Sistemas de Ecuaciones y Aplicações

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Sección	10.4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	no	lineales	y	sus	aplicaciones	 665
 46. Pista de hielo Una pista de hielo rectangular tiene un área 
de 3000 pies cuadrados. Si la diagonal a través de la pista 
mide 85 pies, determina las dimensiones de la pista.
Plaza	Rockefeller,	ciudad	de	New	York
 47. Pedazo de madera Frank Samuelson, un carpintero, tiene 
un pedazo rectangular de triplay. La diagonal mide 34 pul­
gadas. Cuando corta la madera a lo largo de la diagonal, el 
perímetro de cada triángulo que se forma es de 80 pulgadas. 
Determina las dimensiones del pedazo original de madera.
 48. Velero Una vela de un velero tiene la forma de un triángulo 
rectángulo con un perímetro de 36 metros y una hipotenusa de 
15 metros. Determina la longitud de los catetos del triángulo.
 49. Béisbol y fútbol Paul Martin lanza un balón de fútbol hacia 
arriba desde el suelo. Su altura sobre el suelo en cualquier 
tiempo, t, se da por la fórmula d = 16t2 + 64t. Al mismo tiem­
po que lanza el balón, Shannon Ryan lanza una pelota de béis­ 
bol hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 80 
pies de alto. Su altura sobre el suelo en cualquier tiempo, t, se 
da por la fórmula d = 16t2 + 16t + 80. Determina el tiempo 
en el que las dos pelotas estarán a la misma altura del suelo.
 50. Pelota de tenis y bola de nieve Robert Snell lanza una pelota 
de tenis hacia abajo desde un helicóptero que vuela a una altura 
de 950 pies. La altura de la pelota sobre el suelo en cualquier 
tiempo, t, se determina por la fórmula d = 16t2  10t + 950. 
En el instante que lanza la bola del helicóptero, Ramón Sán­
chez lanza una bola de nieve hacia arriba desde la parte supe ­
rior de un edificio de 750 pies de alto. La altura sobre el suelo 
de la bola de nieve en cualquier tiempo, t, se determina por la 
fórmula d = 16t2 + 80t + 750. ¿En qué momento se cruzarán 
la pelota de tenis y la bola de nieve?
 51. Interés simple El interés simple se calcula usando la fórmula de 
interés simple, interés = capital × tasa × tiempo o i = prt. Si Sea­
na Hayden invierte cierto capital a una tasa de interés específi­
ca por un año, el interés que obtiene es de $7.50. Si incrementa 
el capital a $25 y la tasa de interés disminuye en 1%, el interés 
permanece igual. Determina el capital y la tasa de interés.
 52. Interés simple Si Claire Brooke invierte cierto capital a una 
tasa de interés específica por un año, el interés que obtiene 
es de $72. Si incrementa el capital a $120 y la tasa de interés 
disminuye en 2%, el interés se mantiene igual. Determina el 
capital y la tasa de interés. Usa i = prt.
Para las ecuaciones de costo e ingreso dadas, determina los puntos de equilibrio.
 53. C  10x  300, R  30x  0.1x2 54. C  0.6x2  9, R  12x  0.2x2
 55. C  12.6x  150, R  42.8x  0.3x2 56. C  80x  900, R  120x  0.2x2
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando tu calculadora graficadora. Redondea tus respuestas a la centésima más cercana.
 57. 3x  5y  12
 x2  y2  10
 58. y  2x2  x  2
 4x2  y2  36
Ejercicios de conceptos y escritura
 59. Desarrolla tu propio sistema de ecuaciones no lineales cuya 
solución sea el conjunto vacío. Explica cómo sabes que el 
sistema no tiene solución.
 60. Si un sistema de ecuaciones consiste en una elipse y una hi­
pérbola, ¿cuál es el máximo número de puntos de intersec­
ción? Ilustra lo anterior con un bosquejo.
 61. ¿Puede un sistema de ecuaciones no lineales tener exactamente 
una solución real? Si es así, da un ejemplo. Explica tu respuesta.
 62. ¿Puede un sistema de ecuaciones no lineales tener exacta­
mente dos soluciones reales? Si es así, da un ejemplo. Expli­
ca tu respuesta.
 63. ¿Puede un sistema de ecuaciones no lineales tener exacta­
mente tres soluciones reales? Si es así, da un ejemplo. Expli­
ca tu respuesta.
 64. ¿Puede un sistema de ecuaciones no lineales no tener solu­
ciones reales? Si es así, da un ejemplo. Explica tu respuesta.
Problemas de desafío
 65. Caminos que se intersectan La intersección de tres caminos 
forma un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura.
 66. En la figura que se muestra, R representa el radio de la cir­
cunferencia anaranjada más grande y r representa el radio 
de las circunferencias anaranjadas más pequeñas. Si R = 2r y 
si el área sombreada es de 122.5p, determina r y R.
r
R
r
 Si la hipotenusa mide 26 yardas y el área es de 120 yardas cua­
dradas, determina la longitud de los dos catetos del triángulo.
©
 W
iki
co
m
m
on
s 
666	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Ejercicios de repaso acumulados
[1.4] 67. Haz una lista del orden de operaciones que seguimos
 cuando evaluamos una expresión.
[5.6] 68. Factoriza 1x + 123 + 1.
[6.6] 69. x varía inversamente con el cuadrado de P. Si x = 10
 cuando P es 6, determina x cuando P = 20.
[7.5] 70. Simplifica 
5
1x + 2 - 3
.
[9.7] 71. Resuelve A = A0e
kt para k.
Resumen del capítulo 10
HECHoS y ConCEPtoS imPortantES EJEmPLoS
Sección 10.1
Las cuatro secciones cónicas son la parábola, la circunferencia, 
la elipse y la hipérbola, que se obtienen cortando un cono.
Circunferencia ElipseParábola Hipérbola
Las cuatro diferentes formas para ecuaciones de parábolas se 
resumen a continuación.
Parábola con vértice en (h, k)
 1. y = a(x  h)2 + k, a > 0 (se abre hacia arriba)
 2. y = a(x  h)2 + k, a < 0 (se abre hacia abajo)
 3. x = a(y  k)2 + h, a > 0 (se abre hacia la derecha)
 4. x = a(y  k)2 + h, a < 0 (se abre hacia la izquierda)
y � � (x � 2)2 � 3 x � 2 (y � 1)2 � 4
(2, 3)
(�4, �1)�3
�2
�1
3
2
y
x
�4
1
1
2 3 4�2�1
�3
�2
�1
3
2
y
x
�4
1
1
2 3 4 5 6�3�4 �2�1
Fórmula de la distancia
La distancia, d, entre cualesquiera dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) se 
puede determinar por la fórmula de la distancia:
d = 21x2 - x122 + 1y2 - y122
La distancia entre (1, 3) y (4, 15) es
d = 2[4 - 1-12]2 + 115 - 322 = 252 + 122 = 1169 = 13
Fórmula del punto medio
Dados dos puntos cualesquiera (x1, y1) y (x2, y2), el punto inter­
medio entre los puntos dados se puede determinar por la 
fórmula del punto medio:
punto medio = ¢x1 + x2
2
, 
y1 + y2
2
≤
El punto medio del segmento de recta que une (7, 6) y (11, 10) es
punto medio = a
7 + 1-112
2
, 
6 + 10
2
b = a -4
2
, 
16
2
b = 1-2, 82
Una circunferencia es un conjunto de puntos en un plano que 
están a la misma distancia, llamada radio, de un punto fijo, 
llamado centro.
Circunferencia con centro en el origen y radio r
x2 + y2 = r2
Dibuja la gráfica de x2 + y2 = 9.
La gráfica es una circunferencia con centro en (0, 0) y radio r = 3.
x2 � y2 � 9
�3
�2
�1
4
3
2
y
x
�4
1
1
2 3 4�3�4 �2�1
	 	 	 resumen	 667
Circunferencia con centro en (h, k) y radio r
1x - h22 + 1y - k22 = r2
Dibuja la gráfica de (x  3)2  (y  5)2  25.
La gráfica es una circunferencia con centro en (3, 5) y radio 
r  5.
(x � 3)2 � (y � 5)2 � 25
(3,�5)
�3
�2
�1
2
y
x
�4
�5
�6
�7
�8
�9
�10
�11
1
1
2 3 4 5 6 7 8�3�2�1
Sección 10.2
Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, cuya suma de 
las distancias desde dos puntos fijos (llamados focos) es una 
constante.
Elipse con centro en el origen
x2
a2 +
y2
b2 = 1
donde (a, 0) y (a, 0) son las intersecciones con el eje x y (0, b) 
y (0, b) son las intersecciones con el eje y.
y
b
�b
�a a
Eje
mayor
Centro
x
y
x�a
�b
b
a
Vértice
Vértice
Vértice
Vértice
Centro
Eje
mayor
Eje
menor
Eje
menor
Dibuja la gráfica de 
x2
25
+
y2
16
= 1.
La gráfica es una elipse. Como a  5, las intersecciones con el eje 
x son (5, 0) y (5, 0). Como b  4, las intersecciones con el eje 
y son (0, 4) y (0, 4).
x2
––
25
y2
––
16� � 1
�3
�2
�1
4
5
3
2
y
x
�4
�5
1
1
2 3 4 5�3�4�5 �2�1
Elipse con centro en (h, k)
1x - h22
a2 +
1y - k22
b2 = 1
Dibuja la gráfica de 
1x - 222
9
+
1y + 122
16
= 1.
La gráfica es una elipse con centro en (2, 1), donde a  3 y 
b  4.
�3
�2
�1
4
3
2
y
x
�4
�5
1
1
2 3 4 5 6�3�2�1
(2, �1)
(x � 2)2
9
(y � 1)2
16
� � 1
HECHoS y ConCEPtoS imPortantES EJEmPLoSSección 10.1 (cont.)
668	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
El área, A, de una elipse es A  pab. El área de la segunda elipse de la página 667 es
A = pab = p # 3 # 4 = 12p L 37.70 square units. unidades cuadradas.
Sección 10.3
Una hipérbola es un conjunto de puntos en un plano, cuya dife­
rencia de las distancias desde dos puntos fijos (llamados focos) 
es una constante.
Hipérbola con centro en el origen
x2
a2
y2
b2� � 1
Hipérbola
con eje transversal
sobre el eje x
a a
x
y
asíntotas
y =
b
a
 x y y = - 
b
a
 x
y2
b2
x2
a2� � 1
b
b
Hipérbola
con eje transversal
sobre el eje y
x
y
asíntotas
y =
b
a
 x y y = - 
b
a
 x
Determina las ecuaciones de las asíntotas y dibuja la gráfica de 
x2
4
-
y2
9
= 1.
La gráfica es una hipérbola con a  2 y b  3.
Las ecuaciones de las asíntotas son The equations for the asymptotes are and y =
3
2
 x y y = - 
3
2
 x.
�2
�1
4
5
6
7
8
2
y
x
�4
�5
�6
�7
�8
1
1
2 3 4 5 6�3�4�5�6 �2�1
x2
––
4
y2
––
9� � 1
�3
3
Determina las ecuaciones de las asíntotas y dibuja la gráfica de
 
Determine the equations of the asymptotes and sketch a graph 
y2
25
-
x2
16
= 1.
La gráfica es una hipérbola con a = 4 y b = 5. Las ecuaciones de
 las asíntotas son the asymptotes are and y =
5
4
 x y y = - 
5
4
 x.
y2
––
25
x2
––
16� � 1
�3
�2
�1
4
5
6
7
8
3
2
y
x
�4
�5
�6
�7
�8
1
1
2 3 5 6�3�5�6 �2�1 4�4
HECHoS y ConCEPtoS imPortantES EJEmPLoS
Sección 10.2 (cont.)
	 	 	 Ejercicios	de	repaso	del	capítulo	10	 669
HECHoS y ConCEPtoS imPortantES EJEmPLoS
Sección 10.4
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de ecuacio­
nes donde al menos una ecuación es no lineal. La solución de 
un sistema de ecuaciones no lineales es el punto o puntos que 
satisfacen todas las ecuaciones en el sistema.
Resuelve el sistema de ecuaciones.
 5x2 - y2 = -2
 x2 + y2 = 14
Resolveremos este sistema usando el método de la suma.
 x = ;12
 x2 = 2
 6x2 = 12
 5x2 - y2 = -2
 x2 + y2 = 14
Para obtener el valor(es) para y, usa la ecuación x2 + y2 = 14.
El sistema tiene cuatro soluciones: 
112, 2132, 112, -2132, 1-12, 2132, 1-12, -2132
 Ejercicios de repaso del capítulo 10
[10.1]	 	 Determina la longitud y el punto medio del segmento de recta entre cada par de puntos.
Grafica cada ecuación.
En los ejercicios 9-12 a) escribe la ecuación en la forma y = a(x – h)2 + k o x = a(y – k)2 + h. b) Grafica la ecuación.
En los ejercicios 13-18, a) escribe la ecuación de cada circunferencia en la forma general. b) Dibuja la gráfica.
 13. Centro (0, 0), radio 4 14. Centro (3, 4), radio 1
Grafica cada ecuación.
[[TCH10UTBL8]]x � 12 x � �12
 x2 + y2 = 14 x2 + y2 = 14
11222 + y2 = 14 1-1222 + y2 = 14
 2 + y2 = 14 2 + y2 = 14
 y2 = 12 y2 = 12
 y = ;112 y = ;112
 = ;213 = ;213
19. 20. y = -236 - x2y = 29 - x2
13. Center (0, 0), radius 4 a) 14. Center radius 1 15.
16. 17. 18. x2 + y2 - 4x + 10y + 17 = 0x2 - 8x + y2 - 10y + 40 = 0x2 + y2 - 2x + 6y + 1 = 0
x2 + y2 - 4y = 01-3, 42,x2 + y2 = 42
9. 10. 11. 12. y = 2x2 - 8x - 24x = y2 + 5y + 4x = -y2 - 5y - 4y = x2 - 8x + 22
5. 6. 7. 8. x = -21y - 422 + 4x = 1y - 122 + 4y = 1x + 322 - 2y = 1x - 222 + 1
1. (0, 0), 2. 3. 4. 1-4, 32, 1-2, 521-9, -52, 1-1, 1025; a - 
5
2
, 3b1-4, 12, 1-1, 5213; a5
2
, -6b15, -122
670	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Determina la ecuación de cada circunferencia.
 21. 
�4
�2
4
�3
2
1
41 2�4 3�3 �1
y
x
 22. y
x
�4
�7
�6
�5
�3
�2
�1
1
986541 2�1
[10.2]	 	 Grafica cada ecuación.
 30. Determina el área de la elipse del ejercicio 23.
[10.3]	 	 En los ejercicios 31-34, a) determina la ecuación de las asíntotas para cada ecuación, y b) traza la gráfica.
En los ejercicios 35-38, a) escribe cada ecuación en la forma general, b) determina las ecuaciones de las asíntotas, y c) traza la gráfica.
[10.1–10.3]	 	 Identifica la gráfica de cada ecuación como una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola.
[10.4]	 	 Determina todas las soluciones reales de cada sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.
Determina todas las soluciones reales de cada sistema de ecuaciones usando el método de la suma.
 55. Mesa de billar Jerry y Denise tienen una mesa de billar en su 
casa. La mesa tiene un área de 45 pies cuadrados y un perí­
metro de 28 pies. Determina las dimensiones de la mesa.
 56. Botellas de pegamento La compañía Dip and Dap tiene una 
ecuación de costos de C  20.3x  120 y una ecuación de 
ingresos de R  50.2x  0.2x2, donde x es el número de botel­
las de pegamento vendidas. Determina el número de botellas 
de pegamento que debe vender la compañía para alcanzar el 
punto de equilibrio.
 57. Cuenta de ahorros Si Kien Kempter invierte cierto capital 
a una tasa de interés específica por un año, el interés es de 
$120. Si incrementa el capital a $2,000 y se disminuye la tasa 
de interés en 1%, el interés se mantiene igual. Determina el 
capital y la tasa de interés. Usa i  prt.
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
.62.52.42.32
.92.82.72 161x - 222 + 41y + 322 = 16
1x - 422
9
+
1y + 322
25
= 1
1x - 322
16
+
1y + 222
4
= 1
25x2 + 4y2 = 1009x2 + 16y2 = 144
x2
81
+
y2
49
= 1
x2
4
+
y2
9
= 1
51. (6, 0) .45.35.25
2x2 + 5y2 = 42
3x2 + 4y2 = 35
25x2 + 4y2 = 100
x2 + y2 = 81
2x2 - y2 =
x2 + y2 = 16
1- 6, 02 x2 - y2 = 36
 x2 + y2 = 36
47. 1 2, 21221 2, 212212, 212212, 2122
.94.84.74 (3, 0) 50.
no real solution
x2 - 4y2 = 36
x2 + 2y2 =
a -  
9
5
, 
12
5
bx + 2y = 3
x2 + y2 = 9
a5
2
, 
3
2
bx + y = 4
x2 - y2 = 4
x2 - y2 = -4
2x2 + y2 = 16
39. hyperbola 40. ellipse 41. circle 42. hyperbola
43. ellipse 44. parabola 45. ellipse 46. parabolax = -y2 + 8y - 912x2 + 9y2 = 108y = 1x - 322 + 4
x2
18
+
y2
9
= 1
4x2 - 36y2 = 366x2 + 6y2 = 964x2 + 8y2 = 32
x2
49
-
y2
16
= 1
35. a) b) 36. a) b)
37. a) b) 38. a) b) y = ;
3
7
 x
y2
9
-
x2
49
= 149y2 - 9x2 = 441y = ;
5
3
 x
y2
25
-
x2
9
= 19y2 - 25x2 = 225
y = ;
5
8
x
y2
25
-
x2
64
= 164y2 - 25x2 = 1600y = ;
1
3
 x
x2
9
-
y2
1
= 1x2 - 9y2 = 9
31. a) 32. a) 33. a) 34. a) y = ;
5
4
  x
y2
25
-
x2
16
= 1y = ;
3
4
 x
y2
9
-
x2
16
= 1y = ;
5
3
 x
y2
25
-
x2
9
= 1y = ;
5
3
 x
x2
9
-
y2
25
= 1
	 	 	 Prueba	de	práctica	del	capítulo	10	 671
 Prueba de práctica del capítulo 10
Los videos de la prueba de práctica del capítulo proporcionan soluciones totalmente resueltas para cual-
quiera de los ejercicios que quieras repasar. Los videos de la prueba de práctica del capítulo están dis-
ponibles vía , o en (busca “Angel Intermediate Algebra” y da clic en “Channels”).
 1. ¿Por qué se les llama secciones cónicas a las parábolas, las 
circunferencias, las elipses y las hipérbolas?
 2. Determina la longitud del segmento de recta cuyos puntos 
extremos son (1,8) y (6,7).
 3. Determina el punto medio del segmento de recta cuyos pun­
tos extremos son (9,4) y (7,1).
 4. Determina el vértice de la gráfica de y  2(x  3)2  1 y 
después grafica la ecuación.
 5. Grafica x  y2  2y  4.
 6. Escribe la ecuación x  y2  4y  5 en la forma x  a(y  
k)2 + h y después traza la gráfica.
 7. Escribe la ecuación de una circunferencia con centro en (2,4) 
y radio 3 y después traza la gráfica de la circunferencia.
 8. Determina el área de la circunferencia cuya ecuación es 
(x  2)2  (y  8)2  9.
 9. Escribe la ecuación de la circunferencia que se muestra.
y
x
�4
�5
�3
�2
�1
3
2
6541 2
 10. Grafica y = -216 - x2 .
 11. Escribe la ecuación x2  y2  2x  6y  1  0 en la forma 
general y después traza la gráfica.
 12. Grafica 4x2  25y2  100.
 13. La siguiente gráfica, ¿es la gráfica de 
1x + 222
4
+
1y + 122
16
= 1?
 Explica tu respuesta.
y
x
�4
�2
�1
4
3
2
1�3�4�5 �1
(�2, �1)
 14. Grafica 4(x  4)2  36(y  2)2  36.
 15. Determina el centro de la elipse dado por la ecuación 
3(x  8)2  6(y  7)2  18.
 16. Explica cómo determinar si el eje transversal de una hipér­
bola está sobre el eje x o sobre el eje y.
 17. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas de la gráfica dex2
16
-
y2
49
= 1?
 18. Grafica 
y2
25
-
x2
1
= 1.
 19. Grafica 
x2
4
-
y2
9
= 1.
En los ejercicios 20 y 21, determina si la gráfica de la ecuación es 
una parábola, una circunferencia, una elipse o una hipérbola.
 
Resuelve cada sistema de ecuaciones
 24. Jardín de vegetales Tom Wilson tiene un jardín de vegetales 
rectangular en su granja, el cual tiene un área de 1,500 met­
ros cuadrados. Determina las dimensiones del jardín si el 
perímetro es de 160 metros.
 25. Plataforma de carga de un camión Gina Chang tiene un 
camión. La plataforma de carga rectangular del camión 
tiene un área de 60 pies cuadrados, y la diagonal a través de 
la plataforma mide 13 pies. Determina las dimensiones de la 
plataforma del camión.
 
22.
23.
no real solutionx2 + y2 = 4
x + y = 8
2x2 - 3y2 = -1
x2 + y2 = 7
20.
21. 25x2 + 4y2 = 100
4x2 - 15y2 = 30
672	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
 Prueba de repaso acumulada
Resuelve la siguiente prueba y verifica tus respuestas con las que se dan al final del libro. Repasa cualquier respuesta que hayas respondido 
incorrectamente. Después de la respuesta se indica la sección donde se cubrió el tema.
 1. Simplifica 19x2
 y521-3xy42.
 2. Resuelve 4x - 213x - 72 = 2x - 5.
 3. Determina el conjunto solución: 21x - 52 + 2x = 4x - 7.
 4. Determina el conjunto solución: ƒ3x + 1 ƒ 7 4.
 5. Grafica y = -2x + 2.
 6. Si f1x2 = x2 + 3x + 9, determina f1102.
 7. Resuelve el sistema de ecuaciones.
 
1
4
 x +
2
3
 y = 6
 
1
2
 x -
1
3
 y = 2
 8. Factoriza x4 - x2 - 42.
 9. Un letrero triangular tiene una altura de 6 pies menos que su 
base. Si el área del letrero es de 56 pies cuadrados, determina 
la longitud de la base y la altura del letrero.
WBNPT
MFPOFT
WFO[BO!B!MPT!UJHSFT
 10. Multiplica 
3x2 - x - 4
4x2 + 7x + 3
# 2x2 - 5x - 12
6x2 + x - 12
.
 11. Resta 
x
x + 3
-
x + 5
2x2 - 2x - 24
.
 12. Resuelve 
3
x + 3
+
5
x + 4
=
12x + 19
x2 + 7x + 12
.
 13. Simplifica ¢18x1>2
 y3
2x3>2 ≤ 1>2
.
 14. Simplifica 
61x
1x - y
.
 15. Resuelve 313 2x + 2 = 13 80x - 24.
 16. Resuelve 3x2 - 4x + 5 = 0 usando la fórmula cuadrática.
 17. Resuelve log 13x - 42 + log 4 = log 1x + 62.
 18. Resuelve 35 = 70e-0.3t.
 19. Grafica 9x2 + 4y2 = 36.
 20. Grafica 
y2
25
-
x2
16
= 1.