Sistemas de Equações Lineares

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Sección	4.2	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	tres	variables	 235
p + 2q - r = 2
q - s = -2
2p + r + s = 9
3p + 4q = 11
2a - b + c + d = 2
a + 2b - d = -2
2a + 2c + d = 5
3a + 2b - c = 0
1
6
` 3x +
1
5
` = -5` 3x - 4
2
` + 1 6 7` 4 -
2x
3
` 7 5
Problemas de desafío
Encuentra la solución para los siguientes sistemas de ecuaciones.
 47. Si tres planos son como se ilustra en la figura, ¿cuántos pun-
tos tendrán en común? ¿El sistema es consistente o inconsis-
tente? Justifica tu respuesta.
I
II
III
 48. Si tres planos son como se ilustra en la figura, ¿cuántos pun-
tos tendrán en común? ¿El sistema es dependiente? Justifi-
ca tu respuesta.
I
II
III
 49. ¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales con tres 
variables
 a) no tenga solución?
 b) tenga una solución?
 c) tenga dos soluciones? Explica tus respuestas.
 50. En un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, si 
las gráficas de dos ecuaciones son planos paralelos, ¿es posi-
ble que el sistema sea
 a) consistente? b) dependiente?
 c) inconsistente? Justifica tus respuestas.
 51. 
 
 
 
 52. 
 
 
 
Ejercicios de repaso acumulados
[2.2] 53. Esquí a campo traviesa Margie Steiner comienza a es-
quiar por un sendero a 3 millas por hora. Diez minutos 
( de hora) después, su esposo, David, comienza a es-
quiar por el mismo sendero a 5 millas por hora.
 a) ¿Cuánto tiempo después de que David sale alcan-
zará a Margie?
 b) ¿A que distancia del punto de partida estarán 
cuando se reúnan?
[2.6] Determina cada conjunto solución
 54. 55. 56. 
	
4.3 Sistemas de ecuaciones lineales: 
 aplicaciones y resolución de problemas
	 1 	 Utilizar	sistemas	de	
ecuaciones	para	resolver	
aplicaciones.
	2 	 Utilizar	sistemas	lineales	
con	tres	variables	para	
resolver	aplicaciones.
	1 	Utilizar	sistemas	de	ecuaciones	para	resolver	aplicaciones
Muchas de las aplicaciones que se resolvieron en capítulos anteriores utilizando una sola 
variable pueden resolverse utilizando dos variables. Cada vez que utilizamos dos variables 
para resolver un problema de aplicación, debemos escribir un sistema de dos ecuaciones.
EJEMPLO  1  Área territorial de Carolina del Norte y Carolina del Sur El área 
territorial combinada de Carolina del Norte y Carolina del Sur es de 78,820 millas 
cuadradas. La diferencia entre el área territorial de los dos estados es de 18,602 mi-
llas cuadradas. Si Carolina del Norte tiene un área territorial mayor, determina el 
área territorial de cada estado.
236	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
Comprendiendo 
el álgebra
Siempre	que	se	utilicen	dos	
variables	para	resolver	un	pro-
blema	de	aplicación,	debemos	
determinar	dos	ecuaciones	
para	resolver	el	problema.
Carolina del Norte
Carolina del Sur
Realiza	los	cálculos	 Resolveremos este sistema de ecuaciones utilizando el método 
de suma.
 N  S  78,820 
 N  S  18,602 
 2N  97,422 Suma de las dos ecuaciones.
 N  48,711 Divididos ambos lados entre 2.
Por lo tanto, N  48,711. Para determinar el valor de S, sustituye 48,711 en la (ec. 1).
 N  S  78,820 
 48,711  S  78,820 
 S  30,109 Restado 48,711 en ambos lados.
Responde El área territorial de Carolina del Norte es de 48,711 millas cuadradas y 
el área territorial de Carolina del Sur es de 30,109 millas cuadradas.
Resuelve ahora el ejercicio 1
EJEMPLO  2  Velocidad de una canoa Los Burnhams viajan en canoa en el río 
Suwannee. Viajan a una velocidad promedio de 4.75 millas por hora cuando reman 
con la corriente y 2.25 millas por hora cuando reman en contra de la corriente. De-
termina la velocidad de la canoa en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente.
Solución Entiende Cuando viajan a favor de la corriente, la velocidad de la ca-
noa es la velocidad de la canoa en aguas tranquilas más la velocidad de la corriente. 
Cuando viajan en contra de la corriente, la velocidad de la canoa es la velocidad de 
la canoa en aguas tranquilas menos la velocidad de la corriente.
Traduce Sea s  velocidad de la canoa en aguas tranquilas.
Sea c  velocidad de la corriente. 
El sistema de ecuaciones es:
 velocidad de la canoa viajando con la corriente: s  c  4.75 
 velocidad de la canoa viajando contra la corriente: s  c  2.25 
Realiza	los	cálculos	Utilizaremos el método de suma, como se analizó en la sección 
4.1, para resolver este sistema de ecuaciones.
 s  c  4.75 
 s  c  2.25 
 2s  7.00 
 s  3.5
Solución  Entiende Debemos determinar el área territorial de Carolina del Norte 
y de Carolina del Sur. Usaremos dos variables, por lo tanto, necesitaremos determi-
nar dos ecuaciones.
Traduce Sea N  al área territorial de Carolina del Norte.
Sea S  al área territorial de Carolina del Sur. 
Como el área total de los dos estados es 78,820 millas cuadradas, la primera ecuación es
N  S  78,820 
Dado que Carolina del Norte tiene una mayor área territorial y que la diferencia en 
el área territorial es de 18,602 millas cuadradas, la segunda ecuación es 
N  S  18,602 
El sistema de dos ecuaciones es
 N  S  78,820 (ec. 1)
 N  S  18,602 (ec. 2)
	 Sección	4.3	Sistemas	de	ecuaciones	lineales:		aplicaciones	y	resolución	de	problemas	 237
La velocidad de la canoa en aguas tranquilas es de 3.5 millas por hora. Ahora deter-
minaremos la velocidad de la corriente.
s  c  4.75 
 3.5  c  4.75
 c  1.25
Responde	 La velocidad de la corriente es 1.25 millas por hora y la velocidad de la 
canoa en aguas tranquilas es 3.5 millas por hora.
Resuelve ahora el ejercicio 13
EJEMPLO  3  Salario Yamil Bermudez, un vendedor de Electrodomésticos Han-
cock, recibe un salario semanal más una comisión, la cual es un porcentaje de sus 
ventas. En una semana, por ventas de $3000, su pago total fue de $850. La semana 
siguiente, por ventas de $4000, su pago total fue de $1000. Encuentra su salario se-
manal y su porcentaje de comisión.
Solución Entiende El sueldo de Yamil consiste en un salario semanal más co-
misión. Se nos da información acerca de dos semanas específicas que podemos usar 
para determinar su salario semanal y el porcentaje de comisión.
Traduce Sea s  su salario semanal.
 Sea r  su porcentaje de comisión.
En la semana uno, su comisión sobre $3000 es 3000r y en la semana 2 su comisión 
sobre $4000 es 4000r. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es
 salario  comisión  sueldo
 Primera semana s  3000r  850 
Sistema de ecuaciones
	 Segunda semana s  4000r  1000
Realiza	los	cálculos s  3000r  850 Primera semana multiplicada por 1
 s  4000r  1000 Segunda semana
 1000r  150 Suma de ecuaciones
 r 
 150
 1000
 r  0.15
El porcentaje de comisión de Yamil es de 15%. Ahora determinaremos su salario 
semanal, sustituyendo r por 0.15 en cualquiera de las ecuaciones.
 s  3000r  850
 s  3000(0.15)  850 
Sustituye r por 0.15 en la ecuación
 s  450  850 
de la primera semana.
 s  400
Responde	 El sueldo semanal de Yamil es de $400 y su porcentaje de comisión es de 
15%.
Resuelve ahora el ejercicio 15
EJEMPLO  4  Paseo a caballo Ben Campbell sale de su rancho montando su ca-
ballo a 5 millas por hora. Media hora más tarde, Joe Campbell sale del mismo rancho 
y se dirige por la misma ruta en su caballo a 8 millas por hora.
 a) ¿Cuánto tiempo tardará Joe, desde que sale del rancho, en alcanzar a Ben?
 b) Cuando Joe alcanza a Ben, ¿a qué distancia del rancho estarán?
Solución Entiende a) Cuando Joe alcanza a Ben, ambos habrán recorri-
do la misma distancia. Joe habrá cubierto la distancia en 
1
2
 hora menos, ya que él 
©
 Y
ur
i A
rc
us
/G
lo
wi
m
ag
es
©
 C
hr
ist
op
he
r M
ed
er
\S
hu
tte
rs
to
ck
238	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
6 
2
3
d = 8j = 8a5
6
b =
 8 
4
1
# 5
 6 
3
=
20
3
= 6 
2
3
j =
4
3
-
1
2
=
8
6
-
3
6
=
5
6
5
6
j = 1 
1
3
-
1
2
j = b -
1
2
1 
1
3
b =
-4
-3
= 1 
1
3
 5b = 8ab -
1
2
b
salió 
1
2
 hora después que Ben. Para resolver este problema, se utilizarála fórmula de 
distancia  velocidad # tiempo.
Traduce Sea b  tiempo recorrido por Ben.
 Sea j  tiempo recorrido por Joe.
Construiremos una tabla para organizar la información dada.
	 Velocidad Tiempo Distancia
Ben 5 b 5b
Joe 8 j 8j
Ya que tanto Ben como Joe cubren la misma distancia, escribimos
distancia de Ben  distancia de Joe 
5b  8j 
Nuestra segunda ecuación proviene del hecho de que Joe está viajando 
1
2
 hora 
menos que Ben. Por lo tanto, j  b  
1
2
. Así, nuestro sistema de ecuaciones es:
 5b  8j 
 j  b  
1
2
Realiza	los	cálculos Resolveremos este sistema de ecuaciones utilizando el método 
de sustitución. Como j  b  
1
2
, sustituimos b  
1
2
 por j en la primera ecuación y 
resolvemos para b.
 5b  8j 
 5b  8b  4 
 3b  4 
Por lo tanto, el tiempo que Ben ha estado viajando es horas. Para obtener el 
tiempo que Joe ha viajado, restaremos 
1
2
 hora del tiempo de Ben.
Responde	 Joe alcanzará a Ben de una hora (o 50 minutos) después de que Joe 
salga del rancho.
 b) Puedes utilizar ya sea la distancia de Ben o la de Joe para determinar la distancia 
recorrida desde el rancho. Utilizaremos la distancia de Joe.
Responde	 Por lo tanto, Joe alcanzará a Ben cuando estén a millas del rancho.
Resuelve ahora el ejercicio 33
	 Sección	4.3	Sistemas	de	ecuaciones	lineales:		aplicaciones	y	resolución	de	problemas	 239
EJEMPLO  5  Mezcla de soluciones Chung Song, un químico de Johnson y John-
son, desea crear un nuevo limpiador doméstico que contenga 30% de fosfato trisó-
dico (TSP). Chung necesita mezclar una solución al 16% de TSP con una solución al 
72% de TSP para obtener 6 litros de una solución al 30% de TSP. ¿Cuántos litros de 
la solución al 16% y de la solución al 72% necesita mezclar?
Solución  Entiende Para resolver este problema usamos el hecho de que la cantidad 
de TSP en una solución se determina multiplicando el porcentaje de concentración de 
la solución por el número de litros (el volumen) de la solución. Chung necesita mezclar una 
solución al 16% con una solución al 72% para obtener 6 litros de una solución cuya con-
centración, 30%, esté entre las concentraciones de las dos soluciones que serán mezcladas.
Traduce Sea x = número de litros de la solución al 16%.
 Sea y = número de litros de la solución al 72%.
Dibujaremos un diagrama (ver Figura 4.7) y después haremos una tabla que nos 
ayude a analizar el problema.
Volumen
Solución
al 16%
Solución
al 72% Mezcla
Concentración 16% 72% 30%
x � �y 6
FiguRa	 4.6
Solución Concentración	de	la	solución Número	de	litros Cantidad	de	TSP
Solución al 16% 0.16 x 0.16x
Solución al 72% 0.72 y 0.72y
Mezcla 0.30 6 0.30(6)
Como la suma de los volúmenes de la solución al 16% y la solución al 72% es de 6 
litros, nuestra primera ecuación es
 x  y  6
La segunda ecuación viene del hecho de que se mezclan las soluciones.
f
cantidad de TSP en
 la solución al 16% 
p

f
cantidad de TSP en
 la solución al 72% 
p

f
cantidad de TSP
 en la mezcla 
p
 0.16x  0.72y  0.30(6)
Por lo que, el sistema de ecuaciones es
 x  y  6
 0.16x  0.72y  0.30(6)
Realiza	los	cálculos	 Al despejar y en x  y  6, obtenemos y  x + 6. Al sustituir 
y por x  6 en la segunda ecuación, tenemos
 0.16x  0.72y  0.30(6)
 0.16x  0.72(x  6)  0.30(6)
 0.16x  0.72x  4.32  1.8
 0.56x  4.32  1.8
 0.56x  2.52
x =
-2.52
-0.56
= 4.5
Por lo tanto, Chung debe utilizar 4.5 litros de la solución al 16%. Como las dos so-
luciones deben sumar 6 litros, debe utilizar 6  4.5 o 1.5 litros de la solución al 72%.
Resuelve ahora el ejercicio 17
240	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
Comprendiendo 
el álgebra
Cada	vez	que	se	usen	tres	
variables	para	resolver	un	pro-
blema	de	aplicación,	debemos	
determinar	tres	ecuaciones	
para	resolver	el	problema.
Consejo útil
En el ejemplo 5, la ecuación 0.16x  0.72y  0.30(6) podría simplificarse multiplicando ambos 
lados de la ecuación por 100. Esto daría la ecuación 16x  72y  30(6) o 16x  72y  180. 
Entonces el sistema de ecuaciones sería x  y  6 y 16x  72y  180. Si resuelves este sistema, 
debes obtener la misma solución. Inténtalo y verás.
	2 	Utilizar	sistemas	lineales	con	tres	variables	para	resolver	
aplicaciones
Ahora veamos algunas aplicaciones que implican tres ecuaciones con tres variables.
EJEMPLO  6  Préstamos bancarios Juguetes Tiny Tots debe pedir prestados 
$25,000 para costear una ampliación. No puede obtener todo el dinero prestado de 
un único banco, así que pide préstamos a tres diferentes bancos. El primero cobra 
8% de interés. En el segundo banco pide prestados $2000 más que la mitad de la 
cantidad solicitada al primer banco. La tasa de interés del segundo banco es de 10%. 
El resto de los $25,000 lo presta un tercer banco, donde Juguetes Tiny Tots paga 9% 
de interés. El interés anual total que paga Juguetes Tiny Tots por los tres préstamos 
es de $2220. ¿Cuánto dinero pidió prestado a cada tasa de interés?
Solución	 Entiende	 Nos piden determinar cuánto se pide prestado a cada una de 
las tres tasas de interés diferentes. Por lo que este problema tendrá tres variables, 
una por cada monto prestado. Como el problema tendrá tres variables, necesitare-
mos determinar tres ecuaciones para utilizar en nuestro sistema de ecuaciones.
Traduce		 Sea x = cantidad prestada por el primer banco.
 Sea y = cantidad prestada por el segundo banco.
 Sea z = cantidad prestada por el tercer banco.
Como la cantidad total prestada es de $25,000, sabemos que
 x  y  z  25,000 La cantidad total prestada es de $25,000.
En el segundo banco, Juguetes Tiny Tots pidió prestado $2000 más que la mitad del 
dinero solicitado al primer banco. De tal forma, que la segunda ecuación es
 La segunda, y, es $2000 más que 
1
2
11
22
 de la primera, x.
Nuestra última ecuación proviene del hecho de que el interés anual total cobrado por 
los tres bancos es de $2220. El interés de cada banco se determina multiplicando la 
tasa de interés por la cantidad prestada.
 0.08x  0.10y  0.09z  2220 El interés total es $2220.
Por lo tanto, nuestro sistema de ecuaciones es
 x  y  z  25,000 (1) 
 (2) 
 0.08x  0.10y  0.09z  2220 (3) 
Ambos lados de la ecuación (2) pueden multiplicarse por 2 para eliminar las fracciones.
 
 2y  x  4000 Propiedad distributiva
 x  2y  4000 Resta x a ambos lados.
Podemos eliminar los decimales de la ecuación (3) multiplicando ambos lados por 
100. Obtenemos 
8x  10y  9z  222,000 
©
 L
os
ev
sk
y 
Pa
ve
l/S
hu
tte
rs
to
ck
 2 1y2 = 2 a1
2
 x + 2000b
y =
1
2
 x + 2000
y =
1
2
 x + 2000
	 Sección	4.3	Sistemas	de	ecuaciones	lineales:		aplicaciones	y	resolución	de	problemas	 241
Por lo tanto, nuestro sistema de ecuaciones simplificado es
 (ec. 1) 
 (ec. 2) 
 (ec. 3) 
Realiza	los	cálculos	 Hay varias formas para resolver este sistema. Utilizamos (ec. 1) 
y (ec. 3) para eliminar la variable z. 
 (ec. 1) Multiplicada por 9
 (ec. 3)
 Suma de ecuaciones, (ec. 4)
Ahora sumamos (ec. 2) y (ec. 4) para eliminar la variable x y obtenemos el valor de y.
 (ec. 2) Multiplicada por 1
 (ec. 4)
 Suma de ecuaciones
Ahora que conocemos el valor de y podemos obtener el valor de x.
 (ec. 2)
 
Sustituye y por 7000 en (ec. 2).
 
 
Por último, obtenemos el valor de z.
 (ec. 1)
Responde	 Juguetes Tiny Tots pidió prestado $10,000 a 8%, $7000 a 10% y $8000 a 
9% de interés.
Resuelve ahora el ejercicio 55
EJEMPLO  7  Botes inflables Hobson, Inc., tiene una pequeña planta que fabrica 
tres tipos de botes inflables con modelos para: una, dos y cuatro personas. Cada bote 
requiere el servicio de tres departamentos: corte, ensamble y empaque. Los depar-
tamentos de corte, ensamble y empaque pueden utilizar un total de 380, 330 y 120 
horas/hombre por semana, respectivamente. El tiempo requerido para cada bote y 
departamento está especificado en la tabla siguiente. Determina cuántos botes de 
cada tipo se pueden producir cada semana, si la plantaopera a toda su capacidad.
	 Tiempo	(horas/hombre)	por	bote
	
Departamento
Bote	para	
una	persona
Bote	para	
dos	personas
Bote	para		
cuatro	personas
Corte 0.6 1.0 1.5
Ensamble 0.6 0.9 1.2
Empaque 0.2 0.3 0.5
Solución Entiende	 Nos dicen que se producen tres tipos diferentes de botes y 
nos piden determinar el número de botes de cada tipo producido. Como este pro-
blema implica tres cantidades por determinar, el sistema tendrá tres ecuaciones con 
tres variables.©
 Y
an
ik 
Ch
au
vin
/G
lo
wi
m
ag
es
 z = 8000
000,71 + z = 25,000
000,01 + 7000 + z = 25,000
 x + y + z = 25,000 
 x = 10,000
 -x = -10,000
 -x + 14,000 = 4000
 -x + 2170002 = 4000
 -x + 2y = 4000
x - 2y = -4000
-x + y = -3000
-y = -7000
y = 7000
 
-9x - 9y - 9z = -225,000
8x + 10y + 9z = 222,000
-x + y = -3,000
 
 8x + 10y + 9z = 222,000
 -x + 2y = 4000
 x + y + z = 25,000