Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-25

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Sección	8.2	 	 Solución	de	ecuaciones	cuadráticas	mediante	la	fórmula	cuadrática	 503
Ejercicios de repaso acumulados
	[2.1] 107.	 Resuelve 24(2z 2 6) 5 23(z 24) 1 z.
	[2.4] 108.	 	Inversión Thea Prettyman invirtió $10,000 durante 
un año, parte a 7% y parte a 6
1
4
%. Si ganó un interés 
total de $656.50, ¿qué cantidad invirtió en cada tasa?
	[2.6] 109.	 Resuelve ƒx + 3 ƒ = ƒ2x - 7 ƒ .
	[3.4] 110. Determina la pendiente de la recta que pasa por 
(22, 5) y (0, 5).
	[5.2] 111. Multiplica (x 2 2)(4x2 1 9x 2	3).
8.2 Solución de ecuaciones cuadráticas 
mediante la fórmula cuadrática
	1 	 Deducir	la	fórmula	
cuadrática.
	2 	 Utilizar	la	fórmula	
cuadrática	para	resolver		
ecuaciones.
	3 	 Determinar	una	ecuación	
cuadrática	dadas	sus	
soluciones.
	4 	 Utilizar	el	discriminante	
para	determinar	el	
número	de	soluciones	
reales	para	una	ecuación	
cuadrática.
	5 	 Estudiar	problemas	de	
aplicación	que	utilicen	
ecuaciones	cuadráticas.
	1 	Deducir	la	fórmula	cuadrática
La fórmula cuadrática puede utilizarse para resolver cualquier ecuación cuadrática. Es el 
método más útil y versátil para resolver ecuaciones cuadráticas.
La forma general de una ecuación cuadrática es ax2 1 bx 1 c 5 0, donde a es el 
coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término de primer grado y 
c es la constante.
Ecuación	cuadrática	en	forma	general Valores	de	los	coeficientes
Podemos deducir la fórmula cuadrática empezando con una ecuación cuadrática en 
la forma general y completando el cuadrado, como se explicó en la sección anterior.
Comprendiendo 
el álgebra
Aunque	cualquier	ecuación	
cuadrática	se	puede	resolver	
completando	el	cuadrado,	ge-
neralmente	preferimos	utilizar	
la	fórmula	cuadrática	porque	
es	más	fácil	y	más	eficiente.	
Sin	embargo,	completar	el	
cuadrado	es	una	herramienta	
útil	que	puedes	usar	en	otras	
áreas	del	algebra,	incluyendo	
el	estudio	de	las	secciones	
cónicas	en	el	capítulo	10.
x2 - 3x + 4 = 0 a = 1, b = -3, c = 4
1.3x2 - 7.9 = 0 a = 1.3, b = 0, c = -7.9
-
5
6
x2 +
3
8
x = 0 a = -
5
6
, b =
3
8
, c = 0
x2 +
b
a
x +
b2
4a2
= -
c
a
+
b2
4a2
x2 +
b
a
x = -
c
a
ax2
a
+
b
a
x +
c
a
= 0
ax2 + bx + c = 0
x =
-b ; "b2 - 4ac
2a
x = -
b
2a
�
"b2 - 4ac
2a
x +
b
2a
= �
"b2 - 4ac
2a
x +
b
2a
= �Ä
b2 - 4ac
4a2
ax +
b
2a
b
2
=
b2 - 4ac
4a2
ax +
b
2a
b
2
=
b2
4a2
-
c
a
Divide ambos lados entre a.
Resta c>a , en ambos lados.
Toma 1>2 de b>a (esto es, b>2a) y elévalo 
al cuadrado para obtener b2>4a2. Luego 
suma esta expresión en ambos lados.
Reescribe el lado izquierdo de la ecua­
ción como el cuadrado de un binomio.
Escribe el lado derecho con un 
denominador común.
Propiedad de la raíz cuadrada
Regla del cociente para radicales
Resta b>2a en ambos lados.
Escribe con un denominador común 
para obtener la fórmula cuadrática.
504	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
	2 	Utilizar	la	fórmula	cuadrática	para	resolver	ecuaciones
Ahora que ya sabemos cómo deducir la fórmula cuadrática, la utilizaremos para resolver 
ecuaciones.
EJEMPLO  1   Resuelve la ecuación x2 1 2x 2 8 5 0 mediante el uso de la fórmula 
cuadrática.
Solución    En esta ecuación a 5 1, b 5 2 y c 5 28.
 x =
4
2
= 2 x =
-8
2
= -4
 x =
-2 + 6
2
 o x =
-2 - 6
2
 =
-2 � 6
2
 =
-2 � !36
2
 =
-2 � !4 + 32
2
 x =
-2 � "22 - 41 12 1 -82
21 12
 x =
-b � "b2 - 4ac
2a
Una verificación mostrará que tanto 2 como 24 son soluciones de la ecuación. Ob­
serva que las soluciones de la ecuación x2 1 2x 2 8 5 0 son dos números reales.
Resuelve ahora el ejercicio 23
	 1. Escribe la ecuación cuadrática en la forma general, ax2 1 bx 1 c 5 0, y determina los 
valores numéricos de a, b y c.
	 2. Sustituye los valores para a, b y c dentro de la fórmula cuadrática y posteriormente 
evalúa la fórmula para obtener la solución.
La	fórmula	cuadrática
x =
-b � "b2 - 4ac
2a
Para resolver una ecuación cuadrática mediante la fórmula cuadrática
Consejo útil
La solución para el ejemplo 1 también pudo obtenerse mediante factorización, como sigue:
 x = -4 x = 2
 x + 4 = 0 o x - 2 = 0
 1 x + 42 1 x - 22 = 0
 x2 + 2x - 8 = 0
Cuando tienes una ecuación cuadrática para resolver y el método para resolverla no ha sido 
especificado, podrías intentar resolverla primero mediante factorización (como se estudió en 
la sección 5.8). Si la ecuación no se puede factorizar fácilmente, utiliza la fórmula cuadrática.
EJEMPLO  2  Resuelve 29x2 5 26x 1 1 mediante la fórmula cuadrática.
Solución    Comienza sumando 9x2 en ambos lados de la ecuación para obtener
o 9x2 - 6x + 1 = 0
0 = 9x2 - 6x + 1
	 Sección	8.2	 	 Solución	de	ecuaciones	cuadráticas	mediante	la	fórmula	cuadrática	 505
=
6 ; !36 - 36
18
=
6 � !0
18
=
6
18
=
1
3
=
- 1 -62 ; "1 -62 2 - 41 92 1 12
21 92
x =
-b ; "b2 - 4ac
2a
a = 9, b = -6, c = 1
Observa que la solución de la ecuación 29x2 5 26x 1 1 es un solo valor, 
1
3
. Algunas 
ecuaciones cuadráticas tienen como solución un solo valor.
Resuelve ahora el ejercicio 39
EJEMPLO  3  Resuelve p2 +
1
3
p +
5
6
= 0 mediante la fórmula cuadrática.
Solución    Comienza por eliminar las fracciones de la ecuación multiplicando am­
bos lados de la ecuación por el mínimo común denominador, 6.
 6p2 + 2p + 5 = 0
 6 ap2 +
1
3
p +
5
6
b = 61 02
Ahora podemos utilizar la fórmula cuadrática con a 5 6, b 5 2 y c 5 5.
=
-1 � i!29
6
=
2
1 1 -1 � i!292
12
6
=
-2 � 2i!29
12
=
-2 � !-4 !29
12
=
-2 � !-116
12
=
-2 � "22 - 416 2 15 2
2 16 2
p =
-b � "b2 - 4ac
2a
Las soluciones son 
-1 + i!29
6
 y 
-1 - i!29
6
. Observa que ninguna solución es un 
número real, ambas soluciones son números complejos.
Resuelve ahora el ejercicio 53
Prevención de errores comunes
Todo el numerador de la fórmula cuadrática debe dividirse entre 2a.
CORRECTO
x =
-b ; "b2 - 4ac
2a
INCORRECTO
x =
-b
2a
; "b2 - 4ac
x = -b ;
"b2 - 4ac
2a
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	se	utiliza	la	fórmula	
cuadrática,	los	cálculos	son	
más	fáciles	si	el	coeficiente	
principal,	a,	es	un	entero	
positivo.	Por	consiguiente,	si	
resolvemos	la	ecuación
-x2 + 3x = 2,
podemos	sumar	x2	en	ambos	
lados	y	restar	3x	en	ambos	lados	
para	obtener	la	ecuación	
equivalente
o x2 - 3x + 2 = 0
0 = x2 - 3x + 2
506	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
EJEMPLO  4   Dada f (x) 5 2x2 1 4x, determina todos los valores reales de x para 
los que f (x) 5 5.
Solución Deseamos determinar todos los valores reales de x para los que 
2x2 1 4x 5 5
 =
-4 � "42 - 4 122 1 -52
2 122 =
-4 � !56
4
=
-4 � 2!14
4
 x =
-b � "b2 - 4ac
2a
2x2 + 4x - 5 = 0
∂
2x2 + 4x = 5
TT
f 1 x 2 = 5
Resta 5 en ambos lados.
Utiliza la fórmula cuadrática con a 5 2, b 5 4, c 5 25.
Luego factoriza el 2 en ambos términos del numerador y posteriormente divide entre 
el factor común.
*
x =
 2 
1 1 -2 � !142
 4 
2
=
-2 � !14
2
Por lo tanto, las soluciones son 
-2 + !14
2
 y 
-2 - !14
2
.
Observa que la expresión en el ejemplo 4, 2x2 1 4x 2 5, no es factorizable. Por 
lo tanto, el ejemplo 4 no podría resolverse mediante factorización.
Resuelve ahora el ejercicio 69
* Las soluciones serán proporcionadas en esta forma en la sección de respuestas.
Prevención de errores comunes
Algunos estudiantes aplican la fórmula cuadrática correctamente, pero al llegar al 
último paso cometen un error. A continuación se ilustran ambos procedimientos, el 
correcto e incorrecto para simplificar una respuesta.
Cuando ambos términos del numerador y el denominador tienen un factor 
común, ese factor común puede dividirse, como sigue:
CORRECTO
 
6 + 3!3
6
=
 3 
1 1 2 + !32
 6 
2
=
2 + !3
2
 
2 + 4!3
2
=
 2 
1
1 1 + 2!32
 2 
1
= 1 + 2!3
A continuación se presentan algunos errores comunes. Estúdialos con cuidado para 
no cometerlos. ¿Puedes explicar por qué cada uno de los procedimientos siguientes es 
incorrecto?
INCORRECTO
 
4 + 3!5
2
=
 4 
2
+ 3!5
 2 
1
 
3 + !6
2
=
3 + " 6 3
 2 
1
 
3 + 2!5
2
=
3 +  2 
1
 !5
 2 
1
 
2 + 3
2
=
 2 
1
+ 3
 2 
1
Observa que 
2 + 3
2
 se simplifica a 
52
. Sin embargo, 
3 + 2!5
2
, 
3 + !6
2
, y 
4 + 3!5
2
 no 
pueden simplificarse más.
Comprendiendo 
el álgebra
Si	los	coeficientes	numéricos	
de	una	ecuación	cuadrática	
tienen	un	factor	común,	
divide	cada	término	entre	el	
factor	común.	Por	ejemplo,	
para	la	ecuación		
3x2	5	12x	1	3	5	0,	primero	
divide	cada	término	por	el	
factor	común,	3,	y	simplifica:
 x2 + 4x + 1 = 0
 
3x2
3
+
12x
3
+
3
3
=
0
3
Esta	nueva	ecuación	es	
equivalente	a	la	ecuación	
original	y	más	fácil	de	
resolver.
	 Sección	8.2	 	 Solución	de	ecuaciones	cuadráticas	mediante	la	fórmula	cuadrática	 507
	3 	Determinar	una	ecuación	cuadrática	dadas	sus	soluciones
Si nos dan las soluciones de una ecuación, podemos encontrar la ecuación trabajando a la 
inversa. Este procedimiento se muestra en el ejemplo 5.
EJEMPLO  5  Determina una ecuación que tenga las siguientes soluciones:
	 a) 25 y 1 b) 3 1 2i y 3 2 2i
Solución
	 a) Si las soluciones son 25 y 1, escribimos
x2 + 4x - 5 = 0
x2 - x + 5x - 5 = 0
1 x + 52 1 x - 12 = 0
x + 5 = 0 x - 1 = 0
x = -5 o x = 1
Iguala las ecuaciones a 0.
Propiedad del factor cero.
Multiplica los factores.
Reduce términos semejantes.
Así, la ecuación es x2 1 4x 2 5 5 0. Muchas otras ecuaciones tienen soluciones 
25 y 1. De hecho, cualquier ecuación de la forma k(x2 1 4x 2 5) 5 0, donde k es 
una constante diferente de cero, tiene esas soluciones.
	 b)
x2 - 6x + 13 = 0
x2 - 6x + 9 - 41 -12 = 0
x2 - 6x + 9 - 4i2 = 0
x2 - 3x + 2xi - 3x - 2xi + 1 9 - 4i22 = 0
x�x - x1 3 - 2i2 - x1 3 + 2i2 + 1 3 + 2i2 1 3 - 2i2 = 0
 [ x - 1 3 + 2i2 ][x - 1 3 - 2i2 ] = 0
x - 1 3 + 2i2 = 0 x - 1 3 - 2i2 = 0
x = 3 + 2i o x = 3 - 2i
Iguala las ecuaciones a 0.
Propiedad del factor cero.
Multiplica.
Propiedad distributiva; multiplica.
Reduce términos semejantes.
Sustituye i2 5 21.
Simplifica.
La ecuación x2 2 6x 1 13 5 0 tiene las soluciones complejas 3 1 2i y 3 2 2i.
Resuelve ahora el ejercicio 75
En el ejemplo 5 a), la ecuación x2 1 4x 2 5 5 0 tiene como soluciones los números reales 
25 y 1. Las soluciones corresponden a las intersecciones con el eje x (25, 0) y (1, 0) de la 
gráfica de la función f (x) 5 x2 1 4x 2 5, como se muestra en la Figura	8.1.
En el ejemplo 5 b), la ecuación x2 2 6x 1 13 5 0 tiene solo soluciones complejas y no solu­
ciones con números reales. Por lo tanto, la gráfica de la función f (x) 5 x2 2 6x 1 13 no tiene 
intersecciones con el eje x, como se muestra en la Figura	8.2.
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	del	capítulo	3	que	
una	intersección	con	el	eje	x	
de	una	gráfica	es	un	punto	
(x,	0)	donde	un	gráfico	cruza	
el	eje	x.	Para	determinar	la	
intersección	de	un	gráfico	con	
el	eje	x,	establecemos	
y	5	0	o	el	conjunto	f (x)	5	0	y	
resolvemos	para	x.	Si	x	es	un	
número	real	entonces	el	pun-
to	(x,	0)	es	una	intersección	
con	el	eje	x.
10
9
8
7
6
2
3
1
2
1
4
5
2116 5 4 3 2
y
x
f(x) x2 4x 5
FIGURA 8.1
2
1
5
10
9
8
7
6
4
3
2
1
5 7 8643214 3 2 1
y
x
f (x) x2 6x 13
FIGURA 8.2
508	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
	4 	Utilizar	el	discriminante	para	determinar	el	número	
de	soluciones	reales	para	una	ecuación	cuadrática
El discriminante proporciona información para determinar el número y tipos de solucio­
nes de una ecuación cuadrática.
EJEMPLO  6
 a) Determina el discriminante de la ecuación x2 2 8x 1 16 5 0.
 b) ¿Cuántas soluciones numéricas reales tiene la ecuación dada?
 c) Utiliza la fórmula cuadrática para determinar la (s) solución (es).
Solución
a)
 = 64 - 64 = 0
 b2 - 4ac = 1 -82 2 - 41 12 1 162
a = 1, b = -8, c = 16
	 b) Como el discriminante es igual a 0, tiene una solución única numérica real.
c)
 =
- 1 -82 6 !0
21 12 =
8 6 0
2
=
8
2
= 4
 x =
-b 6"b2 - 4ac
2a
 La única solución es 4.
Resuelve ahora el ejercicio 9
El discriminante de una ecuación cuadrática es la expresión bajo el signo radical en la 
fórmula cuadrática.
Discriminante
b2 - 4ac¯˘˙
Discriminante
Para una ecuación cuadrática de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0, a  0:
Si b2 2 4ac  0, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones distintas numéricas reales.
Si b2 2 4ac 5 0, la ecuación cuadrática tiene una única solución numérica real.
Si b2 2 4ac  0, la ecuación cuadrática no tiene solución real.
Soluciones de una ecuación cuadrática
EJEMPLO  7  Sin proporcionar las soluciones, determina si las siguientes ecuacio­
nes tienen dos diferentes soluciones numéricas reales, una solución única numérica 
real o ninguna solución numérica real.
)c)b)a 4x2 - 12x = -9x2 - 5x - 3 = 02x2 - 4x + 6 = 0
Solución    Utilizamos el discriminante de la fórmula cuadrática para responder es­
tas preguntas.
	 a) b2 2 4ac 5 (24)2 2 4(2)(6) 5 16 2 48 5 232
Como el discriminante es negativo, esta ecuación no tiene soluciones numéricas 
reales.
	 b) b2 2 4ac 5 (25)2 24(1)(23) 5 25 1 12 5 37
Como el discriminante es positivo, esta ecuación tiene dos soluciones numéricas 
reales distintas.
	 c) Primero reescribe 4x2 2 12x 5 29 como 4x2 2 12x 1 9 5 0.
b2 2 4ac 5 (212)2 2 4(4)(9) 5 144 2 144 5 0
Como el discriminante es 0, esta ecuación tiene una sola solución numérica real.
Resuelve ahora el ejercicio 15
	 Sección	8.2	 	 Solución	de	ecuaciones	cuadráticas	mediante	la	fórmula	cuadrática	 509
El discriminante puede utilizarse para determinar el número de soluciones reales 
de una ecuación de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0. Como las intersecciones con el eje x de 
una función cuadrática, f (x) 5 ax2 1 bx 1 c, ocurren en donde f (x) 5 0, el discriminante 
también puede utilizarse para determinar el número de intersecciones con el eje x de una 
función cuadrática. La Figura	8.3 muestra la relación entre el discriminante y el número de 
intersecciones con el eje x para una función de la forma f (x) 5 ax2 1 bx 1 c.
Gráficas de f (x) 5 ax2 1 bx 1 c 
Si b2 2 4ac  0, f (x) tiene dos dis­
tintas intersecciones con el eje x.
Si b2 2 4ac 5 0, f (x) tiene una sola 
intersección con el eje x.
Si b2 2 4ac  0, f (x) no tiene 
intersecciones con el eje x.
y
x
y
x
o
y
x
y
x
o
y
x
y
x
o
(a) (b) (c)
FIguRA	 8.3
	5 	Estudiar	problemas	de	aplicación	que	utilicen	
ecuaciones	cuadráticas
Ahora veremos algunas aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas.
EJEMPLO  8  Teléfonos	celulares	 	 Mary Olson es propietaria de un negocio que 
vende teléfonos celulares. El ingreso, R(n), de la venta de teléfonos celulares se de­
termina multiplicando el número de teléfonos celulares por el precio por teléfono. 
Supón que el ingreso por la venta de n teléfonos celulares, n  50, es
R(n) 5 n (50 2 0.2n)
donde (50 2 0.2n) es el precio por el teléfono celular, en dólares.
	 a) Determina el ingreso cuando se venden 30 teléfonos celulares.
	 b) ¿Cuántos teléfonos celulares deben venderse para tener un ingreso de $480?
Solución
	 a) Para calcular el ingreso cuando se venden 30 teléfonos celulares, evaluamos la 
función de ingreso para n 5 30.
 R(n) 5 n (50 2 0.2n)
 R(30) 5 30[50 2 0.2(30)]
	 5 30(50 2 6)
	 5 30(44)
	 5 1320
El ingreso por la venta de 30 teléfonos celulares es de $1320.
	 b) Entiende Queremos determinar el número de teléfonos celulares que de­
ben venderse para tener un ingreso de $480. Por lo tanto, necesitamos hacer 
R(n) 5 480 y resolver para n.
 R(n) 5 n (50 2 0.2n)
 480 5 n(50 2 0.2n)
 480 5 50n 2 0.2n2
 0.2n2 2 50n 1 480 5 0
Ahora podemos utilizar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación.
510	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
25 pies
60 pies
FIguRA	 8.4	
Traduce
=
- 1 -502 ; "1 -502 2 - 410.2 2 1480 2
210.2 2
n =
-b ; "b2 - 4ac
2a
a = 0.2, b = -50, c = 480
Realiza	los	cálculos
n =
50 + 46
0.4
= 240 o n =
50 - 46
0.4
= 10
=
50 ; 46
0.4
=
50 ; !2116
0.4
=
50 ; !2500 - 384
0.4
Responde Como el problema especifica que n  50, la única solución aceptable 
es n 5 10. Por lo tanto, para obtener un ingreso de $480, Mary debe vender 10 
teléfonos celulares.
Resuelve ahora el ejercicio 87
Una ecuación importante en física relaciona la altura de un objeto con el tiempo 
después de que elobjeto se proyecta hacia arriba.
Antes de que utilicemos la ecuación, tomemos en cuenta algunas observaciones acerca de 
g, la aceleración de la gravedad.
 • Cuando medimos la altura de un objeto en pies, la aceleración de la gravedad en la 
Tierra es 232 pies/s2 o g 5 232.
 • Cuando medimos la altura de un objeto en metros, la aceleración de la gravedad 
en la Tierra es 29.8 m/s2 o g 5 29.8.
 • El valor de g será diferente en la Luna o en otro planeta que no sea la Tierra, pero 
todavía podemos utilizar la fórmula de movimiento de proyectiles.
EJEMPLO  9  Lanzamiento	de	una	pelota Betty Heller se encuentra en la parte 
superior de una edificio y lanza una pelota hacia arriba desde una altura inicial de 60 
pies, con una velocidad inicial de 30 pies por segundo. Utiliza la ecuación de movi­
miento de proyectiles para responder las siguientes preguntas.
	 a) A partir de que Betty lanza la pelota, ¿cuánto tiempo tardará la pelota en estar 
a 25 pies respecto del piso?
	 b)	 A partir de que Betty lanza la pelota, ¿cuánto tiempo tardará la pelota en gol­
pear el suelo?
	 c) ¿Cuál es la altura de la pelota después de 2 segundos?
Solución
	 a) Entiende El problema se ilustra en la Figura	 8.4. Se nos pide determinar el 
tiempo, t, que tarda la pelota en alcanzar la altura, h, de 25 pies. De este modo, 
tenemos los valores siguientes para sustituirlos en la ecuación de movimiento de 
proyectiles: h 5 25, g 5 232, v0 5 30 y h0 5 60.
Comprendiendo 
el álgebra
En	la	ecuación	del	
movimiento	de	un	proyectil,	
las	variables	v0	y	h0	tienen	
subíndices	de	0.	Subíndices	de	
0	por	lo	general	se	refieren	
al	valor	inicial	de	la	variable.	
Así,	v0	se	refiere	a	la	velocidad	
inicial	con	la	que	el	objeto	se	
proyecta	hacia	arriba,	y	h0	
se	refiere	a	la	altura	inicial	
desde	la	que	el	objeto	se	
proyecta.
La altura, h, de un objeto t segundos después de ser proyectado hacia arriba puede encon­
trarse al resolver la ecuación
h =
1
2
gt 2 + v0t + h0, donde
• g es la aceleración debido a la gravedad,
• v0 es la velocidad inicial del objeto, y
• h0 es la altura inicial a la que se encuentra el objeto.
Ecuación del movimiento de un proyectil