Algebra-Intermedia 1-páginas-60

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Examen de mitad de capítulo 4.1–4.3 265
Etapa Dakar Komodo Aragon
Soldadura 2 3 4
Pintura 1 2 2.5
Ensamblaje 1.5 2 3
61. Flujo de corriente En electrónica es necesario analizar el
flujo de corriente a través de redes (o trayectorias) en un cir-
cuito. En tres trayectorias (A, B y C) de un circuito, las rela-
ciones son las siguientes:
 4IA - 8IB = 6
 -8IB + 10IC = 0
 IA + IB + IC = 0
donde IA, IB e IC representan la corriente en las trayectorias
A, B y C, respectivamente. Determine la corriente en cada
trayectoria del circuito.
62. Fuerzas en una viga En física se suelen estudiar las fuerzas
que actúan sobre un objeto. Para tres fuerzas, F1, F2 y F3, que
actúan sobre una viga, se obtuvieron las ecuaciones siguientes.
Determine las tres fuerzas.
 4F1 - F2 + F3 = 3
 F1 - 2F2 + F3 = 0
 3F1 + F2 - F3 = 2
Actividad en grupo
En grupo, analicen y respondan el ejercicio 63.
V
el
oc
id
ad
Automóvil A
Automóvil B
t � 0 t � 1
Tiempo (horas)
63. Dos automóviles Un sistema no lineal de ecuaciones es un
sistema de ecuaciones que contiene al menos una ecuación
que no es lineal. (Los sistemas no lineales de ecuaciones se
estudiarán en el capítulo 10). La gráfica muestra un sistema
no lineal de ecuaciones. Las curvas representan velocidad
contra tiempo para dos automóviles.
a) ¿Las dos curvas son funciones? Explique.es
b) Analice el significado de esta gráfica.ers will vary.
c) En el instante t � 0.5 h, ¿cuál automóvil está viajando a
una velocidad mayor? Explique su respuesta.ar A
d) Suponga que los dos automóviles inician en la misma po-
sición y viajan en la misma dirección. ¿Cuál automóvil, A
o B, viaja más lejos en una hora? Explique su respuesta.
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.4] 64. Evalúe cuando x � �2, y � 5.
[2.1] 65. Resuelva 44 - 2[1x - 52 + 2x] = -1x + 62.
1
2
 x +
2
5
 xy +
1
8
 y [3.2] 66. Explique cómo determinar si una gráfica representa a
una función.
[3.5] 67. Escriba una ecuación para la recta que pasa por los
puntos (6, �4) y (2, �8).
Examen de mitad de capítulo: 4.1-4.3
Para determinar su comprensión del material que se ha abordado hasta este momento, resuelva este pequeño examen. Las respuestas y la
sección donde se trató el material por primera vez, se proporcionan al final del libro. Repase el material de las preguntas que respondió
de forma incorrecta.
1. Para el sistema de ecuaciones siguiente:
a) Escriba cada ecuación en la forma pendiente intercepción.
b) Sin graficar las ecuaciones, indique si el sistema es consis-
tente, inconsistente o dependiente. consistent
c) Indique si el sistema tiene exactamente una solución, no
tiene solución o tiene un número infinito de soluciones.
one solución 2x + 3y = 9
 7x - y = 13
Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método gráfico.
2. 3.
3x - 2y = 3
 x + y = -4
 y = -x + 3
y = 2x
Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de
sustitución.
4. 5.
2x + y = -1
4x - 3y = 8
x - 2y = -6
2x + 5y = -3
266 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Resuelva cada sistema de ecuaciones por el método de la suma.
11. 12.
 -6x - 4y + 5z = 3
 3x + 5y + 2z = 12
 2x - y - z = 1
 3x + 2y + 6z = 1
 2x - y + 2z = -2
 x + y + z = 2
6. 7.
 9x + 5y =
11
2
 3x + 4y = 3
 7x + 5y = -1
 x = 4y - 19
Resuelva cada sistema de ecuaciones por cualquier método. Si el
sistema es inconsistente o dependiente, indíquelo.
8.
9.
10.
Resuelva cada sistema de ecuaciones.
x = 2y + 3
8x - 16y = 24
n =
3
2
 m - 7
3m - 2n = 1
 
1
2
 a +
1
6
 b = 5
 
1
3
 a -
1
4
 b = -1
4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices
1 Escribir una matriz
aumentada.
2 Resolver sistemas de
ecuaciones lineales.
3 Resolver sistemas de
ecuaciones lineales con tres
variables.
4 Reconocer sistemas
inconsistentes y sistemas
dependientes.
1 Escribir una matriz aumentada
Una matriz es un arreglo rectangular de números dentro de corchetes. Ejemplos de
matrices son
Los números dentro de los corchetes son los elementos de la matriz.
La matriz de la izquierda tiene 2 renglones y 2 columnas y se llama matriz de 2 por
2 (2 � 2). La matriz de la derecha contiene 2 renglones y 3 columnas y es una matriz de
2 por 3 (2 � 3). El número de renglones es la primera dimensión que se da, y el nú-
mero de columnas es la segunda dimensión que se da. Una matriz cuadrada tiene el
mismo número de renglones que de columnas.Así, la matriz de la izquierda es una ma-
triz cuadrada.
En esta sección utilizaremos matrices para resolver sistemas de ecuaciones linea-
les. El primer paso en la resolución de un sistema con dos ecuaciones lineales median-
te matrices es escribir cada ecuación en la forma ax � by � c. El siguiente paso es
escribir la matriz aumentada, que está formada por dos matrices pequeñas separadas
por una línea vertical. Los números a la izquierda de la línea vertical son los coeficientes
de las variables del sistema de ecuaciones y los números de la derecha son las constan-
tes. Para el sistema de ecuaciones
la matriz aumentada se escribe
Ba1 b1
a2 b2
 ` c1
c2
R
 a2 x + b2 y = c2
 a1 x + b1 y = c1
B4 6
9 -2
R B 5 7 2
-1 3 4
R
13. Cuando se le pidió resolver el sistema de ecuaciones
Frank Dumont aseguró que la solución sólo era x � 1.
Esto es incorrecto. ¿Por qué es incorrecto? Explique su res-
puesta.
Luego resuelva completamente el sistema.
14. Anacardos y pacanas Una tienda de nueces vende anacardos
a $12 la libra y pacanas a $6 por libra. ¿Cuántas libras de ca-
da tipo debe comprar William Pritchard para tener una mez-
cla de 15 libras que se venda en $10 la libra?
15. Suma de números La suma de tres números es 32. El número
mayor es cuatro veces el número más pequeño. La suma de
los dos números más pequeños es 8 menos que el número
mayor. Determine los tres números.
x + y + z = 4
-x + 2y + 2z = 5
7x + 5y - z = -2
Sección 4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices 267
A continuación tenemos un sistema de ecuaciones y su matriz aumentada.
Sistema de ecuaciones Matriz aumentada
Observe que la barra en la matriz aumentada separa los coeficientes numéricos de las
constantes. Como la matriz es sólo una forma abreviada de escribir el sistema de ecuacio-
nes, podemos resolver un sistema lineal utilizando matrices de una manera similar a
como resolvemos un sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.
2 Resolver sistemas de ecuaciones lineales
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante matrices, rescribimos la
matriz aumentada en forma triangular,
donde la a, p y q son constantes.A partir de este tipo de matriz aumentada podemos es-
cribir un sistema de ecuaciones equivalentes. Esta matriz representa el sistema lineal
Por ejemplo,
Observe que el sistema anterior, en el lado derecho, puede resolverse fácilmente por
sustitución. Su solución es (�6, 5).
Utilizamos transformaciones de renglón para reescribir la matriz aumentada en
forma triangular. Utilizaremos tres procedimientos de transformación de renglones.
B1 2
0 1
 ` 4
5
R representa 
x + 2y = 4
y = 5
1x + ay = p
0x + 1y = q
 o 
x + ay = p
y = q
B1 a
0 1
 ` p
q
R
-3x - 5y = - 
1
2
C -1
1
6
-3 -5
 
3 4
- 
1
2
S-x +
1
6
 y = 4
Por lo general, al cambiar un elemento de la matriz aumentada por un 1 utilizamos
el procedimiento 1 de las transformaciones de renglón, y al cambiar un elemento por un
0 utilizamos el procedimiento 2 de las transformaciones de renglón. Se trabaja por co-
lumnas, comenzando por la izquierda. Inicie con la primera columna, primer renglón.
Procedimientos para la transformación de renglones
1. Todos los números de un renglón pueden multiplicarse por (o dividirse entre) cual-
quier número real distinto de cero. (Esto es lo mismo que multiplicar ambos lados de
una ecuación por un número real distinto de cero).
2. Todos los números de un renglón pueden multiplicarse por cualquier número real dis-
tinto de cero. Estos productos pueden entonces sumarse a los números correspon-
dientes en cualquier otro renglón. (Esto esequivalente a eliminar una variable del
sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma).
3. Dos renglones de una matriz pueden intercambiarse. (Esto es lo mismo que intercam-
biar dos ecuaciones en el sistema de ecuaciones).
268 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
EJEMPLO 1 � Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando matrices.
Solución Primero escriba la matriz aumentada
Nuestro objetivo es obtener una matriz de la forma Comenzamos utili-
zando el procedimiento 1 de las transformaciones de renglón para cambiar el 2 en la
primera columna y primer renglón por un 1. Para hacerlo, multiplicamos el primer
renglón de números por (Abreviamos esta multiplicación como y lo colocamos
a la derecha de la matriz en el mismo renglón en que se realizó la operación. Esto pue-
de ayudarle a seguir el proceso con mayor claridad).
Con esto se obtiene
El paso siguiente es obtener 0 en la primera columna, segundo renglón. Donde por el
momento se encuentra un 4. Lo hacemos multiplicando los números del primer ren-
glón por �4, y sumamos los productos a los números del segundo renglón. (Esto se
abrevia ).
Los números del primer renglón multiplicados por �4 son
Ahora sumamos estos productos a sus números respectivos del segundo renglón. Con
esto obtenemos
Ahora tenemos
Para obtener 1 en la segunda columna, segundo renglón, multiplicamos el segundo ren-
glón de números por
B1 - 
0 1
 ` 5
-1
Rw
D
1 - 
3
2
0a 1
11
b 11a 1
11
b
 4 
5
 
 
-11a 1
11
b
T 
1
11
 R2
1
11
.
C1 - 
3
2
0 11
 
3
 
5
-11
S
D
1 - 
3
2
4 + 11-42 5 + a - 
3
2
b1-42
 4 
5
9 + 51-42
T 
-4R1 + R2
11-42 -
3
2
1-42 51-42
-4R1 + R2
C1 - 
3
2
4 5
 
3
 
5
 
9
S
C2a1
2
b -3a1
2
b
4 5
 
3
 
10a1
2
b
9
S 
1
2
 R1
1
2
 R1
1
2
.
B1 a
0 1
 ` p
q
R
B2 -3
4 5
 ` 10
9
R
 4x + 5y = 9
 2x - 3y = 10
Sección 4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices 269
Ahora la matriz se encuentra en la forma que buscamos. El sistema de ecuaciones
triangular equivalente es
Ahora podemos obtener el valor de x utilizando sustitución.
Una verificación mostrará que la solución del sistema es
� Ahora resuelva el ejercicio 19
3 Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables
Ahora utilizaremos las matrices para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales
con tres variables. Utilizamos el mismo procedimiento de transformaciones de renglón
que se empleó para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales. Nuestro objetivo es
obtener una matriz aumentada en la forma triangular
donde a, b, c y p, q y r son constantes. Esta matriz representa el siguiente sistema de
ecuaciones.
Al construir una matriz aumentada, trabaje por columnas, desde la columna del ex-
tremo izquierdo hasta la columna del extremo derecho. Siempre termine una columna
antes de pasar a la siguiente. En cada columna, obtenga primero el 1 en la posición indi-
cada, y después obtenga los ceros. El ejemplo 2 ilustra este procedimiento.
S u g e r e n c i a ú t i l Consejo de estudio
Al usar matrices tenga cuidado de mantener todos los números alineados de forma adecua-
da en renglones y columnas. Un pequeño error al copiar números de una matriz a otra con-
ducirá a un intento incorrecto, y con frecuencia frustrante, de resolver un sistema de
ecuaciones.
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones, cuando se representa de manera
correcta con la matriz aumentada, lleva a la solución (1, �2, �4).
Sin embargo, una matriz que parece muy similar, conduce a la terna
ordenada incorrecta a - 
25
53
, - 
130
53
, - 
206
53
b .
C
1 -3 1
4 -1 -5
-5 2 -4
 3 
3
20
13
S ,
C
1 -3 1
4 2 -5
-5 -1 -4
 3 
3
20
13
S ,
x - 3y + z = 3
4x + 2y - 5z = 20
-5x - y - 4z = 13
,
1x + ay + bz = p
0x + 1y + cz = q
0x + 0y + 1z = r
 o 
x + ay + bz = p
y + cz = q
z = r
C
1 a b
0 1 c
0 0 1
 3 
p
q
r
S
a7
2
, -1b .
 x =
7
2
 x +
3
2
= 5
 x -
3
2
 1-12 = 5
 x -
3
2
 y = 5
 y = -1
 x -
3
2
 y = 5
270 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
EJEMPLO 2 � Utilice matrices para resolver el siguiente sistema de ecuaciones
Solución Primero escriba la matriz aumentada.
Nuestro primer paso es utilizar las transformaciones para cambiar la primera columna
a Como el número de la primera columna, primer renglón ya es 1, trabajaremos con
el 2 de la primera columna y segundo renglón. Multiplicamos los números del primer
renglón por �2 y sumamos los productos a los números respectivos del segundo ren-
glón, con lo que cambiará el 2 por 0. Ahora la matriz es
Continuamos hacia abajo en la primera columna y cambiamos el �1 del tercer renglón
por un 0. Multiplicamos los números del primer renglón por 1 y sumamos los produc-
tos al tercer renglón para obtener
Ahora trabajamos con la segunda columna. Queremos cambiar los números de la se-
gunda columna a la forma donde a representa un número. Como hay un 1 en el tercer
renglón y segunda columna, y queremos un 1 en el segundo renglón, segunda columna,
intercambiamos los renglones dos y tres de la matriz. Esto da
Continuamos hacia abajo con la segunda columna; ahora cambiamos el 3 del tercer
renglón por un 0, multiplicando los números del segundo renglón por �3 y sumando
los productos al tercer renglón. Esto produce
Ahora trabajamos con la tercera columna. Deseamos cambiar los números de la 
tercera columna a la forma donde b y c representan números. Debemos cambiar el �22
del tercer renglón por un 1. Podemos lograr esto multiplicando los números del tercer
renglón por Esto da como resultado lo siguiente.- 
1
22
.
b
c
1
C
1 -2 3
0 1 5
0 0 -22
 3
-7
-15
66
S
- 3R2 + R3
C
1 -2 3
0 1 5
0 3 -7
 3 
-7
-15
21
S Intercambiar R2 y R3.
a
1
0
C
1 -2 3
0 3 -7
0 1 5
 3 
-7
21
-15
S 
1R1 + R3
C
1 -2 3
0 3 -7
-1 3 2
 3 
-7
21
-8
S - 2R1 + R2
1
0
0
.
C
1 -2 3
2 -1 -1
-1 3 2
 3 
-7
7
-8
S
 -x + 3y + 2z = -8
 2x - y - z = 7
 x - 2y + 3z = -7
Sección 4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices 271
Ahora esta matriz tiene la forma deseada. De esta matriz obtenemos el sistema de
ecuaciones siguiente.
La tercera ecuación nos da el valor de z en la solución. Ahora podemos obtener el va-
lor para y, sustituyendo �3 por z en la segunda ecuación.
Ahora obtenemos el valor para x, sustituyendo 0 por y y �3 por z en la primera ecuación.
La solución es (2, 0, �3). Ahora, verifique esto mediante la sustitución de los valores
apropiados en cada una de las ecuaciones originales.
� Ahora resuelva el ejercicio 33
4 Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes
Al resolver un sistema de dos ecuaciones, si obtiene una matriz aumentada en la que
todo un renglón de números de un lado de la recta vertical contiene ceros, pero no apa-
rece un cero en el mismo renglón del otro lado de la recta vertical, el sistema es incon-
sistente y no tiene solución. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones con el que se
obtiene la siguiente matriz aumentada es un sistema inconsistente.
Sistema inconsistente
El segundo renglón de la matriz representa la ecuación
la cual nunca es verdadera.
Si obtiene una matriz en la cual aparecen ceros en todo el renglón, el sistema de
ecuaciones es dependiente. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones que produce la si-
guiente matriz aumentada es un sistema dependiente.
Sistema dependiente
El segundo renglón de la matriz representa la ecuación
la cual siempre es verdadera.
0x + 0y = 0
—B1 -3
0 0
 ` -4
0
R
0x + 0y = 3
—B1 2
0 0
 ` 5
3
R
 x = 2
 x - 9 = -7
 x - 0 - 9 = -7
 x - 2102 + 31-32 = -7
 x - 2y + 3z = -7
 y = 0
 y - 15 = -15
 y + 51-32 = -15
 y + 5z = -15
 z = -3
 y + 5z = -15
 x - 2y + 3z = -7
- 
1
22 R3
C
1 -2 3
0 1 5
0 0 1
 3 
-7
-15
-3
S
272 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Se cumplen reglas similares para los sistemas de ecuaciones con tres ecuaciones.
Sistema inconsistente
Sistema dependiente—C
1 3 -1
0 0 0
0 5 6
 3
2
0
-4
S
—C
1 3 7
0 0 0
0 1 -2
 3
5
-1
3
S
CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.4
Ejerciciosde concepto/redacción
1. ¿Qué es una matriz cuadrada?
2. Explique cómo construir una matriz aumentada.
3. Si obtiene la matriz aumentada siguiente cuando resuelve un
sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el paso siguiente para
completar el proceso? Explique.
4. Si obtuvo la matriz aumentada siguiente al resolver un siste-
ma de ecuaciones, ¿cuál sería el paso siguiente para comple-
tar el proceso? Explique su respuesta.
5. Si obtuvo la matriz aumentada siguiente al resolver un siste-
ma de ecuaciones, ¿cuál sería el paso siguiente para comple-
tar el proceso? Explique su respuesta.
C
1 -3 7
0 -1 5
2 6 4
 3
-1
3
-8
S
B1 3
0 -2
 ` 6
14
R
6. Si obtuvo la matriz aumentada siguiente al resolver un siste-
ma de ecuaciones, ¿cuál sería el paso siguiente para comple-
tar el proceso? Explique su respuesta.
7. Al resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matri-
ces, si dos renglones son idénticos, ¿el sistema será consisten-
te, dependiente o inconsistente?
8. Cuando resuelva un sistema de ecuaciones mediante matri-
ces, ¿cómo sabrá si el sistema es
a) dependiente,.
b) inconsistente?
C
1 3 -2
0 1 2
0 0 -4
 3
1
-3
-12
S
C
1 4 -7
0 5 2
0 1 6
 3
7
-1
-2
S
Práctica de habilidades
Realice cada una de las transformaciones de renglón indicada y escriba la matriz nueva.
9. Multiplique los números del primer renglón por
10. Multiplique los números del segundo renglón por
11. Intercambie los renglones 1 y 3.C
4 7 2
3 2 1
1 1 3
 3
-1
-5
-8
S
1
4
.B1 8
0 4
 ` 3
-3
R
1
5
.B5 -10
3 -7
 ` -25
-4
R
CÓMO UTILIZAR SU CALCULADORA GRAFICADORA
Muchas calculadoras graficadoras tienen la capacidad para trabajar con matrices. Tales calculadoras tienen capacidad para
realizar operaciones de renglón sobre matrices. Por consiguiente, estas calculadoras graficadoras pueden utilizarse para resolver
sistemas de ecuaciones mediante matrices.
Lea el manual de instrucciones que viene con su calculadora graficadora para ver si puede manipular matrices. Si es así,
aprenda cómo utilizar su calculadora graficadora para resolver sistemas de ecuaciones mediante matrices.
Sección 4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices 273
12. Intercambie el renglón 2 y el renglón 3.
13. Multiplique los números del primer renglón por 4 y sume los productos al segundo renglón.
14.
Multiplique los números del primer renglón por y sume los productos al segundo renglón.
15. Multiplique los números del primer renglón por �5 y sume los productos al segundo renglón.
16. Multiplique los números del tercer renglón por
Resuelva cada sistema utilizando matrices.
17. 18. 19.
20. 21. 22.
23. 24. 25. 12x + 2y = 2
6x - 3y = -11
-2m - 4n = 7
3m + 6n = -8
2x - 5y = -6
-4x + 10y = 12
3s - 2t = 1
-2s + 4t = -6
5a - 10b = -10
2a + b = 1
3x + 6y = 0
2x - y = 10
x + 3y = -2
-2x - 7y = 3
x + 2y = 10
3x - y = 9
x + 3y = 3
-x + y = -3
1
3
.C
1 2 -1
0 1 5
0 0 3
 3
6
0
12
S
D
 
 
1 0 8
5 2 2
6 -3 1
 
4
 
1
4
-2
0
T
- 
1
2C
1 5
1
2
10
 3 6
 
 
-4
S
B 1 3
-4 11
 ` 12
-6
R
C
1 5 7
0 8 -1
0 1 3
 3
2
-6
-4
S
26.
 -2r + s = -7
 4r + 2s = -10 27. -3x + 6y = 5
2x - 4y = 7
28. 8x = 4y + 12
-2x + y = -3
29. 12x - 8y = 6
-3x + 4y = -1
30. 2x - 3y = 3
-5x + 9y = -7
31.
 16n = -15m - 2
 10m = 8n + 15 32. 8x = 9y + 4
16x - 27y = 11
Resuelva cada sistema utilizando matrices.
33.
-3x + y - 2z = -11
2x + 5y - 4z = -3
x - 3y + 2z = 5 34. a - 3b + 4c = 7
4a + b + c = -2
-2a - 3b + 5c = 12
35. x + 2y = 5
y - z = -1
2x - 3z = 0
36. 3a - 5c = 3
a + 2b = -6
7b - 4c = 5
37. x - 2y + 4z = 5
-3x + 4y - 2z = -8
4x + 5y - 4z = -3
38. 3x + 5y + 2z = 3
-x - y - z = -2
2x - 2y + 5z = 11
39. 2x - 5y + z = 1
3x - 5y + z = 3
-4x + 10y - 2z = -2
40.
 7x + 8y + 9z = 0
 4x + 5y + 6z = -3
 x + 2y + 3z = 1 41. 4p - q + r = 4
-6p + 3q - 2r = -5
2p + 5q - r = 7
42.
 2r - 5s - 8t = -23
 4r + 2s - 2t = -3
 -4r + 3s - 6t = 14 43. 2x - 4y + 3z = -12
3x - y + 2z = -3
-4x + 8y - 6z = 10
44.
 -6x + 4y - 8z = 2
 5x + 2y - 4z = 9
 3x - 2y + 4z = -1
45. 5x - 3y + 4z = 22
-x - 15y + 10z = -15
-3x + 9y - 12z = -6
46. 9x - 4y + 5z = -2
-9x + 5y - 10z = -1
9x + 3y + 10z = 1
Resolución de problemas
las pendientes e intersecciones con y de las gráficas de las
ecuaciones. Sin resolver, ¿puede decir si un sistema de tres
ecuaciones con tres variables es consistente, dependiente o
inconsistente? Explique.
47. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante ma-
trices, si dos renglones de la matriz se intercambian, ¿cam-
biará la solución del sistema? Explique.
48. Puede decir si un sistema de dos ecuaciones con dos varia-
bles es consistente, dependiente o inconsistente, comparando
274 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Resuelva utilizando matrices.
52. Impacto en los negocios A una muestra de directores gene-
rales en una encuesta de TEC International se le pidió listar
los cambios más importantes que podrían hacerse de 2004 a
2006 para fortalecer sus compañías. Las tres respuestas prin-
cipales fueron, en orden: reducir impuestos, reformar los se-
guros de salud, y fortalecer el dólar. Setenta y siete por
ciento de todos los directores generales seleccionaron uno
de estos tres puntos como su opción principal. Cuatro por
ciento más de directores generales seleccionó la reducción
de impuestos en vez de reformar los seguros de salud. La re-
ducción de impuestos fue dos por ciento mayor que tres veces
el porcentaje de quienes seleccionaron fortalecer el dólar.
Determine el porcentaje de directores generales que selec-
cionaron la reducción de impuestos, reformar el seguro de
salud y fortalecer el dólar. Luego complete la gráfica siguiente.
Reducción 
de impuestos
Reformas en el 
seguro de salud Fortalecer 
el dólarOtras
8%
6% 10%
Políticas para 
disminución 
de inversiones 
en el exterior
Disminución 
del gasto 
federal
Fuente: Encuesta de TEC International realizada a 2,300 directores generales.
¿Qué tendría mayor impacto en su empresa?
(Los porcentajes no 
suman 100% debido 
al redondeo)
49. Ángulos de un tejado En un tejado de sección transversal
triangular, el ángulo más grande es 55° mayor que el ángulo
más pequeño. El ángulo más grande es 20° mayor que el ter-
cer ángulo. Determine la medida de cada ángulo.
50. Ángulo recto Un ángulo recto se divide en tres ángulos más
pequeños. El más grande de los tres ángulos es el doble del
más pequeño. El tercer ángulo es 10° mayor que el ángulo
más pequeño. Determine la medida de cada ángulo.
51. Plátanos Sesenta y cinco por ciento de los plátanos del mun-
do son controlados por Chiquita, Dole, o Del Monte (todas
compañías de Estados Unidos). Chiquita, la más grande, con-
trola 12% más plátanos que Del Monte. Dole, la segunda en
tamaño, controla 3% menos que el doble del porcentaje que
controla Del Monte. Determine los porcentajes que se debe-
rán colocar en cada sector del círculo de la gráfica que se
muestra.
Plátanos en el mundo
Otras
Del Monte
Dole
Chiquita
x
y
z
x
y
z
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.2] 53. A � 51, 2, 4, 6, 96; B � 53, 4, 5, 6, 106. Determine
a)
b)
[2.5] 54. Indique la desigualdad �1 � x � 4
a) en una recta numérica,
A ¨ B.
A ´ B;
b) como un conjunto solución y
c) en notación de intervalo.
[3.2] 55. ¿Qué representa una gráfica?
[3.4] 56. Si f(x) � �2x2 � 3x � 6, determine f(�5).
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