Resolução de Equações Quadráticas

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Sección	8.1	 	 Solución	de	ecuaciones	cuadráticas	completando	el	cuadrado	 499
Por lo general, las ecuaciones cuadráticas que no pueden resolverse con facilidad 
por medio de factorización se resolverán mediante la fórmula cuadrática, la cual presen­
tamos en la próxima sección.
EJEMPLO  8  Interés	compuesto La fórmula del interés compuesto A = p a1 +
r
n
b
nt
puede utilizarse para determinar el monto, A, cuando un capital inicial, P, se invierte 
a una tasa de interés anual, r, capitalizable n veces en un año durante t años.
	 a) Josh Adams inicialmente invirtió $1000 en una cuenta de ahorros cuyo interés 
compuesto se paga anualmente (una vez al año). Si después de dos años el mon­
to, o saldo, en la cuenta es de $1102.50, determina la tasa de interés anual r.
	 b) Trisha McDowel inicialmente invirtió $1000 en una cuenta de ahorros cuyo in­
terés compuesto se paga trimestralmente (cuatro veces por año). Si después de 3 
años el monto en la cuenta es de $1195.62, determina la tasa de interés anual, r.
Solución
	 a) Entiende Tenemos la información siguiente:
p 5 $1000, A 5 $1102.50, n 5 1, t 5 2
Se nos pide determinar la tasa de interés anual, r. Para hacerlo, sustituimos los 
valores apropiados en la fórmula y resolvemos para r.
Traduce
1102.50 = 1000 a1 +
r
1
b
11 22
 A = p a1 +
r
n
b
nt
	Realiza	los	cálculos 05.2011 = 1000 11 + r2 2 Divide ambos lados entre 1000.
 05201.1 = 11 + r2 2 Propiedad de la raíz cuadrada
 �!1.10250 = 1 + r 
Solo utilizaremos la raíz cuadrada 
positiva dado que r debe ser positiva.
 Resta 1 en ambos lados.
 50.0 = r
50.1 = 1 + r
Responde La tasa de interés anual es 0.05 o 5%.
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Podemos verificar las soluciones reales para una ecuación cuadrática utilizando una calculadora graficadora. Recuerda que la 
intersección de una función con el eje x ocurre cuando y 5 0. De este modo, para verificar las soluciones de la ecuación en el 
ejemplo 7, 24x2 1 8x 1 32 5 0, observaremos la intersección con x de la función y 5 24x2 1 8x 1 32.
La figura de arriba confirma que la solución para 24x2 1 8x 1 32 5 0 son 22 y 4. Recuerda que las intersecciones con el eje x 
solo representan soluciones reales para una ecuación. De este modo, no podemos utilizar una calculadora graficadora para verifi­
car las soluciones para la ecuación en el ejemplo 6, dado que las soluciones son números complejos.
500	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
	 b)	Entiende Tenemos
p 5 1000, A 5 $1195.62, n 5 4, t 5 3
Para determinar r, sustituimos los valores apropiados en la fórmula y resolvemos 
para r.
Traduce 
 1195.62 = 1000a1 +
r
4
b
41 32
 A = p a1 +
r
n
b
nt
 
Realiza	los	cálculos
 
Divide ambos lados entre 1000.
Saca la raíz 12 a en ambos lados 
(o eleva ambos lados a la potencia 
1>12).
Aproxima 1.195621>12 en una 
calculadora.
Resta 1 en ambos lados.
Multiplica ambos lados por 4.
510.1 L 1 +
r
4
"12
1.19562 = 1 +
r
4
26591.1 = a1 +
r
4
b
12
60.0 L r
510.0 L
r
4
Responde La tasa de interés anual es aproximadamente 0.06 o 6%.
Resuelve ahora el ejercicio 103
CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.1 
Ejercicios de práctica 
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
recíproco imaginario cuadrática propiedad de la raíz cuadrada trinomio cuadrado perfecto 
2
3 
3
2
25 10 100 mitad complejo binomio
	 1. Una ecuación es una ecuación de la forma 
ax2 1 bx 1 c 5 0, donde a, b y c son números reales y a  0.
	 2. La raíz cuadrada de un número negativo es un número 
.
	 3. Un número de la forma a 1 bi es un número .
	 4. Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que puede 
expresarse como el cuadrado de un .
	 5. Para resolver una ecuación cuadrática completando el cua­
drado, sumamos una constante en ambos lados de la ecuación, 
por lo que el trinomio resultante es un .
	 6. Una vez que un lado de una ecuación cuadrática es reescrito 
como un trinomio cuadrado perfecto, la ecuación puede re­
solverse utilizando la .
	 7. Cuando una ecuación cuadrática tiene un coeficiente principal 
que no es 1, puedes multiplicar cada término en ambos lados 
de la ecuación por el del coeficiente principal.
	 8. En un trinomio cuadrado perfecto con un coeficiente 
principal de 1, el término constante es el cuadrado de la 
 del coeficiente del término de primer grado.
	 9. Para resolver la ecuación cuadrática x2 2 10x 5 24 com­
pletando el cuadrado, deberás sumar en 
ambos lados de la ecuación.
	 10. Para obtener una ecuación equivalente con un coeficiente 
principal de 1, debes multiplicar ambos lados de la ecuación 
2
3
x2 + 3x - 5 = 0
 
 por .
Consejo útil
Consejo de estudio
En este capítulo, trabajaras con raíces y radicales. Este material se estudió en el capítulo 7. Si 
no recuerdas cómo evaluar o simplificar radicales, repasa el capítulo 7 ahora.
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	del	capítulo	7	que
!n a = a1>n.
Por	lo	tanto,	para	el	ejemplo	8,
"12
1.19562 = 1.195621>12
	 Sección	8.1	 	 Solución	de	ecuaciones	cuadráticas	completando	el	cuadrado	 501
.21.11 13.
.61.51.41
.91.81.71
.12.02 22.
23. .52.42
.82.72.62
.13.03.92
.43.33.23
.63.53
.93.83.73
40. .24.14
43. .54.44
.84.74.64
49. .15.05
52. 53. 54.
.75.65.55
.06.95.85
61. .36.26
.66.56.46
67. .96.86
70. .27.17
.47.37 75.
.87.77.67
.18.08.97
.48.38.28 x2 + 2x = -5-3x2 + 6x = 6
5
2
x2 +
3
2
x -
5
4
= 0
2x2 - x = -5
3
4
c2 - 2c + 1 = 0
3
4
w 2 +
1
2
w -
1
4
= 0
2
3
x2 +
4
3
x + 1 = 02x2 + 18x + 4 = 03x2 + 33x + 72 = 0
2x2 = 8x + 642x2 + 6x = 20-
1
2
p2 - p +
3
2
= 0
x2 =
9
2
x36z2 - 6z = 0
1
3
a2 -
5
3
a = 0
-
3
4
b2 -
1
2
b = 04y2 + 12y = 09x2 - 9x = 0
z2 - 5z + 7 = 0x2 + 3x + 6 = 0p2 - 5p = 4
c2 - c - 3 = 0a2 + 4a - 8 = 0r2 + 8r + 5 = 0
x2 - 6x + 2 = 0x2 - 4x - 10 = 0-x2 + 40 = -3x
x2 + 10x = 11-x2 = 6x - 27b2 = 3b + 28
-z2 - 4z + 12 = 0-z2 + 9z - 20 = 0-a2 - 5a + 14 = 0
-x2 + 6x + 7 = 0x2 + x - 12 = 0x2 - 13x + 40 = 0
4a2 + 9a = 92z2 - 7z - 4 = 03c2 - 4c - 4 = 0
2x2 + x - 1 = 0x2 + 9x + 18 = 0x2 - 7x + 6 = 0
x2 - 6x + 8 = 0x2 + 6x + 8 = 0x2 - 8x + 15 = 0
x2 + 8x + 15 = 0x2 - 2x - 3 = 0x2 + 6x + 5 = 0
a3x -
1
4
b
2
=
9
25
a2y +
1
2
b
2
=
4
25
1 4y + 12 2 = 121 2a - 52 2 = 18ax +
1
2
b
2
=
16
9
1 x + 0.82 2 = 0.811 x - 0.22 2 = 0.64ab -
2
3
b
2
+
4
9
= 0
ab -
1
3
b
2
=
4
9
ab +
1
3
b
2
=
4
9
1 a + 22 2 + 45 = 0
1 a - 22 2 + 45 = 01 a - 32 2 = 451 x + 32 2 + 25 = 0
1 x + 32 2 = 491 p - 42 2 = 161 x - 32 2 = 49
y2 + 10 = -51y2 - 10 = 51x2 + 24 = 0
x2 - 24 = 0x2 + 49 = 0x2 - 49 = 0
x2 - 25 = 0x2 = 100x2 = 81
Practica tus habilidades
Para los ejercicios 11-36, utiliza la propiedad de la raíz cuadrada para resolver cada ecuación.
Resuelve cada ecuación completando el cuadrado.
Resolución de problemas
Área En los ejercicios 85-88, se da el área, A, de cada rectángulo. a) Escribe una ecuación para determinar el área. b) Resuelve la ecua-
ción para x.
	 89.	Distancia	necesaria	para	detenerse	en	la	nieve La fórmu­
la para calcular la distancia de frenado, d, en pies, para 
un automóvil específico sobre una superficie con nieve es 
d =
1
6
x2, donde x es la velocidad del automóvil, en millas 
por hora, antes de que se apliquen los frenos. Si la distancia 
necesaria para detener un automóvil fue de 24 pies, ¿cuál 
era la velocidad del automóvil antes de que se aplicaran los 
frenos?
85. 86. 87. 88.
x 3
x 1
A 23x 2
x 4
A 18
x 3
x 5
A 35
x 2
x 2
A 21
502	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
	90.	 Distancia	 necesaria	 para	 detenerse	 en	 el	 pavimento	 seco	
La fórmula para calcular la distancia de frenado, d, en pies, 
para un automóvil específico sobre una superficie de pavi­
mento seco es d =
1
10
 x2, donde x es la velocidad del automó­
vil, en millas por hora, antes de que se apliquen los frenos. Si 
la distancia de frenado fue de 90 pies, ¿cuál era la velocidad 
del automóvil antes de que se aplicaran los frenos?
	91.	 Enteros El producto de dos números enteros imparespo­
sitivos consecutivos es 35. Determina los dos números ente­
ros impares.
	92.	 Enteros El mayor de dos números enteros es 2 veces ma­
yor que el doble del más pequeño. Si el producto de ambos 
enteros es 12, determina ambos números.
 93.	 Jardín	 rectangular Donna Simm delimitó un área de su 
jardín para destinarla a plantar tomates. Determina las di­
mensiones del área rectangular, si el largo es 2 pies mayor 
que el doble del ancho y el área mide 60 pies cuadrados.
	94.	 Entrada	de	cochera Manuel Cortez planea asfaltar la en­
trada de su cochera. Determina las dimensiones del camino 
rectangular, si su área es de 381.25 pies cuadrados y el largo 
es 18 pies mayor que su ancho.
	95.	 Patio Bill Justice diseña un patio cuadrado, cuya diagonal 
es 6 pies mayor que el largo de un lado. Determina las di­
mensiones del patio.
	96.	 Piscina	para	niños El hotel Lakeside planea construir una 
piscina poco profunda para niños. Si la piscina será un cua­
drado cuya diagonal mide 7 pies más que un lado, determi­
na las dimensiones de la piscina.
	97.	 Triángulo	inscrito Cuando se inscribe un triángulo en un se­
micírculo, donde el diámetro del círculo es un lado del trián­
gulo, éste siempre es un triángulo rectángulo. Si un triángulo 
isósceles (dos lados iguales) se inscribe en un semicírculo con 
radio de 10 pulgadas, determina la longitud de los otros dos 
lados del triángulo.
10 pulg.
	 98.	 Triángulo	inscrito Consulta el ejercicio 97. Supón que un 
triángulo está inscrito en un semicírculo, cuyo diámetro es 
de 12 metros. Si un lado del triángulo inscrito es de 6 me­
tros, determina cuánto mide el tercer lado.
 99.	 Área	de	un	círculo El área de un círculo es 24p pies cuadra­
dos. Utiliza la fórmula A 5 pr2 para determinar el radio del 
círculo.
	100.	 Área	de	un	círculo El área de un círculo es 16.4p metros 
cuadrados. Determina el radio del círculo.
Para responder los ejercicios 101-104, utiliza la fórmula
A = p a1 +
r
n
b
nt
.
	101.	 Cuenta	de	ahorros Frank Dipalo invirtió inicialmente $500 
en una cuenta de ahorros cuyo interés se capitaliza anual­
mente. Si después de 2 años el saldo de la cuenta es de 
$540.80, determina la tasa de interés anual.
	102.	 Cuenta	 de	 ahorros Margret Chang invirtió inicialmente 
$1500 en una cuenta de ahorros cuyo interés se capitaliza 
cada año. Si después de 3 años el saldo de la cuenta es de 
$1687.30, determina la tasa de interés anual.
	103.	 Cuenta	de	ahorros Steve Rodi invirtió inicialmente $1200 
en una cuenta de ahorros cuyo interés se capitaliza semes­
tralmente. Si después de 3 años el saldo de la cuenta es de 
$1432.86, determina la tasa de interés anual.
	104.	 Cuenta	 de	 ahorros Ángela Reyes invirtió inicialmente 
$1500 en una cuenta de ahorros cuyo interés se capitaliza 
cada semestre. Si después de 4 años el saldo de la cuenta es 
de $2052.85, determina la tasa de interés anual.
	105.	 Volumen	y	área	de	la	superficie El área de la superficie, 
S, y el volumen, V, de un cilindro circular recto de radio, r, 
y altura, h, están dados por las fórmulas
h
r
 S 5 2pr2 1 2prh, V 5 pr2h
	 a)	 Determina el área de la superficie del cilindro, si su altura 
es de 10 pulgadas y su volumen es de 160 pulgadas cúbicas.
	 b)	 Determina el radio si la altura es de 10 pulgadas y el 
volumen es de 160 pulgadas cúbicas.
	 c)	 Determina el radio si la altura es de 10 pulgadas y el 
área de la superficie es de 160 pulgadas cuadradas.
Actividad de grupo
Comenten y respondan en grupo el ejercicio 106.
	106.	 En la cuadrícula siguiente se señalan los puntos (x1, y1), 
(x2, y2) y (x1, y2).
x
y
d
x2x1
y2
y1
(x1, y2) (x2, y2)
(x1, y1)
A
B C
 a) Explica por qué el punto (x1, y2) se colocó donde está y 
no en algún otro lugar de la gráfica.
 b) Expresa la longitud de la línea punteada en color ne­
gro en términos de y2 y y1. Explica cómo determinaste tu 
respuesta.
 c) Expresa la longitud de la línea punteada en color gris en 
términos de x2 y x1.
 d) Mediante el teorema de Pitágoras y el triángulo rec­
tángulo ABC, deduce una fórmula para determinar la 
distancia, d, entre los puntos (x1, y1) y (x2, y2).* Explica 
cómo determinaste la fórmula.
 e) Utiliza la fórmula que determinaste en el inciso d) para 
calcular la distancia del segmento de recta entre los 
puntos (1, 4) y (3, 7).
*La fórmula para calcular la distancia se estudiará en un capítulo posterior.