Funções Quadráticas

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572 Capítulo 8 Funciones cuadráticas
La utilidad de una compañía, en dólares, es la diferencia entre sus ingresos y sus gastos. En los ejercicios 105 y 106 se dan las funciones
de gastos, C(x), y de ingresos, R(x). La x representa el número de artículos producidos y vendidos a los distribuidores. Determine a) la
utilidad máxima de la compañía, y b) el número de artículos que deben producirse y venderse para obtener la utilidad máxima.
105.
 R1x2 = 800x - x2
 C1x2 = 2000 + 40x
Retos
107. Béisbol En el ejemplo 3 de esta sección usamos la función
f(t) � �16t2 � 52t � 3 para determinar que la altura máxi-
ma, f, alcanzada por una bola de béisbol golpeada por
Tommy Magee fue de 45.25 pies. La bola alcanzó esta altu-
ra 1.625 segundos después de que fue bateada.
Repase el ejemplo 3.
a) Completando el cuadrado, escriba f(t) en la forma
f(t) � a(t � h)2 � k.
b) Mediante la función que obtuvo en la parte a), determi-
ne la altura máxima que alcanza la bola de béisbol y el
tiempo que tarda en llegar a ella a partir de que fue ba-
teada.
c) ¿Las respuestas que obtuvo en la parte b), son las mis-
mas que se obtuvieron en el ejemplo 3? Si no es así, ex-
plique por qué. same
Actividad en grupo
Analicen y respondan en grupo el ejercicio 108.
108. a) Miembro 1 del grupo: Escriba dos funciones cuadráticas
f(x) y g(x) de modo que no se intersequen.
b) Miembro 2 del grupo: Escriba dos funciones cuadráticas
f(x) y g(x) de modo que ninguna de ellas tenga inter-
secciones con el eje x y los vértices de ambas se den en
lados opuestos del eje x.
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 109. Determine el área de la región exterior de la figura.
[3.7] 110. Grafique y …
2
3
 x + 3.
30 pies
10 pies
106.
 R1x2 = 2000x - x2
 C1x2 = 5000 + 12x
c) Miembro 3 del grupo: Escriba dos funciones cuadráticas
f(x) y g(x) de modo que ambas tengan el mismo vérti-
ce, pero que la parábola de una abra hacia arriba y la de
la otra abra hacia abajo. will vary.
d) Revisen en grupo sus respuestas a las partes a), b) y c),
y decidan si son correctas. Si hay alguna incorrecta,
corríjanla.
[4.2] 111. Resuelva el sistema de ecuaciones.
[4.5] 112. Evalúe el determinante.
[6.1] 113. Divida 1x - 32 ,
x2
+ 3x - 18
x
.
3 12 3
2 -4
3
 x + y + z = 3
 2x + 2y - z = 0
 x - y = -5
8.6 Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con una variable
1 Resolver desigualdades
cuadráticas.
2 Resolver otras
desigualdades polinomiales.
3 Resolver desigualdades
racionales.
En la sección 2.5 se analizaron las desigualdades lineales con una variable. Ahora estu-
diaremos las desigualdades cuadráticas con una variable.
Cuando el signo de igual en una ecuación cuadrática de la forma ax2 � bx � c � 0
se reemplaza por un signo de desigualdad, obtenemos una desigualdad cuadrática.
Ejemplos de desigualdades cuadráticas
x2
+ x - 12 7 0, 2x2
- 9x - 5 … 0
3�4
A B C
(��, �4) (�4, 3) (3, �)
FIGURA 8.22
Sección 8.6 Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con una variable 573
La solución de una desigualdad cuadrática es el conjunto de todos los valores que
la hacen verdadera. Por ejemplo, si sustituimos x por 5 en x2 � x � 12 � 0, obtenemos
Verdadero
La desigualdad es verdadera cuando x es 5, por lo que 5 satisface la desigualdad. Sin
embargo, 5 no es la única solución; existen otros valores que satisfacen (o son solucio-
nes de) la desigualdad. ¿El número 4 satisface la desigualdad? ¿El número 2?
1 Resolver desigualdades cuadráticas
Para determinar las soluciones de desigualdades cuadráticas pueden usarse diferentes
métodos. Empezaremos por analizar el de la graficación de signos. Considere la función
f(x) � x2 � x � 12, cuya gráfica se muestra en la figura 8.21a. La figura 8.21b muestra,
en color rojo, que cuando x � �4 o x � 3, f(x) � 0 o x2 � x � 12 � 0. La parte de la
parábola en color negro muestra que cuando �4 � x � 3, f(x) � 0 o x2 � x � 12 � 0.
 18 7 0
 52
+ 5 - 12
?
7 0
 x2
+ x - 12 7 0
La graficación de signos consiste en trazar la gráfica correspondiente a la desigual-
dad para determinar cuáles valores de la variable la satisfacen, tal como se acaba de
mostrar. En muchos casos, sin embargo, trazar la gráfica de una función podría ser
complicado o tomar demasiado tiempo, por lo que hay métodos alternativos para re-
solver desigualdades cuadráticas y de otros tipos.
En el ejemplo 1 se ilustra cómo se resuelve x2 � x � 12 � 0 mediante una recta nu-
mérica, y se explica el procedimiento.
EJEMPLO 1 � Resuelva la desigualdad x2 � x � 12 � 0. Proporcione la solución
a) en una recta numérica, b) en notación de intervalos y c) en notación constructiva de
conjuntos.
Solución Haga la desigualdad igual a 0 y resuelva la ecuación.
o
Los números obtenidos se denominan valores frontera, y se usan para dividir una recta
numérica en intervalos. Si la desigualdad original es � o �, los valores frontera no son
parte de los intervalos; si la desigualdad original es � o 	 los valores frontera son parte
de los intervalos.
En la figura 8.22 se identifican los intervalos A, B y C. A continuación, selecciona-
mos un valor de prueba en cada intervalo. Luego sustituimos cada uno de esos núme-
ros, de uno en uno, en x2 � x � 12 � 0 o en (x � 4)(x � 3) � 0, y determinamos si
 x = 3 x = -4
 x - 3 = 0 x + 4 = 0
 1x + 421x - 32 = 0
 x2
+ x - 12 = 0
�10
�14
�8
�6
�4
�2
10
8
6
4
2
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
�10
�14
�8
�6
�4
�2
10
8
6
4
2
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
(a) (b)FIGURA 8.21
2
A B
31
FIGURA 8.25
3�4
Solución
FIGURA 8.24
3�4
A B C
�5 0 4
FIGURA 8.23
574 Capítulo 8 Funciones cuadráticas
hacen que la desigualdad sea verdadera. Si el valor de prueba satisface la desigualdad,
significa que todos los demás valores de ese intervalo también lo harán. Si el valor de
prueba no satisface la desigualdad, ningún número del intervalo lo hará.
En este ejemplo usaremos los valores de prueba �5 en el intervalo A, 0 en el inter-
valo B, y 4 en el intervalo C (vea la figura 8.23).
Intervalo A Intervalo B Intervalo C
Valor de prueba, �5 Valor de prueba, 0 Valor de prueba, 4
¿x2 � x – 12 es � 0? ¿x2 � x – 12 es � 0? ¿x2 � x – 12 es � 0?
Verdadera Falsa Verdadera
Como los valores de prueba en los intervalos A y C satisfacen la desigualdad, la solu-
ción es todos los números reales en los intervalos A y C. El símbolo de desigualdad es
�. Los valores �4 y 3 no se incluyen en la solución, ya que hacen que la desigualdad
sea igual a 0.
Las respuestas a las partes a), b) y c) son las siguientes.
a) La solución se ilustra en la recta numérica de la figura 8.24.
b) La solución en notación de intervalos es (�q, �4) ´ (3, q).
c) La solución en notación constructiva de conjuntos es
Observe que todas estas soluciones son consistentes con la gráfica de la figura 8.21b.
� Ahora resuelva el ejercicio 15
{x ƒx 6 -4 o x 7 3}.
8 7 0-12 7 08 7 0
42
+ 4 - 12
?
7 002
+ 0 - 12
?
7 01-522 - 5 - 12
?
7 0
 13, q2 1-4, 32 1- q , -42
EJEMPLO 2 � Resuelva la desigualdad x2 � 4x 	 �4. Proporcione la solución
a) en una recta numérica, b) en notación de intervalos y c) en notación constructiva de
conjuntos.
Solución Escriba la desigualdad como una ecuación, y resuélvala.
o
Como ambos factores son iguales, existe un solo valor frontera, 2 (vea la figura 8.25).
Ambos valores de prueba, 1 y 3, hacen que la desigualdad sea verdadera.
Intervalo A Intervalo B
Valor de prueba, 1 Valor de prueba, 3
Verdadera Verdadera-3 Ú -4-3 Ú -4
9 - 12
?
Ú -41 - 4
?
Ú -4
32
- 4132 ?
Ú -412
- 4112 ?
Ú -4
x2
- 4x Ú -4x2
- 4x Ú -4
 12, q2 1- q , 22
 x = 2 x = 2
 x - 2 = 0 x - 2 = 0
 1x - 221x - 22 = 0
 x2
- 4x + 4 = 0
 x2
- 4x = -4
Para resolver desigualdades cuadráticas y de otros tipos
1. Escriba la desigualdad como una ecuación y resuélvala.
2. Si resuelve una desigualdad racional, determine los valores que hacen que el denomi-
nador sea igual a 0.
3. Construya una recta numérica. Marque las soluciones obtenidas en los pasos 1 y 2.
Marque el valor más pequeño a la izquierda, e incremente hacia la derecha.4. Seleccione un valor de prueba en cada intervalo y determine si satisface la desigual-
dad. También pruebe los valores frontera.
5. Escriba la solución en la forma solicitada por su profesor.
1 � �5 1 � �5
FIGURA 8.28
1 � �5 1 � �5
�2 0 4
A B C
FIGURA 8.27
f (x) � x2 � 4x
g(x) � �4
�5
�6
�3
�2
�1
5
6
4
3
2
1
54321�4 �3 �2 �1 x
y
FIGURA 8.26
Sección 8.6 Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con una variable 575
El conjunto solución incluye ambos intervalos y el valor frontera, 2. Por lo tanto, el
conjunto solución es el conjunto de los números reales, Las respuestas a las partes
a), b) y c) son:
a) b) c)
� Ahora resuelva el ejercicio 11
Podemos comprobar la solución del ejemplo 2 mediante una gráfica. Sea f(x) � x2 � 4x
y g(x) � �4. Para que x2 � 4x 	 �4 sea verdadero, necesitamos que f(x) 	 g(x). Las
gráficas de f(x) y g(x) se ilustran en la figura 8.26.
Observe que f(x) � g(x) en x � 2 y f(x) � g(x) para todos los demás valores de
x. Por lo tanto, f(x) 	 g(x) para todos los valores de x, y el conjunto solución es el con-
junto de los números reales.
En el ejemplo 2, si reescribimos la desigualdad x2 � 4x 	 �4 como x2 � 4x � 4 	 0
y luego como (x � 2)2 	 0, podemos ver que la solución debe ser el conjunto de los nú-
meros reales, ya que (x � 2)2 debe ser mayor o igual a 0 para cualquier número real x.
La solución a x2 � 4x � �4 es el conjunto vacío, 
. ¿Puede explicar por qué?
EJEMPLO 3 � Resuelva la desigualdad x2 � 2x � 4 � 0. Exprese la solución en
notación de intervalos.
Solución Primero necesitamos resolver la ecuación x2 � 2x � 4 � 0. Como esta
ecuación no se puede factorizar, utilizamos la fórmula cuadrática para resolverla.
Los valores frontera son y El valor de es aproximadamente
�1.24 y el valor de es alrededor de 3.24. Seleccionaremos como valores de
prueba a �2, 0 y 4 (vea la figura 8.27).
Intervalo A Intervalo B Intervalo C
Valor de prueba, �2 Valor de prueba, 0 Valor de prueba, 4
`
Falso Verdadero Falso
Como el símbolo de la desigualdad es � y los valores frontera hacen que la desigual-
dad sea igual a 0, éstos son parte de la solución.Así, la solución en notación de interva-
los es y se ilustra en la recta numérica de la figura 8.28.
� Ahora resuelva el ejercicio 19
S u g e r e n c i a ú t i l
Si ax2 � bx � c � 0, con a � 0, tiene dos soluciones reales distintas, entonces:
Desigualdad de la forma La solución es Solución en la recta numérica
Intervalos de los extremos
Intervalo central
El ejemplo 1 es una desigualdad de la forma ax2 � bx � c � 0, y el ejemplo 3 es una de-
sigualdad de la forma ax2 � bx � c � 0. Como el ejemplo 2 no tiene dos soluciones reales
distintas, esta sugerencia útil no se aplica.
ax2
+ bx + c … 0
ax2
+ bx + c Ú 0
[1 - 15, 1 + 15]
 4 … 0 -4 … 0 4 … 0
 16 - 8 - 4
?
… 0 0 - 0 - 4
?
… 0 4 + 4 - 4
?
… 0
 42
- 2142 - 4
?
… 0 02
- 2102 - 4
?
… 0 1-222 - 21-22 - 4
?
… 0
 x2
- 2x - 4 … 0 x2
- 2x - 4 … 0 x2
- 2x - 4 … 0
 11 + 15, q2 11 - 15, 1 + 152 1- q , 1 - 152
1 + 15
1 - 151 + 15.1 - 15
 =
2 ; 14 - 41121-42
2112 =
2 ; 120
2
=
2 ; 215
2
= 1 ; 15
 x =
-b ; 2b2
- 4ac
2a
{x ƒ - q 6 x 6 q }1- q , q2
0
�.
3
2
1
0
�2
�1
�q
A B C D
FIGURA 8.31
�3�5 s
FIGURA 8.30
10�6 �4
�5 �3 s
A DCB
FIGURA 8.29
576 Capítulo 8 Funciones cuadráticas
2 Resolver otras desigualdades polinomiales
Puede emplearse un procedimiento similar al usado anteriormente para resolver otras
desigualdades polinomiales, como se ilustra en los ejemplos siguientes.
EJEMPLO 4 � Resuelva la desigualdad (3x � 2)(x � 3)(x � 5) � 0. Ilustre la solu-
ción en una recta numérica y escríbala en notación de intervalos y en notación cons-
tructiva de conjuntos.
Solución Utilizamos la propiedad del factor nulo para resolver la ecuación
o o
Las soluciones �5, �3 y dividen la recta numérica en cuatro intervalos (vea la figu-
ra 8.29). Los valores de prueba que usaremos son �6, �4, 0 y 1. En la tabla siguiente se
muestran los resultados.
Intervalo Valor de prueba
Verdadero
14 Falso
0 Verdadero
1 24 Falso
Como el símbolo original de la desigualdad es �, los valores frontera no son parte
de la solución. La solución, intervalos A y C, se ilustra en la recta numérica de la figura 
8.30; en notación constructiva de conjuntos es y en nota-
ción de intervalos es 
� Ahora resuelva el ejercicio 27
EJEMPLO 5 � Dada f(x) � 3x3 � 3x2 � 6x, determine todos los valores de x para
los que f(x) 	 0. Ilustre la solución en una recta numérica y proporcione la solución en
notación de intervalos.
Solución Necesitamos resolver la desigualdad
Empezamos resolviendo la ecuación
o o
Las soluciones �1, 0 y 2 dividen la recta numérica en cuatro intervalos (vea la figu-
ra 8.31). Los valores de prueba que usaremos son y 3.-2, - 
1
2
, 1
 x = -1 x = 2 x = 0
 x + 1 = 0 x - 2 = 0 3x = 0
 3x1x - 221x + 12 = 0
 3x1x2
- x - 22 = 0
3x3
- 3x2
- 6x = 0.
3x3
- 3x2
- 6x Ú 0
1- q , -52 ´ a -3, 
2
3
b .
ex ` x 6 -5 o -3 6 x 6
2
3
f
D: a2
3
, q b
-30C: a -3, 
2
3
b
-4B: 1-5, -32
-60-6A: 1- q , -52
< 013x � 221x � 321x � 52
2
3
 x = -5 x = -3 x =
2
3
 x + 5 = 0 x + 3 = 0 3x - 2 = 0
13x - 221x + 321x + 52 = 0.
�5
�8
�7
�6
�4
�3
�2
�1
4
3
1
5 6431�4�5�6 �3 �2 x
y
FIGURA 8.32b
Sección 8.6 Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con una variable 577
Intervalo Valor de prueba
Falso
Verdadero
C: (0, 2) 1 Falso
3 36 Verdadero
Como la desigualdad original es 	, los valores frontera (en los intervalos B y D)
son parte de la solución, tal como se ilustra en la recta numérica de la figura 8.32a. En
notación de intervalos, la solución es 3�1, 04 ´ 32, q). La figura 8.32b muestra la gráfi-
ca de f(x) � 3x3 � 3x2 � 6x. Observe que f(x) 	 0 para �1 � x � 0 y para x 	 2, lo
cual coincide con nuestra solución.
D: 12, q2
-6
15
8
- 
1
2
B: 1-1, 02
-24-2A: 1- q , 12
» 03x3 � 3x2 � 6x
4 5 63210�4�5�6 �3 �2 �1
FIGURA 8.32a
� Ahora resuelva el ejercicio 41
En todos los ejemplos que hemos resuelto, el coeficiente del término principal ha
sido un número positivo.
Ahora considere la desigualdad �3x3 � 3x2 � 6x � 0; observe que el coeficiente
del término principal, �3x3, es un número negativo, �3. Por lo general es más sencillo
resolver una desigualdad en la que el coeficiente del término principal es un número
positivo, así que lo convertiremos multiplicando ambos lados de la desigualdad por �1.
Cuando haga esto, recuerde invertir el símbolo de la desigualdad.
Invertir el símbolo de la desigualdad.
Esta desigualdad se resolvió en el ejemplo 5.
3 Resolver desigualdades racionales
En los ejemplos 6 y 7 resolveremos desigualdades racionales, que son aquellas que in-
cluyen expresiones racionales.
EJEMPLO 6 � Resuelva la desigualdad y grafique la solución en una
recta numérica.
Solución Cambie el 	 por � y resuelva la ecuación resultante.
Multiplicar ambos lados por x � 3.
 -7 = x
 -1 = x + 6
 x - 1 = 2x + 6
 x + 3 #
x - 1
 x + 3 
= 2 1x + 32
 
x - 1
x + 3
= 2
x - 1
x + 3
Ú 2
 3x3
- 3x2
- 6x Ú 0
 -11-3x3
+ 3x2
+ 6x2 Ú -1102
 -3x3
+ 3x2
+ 6x … 0
�7 �3
FIGURA 8.34
�7
0�5�8
A B C
�3
FIGURA 8.33
578 Capítulo 8 Funciones cuadráticas
Al resolver desigualdades racionales, también necesitamos determinar el valor o va-
lores que hacen al denominador igual a 0. Igualamos a 0 el denominador y resolvemos.
Para determinar los intervalos, utilizamos la solución de la ecuación, �7, y el valor
que anula al denominador 0, �3, como se muestra en la figura 8.33. Como valores de
prueba utilizaremos �8, �5 y 0.
Intervalo A Intervalo B Intervalo C
Valor de prueba, �8 Valor de prueba, �5 Valor de prueba, 0
Falso Verdadero Falso
Sólo el intervalo B satisface la desigualdad. Siempre que tengamos una desigualdad ra-
cional, debemos ser muy cuidadosos al determinar cuáles valores frontera están conte-
nidos en la solución. Recuerde que nunca podemos incluir en nuestra solución valores
que anulen al denominador.Ahora verificamos los valores frontera �7 y �3. Como �7
da por resultadola desigualdad �2 	 �2, que es verdadera, �7 es una solución. Pues-
to que no está permitida la división entre 0, �3 no es solución. Por lo tanto, la solución
es 3�7, �3). La solución se ilustra en la recta numérica de la figura 8.34.
� Ahora resuelva el ejercicio 81
En el ejemplo 6 resolvimos Suponga que graficamos
¿Para qué valores de x sería f(x) 	 2? Si respondió �7 � x � �3, su respuesta es co-
rrecta. En la figura 8.35 se muestran las gráficas de y de y � 2. Observe
que f(x) 	 2 cuando �7 � x ��3.
f1x2 =
x - 1
x + 3
f1x2 =
x - 1
x + 3
.
x - 1
x + 3
Ú 2.
 - 
1
3
Ú 2 3 Ú 2 
9
5
Ú 2
 
0 - 1
0 + 3
?
Ú 2 
-5 - 1
-5 + 3
?
Ú 2 
-8 - 1
-8 + 3
?
Ú 2
 
x - 1
x + 3
Ú 2 
x - 1
x + 3
Ú 2 
x - 1
x + 3
Ú 2
 1-3, q2 1-7, -32 1- q , -72
 x = -3
 x + 3 = 0
�5
�4
�3
�2
�1
5
7
6
4
3
5 64321�3�4�5�12�11�10�9 �8 �7 �6 �2 �1 x
y
y � 2
FIGURA 8.35
EJEMPLO 7 � Resuelva la desigualdad Grafique la solución
en una recta numérica y escríbala en notación de intervalos.
Solución Las soluciones de la ecuación son 3 y �4, ya que
estos valores son los que hacen el numerador igual a 0. La ecuación no está definida en
1x - 321x + 42
x + 1
= 0
1x - 321x + 42
x + 1
Ú 0.
3�4 �1
FIGURA 8.37
A B C D
�5 �2 0 4
3�4 �1
FIGURA 8.36
Sección 8.6 Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con una variable 579
�1; por lo tanto, utilizamos los valores 3, �4 y �1 para determinar los intervalos en la
recta numérica (vea la figura 8.36). Al comprobar los valores de prueba �5, �2, 0 y 4,
encontramos que los valores en los intervalos B y D, �4 � x � �1 y x � 3, satisfacen
la desigualdad. Compruebe los valores de prueba para verificarlo. Los valores 3 y �4
igualan a 0 la desigualdad y, por lo tanto, son parte de la solución. La desigualdad no
está definida en �1, así que �1 no es parte de la solución. La solución es 3�4, �1) ´33, q), como se ilustra en la recta numérica de la figura 8.37.
CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.6
Ejercicios de concepto/redacción
1. A continuación se da la gráfica de f(x) � x2 � 7x � 10. De-
termine la solución de a) f(x) � 0 y b) f(x) � 0.
y
x
�4
�3
�2
�1
6
5
4
3
2
1
8765431 2�2�1
3. Al resolver la desigualdad (x � 5)(x � 3) 	 0, ¿los valores
frontera 5 y �3 están incluidos en el conjunto solución? Ex-
plique.
Práctica de habilidades
Resuelva cada desigualdad y grafique la solución en la recta numérica.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 5x2
… -20x - 42x2
- 12x + 9 … 0
3x2
+ 5x - 3 … 05x2
+ 6x … 83n2
- 7n … 6
2x2
+ 5x - 3 Ú 0r2
- 5r 6 0x2
- 16 6 0
x2
- 8x Ú 0n2
- 6n + 9 Ú 0x2
+ 8x + 7 6 0
x2
+ 7x + 6 7 0x2
- 2x - 8 6 0x2
- 2x - 8 Ú 0
� Ahora resuelva el ejercicio 71
2. Dada la gráfica de f(x) � �x2 � 4x � 5, determine la solu-
ción de a) f(x) 	 0 y b) f(x) � 0.
y
x
�1
9
8
6
5
4
3
2
1
32�3�4�7�6 �2�1
4. Al resolver la desigualdad (x � 2)(x � 4) � 0, ¿los valores
frontera 2 y �4 están incluidos en el conjunto solución? Ex-
plique.
5. Al resolver la desigualdad ¿los valores
frontera �2 y 1 están incluidos en el conjunto solución? ¿El
valor frontera �1 está incluido en el conjunto solución? Ex-
plique.
1x + 221x - 12
x + 1
… 0, 6. Al resolver la desigualdad ¿el valor
frontera �3 está incluido en el conjunto solución? ¿Los valo-
res frontera �4 y 2 están incluidos en el conjunto solución?
Explique.no
1x + 32
1x + 421x - 22 Ú 0,
580 Capítulo 8 Funciones cuadráticas
Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
Determine todos los valores de x para los que f(x) satisface las condiciones que se indican en cada una de las siguientes funciones.
Grafique la solución en una recta numérica.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación constructiva de conjuntos.
43. 44. 45.
46. 47. 48.
49. 50. 51.
52. 53. 54.
55. 56. 57.
58. 59. 60.
Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos.
61. 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68.
69. 70.
71. 72.
r1r - 82
2r + 6
6 0
1x - 3212x + 52
x - 4
Ú 0
x + 9
1x - 221x + 42 7 0
x - 6
1x + 421x - 12 … 0
z - 5
1z + 621z - 92 Ú 0
c
1c - 321c + 82 … 0
1b - 221b + 42
b
6 0
1a - 121a - 72
a + 2
Ú 0
1x - 221x + 32
x - 5
Ú 0
1x - 221x + 32
x - 5
7 0
1x + 121x - 62
x + 3
… 0
1x + 121x - 62
x + 3
6 0
4x - 2
2x - 8
7 0
3x + 8
x - 2
… 0
k + 3
k
Ú 0
3x + 4
2x - 1
6 0
x + 4
x - 4
… 0
5a + 10
3a - 1
Ú 0
4z - 8
z - 9
Ú 0
3y + 6
y + 4
… 0
2d - 6
d - 1
6 0
c - 10
c - 4
7 0
b + 7
b + 1
… 0
a - 9
a + 5
6 0
x - 4
x + 6
7 0
x + 3
x - 2
Ú 0
x - 1
x + 5
… 0
x - 1
x + 5
6 0
x + 2
x - 4
Ú 0
x + 2
x - 4
7 0
f1x2 = x3
- 9x, f1x2 … 0f1x2 = 2x3
+ 9x2
- 35x, f1x2 Ú 0
f1x2 = x2
+ 5x - 3, f1x2 … 4f1x2 = 2x2
+ 9x - 1, f1x2 … 5
f1x2 = x2
- 2x - 15, f1x2 6 0f1x2 = x2
- 14x + 48, f1x2 6 0
f1x2 = x2
+ 8x, f1x2 … 0f1x2 = x2
+ 4x, f1x2 7 0
f1x2 = x2
- 7x, f1x2 7 0f1x2 = x2
- 6x, f1x2 Ú 0
x3
+ 3x2
- 40x 7 0x3
- 6x2
+ 9x 6 0
1x + 32214x - 72 … 01x + 221x + 2213x - 82 Ú 0
13c - 121c + 4213c + 62 … 013x + 521x - 321x + 12 7 0
1a - 421a - 221a + 82 7 012c + 5213c - 621c + 62 7 0
1r - 121r + 221r + 72 6 01a - 321a + 221a + 42 6 0
1x - 221x + 221x + 52 … 01x - 221x + 121x + 52 Ú 0
Sección 8.6 Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con una variable 581
Resuelva cada desigualdad y grafique la solución en una recta numérica.
73. 74. 75.
76. 77. 78.
79. 80. 81.
82. 83. 84.
x - 1
2x + 6
… -3
w
3w - 2
7 -2
x + 6
x + 2
7 1
4
x + 2
Ú 2
2
2a - 1
7 2
2p - 5
p - 4
… 1
5
x + 2
6 1
5
x + 2
… 1
3
x + 1
Ú -1
3
x - 1
7 -1
2
x - 4
7 1
2
x - 4
Ú 1
85. A continuación se ilustra la gráfica de . De-
termine la solución de las desigualdades siguientes.
a)
b)
Explique cómo determinó su respuesta.
x2
- 4x + 4
x - 4
6 0
x2
- 4x + 4
x - 4
7 0
y
�6
�4
�2
14
12
10
8
6
4
2
987651 2 x
y =
x2
- 4x + 4
x - 4
86. A continuación se ilustra la gráfica de .
Determine la solución de las desigualdades siguientes.
a)
b)
Explique cómo determinó su respuesta.
x2
+ x - 6
x - 4
6 0
x2
+ x - 6
x - 4
Ú 0
�20
�15
�10
�5
30
25
20
15
10
5
7 86531 2�3�4 �2�1
y
x
y =
x2
+ x - 6
x - 4
87. Escriba una desigualdad cuadrática cuya solución sea
2�4
88. Escriba una desigualdad cuadrática cuya solución sea
5�3
89. Escriba una desigualdad racional cuya solución sea
4�3
90. Escriba una desigualdad racional cuya solución sea
�1�6
91. ¿Cuál es la solución de la desigualdad (x � 3)2(x � 1)2 	 0?
Explique su respuesta.
92. ¿Cuál es la solución de la desigualdad
x2(x � 3)2(x � 4)2 � 0? Explique su respuesta.
93. ¿Cuál es la solución de la desigualdad Expli-
que su respuesta.
x2
1x + 222 Ú 0? 94. ¿Cuál es la solución de la desigualdad Expli-
que su respuesta.
x2
1x - 322 7 0?
95. Si f(x) � ax2 � bx � c, con a � 0 y el discriminante es nega-
tivo, ¿cuál es la solución de f(x) � 0? Explique.
96. Si f(x) � ax2 � bx � c, con a � 0 y el discriminante es nega-
tivo, ¿cuál es la solución de f(x) � 2? Explique.
Retos
Resuelva cada desigualdad y grafique la solución en la recta numérica.
97. 1x + 121x - 321x + 521x + 82 Ú 0 98.
1x - 421x + 22
x1x + 92 Ú 0
Escriba una desigualdad cuadrática con las soluciones siguientes; para cada problema existen diferentes respuestas posibles. Explique
cómo determinó sus respuestas.
99. 100. 101. 102. �¤{2}1- q , 02 ´ 13, q2
<<
 /ASCII85EncodePages false
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 /AutoRotatePages /None
 /Binding /Left
 /CalGrayProfile (Gray Gamma 1.8)
 /CalRGBProfile (Apple RGB)
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 /CompatibilityLevel 1.4
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 >>
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 >>
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 >>
 /JPEG2000ColorImageDict <<
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 >>
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 >>
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 >>
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 >>
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 0.00000
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 /JPN <FEFF3053306e8a2d5b9a306f30019ad889e350cf5ea6753b50cf3092542b308030d730ea30d730ec30b9537052377528306e00200050004400460020658766f830924f5c62103059308b3068304d306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103057305f00200050004400460020658766f8306f0020004100630072006f0062006100740020304a30883073002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d30678868793a3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
 /FRA <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>
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