Polinômios e Funções Polinomiais

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A menudo los estudiantes 
participan en competencias 
como concursos de deletreo 
de palabras, matemáticas o de 
ortografía. En el ejercicio 82 de la 
página 286, se utiliza una función 
polinómica para determinar el 
número de las diferentes maneras 
en que los estudiantes pueden 
terminar primero, segundo 
o tercero en un concurso de 
deletreo de palabras.
Polinomios 
y funciones 
polinomiales5
 5.1 Suma y resta de polinomios
 5.2 Multiplicación de polinomios
 5.3 División de polinomios y división 
sintética
 5.4 Factorizar un monomio de un 
polinomio y factorización por 
agrupación
Prueba de mitad de capítulo: 
 secciones 5.1-5.4
 5.5 Factorización de trinomios
 5.6 Fórmulas especiales de factorización
 5.7 Repaso general de factorización
 5.8 Ecuaciones polinomiales
Resumen del capítulo 5
Ejercicios de repaso del capítulo 5
Prueba de práctica del capítulo 5
Prueba de repaso acumulada 
Objetivos de este capítulo
En la primera parte de este capítulo estudiaremos los polinomios 
y las funciones polinomiales. Después dirigiremos nuestra atención a 
la factorización. Para resolver los problemas de muchos de los capítulos 
siguientes, será necesario que hayas comprendido bien el tema de 
factorización. Pon particular atención en cómo utilizar la factorización 
para encontrar las intersecciones con el eje x de una función 
cuadrática. Más adelante haremos referencia a este tema.
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ck
280	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
	1 	Determinar	el	grado	de	un	polinomio
Recuerda que, como se explicó en el capítulo 2, las partes que se suman o restan en una 
expresión matemática se denominan términos. El grado de un término con exponentes 
enteros no negativos es la suma de los exponentes de las variables, si las hay. Las cons-
tantes distintas de 0 tienen grado 0, y al término 0 no se le asigna grado.
	
Polinomio
Número	de	
términos
Grado	del	
polinomio
Término		
principal
Coeficiente	
principal
a) 2x5  3x2  6x  9 4 5 (de 2x5) 2x5 2
b) 8x2y4  6xy3  3xy2z4 3 7 (de 3xy2z4) 3xy2z4 3
Resuelve ahora el ejercicio 23
Los polinomios se clasifican de acuerdo con el número de términos que tienen, 
como se indica en la tabla siguiente.
Tipo	de	polinomio Descripción Ejemplos
Monomio Un polinomio con un término 4x2, 6x2y, 3, 2xyz5, 7
Binomio Un polinomio con dos términos x2  1, 2x2  y, 6x3  5y2
Trinomio Un polinomio con tres términos x3  6x  8, x2y  9x  y2
A los polinomios que contienen más de tres términos no se les da un nombre 
específico. Poli es un prefijo que significa muchos. Un polinomio se denomina lineal si 
su grado es 0 o 1. Un polinomio de una variable se denomina cuadrático si es de 
grado 2, y cúbico si es de grado 3.
Tipo	de	polinomio Ejemplos
Lineal 2x  4, 5
Cuadrático 3x2  x  6, 4x2  8
Cúbico 4x3  3x2  5, 2x3  7x
 • 3x2  2x  6 es un polinomio con una variable x.
 • x2y  7x  3 es un polinomio con dos variables, x y y.
 • x1/2 no es un polinomio, porque el exponente de la variable no es un número entero.
 • 
1
x
 (o x1) no es un polinomio, porque el exponente de la variable no es un número 
entero positivo.
 • 1
x � 1
 no es un polinomio, porque la variable se encuentra en el denominador.
El término principal de un polinomio es el término de grado más alto. El coefi-
ciente principal es el coeficiente del término principal.
EJEMPLO 1 Indica el número de términos, el grado, el término principal y el 
coeficiente principal de cada polinomio.
 a) 2x5  3x2  6x  9 b) 8x2y4  6xy3  3xy2z4
Solución    Organizaremos las respuestas en una tabla.
	1 	 Determinar	el	grado	de	
un	polinomio.
	2 	 Evaluar	funciones	
polinomiales.
	3 	 Entender	las	gráficas	de	
funciones	polinomiales.
	4 	 Sumar	y	restar	
polinomios.
5.1 Suma y resta de polinomios
Un polinomio es una suma finita de términos en la que todas las variables tienen 
exponentes enteros no negativos y donde los denominadores no incluyen variables.
Polinomio
Comprendiendo 
el álgebra
Los signos  o  separan los 
términos en un polinomio.
Comprendiendo 
el álgebra
El prefijo mono significa uno.
El prefijo bi significa dos.
El prefijo poli significa muchos.
	 Sección	5.1	 	 Suma	y	resta	de	polinomios	 281
EJEMPLO 2 Escribe cada uno de los siguientes polinomios en orden descendente 
de la variable x.
 a) 5x  4x2  6 b) xy  6x2  8y2
Solución   
 a) 5x  4x2  6 5 4x2  5x  6
 b) xy  6x2  8y2 5 6x2  xy  8y2
Resuelve ahora el ejercicio 19
Los polinomios 2x3  4x2  6x  3 y 4x2  3xy  5y2 son ejemplos de polino-
mios en orden descendente de la variable x, ya que los exponentes de la variable x 
descienden (o van decreciendo) al recorrer los términos de izquierda a derecha. Por lo 
general, los polinomios se escriben en orden descendente respecto de alguna variable.
Comprendiendo 
el álgebra
En orden descendente, los 
exponentes descienden o van 
decreciendo.
	2 	Evaluar	funciones	polinomiales
La expresión 2x3  6x2  3 es un polinomio. Si escribimos P(x) 5 2x3  6x2  3, enton-
ces tenemos una función polinomial. En una función polinomial, la expresión usada 
para describir la función es un polinomio.
EJEMPLO 3 Para la función polinomial P(x) 5 4x3  6x2  2x  9, determina 
 a) P(0) b) P(3) c) P(2)
Solución  
 a) P(x) 5 4x3  6x2  2x  9
 P(0) 5 4(0)3  6(0)2  2(0)  9
	 	 5 0  0  0  9 5 9
 b) P(3) 5 4(3)3  6(3)2  2(3)  9
	 	 5 4(27)  6(9)  6  9 5 57
 c) P(2) 5 4(2)3  6(2)2  2(2)  9
	 	 5 4(8)  6(4)  4  9 5 43
Resuelve ahora el ejercicio 29
Con frecuencia las empresas, los gobiernos y otras organizaciones necesitan 
llevar registros y hacer proyecciones de ventas, utilidades, cambios en la población, 
efectividad de nuevos medicamentos, etc. Para realizar estas tareas, muchas veces se 
utilizan gráficas y funciones.
EJEMPLO 4 Prescripciones vía Internet Más y más médicos ordenan prescrip-
ciones en línea para sus pacientes. La Figura 5.1 muestra el número de prescripciones 
vía Internet para los años 2004 a 2008. La función polinomial que puede usarse para 
aproximar el número de prescripciones, en millones, es 
P(t) 5 10.5t2  18.3t  3.4
donde t es el número de años 
desde 2004 y 0  t  4.
 a) Utiliza la función para estimar 
el número de prescripciones 
vía Internet en el año 2008.
 b) Compara tu respuesta del inci-
so a) con la gráfica. ¿La gráfica 
apoya tu respuesta?
 c) Si esta tendencia continúa más 
allá del 2008, estima el número 
de prescripciones vía Internet 
en el año 2010.
Transacciones de prescripciones vía Internet (en millones) 
0
N
úm
er
o 
(e
n 
m
ill
on
es
)
2004 2005 2006
Año
100.0
2007 2008
40
80
20
60
100
Fuente: Intercambio de información de la farmacia de salud
FiGura	 5.1	 	 	 
282	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
Solución  
 a) Entiende Necesitamos determinar el valor de t para sustituirlo en esta función. 
Como t es el número de años desde 2004, el año 2008 corresponde a t 5 4. Por lo 
tanto, para estimar el número de prescripciones, calculamos P(4).
Traduce	y	realiza	los	cálculos P(t) 5 10.5t2  18.3t  3.4
 P(4) 5 10.5(4)2  18.3(4)  3.4
	 	 	 5 168  73.2  3.4
	 	 	 5 98.2
	 	 	Verifica	y	responde    El número de prescripciones en línea en 2008 fue de 98.2 
millones, o 98,200,000.
 b) En el inciso a) vimos que hubo 98.2 millones de prescripciones vía Internet en el 
año 2008. La gráfica de líneas de la Figura 5.1 muestra que hubo 100 millones de 
prescripciones en el año 2008. Debido a que ambos valores son muy cercanos, 
podemos concluir que la gráfica apoya la respuesta del inciso a).
 c) Entiende Para estimar el número de prescripciones en 2010, observa que 2010 
es 6 años después de 2004. Por lo tanto, t 5 6, y sustituimos t por 6 en la función 
polinomial.
Traduce	y	realiza	los	cálculos	 	 	 P(t) 5 10.5t2  18.3t  3.4
 P(6) 5 10.5(6)2  18.3(6)  3.4
	 	 	 5 271.6
	 	 	Verifica	 y	 responde    Si la tendencia continúa,en 2010 habrá cerca de 271.6 
millones, o 271,600,000, de prescripciones vía Internet.
Resuelve ahora el ejercicio 93
	3 	Entender	las	gráficas	de	funciones	polinomiales
Las gráficas de todas las funciones polinomiales son suaves curvas continuas. La Figura 5.2 
muestra la gráfica de una función polinomial cuadrática. Las Figuras 5.3 y 5.4 mues-
tran las gráficas de funciones polinomiales cúbicas. Cada una de las funciones en estas 
gráficas tiene un coeficiente principal positivo. Observa que en cada gráfica, la función 
continúa creciendo (la parte negra en la gráfica) hacia la derecha para algún valor de x.
�10
�8
�6
�4
�2
8
6
4
2
321�5 �4 �3 �2 �1 x
y
y � x2 � 2x � 8
Función
decreciente
Función
creciente
	FiGura	 5.2	 	 
�10
�8
�4
�2
6
4
2
4321�4 �3 �2 �1 x
y
y � x3 � x � 5
Función
creciente
	FiGura	 5.3	 	 
�6
�4
�2
10
8
6
4
2
431�4 �3 �2 �1 x
y
y � x3 � 6x � 2
Función
creciente
Función
decreciente
Función
creciente
	FiGura	 5.4	 	 
La Figura 5.5 en la página 283 muestra la gráfica de una función polinomial cua-
drática. Las Figuras 5.6 y 5.7 muestran las gráficas de funciones polinomiales cúbicas. 
Cada una de las funciones en estas gráficas tiene un coeficiente principal negativo. 
Observa que en cada gráfica, la función continúa decreciendo (la parte azul en la grá-
fica) hacia la derecha para algún valor de x.
¿Por qué el coeficiente principal determina si una función polinomial crece 
o decrece hacia la derecha para algún valor de x? El coeficiente principal es el 
Comprendiendo 
el álgebra
Una función crece si tu lápiz 
sube mientras trazas la gráfica 
de izquierda a derecha. Una 
función decrece si tu lápiz baja 
mientras trazas la gráfica de 
izquierda a derecha.
	 Sección	5.1	 	 Suma	y	resta	de	polinomios	 283
coeficiente del término con el exponente de la variable con el valor más alto. Conforme 
el valor de x aumenta, este término acabará por dominar a todos los demás de la fun-
ción. Por lo tanto, si el coeficiente de este término es positivo, en algún momento la 
función comenzará a crecer a medida que el valor de x aumente. Si el coeficiente de 
este término es negativo, en algún momento la función comenzará a decrecer a medida 
que el valor de x aumente. Esta información, junto con la verificación de la intersec-
ción en el eje y de la gráfica, puede ser de utilidad en la determinación de si una gráfica 
es correcta o si está completa.
�6
�4
�2
10
8
6
4
64321�2 x
y
y � �x2 � 4x � 4
Función
decreciente
Función
creciente
	FiGura	 5.5	 	 
�8
�6
�4
�2
8
6
4
4321�4 �3 �2 �1 x
y
y � �x3 � 2
Función
decreciente
	FiGura	 5.6	 	 
�8
�6
�4
�2
8
6
4
2
4321�4 �3 �2 x
y
y � �x3 � 4x � 2
Función
decreciente
Función
creciente
Función
decreciente
	FiGura	 5.7	 	 
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Siempre que grafiques una función polinomial en tu calculadora graficadora, asegúrate de que la pantalla muestre todos los cam-
bios de dirección en tu gráfica. Por ejemplo, supón que graficas y 5 0.1x3  2x2  5x  8 en tu calculadora. Si empleas la ventana 
estándar, obtendrás la gráfica que se muestra en la Figura 5.8.
Sin embargo, a partir de lo que acabamos de analizar debes darte cuenta de que, como el coeficiente principal, 0.1, es positivo, 
la gráfica debe crecer hacia la derecha para algún valor de x. Esto no resulta claro en la gráfica de la Figura 5.8. Si ajustas tu ventana 
para que aparezca como en la Figura 5.9, obtendrás la gráfica que se muestra allí. Ahora puedes ver cómo crece ligeramente la 
gráfica hacia la derecha a partir de x 5 12. Al graficar, muchas veces es útil determinar la intersección con el eje y para establecer 
qué valores se deben usar en un rango. Recuerda que para determinar la intersección con el eje y, establecemos x 5 0 y despejamos 
y. Por ejemplo, si se grafica y 5 4x3  6x2  x  180, la intersección con el eje y estará en 180, es decir, en el punto (0, 180).
y � 0.1x3 � 2x2 � 5x � 8
	FiGura	 5.8	 	 
[�10, 30, 2, �100, 60, 10]
y � 0.1x3 � 2x2 � 5x � 8
	FiGura	 5.9	 	 
	4 	Sumar	y	restar	polinomios
Para sumar o restar polinomios, primero quitamos los paréntesis (si los hay) y des-
pués reducimos los términos semejantes.
EJEMPLO 5 Simplifica (4x2  6x  8)  (2x2  5x  1).
Solución    (4x2  6x  8)  (2x2  5x  1) 
	 5 4x2  6x  8  2x2  5x  1 Elimina los paréntesis.
 5 4x2  2x2  6x  5x  8  1 Reacomoda los términos.
	 14243	 1442443	14243	
	 5 6x2 x 7 Reduce los términos semejantes.
Resuelve ahora el ejercicio 39
Comprendiendo 
el álgebra
Las funciones polinomiales 
con coeficientes principales 
positivos crecerán hacia la 
derecha para algún valor de 
x. Las funciones polinomiales 
con coeficientes principales 
negativos decrecerán hacia 
la derecha para algún valor 
de x.
284	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
3x � 2
x2 � 2x � 3
x2 � 15x � 3
	FiGura	 5.10	 	 
EJEMPLO 6 Simplifica (3x2y  4xy  y)  (x2y  2xy  8y  5).
Solución   
 (3x2y  4xy  y)  (x2y  2xy  8y  5) 
 5 3x2y  4xy  y x2y  2xy  8y  5 Elimina los paréntesis.
 5 3x2y  x2y  4xy  2xy  y  8y  5 Reacomoda los términos.
	 14243	 1442443	14243	
 5 4x2 2xy 9y 5 Reduce los términos semejantes.
Resuelve ahora el ejercicio 45
EJEMPLO 7 Resta (x2  2x  11) de (x3  4x  6).
Solución      (x3  4x  6)  (x2  2x  11)
 5 (x3  4x  6)  1(x2  2x  11) Inserta 1.
 5 x3  4x  6  x2  2x  11 Propiedad distributiva
 5 x3  x2  4x  2x  6  11 Reacomoda los términos.
 5 x3  x2  6x  5 Reduce los términos semejantes.
Resuelve ahora el ejercicio 61
EJEMPLO 8 Simplifica x2y  4xy2  5  (2x2y  3y2  11).
Solución      x2y  4xy2  5  1(2x2y  3y2  11) Inserta 1.
 5 x2y  4xy2  5  2x2y  3y2  11 Propiedad distributiva
 5 x2y  2x2y  4xy2  3y2  5  11 Reacomoda los términos.
 5 x2y  4xy2  3y2  6 Reduce los términos semejantes.
Observa que x2y y 4xy2 no son términos semejantes, ya que las variables tienen 
exponentes diferentes. Tampoco 4xy2 y 3y2 son términos semejantes, ya que 3y2 no 
tiene la variable x.
Resuelve ahora el ejercicio 49
Consejo útil
Recuerda que x significa 1  x. Por lo tanto, (2x2  4x  6) significa 1(2x2  4x  6), 
y se aplica la propiedad distributiva. Cuando restas un polinomio de otro, los signos de cada 
término del polinomio que se resta deben cambiarse. Por ejemplo,
x2  6x  3  (2x2  4x  6) 5 x2  6x  3  1(2x2  4x  6)
	 5 x2  6x  3  2x2  4x  6
	 5 x2  2x  3
EJEMPLO 9 Perímetro Encuentra una expresión para el perímetro del cuadrilá-
tero de la Figura 5.10.
Solución    EL perímetro es la suma de las longitudes de los lados de la Figura.
 Perímetro 5 (x2  2x  3)  (x2  1)  (5x  3)  (3x  2) Suma de los lados
	 5 x2  2x  3  x2  1  5x  3  3x  2 Elimina los paréntesis.
	 5 x2  x2  2x  5x  3x  3  1  3  2 Reacomoda los términos.
	 5 2x2  10x  9 Reduce los términos semejantes.
El perímetro del cuadrilátero es 2x2  10x  9.
Resuelve ahora el ejercicio 73