Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-36

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174	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Pendiente de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2)
Comprendiendo 
el álgebra
La	letra	griega	delta,	Δ,	es	
a	menudo	utilizada	para	
representar	la	frase	“el	cambio	
en.”	Así,	Δy	representa	“el	
cambio	en	y”	y	Δx	representa	
“el	cambio	en	x”	y	la	fórmula	
para	la	pendiente	se	puede	
dar	como
y
x
�4
�5
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
5431 2�3�4�5 �2�1
FiGura	 3.48
Comprendiendo 
el álgebra
	 •	 La	pendiente	de	cualquier	
línea	horizontal	es	cero.
	 •	 La	pendiente	de	cualquier	
línea	vertical	es	indefinida.
�2
�1
5
6
4
3
2
1
5 6421�2 �1
y
x
(3, 5)
(3, 2)
Pendiente indefinida.
x � 3
FiGura	 3.50
-  
7
3
.
-  
7
3
.
m =
y2 - y1
x2 - x1
=
3 - 1-42
-2 - 1
=
3 + 4
-3
= -
7
3
=
y2 - y1
x2 - x1
m =
¢y
¢x
=
y2 - y1
x2 - x1
m =
y2 - y1
x2 - x1
=
5 - 2
3 - 3
=
3
0
m = pendiente =
cambio vertical
cambio horizontal
=
elevación
desplazamiento
Consejo útil
No hay diferencia en cuáles de los dos puntos en la recta sean seleccionados cuando encon-
tramos la pendiente. Tampoco hace diferencia que un punto se elija como (x1, y1) o (x2, y2).
EJEMPLO  1  Encuentra la pendiente de la recta en la Figura 3.48.
Solución  Dos puntos en la recta son (2, 3) y (1, 4). Sea (x2, y2)= (2, 3) y 
(x1, y1) = (1, 4). Entonces
La pendiente de la recta es Observa que de ser (x1, y1)  (2, 3) y (x2, y2)  
(1, 4), la pendiente seguirá siendo Inténtalo y observa.
Resuelve ahora el ejercicio 35
Una recta que crece de izquierda a derecha (Figura 3.49a) tiene una pendiente po-
sitiva. Una recta que no crece ni decrece de izquierda a derecha (Figura 3.49b) tiene una 
pendiente cero. Una recta que decrece de izquierda a derecha (Figura 3.49c) tiene una pen-
diente negativa.
Considera la gráfica de x  3 (Figura 3.50) ¿Cuál es la pendiente? La gráfica es una 
línea vertical que pasa por los puntos (3, 2) y (3, 5). Por lo tanto, la pendiente de la recta es 
Como no podemos dividir entre 0, decimos entonces que la pendiente es indefinida. La 
pendiente de cualquier línea vertical es indefinida.
�4
�3
�2
�1
4
2
1
4321�4 �3 �2 �1 x
y
(c)
Pendiente negativa
�4
�3
�2
�1
4
3
1
4321�4 �3 �2 �1 x
y
Pendiente cero
(b)
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
4321�4 �3 �2 �1 x
y
(a)
Pendiente positiva
FiGura	 3.49
	 Sección	3.4	La	forma	pendiente-intersección	de	una	ecuación	lineal	 175
	
año
Deuda	pública	de	
	Estados	unidos		
(trillones	de	dólares)
1980 0.91
1984 1.57
1988 2.60
1992 4.06
1996 5.22
2000 5.67
2004 7.38
2008 9.67
Fuente: Departamento de Tesorería de 
Estados Unidos
Tr
ill
on
es
 d
e 
dó
la
re
s
2
0
1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008
Año
Deuda pública de Estados Unidos
4
6
8
10
12
FiGura	 3.51
 a) Determina la pendiente de los segmentos de recta entre el año 1996 y el año 2000 
y entre el año 2004 y el año 2008.
 b) Compara las dos pendientes encontradas en el inciso a) y explica el significado 
en términos de la deuda pública de Estados Unidos.
Solución a) Entiende Para encontrar la pendiente entre dos años cualesquiera, 
determina la razón de cambio en la deuda para el cambio en el tiempo.
Pendiente del año 1996 al año 2000
La deuda pública de Estados Unidos del año 1996 al año 2000 creció a una razón de 
$0.1125 trillones (o $112.5 billones) por año.
Pendiente del año 2004 al año 2008
La deuda pública de Estados Unidos del año 1996 al año 2000 crece a una razón de 
$0.1125 trillones (o $112.5 billones) por año.
 b) La pendiente mide una razón de cambio. Hubo un crecimiento mucho mayor 
(más de 5 veces) en la razón de cambio promedio en la deuda pública del año 
2004 al año 2008 que del año 1996 al año 2000.
Resuelve ahora el ejercicio 69
	3 	Reconocer	la	pendiente	como	una	razón	de	cambio
En algunas ocasiones es de ayuda describir la pendiente como una razón de cambio. Con-
sidera una pendiente de Esto significa que el valor de y crece 3 unidades por cada 4 
unidades que crece en x. De manera equivalente, podemos decir que el valor de y crece 
unidades, o 0.75 unidades, por cada unidad que crece en x. 
Cuando damos el cambio en y por unidad de cambio en x estamos expresando la pendiente 
como una razón de cambio. Cuando analicemos situaciones de la vida real o cuando cree-
mos modelos matemáticos, con frecuencia es útil analizar la pendiente como una razón de 
cambio. En estos modelos, la variable independiente por lo general es el tiempo.
EJEMPLO  2  Deuda pública La siguiente tabla y su correspondiente gráfica ilus-
tran la deuda pública de Estados Unidos en trillones de dólares de 1980 hasta 2008.
3
m =
9.67 - 7.38
2008 - 2000
=
2.29
4
= 0.5725
m =
5.67 - 5.22
2000 - 1996
=
0.45
4
= 0.1125
4
3
4
.
176	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
y =
1
2
x +
3
2
1
2
a0,
3
2
b
y =
1
2
x +
3
2
-2 =
-2
1
,
5
2
y
�;
=
5
2
x + 4
y =
5x
2
+
8
2
y =
5x + 8
2
	4 	Escribir	ecuaciones	lineales	en	la	forma	
pendiente-intersección
Una ecuación lineal escrita en la forma y  mx  b se dice que está en la forma pendiente-
intersección.
Forma pendiente-intersección
La forma pendiente-intersección de una ecuación lineal es 
y  mx  b 
Donde m es la pendiente de la recta y (0, b) es la intersección con y de la recta.
Ecuación Pendiente intersección con	y
y  3x  6 3 (0, 6) 
Comprendiendo 
el álgebra
Para	expresar	una	ecuación	
lineal	en	la	forma	pendiente-
intersección,	resuelve	la	ecua-
ción	para	y.
Ejemplos	de	ecuaciones	en	la	forma	pendiente-intersección
y  3x  6
Pendiente Intersección en y es (0, b)
y=mx+b
EJEMPLO  3  Determina la pendiente y la intersección con el eje y en la gráfica 
de la ecuación 5x + 2y = 8.
Solución  Escribe la ecuación en la forma pendiente-intersección resolviéndola para y.
5x  2y  8 
2y  5x  8 
 
La pendiente es la intersección en y es (0, 4).
Resuelve ahora el ejercicio 43
	5 	Graficar	ecuaciones	lineales	por	medio	de	la	pendiente	
y	la	intersección	con	el	eje	y
La forma pendiente-intersección de una recta es útil al dibujar la gráfica de una ecuación 
lineal, como se ilustra en el ejemplo 4.
EJEMPLO  4  Grafica 2y  4x  6 usando la intersección con y y la pendiente.
Solución  Comienza despejando y para obtener una ecuación en la forma pen-
diente-intersección.
2y  4x  6 
2y  4x  6 
 y  2x  3 
La pendiente es 2 y la intersección en y es (0, 3). Coloca un punto en 3 en el eje y 
(Figura 3.52). Como la pendiente es la razón de cambio vertical respecto 
del cambio horizontal debe ser 2 a 1. Por lo tanto, si comienzas en el punto (0, 3) y 
te desplazas 2 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha, obtendrás un segun-
do punto sobre la gráfica.
Continúa este proceso de mover 2 unidades hacia abajo y 1 unidad a la derecha 
para obtener el tercer punto. Ahora dibuja una recta que cruce los tres puntos para 
obtener la gráfica.
Resuelve ahora el ejercicio 45
�3
�2
�1
5
3
2
1
5432�3 �2 �1
y
x
2y � 4x � 6
Comienza 
en (0, 3)
FiGura	 3.52
	 Sección	3.4	La	forma	pendiente-intersección	de	una	ecuación	lineal	 177
En el ejemplo 4, escogimos desplazarnos hacia abajo y a la derecha para obtener el 
segundo y el tercer puntos. Ya que 2 además es igual a pudimos inclusive escoger 
desplazarnos hacia arriba y a la izquierda para obtener el segundo y tercer puntos.
EJEMPLO  5  Grafica usando la intersección con y y la pendiente.
Solución  Ya que ƒ(x) es lo mismo que y, esta función está en la forma pendiente-
intersección. La intersección con y es (0,3) y la pendiente es Coloca un punto en 
3 sobre el eje y. Entonces, como la pendiente es positiva, obtén el segundo y tercer 
puntos desplazándote 4 unidades hacia arriba y 3 unidades a la derecha. La gráfica se 
muestra en la Figura 3.53. 
Resuelve ahora el ejercicio 51
	6 	Usar	la	forma	pendiente-intersección	para	construir	
modelos	a	partir	de	gráficas
A menudo podemos utilizar la forma pendiente-intersección de una ecuación lineal para 
determinar la función que modele una situación de la vida real.EJEMPLO  6  Periódicos Considera la gráfica en color gris en la Figura 3.54, la 
cual muestra la disminución numérica de adultos que leen diariamente el periódico. 
Observa que la gráfica es de algún modo lineal. La línea azul punteada es una fun-
ción lineal, la cual se dibujó para aproximar la gráfica en color gris.
 a) Escribe una función lineal que represente la línea azul punteada.
 b) Suponiendo que esta tendencia continúa, usa la función determinada en el inciso 
a) para estimar el porcentaje de adultos que leerán un periódico en el año 2015.
x
�4
�3
�2
�1
6
5
4
3
2
1
7654
4
3
3
1 2�3�2�1
f(x) � x � 3
y
FiGura	 3.53
1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
80
50
40
70
60
Año
Po
rc
en
ta
je
Porcentaje de adultos en Estados Unidos que leen un periódico
Fuente: Análisis de Negocios y Mercado NAA
90
FiGura	 3.54
Solución
 a) Sea x = el número de años desde 1965. Entonces en el eje x podemos reemplazar 
el año 1965 con 0, 1966 con 1, 1967 con 2 y así sucesivamente. Por lo tanto, el año 
2004 sería 39 y el año 2005 sería 40 (ver Figura 3.55). Asignaremos y  porcentaje.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
80
50
40
70
60
Número de años desde 1965
Po
rc
en
ta
je
Porcentaje de adultos en Estados Unidos que leen un periódico
Fuente: Análisis de Negocios y Mercado NAA
90
y
x
FiGura	 3.55
f
4
3
.
1x2 =
4
3
 x - 3
2
-1
,
178	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Seleccionaremos dos puntos en la gráfica, los cuales nos permitirán calcular la 
pendiente de la gráfica. La intersección en y está en 80. Por lo tanto, un punto 
en la gráfica es (0, 80). En 2004, o año 39 en la Figura 3.55, parece que alrede-
dor de 55% de la población adulta lee diariamente el periódico. Seleccionemos 
(39, 55) como segundo punto.
Como la pendiente es aproximadamente 0.641 y la intersección con el eje y es 
(0, 80), la ecuación de la línea recta es y  0.641x  80. Para usar esta función 
recuerda que x  0 representa el año 1965, x  1 representa el año 1966 y así 
sucesivamente. Observa que f(x), el porcentaje, es una función de x, el número 
de años desde 1965.
 b) Para determinar el porcentaje aproximado de lectores en 2015, sustituimos 2015 
– 1965, o 50, por x en la función.
 f(x)  0.641x  80
f(50)  0.641(50) + 80
 32.05  80
 47.95
Por lo tanto, si la tendencia actual continúa, alrededor de 47.95% de los adultos 
leerán diariamente un periódico en 2015.
Resuelve ahora el ejercicio 73
CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.4 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
desplazamiento paralelas pendiente vertical horizontal elevación vertical recorrido horizontal
positiva negativa resuelve función forma estándar forma pendiente-intersección razón de cambio
 1. La es una medida de la inclinación de una recta.
 2. La gráfica de y = 2x + 3 es un de la gráfi-
ca de y = 2x.
 3. Una ecuación lineal escrita de la forma ax + by = c está en 
.
 4. Una ecuación lineal escrita de la forma y = mx + b está en 
.
 5. La pendiente por lo general es descrita como la 
 sobre el .
 6. Una recta que se eleva y va de izquierda a derecha tiene una 
pendiente .
 7. Una recta que baja y va de izquierda a derecha tiene una 
pendiente .
 8. Una recta tiene una pendiente cero.
 9. Una recta tiene una pendiente indefinida.
 10. Dos rectas que tienen la misma pendiente son rectas 
.
 11. Cuando escribimos el cambio en y por unidad de cam-
bio en x estamos definiendo la pendiente como una 
.
 12. Para escribir una ecuación en la forma pendiente-intersec-
ción, la ecuación para y.
Practica tus habilidades
Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los siguientes puntos. Si la pendiente de la recta es indefinida, indícalo.
 13. (3, 5) y (1, 9) 14. (3, 4) y (6, 5) 15. (5, 2) y (1, 4) 
 16. (3, 7) y (7, 3) 17. (3, 5) y (1, 1) 18. (2, 6) y (2, 3) 
 19. (4, 2) y (4, 6) 20. (8, 4) y (1, 2) 21. (3, 4) y (1, 4) 
 22. (2, 8) y (5, 8) 23. (0, 3) y (9, 3) 24. (0, 6) y (5, 3) 
Encuentra el valor de la variable si la línea a través de los dos puntos dados tiene la pendiente dada.
 25. (3, 2) y (4, j), m = 1 26. (4, 3) y (2, r), m = 3 27. (5, 0) y (1, k), m 
 28. (5, d) y (9, 2), m = 29. (x, 2) y (3, 4), m = 2 30. (2, 3) y (x, 5), m 
 31. (12, 4) y (r, 2), m 32. (4, 4) y (x, 1), m 
pendiente =
y2 - y1
x2 - x1
=
55 - 80
39 - 0
=
-25
39
L -0.641
= -  
3
5
= -  
1
2
=
1
2
= -
3
4
=
1
2
	 Sección	3.4	La	forma	pendiente-intersección	de	una	ecuación	lineal	 179
Encuentra la pendiente de la recta en cada figura. Si la pendiente de la recta es indefinida, indícalo. Después escribe una ecuación para la 
recta dada.
 33. y
x
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
431 2�3�4 �2�1
 34. y
x
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
431 2�3�4 �2�1
 
 35. 
x
�4
�3
�2
�1
4
3
1
765431 2�1
y 36. y
x
�4
�3
�2
�1
4
3
1
431 2�3�4 �1
 
 37. y
x
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
431 2�3�4 �1
 38. 
�4
�2
�1
4
2
�3
3
1
421�4 �2�3 �1
y
x
 
 39. y
x
�4
�3
�2
�1
4
2
1
431 2�3�4 �1�2
 40. 
�4
�1
4
2
�3
3
1
421�4 �2 3�3 �1
y
x
 
 41. y
x
�20
�10
10
2010�20 �10
 42. y
x
�20
�10
20
10
2010�10
 
Escribe cada ecuación en la forma pendiente-intersección (si no se da en esa forma). Determina la pendiente e identifica el valor en donde 
intersecta el eje y. Usa estos dos valores para elaborar la gráfica de la ecuación lineal.
 43. 44. 45. 
 46. 47. 48. 60x = -30y + 60-50x + 20y = 40-2x = 3y + 6
5x + 15y = 30-2x + y = 6y = -x + 2