟗) ∫ 𝒙𝒆𝒙𝒅𝒙
𝟎
−∞
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
0
𝑡
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
𝑒𝑥(𝑥 − 1)]𝑡
0 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
⌊𝑒0((0) − 1) − 𝑒𝑡((𝑡) − 1)⌋ 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
⌊−1 − 𝑒𝑡(𝑡 − 1)⌋ 
−1 − 𝑒−∞((−∞) − 1) 
−1 − 0 
−𝟏 
𝑳𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆 𝒂:−𝟏. 
 
𝟏𝟎) ∫ 𝒆𝒙−𝒆
𝒙
+∞
−∞
 
∫ 𝑒𝑥−𝑒
𝑥
𝑑𝑥
0
−∞
+∫ 𝑒𝑥−𝑒
𝑥
𝑑𝑥
+∞
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
∫ 𝑒𝑥−𝑒
𝑥
𝑑𝑥
0
𝑡⏟ 
(𝐴)
+
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
∫ 𝑒𝑥−𝑒
𝑥
𝑑𝑥
𝑡
0⏟ 
(𝐵)
 
 
 
𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 (𝑨) 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
∫ 𝑒𝑥−𝑒
𝑥
𝑑𝑥
0
𝑡
 
∫𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 𝐶 
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜. 
∫𝑒𝑥−𝑒
𝑥
𝑑𝑥 
−𝒆−𝒆
𝒙
𝑪 
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
−𝑒−𝑒
𝑥
]
𝑡
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −∞
⌊(−𝑒−𝑒
0
) − (−𝑒−𝑒
𝑡
)⌋ 
(−𝑒−𝑒
0
) − (−𝑒−𝑒
−∞
) 
−𝑒1 + 𝑒−∞ 
−𝑒 + 0 
𝐴 = −𝑒 
𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
 
𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑩 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
∫ 𝑒𝑥−𝑒
𝑥
𝑑𝑥
𝑡
0
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
−𝑒−𝑒
𝑥
]
0
𝑡
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → +∞
⌊(−𝑒−𝑒
𝑡
) − (−𝑒−𝑒
0
)⌋ 
(−𝑒−𝑒
+∞
) − (−𝑒−𝑒
0
) 
−𝑒∞ + 𝑒1 
0 + 𝑒 
𝐵 = 𝑒 
𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
𝑯𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 (𝑨) + (𝑩) 
−𝑒 + 𝑒 
𝟎 
𝑳𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆 𝒂 𝟎. 
 
 
 
 
∫𝑒𝑥−𝑒
𝑥
𝑑𝑥 
−𝒆−𝒆
𝒙
𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.- Calcular el área de la región plana limitada por: 
 
1) 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎; 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: 
∫ (𝑥 − 3)2 + 2 𝑑𝑥
4
0
 
∫ (𝑥 − 3)2 𝑑𝑥
4
0
+∫ 2 𝑑𝑥
4
0
 
∫ 𝑥2 − 6𝑥 + 9 𝑑𝑥
4
0
+ 2∫ 𝑑𝑥
4
0
 
∫ 𝑥2
4
0
−∫ 6𝑥 𝑑𝑥
4
0
+∫ 9 𝑑𝑥
4
0
+ 2𝑥 
𝑥3
3
− 6
𝑥2
2
+ 9𝑥 + 2𝑥 
𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠: 
43
3
− 6
42
2
+ 9(4) + 2(4) −
03
3
− 6
02
2
+ 9(0) + 2(0) 
43
3
− 6
42
2
+ 9(4) + 2(4) −
03
3
− 6
02
2
+ 9(0) + 2(0) 
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎: 
𝑨 =
𝟓𝟐
𝟑
𝒖𝟐 
 
XEjeyxxxy 4,0,2)3( 2 
2) 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑦; 
𝑦2 − 16 = 𝑥 , 𝑦 = 4 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎; 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: 
∫ 𝑦2 − 16 𝑑𝑦
4
0
 
∫ 𝑦2 𝑑𝑦
4
0
−∫ 16 𝑑𝑦
4
0
 
𝑦3
3
− 16∫ 𝑑𝑦
4
0
 
𝑦3
3
− 16∫ 𝑑𝑦
4
0
 
𝑦3
3
− 16𝑦 
𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠: 
𝑦3
3
− 16𝑦 − (
𝑦3
3
− 16𝑦) 
43
3
− 16(4) − (
03
3
− 16(0)) 
43
3
− 16(4) − (
03
3
− 16(0)) 
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎: 
𝑨 = −
𝟏𝟐𝟖
𝟑
𝒖𝟐 
 
4,162  yxy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎; 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: 
∫ 4 − 𝑥2 𝑑𝑥
2
1
 
∫ 4 𝑑𝑥
2
1
−∫ 𝑥2 𝑑𝑥
2
1
 
4∫ 𝑑𝑥
2
1
−
𝑥3
3
 
4𝑥 −
𝑥3
3
 
𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠: 
4𝑥 −
𝑥3
3
− (4𝑥 −
𝑥3
3
) 
4(2) −
23
3
− (4(1) −
13
3
) 
8 −
8
3
− (4 −
1
3
) 
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎: 
𝑨 = −
𝟏𝟐𝟖
𝟑
𝒖𝟐 
 
XEjeyxxxy 2,1,4 2 
4) 
𝑦 =
9
𝑥
 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎; 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: 
∫
9
𝑥
 𝑑𝑥
6
3
 
9∫
1
𝑥
 𝑑𝑥
6
3
 
9 𝑙𝑛𝑥 
𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠: 
9 (𝑙𝑛6 − ln 3) 
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎: 
𝑨 = 𝟔. 𝟐𝟑𝟖𝟑…𝒖𝟐 
 
XEjeyxxxy 6,3,9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎; 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: 
∫ 𝑥2 − 2𝑥 − 1 𝑑𝑥
4
1
 
∫ 𝑥2 𝑑𝑥
4
1
−∫ 2𝑥 𝑑𝑥
4
1
−∫ 1 𝑑𝑥
4
1
 
𝑥3
3
− 2∫ 𝑥 𝑑𝑥
4
1
−∫ 1 𝑑𝑥
4
1
 
𝑥3
3
− 2
𝑥2
2
− 𝑥 
𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠: 
𝑥3
3
− 2
𝑥2
2
− 𝑥 − (
𝑥3
3
− 2
𝑥2
2
− 𝑥) 
43
3
− 2
42
2
− 4 − (
13
3
− 2
12
2
− 1) 
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎: 
𝑨 = 𝟑𝒖𝟐 
 
XEjeyxxxxy 4,1,122 
6) 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠; 
{
𝑦 = ±√10𝑥
𝑦 =
𝑥2
10
 
𝑦 = 𝑦 
√10𝑥 =
𝑥2
10
 
√10𝑥 =
𝑥2
10
 
(√10𝑥)
2
= (
𝑥2
10
)
2
 
10𝑥 =
𝑥4
100
 
1000𝑥 − 𝑥4 = 0 
𝑥(1000 − 𝑥3) = 0 
𝑥 = 0 ∧ 𝑥 = 10 
𝐵𝑢𝑠𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 "𝑦" 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑜: 
𝑥 = 0 
𝑦 = √10(0) 
y = 0 → 𝐴(0,0) 
x = 10 
𝑦 =
102
10
 
𝑦 = 10 → 𝐵(0,10) 
 
yxxy 10,10 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 
𝐴(0,0) ; 𝐵 (10, 10) 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝐴𝑟𝑒𝑎; 
𝑥 = √10𝑦
𝑦2
10
= 𝑥
 
𝐴 = ∫ √10𝑥 −
𝑥2
10
10
0
 𝑑𝑥 
𝐴 = ∫ √10𝑥
10
0
 𝑑𝑥 − ∫
𝑥2
10
10
0
 𝑑𝑥 
𝐴 = √10∫ √𝑥
10
0
 𝑑𝑥 −
1
10
∫ 𝑥2
10
0
 𝑑𝑥 
𝐴 = √10
𝑥
1
2
+1
1
2
+ 1
−
1
10
𝑥3
3
 
𝐴 = √10
2𝑥
3
2
3
−
𝑥3
30
 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠; 
 
𝐴 = √10
2(10)
3
2
3
−
103
30
− (√10
2(0)
3
2
3
−
(0)3
30
) 
𝐴 = √10
2(10)
3
2
3
−
103
30
 
𝐴 = √10
2(10)√10
3
−
1000
30
 
𝐴 =
200
3
−
100
3
 
𝑨 =
𝟏𝟎𝟎
𝟑
𝒖𝟐 
 
 
 
 
7) 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎; 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙:∫ 12 − 𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑑𝑥
2
−3
 
∫ 12 𝑑𝑥
2
−3
−∫ 𝑥2𝑑𝑥
2
−3
−∫ 𝑥 𝑑𝑥
2
−3
 + ∫ 2 𝑑𝑥
2
−3
 
12𝑥 −
𝑥3
3
−
𝑥2
2
 + 2𝑥 
14𝑥 −
𝑥3
3
−
𝑥2
2
 
𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠: 
14(2) −
23
3
−
22
2
− (14(−3) −
−33
3
−
−32
2
) 
70 − (
35
3
) − (
−5
2
) 
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎: 
𝑨 =
𝟑𝟔𝟓
𝟔
𝒖𝟐 
 
XEjeyxxxxy 2,3,212 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠; 
√𝑦2
3
= 𝑥 ; 𝑦2 = x 
𝑥 = 𝑥 
√𝑦2
3
= 𝑦2 
(√𝑦2
3
)
3
= (𝑦2)3 
𝑦2 = 𝑦6 
𝑦6 − 𝑦2 = 0 
𝑦2(𝑦4 − 1) = 0 
y = 0 ; y = 1 ; y = −1 
𝐵𝑢𝑠𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 "x" 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑜: 
a) y = 0 
√02
3
= 𝑥 
𝑥 = 0 → 𝐴(0,0) 
b)y = 1 
12 = x 
x = 1 → B(1,1) 
c)y = −1 
√−12
3
= 𝑥 
𝑥 = 1 → 𝐶(−1,1) 
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎: 
𝑨 = ∫ [𝒇(𝒚) − 𝒈(𝒚)]𝒅𝒚
𝒅
𝒄
 
𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴1 = ∫ 𝑦2 − √𝑦2
3
 𝑑𝑦
1
0
 
𝐴1 = ∫ 𝑦2 𝑑𝑦
1
0
−∫ √𝑦2
3
 𝑑𝑦
1
0
 
𝐴1 =
𝑦3
3
−
3𝑦
5
3
5
 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠; 
𝐴1 =
𝑦3
3
−
3𝑦
5
3
5
− (
𝑦3
3
−
3𝑦
5
3
5
) 
𝐴1 =
13
3
−
3(1)
5
3
5
− (
03
3
−
3(0)
5
3
5
) 
𝐴1 =
1
3
−
3
5
→ −
4
15
 
𝐴2 = ∫ 𝑦2 − √𝑦2
3
 𝑑𝑦
0
1
 
𝐴2 = ∫ 𝑦2 𝑑𝑦 −∫ √𝑦2
3
 𝑑𝑦
0
1
0
1
 
𝐴2 =
𝑦3
3
−
3𝑦
5
3
5
 
 
 
xyxy  232 ,
 
𝐴2 = −(
1
3
−
3
5
) 
𝐴2 = −
4
15
 
𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴𝑇 = −
4
15
−
4
15
 →
𝟖
𝟏𝟓
𝒖𝟐 
 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠; 
𝐴2 =
𝑦3
3
−
3𝑦
5
3
5
− (
𝑦3
3
−
3𝑦
5
3
5
) 
𝐴2 =
03
3
−
3(0)
5
3
5
− (
13
3
−
3(1)
5
3
5
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎; 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: 
∫ 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥
2
0
 
∫ 𝑥3 𝑑𝑥
2
0
−∫ 3𝑥2 𝑑𝑥
2
0
+∫ 2𝑥 𝑑𝑥
2
0
 
∫ 𝑥3 𝑑𝑥
2
0
− 3∫ 𝑥2 𝑑𝑥
2
0
+ 2∫ 𝑥 𝑑𝑥
2
0
 
𝑥4
4
− 3
𝑥3
3
+ 2
𝑥2
2
 
𝑥4
4
− 𝑥3 + 𝑥2 
 
𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠: 
𝑥4
4
− 𝑥3 + 𝑥2 − (
𝑥4
4
− 𝑥3 + 𝑥2) 
24
4
− 23 + 22 − (
04
4
− 03 + 02) 
4 − 8 + 4 
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎: 
𝑨 = 𝟎 𝒖𝟐 
 
XEjeelyxxxy )2)(1( 
10) 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎; 
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: 
𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝑨 = ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙
𝒅
𝒄
 
 
𝐴1 = ∫ 𝑥 − 
𝑥
2
𝑑𝑥
1
0
 
𝐴1 = ∫ 
𝑥
2
𝑑𝑥
1
0
 
𝐴1 =
1
2
∫ 𝑥 𝑑𝑥
1
0
 
1
2
∗
𝑥2
2
 
𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠: 
𝑥2
4
− (
𝑥2
4
) 
12
4
− (
02
4
) 
1
4
− 0 
𝐴1 =
1
4
 𝒖𝟐 
 
yxyxxy  ,2,3
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ( 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠) 
𝑓: 𝑦 = 𝑥 ; 𝑔: 𝑦 =
𝑥
2
 ; ℎ: 𝑦 = √𝑥
3
 
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 ℎ , 𝑔 
𝑦 = 𝑦 
√𝑥
3
=
𝑥
2
 
(√𝑥
3
)
3
= (
𝑥
2
)
3
 
𝑥 =
𝑥3
8
 
𝑥3 − 8𝑥 = 0 
𝑥(𝑥2 − 8) = 0 → 𝑥 = 0 ∧ 𝑥 = ±√8 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 y 
𝑓: 𝑦 = 𝑥 ; 𝑔: 𝑦 =
𝑥
2
 ; ℎ: 𝑦 = √𝑥
3
 
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0 ; 
𝑦 = 0 → 𝑨(𝟎, 𝟎) 
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = √8 
𝑦 =
√8
2
 → 𝑩(√𝟖,
√𝟖
𝟐
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴2 = ∫ √𝑥
3
− 
𝑥
2
𝑑𝑥
√𝟖
1
 
𝐴2 = ∫ √𝑥
3
 𝑑𝑥
√𝟖
1
−∫ 
𝑥
2
𝑑𝑥
√𝟖
1
 
𝐴2 =
𝑥
1
3
+1
1
3 + 1
−
1
2
∫ 𝑥 𝑑𝑥
√𝟖
1
 
𝐴2 =
3𝑥
4
3
4
−
𝑥2
4
 
𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠: 
3𝑥
4
3
4
−
𝑥2
4
− (
3𝑥
4
3
4
−
𝑥2
4
) 
3(√𝟖)
4
3
4
−
√𝟖
2
4
− (
3(1)
4
3
4
−
12
4
) 
3(4)
4
−
8
4
− (
3
4
−
1
4
) 
3 − 2 − (
1
2
) 
𝐴1 =
1
2
 𝒖𝟐 
𝐴𝑇 = 2(𝐴1 + 𝐴2) 
𝐴𝑇 = 2 (
1
4
+
1
2
) 
𝐴𝑇 = 2 (
3
4
) 
𝑨𝑻 =
𝟑
𝟐
 𝒖𝟐 
 
 
 
𝐼𝑉.−𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑔𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝑝𝑜𝑟: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
9𝑋2 + 16𝑌2 = 144 
9𝑋2 = 144 − 16𝑌2 
𝑋 =
√144 − 16𝑌2
3
 
𝑉 = 𝜋∫ [
√144 − 16𝑌2
3
]
2
𝑑𝑥
3
−3
 
𝑉 = 𝜋∫
144 − 16𝑌2
9
𝑑𝑥
3
−3
 
𝑉 = 2𝜋∫
144 − 16𝑌2
9
𝑑𝑥
3
0
 
𝑉 =
2
9
𝜋 (144𝑥 − 16
𝑦3
3
) |
3
0
 
𝑉 =
2
9
𝜋 (144(3) −
16(33)
3
) 
𝑉 =
2
9
𝜋(432 − 144) 
𝑉 =
2
9
𝜋(288) 
𝑉 = 64𝜋 𝑢3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.− 
𝑦 = 𝑥3 − 5 + 8𝑥 − 4 ; 𝑦 = 0 ; 𝑒𝑗𝑒 𝑥 
𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 
1 − 5 + 8 − 4 
 
 
 
 
(𝑥 − 2)2(𝑥 − 1) 
𝑉 = 𝜋∫ [(𝑋 − 2)2(𝑋 − 1)]
2
𝑑𝑥
2
1
 
𝑉 = 𝜋∫ (𝑋 − 2)4(𝑋 − 1)2𝑑𝑥
2
1
 
𝑉 = 𝜋∫ (𝑥2 − 4𝑥 + 4)
2
(𝑥2 − 2𝑥 + 1)𝑑𝑥
2
1
 
𝑉 = 𝜋∫ (𝑥4 − 16𝑥2 + 16 − 8𝑥3 + 8𝑥2 − 32𝑥)(𝑥2 − 2𝑥 + 1)𝑑𝑥
2
1
 
2 
1 -3 2 0 
 1 -6 4 
3) 𝑥
2 + (𝑦 − 3)2 = 1 ; eje x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
 𝑥2 + (𝑦 − 3)2 = 1 
(𝑦 − 3)2 = 1 − 𝑥2 
𝑦 − 3 = ±√1 − 𝑥2 
𝑦 = 3 ± √1 − 𝑥2 = {
𝑓(𝑥) = 3 + √1 − 𝑥2
𝑔(𝑥) = 3 − √1 − 𝑥2
 
𝑉 = 𝜋∫ {[𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2}𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
𝑉 = 𝜋∫ {[3 + √1 − 𝑥2]
2
− [3 − √1 − 𝑥2]
2
} 𝑑𝑥
1
−1
 
 
𝑉 = 𝜋∫ {12√1 − 𝑥2} 𝑑𝑥
1
−1
 
 
𝑉 = 2𝜋∫ {12√1 − 𝑥2} 𝑑𝑥
1
0
 
 
𝑉 = 24𝜋∫ (√1 − 𝑥2)𝑑𝑥
1
0
 
 
𝑉 = 24𝜋 [
𝑥
2
√1 − 𝑥2 +
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)]
1
0
 
 
𝑉 = 24𝜋 [0 +
𝜋
4
− (0 + 0)] 
 
𝑉 = 6𝜋2 𝑢3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
Solución: 
 𝑦 = 3𝑥2 
 
 
 𝑦
3
= 𝑥2 
 𝑥2 =
 𝑦
3
 
 
 
 (𝑓(𝑦))
2 =
 𝑦
3
 
 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑣1 
𝑉 = 𝜋∫ [𝑓(𝑦)]
2
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
𝑣1 = 𝜋∫ [
𝑦
3
] 𝑑𝑦
4
3
0
 
 
𝑣1 = 𝜋(
𝑦2
6
)]
4
3
.
0
 
𝑣1 = 𝜋 [
(
4
3)
2
6
−
(0)2
6
] 
 
𝑣1 = 𝜋 [
(
4
3
)
2
6
−
(0)2
6
] 
 
𝑣1 =
8
27
𝜋 𝑢3 
Calculamos 𝑣2 
𝑦 = 4 − 6𝑥2 
6𝑥2 = 4 − 𝑦 
𝑥2 =
2
3
−
𝑦
6
 
(𝑓(𝑦))
2 =
 2
3
−
𝑦
6
 
𝑉 = 𝜋∫ [𝑓(𝑦)]
2
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
𝑣2 = 𝜋∫ [
 2
3
−
𝑦
6
] 𝑑𝑦
4
4
3
 
 
𝑣2 = 𝜋(
 2
3
𝑦 −
𝑦2
12
)]
4
.
4
3
 
 
𝑣2 = 𝜋 [
 2
3
(4) −
(4)2
12
− (
 2
3
(
4
3
) −
(
4
3)
2
12
)] 
 
 
𝑣2 = 𝜋 [
16
12
−
20
27
] 
 
 
 
0;64,3 22  xEjexyxy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑣2 =
8
9
𝜋 𝑢3 
 
𝑉𝑝 =
8
27
+
8
9
 
 
𝑉𝑝 =
8
9
𝜋 𝑢3 
Como se observa en la figura tendremos que multiplicarlo 
por 2, entonces: 
𝑉𝑡 = 2(
8
9
)𝜋 𝑢3 
 
𝑉𝑡 =
16
9
𝜋 𝑢3 
 
5) 
 Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑦) = 8 − 𝑦2
𝑔(𝑦) = 𝑦2
 
 
 
 Puntos de intersección: (4,2); (4, −2) 
𝑉 = 𝜋∫ {[𝑓(𝑦)]2 − [𝑔(𝑦)]2}𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
𝑉 = 𝜋∫ {[8 − 𝑦2]2 − [𝑦2]2}𝑑𝑦
2
−2
 
𝑉 = 2𝜋∫ (64 − 16𝑦2)𝑑𝑦
2
0
 
 
𝑉 = 2𝜋 [64𝑦 −
16
3
𝑦3]
2
.
0
 
 
𝑉 = 2𝜋 [64(2) −
16(2)3
3
] 
 
𝑉 =
512
3
𝜋 𝑢3 
 
 
 
 
0;8, 22  xEjeyxyx
 
6) 
 
Solución:
 
 
2
 𝑥2
4
+ 
𝑦2
9
= 1
 
 
𝑥2
4
= 1 − 
𝑦2
9
 
𝑥2 = 4(1 − 
𝑦2
9
)
 
[𝑓(𝑦 )]2 = 4(1 − 
𝑦2
9
) 
 
 
𝑉 = 𝜋∫ [𝑓(𝑦)]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑦 
𝑉 = 𝜋∫ [ 4(1 − 
𝑦2
9
)]
3
−3
𝑑𝑦 
 
𝑉 = 2𝜋∫ 4(1 − 
𝑦2
9
)
3
0
𝑑𝑦 
𝑉 = 8𝜋∫ (1 − 
𝑦2
9
)
3
0
𝑑𝑦 
 
𝑉 = 8𝜋 [𝑦 −
𝑦3
27
]
3
.
0
 
 
 
𝑉 = 8𝜋 [(3 −
(3)3
27
) − (0 − 0)] 
 
𝑉 = 16𝜋 𝑢3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
YEje
yx
;1
94
22
8) 
2 2 1 4x y eje x   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 
𝑓(𝑦) = 𝑦
1
5 
𝑔(𝑦) = −2 
 
Puntos de intersección: 
(−1,−1);: (−2,−32) 
𝑉 = 𝜋∫ {[𝑓(𝑦)]2 − [𝑔(𝑥)]2}
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 
𝑉 = −𝜋∫ {[𝑦
1
5]
2
− [−2]2}
−1
−32
𝑑𝑦 
 
𝑉 = −𝜋∫ {𝑦
2
5 − 4}
−1
−32
𝑑𝑦 
 
𝑉 = 𝜋∫ {𝑦
2
5 − 4}
−32
−1
𝑑𝑦 
 
𝑉 = 𝜋(
5𝑦
7
5
7
− 4𝑦)]
−32
.
−1
 
 
𝑉 =
233
7
𝜋 𝑢3 
 
 
Solución: 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 → {
𝑓(𝑦) = −√1 − 𝑦2
𝑔(𝑦) = √1 − 𝑦2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉 = 𝜋∫ {[𝑓(𝑦) − 𝑘]2 − [𝑔(𝑦) − 𝑘]2}𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
𝑉 = 𝜋∫ {[−√1 − 𝑦2 − 4]2 − [√1 − 𝑦2 − 4]2} 𝑑𝑦
1
−1
 
 
 
𝑉 = 𝜋∫ 8√1 − 𝑦2𝑑𝑦
1
−1
 
 
𝑉 = 16𝜋∫ √1 − 𝑦2𝑑𝑦
1
0
 
 
𝑉 = 16𝜋 [
𝑦
2
√1 − 𝑦2 +
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑦)]
1
.
0
 
 
 
𝑉 = 4𝜋2 𝑢3 
 
Como se observa en la figura tendremos que multiplicarlo por 2, entonces: 
 
 
𝑉 = 2(4𝜋2 𝑢3) 
𝑉 = 8𝜋2 𝑢3 
 
 
9) 
2 4(2 ), 0; 4y x x eje y    
 
Solución: 
 
 
𝑦2 = 4(2 − 𝑥) → {
𝑓(𝑥) = −√8 − 4𝑥
𝑔(𝑥) = √8 − 4𝑥
 
𝑉 = 𝜋∫ {[𝑓(𝑥) − 𝑐]2 − [𝑔(𝑥) − 𝑐]2}𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
𝑉 = 𝜋∫ {[−√8 − 4𝑥 − 4]
2
− [√8 − 4𝑥 − 4]2} 𝑑𝑥
2
0
 
 
𝑉 = 𝜋∫ 16√8 − 4𝑥𝑑𝑥
2
0
 
 
𝑉 = −
8𝜋
3
[(8 − 4𝑥)
3
2]
2
.
0
 
 
𝑉 =
128√2
3
𝜋 𝑢3 
 
 
 
 
10) 
1
( ) 1, 4, 0y x x x eje y
x
     
Solución: 
 
 
𝑉 = 𝜋∫ [𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
𝑉 = 𝜋∫ [√𝑥 −
1
√𝑥
]
2
𝑑𝑥
4
1
 
 
𝑉 = 𝜋∫ (𝑥 − 2 +
1
𝑥
)𝑑𝑥
4
1
 
 
𝑉 = 𝜋 [
𝑥2
2
− 2𝑥 + ln (𝑥)]
4
.
1
 
 
𝑉 = (
3
2
+ ln(4))𝜋 𝑢3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular el volumen del sólido generado (por Método de corteza cilíndrica) al girar 
en torno al eje indicado la región formada por: 
 
11) y=𝑥2 y entre las rectas y=2x-1, y=x+2, eje de giro Eje Y 
 solución: 
 
 
 
𝑦 = 𝑥2 … (1) 
𝑦 = 2𝑥 − 1 … (2) 
𝑦 = 𝑥 + 2 … (3) 
 
 resolviendo el sistema de ecuaciones: 
 operando (1) y (2) 
 
𝑦 = 𝑥2 … (1) 
 𝑦 = 2𝑥 − 1 … (2) 
 
𝑥2 = 2𝑥 − 1 
𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 
(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = 0 
 
𝑥 − 1 = 0 
𝑥 = 1 
 
𝑦 = 2𝑥 − 1 
𝑦 = 1 
punto de intersección es (1,1) 
operando (1) y (3) 
𝑥2 = 𝑥 + 2 
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0 
𝑥 = −1 𝑥 = 2 
𝑦 = 𝑥 + 2 𝑦 = 𝑥 + 2 
𝑦 = 1 𝑦 = 4 
los puntos de intersección son: (-1,1), (2,4) 
 
operando (2) y (3) 
2𝑥 − 1 = 𝑥 + 2 
𝑥 = 3 
 
𝑦 = 𝑥 + 2 
𝑦 = 5 
punto de intersección es (3,5) 
𝑉1 
𝑉2 
volumen 
 
𝑉𝑇 = 𝑉1 + 𝑉2 
 
calculo de = 𝑉1 
𝑦 = 𝑥2 → 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
 
𝑦 = 2𝑥 − 1 → 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 
𝑉1 = 2𝜋∫ (𝑥)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑉1 = 2𝜋∫ (𝑥)[𝑥2 − (2𝑥 − 1)]𝑑𝑥
2
1
 
𝑉1 = 2𝜋∫ [𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥]𝑑𝑥
2
1
 
 
𝑉1 = 2𝜋 [
𝑥4
4
−
2𝑥3
3
+
𝑥2
2
]
2
.
1
 
𝑉1 =
7
6
𝜋 𝑢3 
Calculo de 𝑉2 
𝑦 = 𝑥 + 2 → 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 
 
𝑦 = 2𝑥 − 1 → 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 
𝑉2 = 2𝜋∫ (𝑥)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑉2 = 2𝜋∫ (𝑥)[𝑥 + 2 − (2𝑥 − 1)]𝑑𝑥
3
2
 
𝑉2 = 2𝜋∫ [−𝑥2 + 3𝑥]𝑑𝑥
3
2
 
𝑉2 = 2𝜋 [−
𝑥3
4
+
3𝑥2
2
]
3
.
2
 
 
𝑉2 =
7
3
𝜋 𝑢3 
 
𝑉𝑇 = 𝑉1 + 𝑉2 
 
𝑉𝑇 =
7
6
𝜋 +
7
3
𝜋 
 
𝑉 =
7
2
 𝑢3 
12) 𝑥2 + 𝑦2= 25, x = 4 (área menor); eje de giro x = 6 
 
 Solución: 
 
De 𝑥2 + 𝑦2 = 25 
𝑦2 = 25 − 𝑥2 
 
𝑦 = ±√25 − 𝑥2 
 
 
 
𝑦 = √25 − 𝑥2 → {
𝑓(𝑥) = √25 − 𝑥2
𝑔(𝑥) = −√25 − 𝑥2
 
 
𝑣 = 2𝜋∫ (𝑐 − 𝑥)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
𝑣 = 2𝜋∫ (6 − 𝑥) [√25 − 𝑥2 +√25 − 𝑥2] 𝑑𝑥
5
4
 
𝑣 = 2𝜋∫ (6 − 𝑥) [2√25 − 𝑥2] 𝑑𝑥
5
4
 
 
 
 
 
𝑣 = 4𝜋∫ (6 − 𝑥) [√25 − 𝑥2] 𝑑𝑥
5
4
 
 
𝑣 = 4𝜋 [6∫ [√25 − 𝑥2] 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 [√25 − 𝑥2]
5
4
𝑑𝑥
5
4
] 
 
𝑣 = 4𝜋 [(6(
𝑥
2
√25 − 𝑥2 +
25
2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
5
)) +
1
3
(25 − 𝑥2)
3
2)]
5
.
4
] 
 
𝑣 = 4𝜋 (
75𝜋
2
− 45 − 75𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(
4
5
)) 𝑢3 
 
𝑣 = 40,9988 𝑢3 
 
 
 
 
 
13) y = √𝑥2 − 3, 𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑦 = 0; 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = −1 
 
solución: 
 
 
𝑦2 = 𝑥2 − 3 
 
𝑦2 + 3 = 𝑥2 
 
𝑥2 = 𝑦2 + 3 
 
𝑥 = ±√𝑦2 + 3 
 
𝑥 = √𝑦2 + 3 
𝑓(𝑦) = √𝑦2 + 3 
 
 
𝑦 = 𝑥 − 1 
 
𝑦 + 1 = 𝑥 
 
𝑥 = 𝑦 + 1 
 
𝑔(𝑦) = 𝑦 + 1 
puntos de intersección: (1,0); (2,1) 
𝑣 = 2𝜋∫ (𝑦 − 𝑘)[𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
𝑣 = 2𝜋∫ (𝑦 + 1) [√𝑦2 + 3 − (𝑦 + 1)] 𝑑𝑦
1
0
 
 
𝑣 = 2𝜋∫ [𝑦√𝑦2 + 3 − 𝑦2 − 2𝑦 + √𝑦2 + 3 − 1)] 𝑑𝑦
1
0
 
 
𝑣 = 2𝜋(
(𝑦2 + 3)
3
2
3
−
𝑦3
3
− 𝑦2 +
𝑦
2
√𝑦2 + 3 +
3
2
𝑙𝑛 |𝑦 + √𝑦2 + 3| − 𝑦)]
1
.
0
 
 
𝑣 = 2𝜋 (
4
3
− √3 +
3
4
ln (3)) 𝑢3 
 
 
15) 
24 , 0; 2y x y eje x     
 
Solución: 
 
 
𝑦 = 4 − 𝑥2 
 
𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 
 
 
𝑦 = 0 
 
𝑔(𝑥) = 0 
Puntos de intersección: (−2, 0); (2, 0) 
 
 
𝑣 = 2𝜋∫ (𝑥 − 𝑐)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
𝑣 = 2𝜋∫ (𝑥 + 2)[4 − 𝑥2 − 0]𝑑𝑥
2
−2
 
 
𝑣 = 4𝜋∫ (−𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 + 8)𝑑𝑥
2
0
 
 
𝑣 = 4𝜋 (−
𝑥4
4
−
2
3
𝑥3 + 2𝑥2 + 8𝑥)]
2
.
0
 
 
 
𝑣 =
176
3
𝜋 𝑢3